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Exercícios de coordenadas cilíndricas e esféricas

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SISTEMA CILÍNDRICO 
 
Consideremos em um plano pi um sistema polar, cujo polo é O e cujo eixo polar é p; 
além disso, um eixo z de origem O e ortogonal ao plano pi . 
Dado um ponto P do espaço, determinamos suas projeções ortogonais sobre o plano pi e 
sobre o eixo z, obtendo os pontos P’ e Pz respectivamente. 
 
 
Assim o ponto P fica determinado no espaço por suas coordenadas cilíndricas através da 
terna ordenada P(ρ,θ,z) onde: 
 ρ = OP’: distância polar de P, raio polar ou raio vetor de P. 
 θ (0 < θ < 2pi): argumento de P, anomalia ou ângulo polar de P. 
 z = OPz: cota de P. 
 
 
 
 
 
Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa: 
 
Consideremos os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo x, o polo 
coincida com a origem e o eixo z seja comum aos dois sistemas. 
 
 ( )zyxP ,,
 
coordenadas cartesianas 
 ( )zP ,,θρ
 
coordenadas cilíndricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo retângulo OPxP’ obtém-se as relações: 
 
 
 
222 yx +=ρ 
θρ cos=x
 θρ sin=y 
x
y
=θtan 
 
 
 
Exercícios: 
1) Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico: 
a) A 




 − 2,
2
1
,
2
1
 
b) B (0, 1, 3) 
c) ( ) ( )22222 yxzyx −=+ 
 
 
2) Passar do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano: 
a) A 





−2,
3
2
,6 pi 
b) B ( )pi,330,1 o
 
c) ( ) 22 22sin z=θρ 
 
 
 
Respostas: 
1a) 






2,
4
3
,
2
2 pi
 
1b) 




 3,
2
,1 pi
 
1c) ( )θρρ 2cos224 z=
 
2a) ( )2,33,3 −−
 
2b) 






−
pi,
2
1
,
2
3
 
2c) 2zxy =
 
 
 
SISTEMA ESFÉRICO 
 
Escolhido um ponto O (polo), uma reta orientada z (eixo polar) contendo O, um 
semiplano α de bordo z, a posição de um ponto P ≠ 0 é caracterizada por três números 
ρ, θ e φ que são suas coordenadas esféricas, onde: 
 
 
 
ρ = |OP|: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. 
φ: ângulo que o eixo z forma com OP. Colatitude ou distância zenital de P. 
θ: ângulo entre os semiplanos α e β. Longitude ou azimute de P. 
 
Para que um ponto corresponda a um único terno de coordenadas esféricas, costuma-se 
fazer as seguintes restrições: 
piθ
piφ
ρ
20
0
≤≤
≤≤
≥ o
 
 
 
 
 
Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano e vice-versa: 
 
( )zyxP ,, coordenadas cartesianas ⇔
 
( )φθρ ,,P
 
coordenadas cilíndricas 
 
O ponto P tem projeções ortogonais sobre os eixos cartesianos em Px, Py e Pz. 
Em virtude dos triângulos retângulos formados é possível relacionar senos e cossenos 
dos ângulos θ e ϕ . 
 
 
 
 
 
Por construção, projetando o ponto P sobre o plano xy ortogonalmente tem-se: 
 
 
 
 
 
Analisando as projeções no plano xy 
 
 
 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo projetado no plano xy com 
hipotenusa φρ sin=r
 
e catetos x e y
 
tem-se: 
 
2222 sin yx +=φρ 
 
Considerando que 1cossin 22 =+ φφ isolando φφ 22 cos1sin −=
 
e substituindo na 
equação anterior, tem-se: 
 
( )
2222
2222
22222
2222
cos
cos1
zyx
yxz
yx
yx
++=
+=−
+=−
+=−
ρ
ρ
φρρ
φρ
 
 
 
Relações entre sistema cartesiano e sistema esférico 
2222 zyx ++=ρ 
φθρ sincos=x
 φθρ sinsin=y
 φρ cos=z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Passar do sistema cartesiano ( )zyxP ,, para o sistema esférico ( )φθρ ,,P : 
a) ( )0,2,2 −A
 
b) 






−
2
25
,
2
5
,
2
5B 
c) zyx 855 22 =− 
 
 
2) Passar do sistema esférico ( )φθρ ,,P para o sistema cartesiano ( )zyxP ,, : 
 a) 




 −
3
,
6
,12 pipiP 
b) 





2
,
2
3
,5 pipiQ
 
c)
 
045=θ 
Sugestão: Aplicar a tangente em ambos os lados. 
 
d)
 
030=φ 
Sugestão: Aplicar o arco tangente em ambos os lados. 
 
e) 0cos32 =− φρρ 
 
 
3) Passar o ponto 





4
,
6
11
,22 pipiA
 
do sistema esférico para o sistema cilíndrico 
( )zP ,,θρ : 
 
Sugestão: Primeiramente, passe para o ponto do sistema esférico para o sistema 
cartesiano, depois faça a passagem do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico. 
 
 
4) Mostre que 2222 ρ=++ zyx 
 
 
 
 
5) Se um ponto tem as coordenadas a seguir, encontre as coordenadas cartesianas e 
cilíndricas. 
a) 
3
,
6
,4 piφpiθρ === 
b) 
4
,
3
,10 piφpiθρ ===
 
Sugestão: Primeiramente, passe para o ponto do sistema esférico para o sistema 
cartesiano, depois faça a passagem do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico. 
 
Respostas: 
1a) ( )00 90,315,22A
 
1b) ( )00 135,45,5B
 
1c) ( ) φθφρ cos82cossin5 2 =
 2a) ( )6,33,9 −P
 
2b) ( )0,5,0 −Q
 
2c) xy =
 2d) ( ) 2223 zyx =+
 
2e) 03222 =−++ zzyx
 3) ( )2,30,2 0−
 5a) cartesiana ( )2,3,3 cilíndrica ( )2,30,32 0 
5b) cartesiana 






25,
2
65
,
2
25
 cilíndrica ( )25,60,25 0

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