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SISTEMA CILÍNDRICO Consideremos em um plano pi um sistema polar, cujo polo é O e cujo eixo polar é p; além disso, um eixo z de origem O e ortogonal ao plano pi . Dado um ponto P do espaço, determinamos suas projeções ortogonais sobre o plano pi e sobre o eixo z, obtendo os pontos P’ e Pz respectivamente. Assim o ponto P fica determinado no espaço por suas coordenadas cilíndricas através da terna ordenada P(ρ,θ,z) onde: ρ = OP’: distância polar de P, raio polar ou raio vetor de P. θ (0 < θ < 2pi): argumento de P, anomalia ou ângulo polar de P. z = OPz: cota de P. Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal ou vice-versa: Consideremos os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo x, o polo coincida com a origem e o eixo z seja comum aos dois sistemas. ( )zyxP ,, coordenadas cartesianas ( )zP ,,θρ coordenadas cilíndricas Do triângulo retângulo OPxP’ obtém-se as relações: 222 yx +=ρ θρ cos=x θρ sin=y x y =θtan Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico: a) A − 2, 2 1 , 2 1 b) B (0, 1, 3) c) ( ) ( )22222 yxzyx −=+ 2) Passar do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano: a) A −2, 3 2 ,6 pi b) B ( )pi,330,1 o c) ( ) 22 22sin z=θρ Respostas: 1a) 2, 4 3 , 2 2 pi 1b) 3, 2 ,1 pi 1c) ( )θρρ 2cos224 z= 2a) ( )2,33,3 −− 2b) − pi, 2 1 , 2 3 2c) 2zxy = SISTEMA ESFÉRICO Escolhido um ponto O (polo), uma reta orientada z (eixo polar) contendo O, um semiplano α de bordo z, a posição de um ponto P ≠ 0 é caracterizada por três números ρ, θ e φ que são suas coordenadas esféricas, onde: ρ = |OP|: distância polar, raio polar ou raio vetor de P. φ: ângulo que o eixo z forma com OP. Colatitude ou distância zenital de P. θ: ângulo entre os semiplanos α e β. Longitude ou azimute de P. Para que um ponto corresponda a um único terno de coordenadas esféricas, costuma-se fazer as seguintes restrições: piθ piφ ρ 20 0 ≤≤ ≤≤ ≥ o Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano e vice-versa: ( )zyxP ,, coordenadas cartesianas ⇔ ( )φθρ ,,P coordenadas cilíndricas O ponto P tem projeções ortogonais sobre os eixos cartesianos em Px, Py e Pz. Em virtude dos triângulos retângulos formados é possível relacionar senos e cossenos dos ângulos θ e ϕ . Por construção, projetando o ponto P sobre o plano xy ortogonalmente tem-se: Analisando as projeções no plano xy Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo projetado no plano xy com hipotenusa φρ sin=r e catetos x e y tem-se: 2222 sin yx +=φρ Considerando que 1cossin 22 =+ φφ isolando φφ 22 cos1sin −= e substituindo na equação anterior, tem-se: ( ) 2222 2222 22222 2222 cos cos1 zyx yxz yx yx ++= +=− +=− +=− ρ ρ φρρ φρ Relações entre sistema cartesiano e sistema esférico 2222 zyx ++=ρ φθρ sincos=x φθρ sinsin=y φρ cos=z Exercícios: 1) Passar do sistema cartesiano ( )zyxP ,, para o sistema esférico ( )φθρ ,,P : a) ( )0,2,2 −A b) − 2 25 , 2 5 , 2 5B c) zyx 855 22 =− 2) Passar do sistema esférico ( )φθρ ,,P para o sistema cartesiano ( )zyxP ,, : a) − 3 , 6 ,12 pipiP b) 2 , 2 3 ,5 pipiQ c) 045=θ Sugestão: Aplicar a tangente em ambos os lados. d) 030=φ Sugestão: Aplicar o arco tangente em ambos os lados. e) 0cos32 =− φρρ 3) Passar o ponto 4 , 6 11 ,22 pipiA do sistema esférico para o sistema cilíndrico ( )zP ,,θρ : Sugestão: Primeiramente, passe para o ponto do sistema esférico para o sistema cartesiano, depois faça a passagem do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico. 4) Mostre que 2222 ρ=++ zyx 5) Se um ponto tem as coordenadas a seguir, encontre as coordenadas cartesianas e cilíndricas. a) 3 , 6 ,4 piφpiθρ === b) 4 , 3 ,10 piφpiθρ === Sugestão: Primeiramente, passe para o ponto do sistema esférico para o sistema cartesiano, depois faça a passagem do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico. Respostas: 1a) ( )00 90,315,22A 1b) ( )00 135,45,5B 1c) ( ) φθφρ cos82cossin5 2 = 2a) ( )6,33,9 −P 2b) ( )0,5,0 −Q 2c) xy = 2d) ( ) 2223 zyx =+ 2e) 03222 =−++ zzyx 3) ( )2,30,2 0− 5a) cartesiana ( )2,3,3 cilíndrica ( )2,30,32 0 5b) cartesiana 25, 2 65 , 2 25 cilíndrica ( )25,60,25 0
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