Topografia 1 - Poligonais

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Poligonais 
TOPOGRAFIA 
COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Quando se pretende representar numa superfície plana zonas extensas da 
superfície terrestre, é necessário adoptar sistemas de representação plana 
do elipsóide, visto que este não é planificável. 
¨  Isto é, por intermédio de uma projecção geométrica ou por fórmulas 
analíticas de transformação, establece-se uma correspondência biunívoca 
entre os pontos do elipsóide definidos pelas suas coordenadas geodésicas e 
os pontos do plano definidos por coordenadas rectangulares. 
¨  O posicionamento relativo do elipsóide de referência e do plano 
cartográfico é definido por intermédio de um ponto, situado de preferência 
no centro da região a representar, designado por ponto central. 
Poligonais 
COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Nestas condições, os meridianos e os paralelos são representados por linhas 
rectas ou curvas, sendo sempre uma linha recta o meridiano que passa pelo 
ponto central da zona considerada. 
¨  É a este meridiano central (designado por meridiana) e à recta que lhe é 
perpendicular e passa no ponto central da região, que se referem as 
coordenadas rectangulares, designadas por M (distância à meridiana) e P 
(distância à perpendicular). 
Poligonais 
COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Uma direcção qualquer AB pode ser posicionada relativamente ao sistema 
de coordenadas rectangulares através do ângulo que forma com a 
direcção da recta meridiana. 
 
¨  O rumo de uma direcção varia entre zero e 400 grados. 
 
Poligonais 
¨  Este ângulo chama-se azimute cartográfico ou 
rumo da direcção AB. 
¨  Representa-se por (AB) e, tendo vértice no ponto 
A, conta-se no sentido retrógrado (sentido dos 
ponteiros do relógio) a partir da direcção 
definida pela meridiana, que corresponde à 
direcção do Norte Cartográfico, até à direcção 
definida pelos pontos A e B. 
COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Os ângulos em Topografia são sempre descritos no sentido retrógrado. 
¨  Deste modo, duas semi-rectas com a mesma origem, como as semi-rectas EA 
e EB, definem dois ângulos distintos, o ângulo AÊB e o ângulo BÊA. 
Poligonais 
PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Cálculo do rumo inverso 
¤  Suponhamos que se conhece o rumo da direcção [AB] no sentido de A 
para B e se pretende conhecer o rumo da mesma direcção, mas agora 
no sentido de B para A. 
 
 
 
 
 (BA) = (AB) + 200gr (BA) = (AB) – 200gr 
 (BA) = (AB) ± 200gr 
 
Poligonais 
PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Transporte de rumos 
¤  Conhece-se o rumo da direcção [AB] e o ângulo BÂC ou CÂB (BÂC = 
400gr - CÂB) e pretende-se calcular o rumo da direcção AC. 
 
 (AC) = (AB) + BÂC 
 
Poligonais 
PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Transmissão de rumos 
¤  Conhece-se o rumo da direcção [AB] e o ângulo entre alinhamentos 
pretende-se calcular o rumo da orientação BC. 
Dados: (AB);α Pedido: (BC) 
 (BC) = (AB) + α ± 200 (a menos de 400gr) 
 
Poligonais 
PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Transporte de coordenadas 
¤  Determinar as coordenadas de um ponto B a partir das coordenadas de 
outro ponto A, conhecendo a distância AB entre os dois pontos e o rumo 
da direcção que definem. 
Dados: MA; PA; AB ; (AB) Pedido: MB; PB 
 MB - MA= AB sin(AB) 
 PB - PA= AB cos(AB) 
 
 MB = MA + AB sin(AB) 
 PB = PA + AB cos(AB) 
 
 
Poligonais 
PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Cálculo de rumos 
¤  Calcular o rumo de uma direcção definida por dois pontos, cujas 
coordenadas rectangulares são conhecidas. 
Dados: MA; PA; MB; PB Pedido: (AB) 
 
Poligonais 
PRINCIPAIS PROBLEMAS COM COORDENADAS RECTANGULARES 
¨  Cálculo de distâncias 
¤  conhecidas as coordenadas rectangulares de A e B, determinar a 
distância entre estes pontos. 
Dados: MA; PA; MB; PB Pedido: [AB] 
 
Poligonais 
¨  Quando se pretende levantar uma determinada parcela de terreno, de um 
modo geral substitui-se essa parcela por um conjunto de pontos que podem 
ser ligados entre si por alinhamentos rectos. 
¨  Como se viu anteriormente, a operação topográfica conduz a duas espécies 
de medidas: ângulos e distâncias. 
¨  A medição de distâncias envolve um processo mais demorado e exige maior 
cuidado comparativamente com a medição de ângulos. Por tal motivo, a 
medição de distâncias pode ser substituída pela medição de ângulos. 
Poligonais 
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
¨  Irradiação 
¨  Triangulação 
¨  Intersecções 
¨  Poligonação 
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MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
¨  Poligonação: consiste no estabelecimento, observação e cálculo de 
poligonais. 
¨  Poligonais não são mais do que um conjunto de sucessivos segmentos de 
recta formando uma linha poligonal, da qual se medem os comprimentos 
dos lados e os ângulos que estes formam. 
¨  A poligonação é uma operação tridimensional que permite transportar 
simultaneamente coordenadas cartográficas e altitudes ortométricas. 
Poligonais 
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
¨  Como a poligonação é um método de cálculo de coordenadas, que, para a 
obtenção do mesmo número de pontos de apoio, é de execução muito mais 
rápida do que a triangulação e as intersecções, em determinados estudos, 
não sendo a precisão um factor primordial, pode-se utilizar apenas a 
poligonação para obtenção do apoio necessário. 
¨  Em alguns tipos de levantamentos, em que é necessário fazer o 
levantamento de uma faixa de terreno comprida e estreita, como por 
exemplo, no caso de traçado de estradas, caminhos de ferro, redes de 
saneamento, linhas de alta tensão, etc, também é normalmente utilizada a 
poligonação. 
Poligonais 
MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
¨  Uma poligonal pode ser: 
¤  Aberta; 
¤  Fechada; 
¤  Fechada sobre si mesmo. 
¨  É natural que se cometam erros que interessa controlar. Esses erros, dado 
que se medem ângulos e distâncias, são: 
¤  erros de fecho angular; 
¤  erros de fecho linear. 
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MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
¨  O estabelecimento de uma poligonal deve ser feito após um prévio 
reconhecimento da zona, dependendo o seu traçado do acidentado do 
terreno e do facto de se tratar, ou não, de uma zona densamente 
arborizada. 
¨  Não se podem por isso estabelecer normas rígidas para o traçado de 
poligonais, no entanto, para se melhorar a precisão dos resultados obtidos, 
convém que a escolha dos vértices tenha em atenção alguns aspectos. 
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MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
¨  No estabelecimento de uma poligonal deve procurar-se: 
¤  que o seu traçado seja alongado (excepto se for fechada sobre si 
mesma); 
¤  que os desníveis entre vértices consecutivos sejam pouco acentuados; 
¤  que o comprimento dos lados seja da mesma ordem de grandeza; 
¤  que o comprimento dos lados seja tão grande quanto possível (reduzir o 
número de vértices para atenuar a influência dos erros). O valor deste 
comprimento é evidentemente limitado, não só pelo acidentado do 
terreno, como pelas características dos instrumentos utilizados. 
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MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
¨  Cálculo e compensação de uma poligonal com vértices A, 1, 2, 3 e B, 
apoiada nos vértices A e B de uma triangulação. Conhecem-se ainda as 
coordenadasdos vértices A’ e B’, ou os rumos (AA’) e (BB’). 
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TOPOGRÁFICO 
¨  Procedimento de cálculo: 
1.  Cálculo dos rumos provisórios 
2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias 
3.  Cálculo dos rumos definitivos 
4.  Cálculo das coordenadas relativas provisórias 
5.  Cálculo do erro de fecho linear (ou planimétrico) e verificação das 
tolerâncias 
6.  Cálculo das coordenadas relativas corrigidas 
7.  Cálculo das coordenadas absolutas 
8.  Cálculo do erro de fecho altimétrico e verificação das tolerâncias 
9.  Cálculo das cotas 
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MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
1.  Cálculo dos rumos provisórios 
¤  Designando por (BB')* o rumo (BB') calculado utilizando as medições 
feitas obtém-se: 
Sendo k um número inteiro 
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2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias 
¤  Como (BB') e (BB')* normalmente não são iguais, calcula-se o erro de 
fecho angular através da seguinte equação: 
 
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2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias 
¤  Pode-se então considerar que o erro terá que ser menor do que as 
tolerâncias abaixo indicadas para poligonais de alta, média e baixa 
precisão. 
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2.  Cálculo do erro de fecho angular e verificação das tolerâncias 
¤  O erro de fecho angular, ε, deverá ser distribuído igualmente por 
todos os ângulos medidos ou distribuído proporcionalmente ao ângulo 
medido. 
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3.  Cálculo dos rumos definitivos 
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Ângulos corrigidos Rumos definitivos 
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4.  Cálculo das coordenadas relativas provisórias 
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5.  Cálculo do erro de fecho linear (ou planimétrico) e verificação das 
tolerâncias 
 
 Com os valores de εM e εP calcula-se o erro de fecho linear da 
poligonal: 
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6.  Cálculo das coordenadas relativas corrigidas 
¨  O erro de fecho linear, εM e εP , deverá ser distribuído 
proporcionalmente aos valores relativos das coordenadas. 
 
 
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TOPOGRÁFICO 
7.  Cálculo das coordenadas absolutas 
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MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE COORDENADAS DO ESQUELETO DE APOIO 
TOPOGRÁFICO 
8.  Cálculo do erro de fecho altimétrico e verificação das tolerâncias 
9.  Cálculo das cotas 
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EXERCÍCIO 
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EXERCÍCIO 
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EXERCÍCIO 
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EXERCÍCIO 
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BIBLIOGRAFIA 
Fonte, Cidália C.. “Textos de apoio de Topografia”. Departamento de 
Matemática FCTUC, Universidade de Coimbra. 
Freitas, Elisabete (2011). Apresentações teóricas no âmbito da disciplina de 
Topografia. Universidade do Minho. 
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