Apostilas de Cálculo Diferencial e Integral I

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Curso: Engenharia Civil
Coordenador: Msc. Leandro Meirelles 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I	
Professor(a): Msc. Mariane Schneider
Período: 2013/2
C/H Disciplina: 72 horas – 4 créditos
FUNÇÃO MODULAR
1 Módulo de um número real
O módulo ou valor absoluto de um número real x, que representamos por |x|.
Exemplos:
a) |2| = 
b) |-2| =
c) |0| =
d) 
=
2 Definição de função modular
	Denomina-se função modular a função f, de R em R, tal que f(x) = |x|, ou seja: 
3 Gráfico de uma função modular
É o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano tal que y = f(x).
 
	x
	Y
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	
	2
	
4 Exercícios:
1) Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções modulares, determinando seu domínio e sua imagem:
a) f(x) = |x – 3|
b) f(x) = |x| -1
c) y = |x – 3| + 2
d) y = |x| + x
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 Definição de função exponencial
	Dado um número real a (a > 0 e a 
 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f de 
 em 
 definida por f(x) = ax ou y = ax.
Exemplos:
a) f(x) = 5x
b) 
2 Gráfico de uma função exponencial
É o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano tal que y = f(x).
 
	x
	Y
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	
	2
	
3 Exercícios:
1) Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções exponenciais, determinando seu domínio e sua imagem e classificando em crescente ou decrescente:
a) 
b) 
c) 
d) 
2) Para analisar o efeito de um remédio no extermínio de determinada bactéria, cientistas fizeram experimentos expondo uma população desse microorganismo ao remédio e verificando o tempo necessário para que fosse exterminada. Ao final, verificou-se que a população da bactéria x dias após a exposição ao remédio poderia ser estimada por meio da função 
. Dois dias após a exposição ao remédio, a população da bactéria reduziu-se a quantos por cento da população inicial?
3) Certa empresa utiliza a função n(t) = 600-200(0,6)t para estimar o número n de peças produzidas mensalmente por um funcionário com t meses de experiência.
a) Quantas peças são produzidas em um mês por um funcionário com 4 meses de experiência?
b) Estima-se que a produtividade de um funcionário com 2 meses de experiência aumente quantos por cento se comparada com o mês em que foi contratado?
4) Classifique as funções exponenciais em crescente ou decrescente:
a) 
				d) 
b) 
				e) 
c) 
					f) 
OBS.: Se a base da função for o número 
 (número de Euler) ela é uma função exponencial, ou seja, y=
 exponencial de base 
, onde 
.
Ex.: 
	A função exponencial é inversível. Sua inversa é a função logarítmica.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1 Definição de função logarítmica
	Dados os números reais positivos a e b, com a 
 1, se b = ac então o expoente c chama-se logaritmo de b na base a, ou seja, 
, com a e b positivos e 
.
	Nessa equivalência temos:
Forma logarítmica					Forma exponencial
						
				
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
2 Gráfico de uma função logarítmica
	A inversa da função exponencial de base a é a função 
, que associa a cada número real positivo x o número real 
, chamado logaritmo de x na base a, com a real positivo e 
.
É o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano tal que y = f(x).
 
	x
	y
	
	
	
	
	1
	
	2
	
	4
	
3 Exercícios:
1) Construa os gráficos das funções logarítmicas:
a) 
b) 
2) Construa no mesmo sistema de eixos os gráficos de 
 e 
.
3) Identifique as funções logarítmicas em crescentes ou decrescentes:
a) a) 
b) 
c) 
b) 
4) Dados 
, 
 e 
, determine:
a) f(2) =					d) g(1) =
b) g(2) =					e) f(26) =
c) h(50) =					f) 
 =
5) Usando calculadora, obtenha o valor dos seguintes logaritmos (ln = logaritmo natural):
a) log 54 =				c) ln 31 =			e) ln (0,8) =
b) log 7 =				d) ln 7 = 			f) log 122 =
OBS: A base mais usada, na prática, é a base 10, e os correspondentes logaritmos são chamados decimais, bem como a base e (número de Euler, que é uma importante constante matemática, cujo valor aproximado é 2,718), e os correspondentes logaritmos são chamados naturais ou neperianos.
Os logaritmos decimais podem ser indicados sem a base 
 e os naturais podem ser indicados por 
.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função seno
Denomina-se função seno a função 
, definida para todo x real.
Isto é: 
 
O domínio da função seno é R e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
A função y = sem x é periódica e seu período é 
. O gráfico é denominado senóide.
Função cosseno
Denomina-se função seno a função 
, definida para todo x real.
Isto é: 
 
O domínio da função cosseno é R e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1].
A função y = sem x é periódica e seu período é 
. O gráfico é denominado cossenóide.
Função tangente
Denomina-se função seno a função 
 ou 
, com 
Representamos:
. O gráfico é denominado tangentóide.
Função cotangente
Denomina-se função cotangente a função 
, definida para todo x real diferente de 
Representamos:
Função secante
Denomina-se função secante a função 
, definida para todo x real diferente de 
Representamos:
Função cossecante
Denomina-se função cossecante a função 
, definida para todo x real diferente de 
Representamos:
OBS.: Tabela com razões trigonométricas de alguns ângulos:
	 Ângulo
Razão
	30o
	45o
	60o
	Seno
	
	
	
	Cosseno
	
	
	
Exercícios:
1) Determine o valor de:
a) 
					d) 
			g) 
b) 
=					e) 
		h) 
=
c) 
					f) 
		i) 
2) Construir o gráfico das seguintes funções trigonométricas, determinando sua imagem:
a) y = 1 + sen x
b) f(x) = 2cos x
c) y = tg x
d) f(x) = 1 + cos x
e) y = 3senx
3) Considere as funções f e g definidas por: f(x) = sen 4x e g(x) = 1 – cos x. Determine:
a) 
=						c) 
b) 
=						d) 
4) Calcule o valor da expressão 
5) Calcule o valor da expressão 
6) Calcule o valor da expressão 
7) Calcule o valor da expressão 
8) Calcule o valor da expressão 
Engenharia Civil – Cálculo Diferencial e Integral I- Msc Mariane Schneider 
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