Curso Básico de Topografia - Fernando Garcia Marquez

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CURSO BÁSICO DE 
TOPOGRAFÍA 
planimetría • agrimensura • altimetría 
CURSO BÁSICO DE 
TOPOGRAFÍA 
planimetría • agrimensura • altimetría 
• f',,~~.n~,#.,. 
FERNANDO GARCÍA MÁRQUEZ 
• 
árbol editorial 
© 1994 Árbol Editorial, S.A. de c.v. 
Av. Cuauhtémoc 1430 
Col. Sta. Cruz Atoyac 
Tel.: 688/6458 
Fax: 605/7600 
e.mai1103503.3030@compuserve.com 
México, D.F. 03310 
Tercera reimpresión 
ISBN 968-461-003-3 
Reservados todos los derechos 
Impreso en México/ Printed in Mexico 
• 
DEDICATORIA 
Al Heroico Colegio Militar) mi Alma Mater) 
en cuyas aulas me inicié en 1943 como cade-
te en el estudio de esta disciplina) y a la Escuela 
Militar de Ingenieros) en la cual he participado 
en la' enseñanza de la Topografía desde 1963 
a la fecha. 
A LOS ALUMNOS 
Esta obra fue elaborada con el propósito de facilitar el estudio de la 
Topografía a los alumnos. 
Cada capítulo contiene problemas resueltos, seleccionados cuidadosa-
mente, que sirven de guía al alumno para la resolución de otros p'roblemas. 
Si logro evitar esfuerzos inútiles a los estudiantes de esta asignatura 
me sentiré satisfecho. 
INO. FERNANDO OARCIA MARQUEZ 
Capítulo 1 
GENERALIDADES 
CONTENIDO 
~ 
ff~ 
Aplicaciones de la Topografía, 1 
División de la Topografía, 3 
Levantamiento, clases de levantamientos, 4 
Levantamientos topográficos, 4 
Poligonal, clases de poligonales, 5 
Los errores, 5 
Capítulo lJ 
PLANIMETRIA 
Levantamientos plaJ)'imétricos, 9 
Medida directa de distancias, 9 
!Medidas con cinta, ] O 
Errores en la medida de distancias con cinta, 12 
Tolerancias en medida de distancias con cinta, 13 
Problemas, 14 
Problemas resueltos con cinta, 16 
Problemas, 27 
Levantamientos con cinta, 31 
Métodos de levantamiento con cinta, 36 
Método de radiaciones, 36 
Método de diagonales, 37 
Método de líneas de liga, 37 
Método de alineaciones, 38 
Método de coordenadas rectangulares, 39 
Levantamiento de edificaciones, 40 
Levantamiento de detalles, 40 
,Problemas, 41 
1 
9 
X Contenido 
Levantamientos con brújula y cinta, 50 
Definiciones, 50 
Descripción de la brújula, 59 
Condiciones que debe satisfacer toda brújula, 61 
Usos de la brújula, 61 
Ventajas en el uso de la brújula, 62 
Inconvenientes en el uso de la brújula, 62 
Atracciones locales, 62 
Mét.xlos de levantamiento con brújula y cinta, 64 
Método de itinerario, 65 
Problemas, 68 
Método de radiaciones, 78 
Método de intersecciones, 79 
Método de coordenadas rectangulares, 79 
Dibujo de la poligonal, 80 
Compensación gráfica, 81 
Determinación de la superficie del polígono por medio del 
planímetro, 84 
Levantamientos COIl tránsito )' cinta, 88 
Descripción del tránsito, 88 
Usos del tránsito, 91 
Condiciones que debe satisfacer un tránsito para su buen 
funcionamiento, 91 
Vernier, 96 
Medida de ángulos, 99 
Medida simple, 99 
Medida por repeticiones, lOO 
Medida por reiteraciones, 102 
Métodos de levantamiento con tránsito y cinta, 103 
Método de medida directa de ángulos, ] 03 
Orientación magnética, 104 
Medida de los ángulos, 105 
Comprobación del ángulo medido, ] 05 
Problema, 124 
Método de deflexiones. 130 
Prohlema, 136 
Método de conservación de azimutes, 141 
Problemas. 149 
Prohlemas, 154 
Capít/llo 111 
AG RlMENSURA 
Métodos gráficos, 
Métodos mecánicos, 
Métodos analíticos. 
205 
206 
206 
~:vlU'f!l-ro¡jlRff 
.5 
205 
Contenido XI 
Triangulación del polígono, 206 
'Problemas, 207 
Método de las coordenadas, 208 
Problemas, 21 1 
Método de las dobles distancias meridianas, 214 
Problemas, 21 6 
Regla de los trapecios, 220 
Problemas, 222 
Regla de Simpson, 224 
Problemas, 225 
Agrodesia, 227 
Problemas, 229 
Capítulo IV 
ALTIMETRIA O NIVELACION .. 
Nivelación directa o topográfica, 247 
Niveles, 247 
N iveles fijos o topográficos, 248 
Condiciones que debe reunir un nivel tipo americano, 250 
Condiciones que debe reunir un nivel ,tipo inglés, 252 
Errores en la nivelación, 254 
Nivelación diferencial. 259 
Problemas, 264 
Comprobación de una nivelación, 266 
Problemas, 267 
Nivelación de perfil, 272 
Construcción de un perfil, 275 
'Problemas, 277 
Nivelación trigonométrica, 281 .. 1 
Eclímetro, 282 
Eclímetro de la brújula, 283 
Plancheta de pendientes. 284 " 
'Problemas, 285 ~ 
Nivelación barométrica. 297 
Barómetros, 297 
Barómetros de mercurio. 297 
Aneroides, 300 
Termobarómetros o hipsómetros. 302 
Medición de alturas. 304 
Prohlemas, 30ó 
245 
CAPÍTULO I 
GENERALIDADES 
Definic7ón, aplicaciones y división de la topografía 
Se define la TOPOGRAFÍA (dél griego: topos, lugar y graphein, describir) 
como la ciencia que trata de los principios y métodos empleados para 
determinar las posiciones relativas de los puntos de la superficie terrestre, 
por medio de medidas, y usando los tres elementos del espacio. Estos ele-
mentos pueden ser: dos distancias y una elevación, o una distancia, una 
dirección y una elevación. 
La TOPOGRAFÍA, en general, es una aplicación de la geometría y, por 
tanto, sin el conocimiento de esta ciencia, sería imposible que aquélla 
llenara el cometido que tiene asignado. 
La TOPOGRAFÍA define la posición y las formas circunstanciales del 
suelo; es decir, estudia en detalle la superficie terrestre y los procedimientos 
por los cuales se pueden representar, todos los accidentes que en ella existen, 
sean naturales o debidos a la mano del hombre. El medio usual de expre-
sión es el dibujo. 
La TOPOGRAFÍA se encuentra directamente relacionada con la Tierra. 
El estudio de la Tierra como cuerpo en el espacio le corresponde a la 
Astronomía; y como globo terrestre en lo que concierne a su configuración 
precisa y a su medida le corresponde a la Geodesia; pero el hombre tiene 
necesidad de algo más, de un estudio detallado de un territorio determinado 
de la tierra, en el cual orientará su existencia diaria. 
He aquí donde entra la topografía: ayuda a determinar los linderos 
de la propiedad, con sus divisiones interiores y diversos cultivos, las vivien-
das, los caminos y los ríos, los puentes, los ferrocarriles, los montes con 
sus valles y barrancos, los bosques, los pantanos, etc., y, en suma, todas 
aquellas particularidades del terreno que puedan interesar en las cuestiones 
que se presentan en las necesidades de la vida práctica. . 
APLICACIONES DE LA TOPOGRAFIA 
A la topografía se le puede considerar como una de las herramientas 
básicas de la ingeniería civil, aunque se le llega a utilizar en otras espe-
1 
2 Curso básico de topografía 
~UfM~~ 
~ 
cialidades. Las materias propedéuticas son la geometría, la trigonometría, 
la física y la astronomía, por tanto, se puede decir que la topografía es 
una ciencia aplicada. 
Además del conocimiento de las materias mencionadas, 1?'ara la reali-
zación de los trabajos topográficos se hacen necesarias algunas cualidades 
personales como: iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad 
para tratar a las personas y buen criterio. 
La topografía tiene un campo de aplicación extenso, lo .que la hace 
sumamente necesaria. Sin su conocimiento no podría el ingeniero por sí 
solo proyectar ninguna obra. Sin un buen plano no podría proyectar debi-
damente un edificio o trazar un fraccionamiento; sin el levantamiento de 
secciones transversales no le sería posible proyectar presas, puentes, cana-
les, carreteras, ferrocarriles, etc. Tampoco podría señalar una pendiente 
determinada como se requiere en un alcantarillado. 
Además, al ingeniero recién graduado que ingresa a una empresa cons-
tructora o institución, generalmente los primeros trabajos que se le enco-
miendan son sobre topografía. Así pues, toda recomendación para que se 
preocupe en el conocimiento de los métodos topográficos es pequeña y 
el estudiante así debe entenderlo. 
Las actividades fundamentales de la topografía son el trazo y el le-
vantamiento. 
El trazo es el procedimiento operacional que tiene como finalidad el 
replanteo sobre el terréno de las condiciones establecidas en un plano; 
y el levantamiento comprende
las operaciones necesarias para la obtención 
de datos de campo útiles para poder representar un terreno por medio de 
su figura semejante en un plano. 
La topografía tiene una gran variedad de aplicaciones: 
Levantamiento de terrenos en general, para localizar y marcar linde-
ros, medida y división de superficies y ubicación de terrenos en planos 
generales. 
Localización, proyecto, trazo y construcción de vías de comunicación: 
caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc. 
La topografía de minas tiene por objeto fijar y controlar la posición 
de trabajos subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales. 
Levantamientos catastrales hechos con el propósito de localizar límites 
de propiedad y valorar los inmuebles para la determinación del impuesto 
correspondiente. 
Topografía urbana es la denominación que con frecuencia se da a 
las operaciones que se realizan para la disposición de lotes, construcción 
de calles, sistemas de abastecimiento de agua potable y sistemas de drenaje. 
La topografía hidrográfica estudia la configuración de océanos, lagos, 
ríos, etc., para propósitos de navegación, suministro de agua o construc-
ción subacuática. 
La topografía fotogramétrica es la aplicación a la topografía de la 
ciencia de las mediciones por medio de fotografías. Se usa para levanta-
Generalidades 3 
mientos topográficos generales, levantamientos preliminares de rutas, para 
fines militares y aun para levantamientos en áreas agrícolas. 
La topografía también es usada para instalar maquinaria y equipo 
industrial; en la construcción de barcos y aviones; para preparar mapas 
geológicos y forestales; en la navegación por control electrónico para fijar 
la situación de puntos determinados sobre los planos empleados; en cues-
tiones militares (táctica, estrategia, logística, etc.); en la fabricación y 
montaje de proyectiles dirigidos, etc. . 
Así pues, la topografía sirve y está en mayor o menor escala en caSI 
todas las obras que el hombre hace o pretende hacer, desde medir una 
propiedad hasta para lanzar un cohete al espacio. 
DIVISION DE LA TOPOORAFIA 
Para su estudio la topografía se divide en tres partes: 
TOPOLOGÍA que estudia las leyes que rigen las formas del terreno. 
TOPOMETRÍA que establece los métodos geométricos de medida. 
PLANOGRAFÍA que es la representación gráfica de los resultados y 
constituye el dibujo topográfico. 
Para que sea completa la representación gráfica de una porción de 
la superficie terrestre, deberá contener: 
La forma general del terreno, o sea, su contorno o perímetro y los 
detalles interiores (construcciones, caminos, puentes, ríos, etc.). 
La diferencia de altura que guardan los puntos del terreno, unos res-
pecto a otros; y 
La superficie del terreno. 
Por lo antes expuesto, se deduce que la topografía (topometría), según 
las operaciones que se ejecutan para representar el terreno, se divide en 
tres partes que son: 
PLANIMETRÍA que estudia los instrumentos y métodos para proyectar 
sobre una superficie plana horizontal, la exacta posición de los puntos más 
importantes del terreno y construir de esa manera una figura similar al 
mismo. 
ALTIMETRÍA que determina las alturas de los diferentes puntos del 
terreno con respecto a una superficie de referencia; generalmente corres-
pondiente al nivel medio del mar. 
AGRIMENSURA que comprende los procedimientos empleados para medir 
la superficie de los -terrenos y para fraccionarlos. 
4 Curso básico de topografía 
LEVANTAMIENTO 
El levantamiento es uno de los más VIeJOS artes practic~dos por el 
hombre, porque desde épocas tempranas ha sido necesario marcar límites 
y dividir la tierra. Es una operación técnica que consiste en medir direc-
tamente el terreno. 
Se puede definir el levantamiento como el conjunto de operaciones y 
medios puestos eL práctica para determinar las posiciones de puntos del 
terreno y su representación en un plano. 
Clases de levantamientos 
En cuanto a su extensión, los levantamientos pueden ser topográficos 
o geodésicos. 
LEVAN1AMIENTOS TOPOGRÁFICOS son los que se extienden sobre una 
porción relativamente pequeña de la superficie de la Tierra que, sin 
error apreciable, se considera como si fuera plana. 
Las dimensiones máximas de las zonas representadas en los planos 
topográficos no superan en la práctica los 30 Km de lado, correspondien-
tes aproximadamente a un círculo de 30 Km de diámetro, límites dentro 
de los cuales se puede hacer abstraccióR de la curvatura de la superficie 
terrestre. 
LEVANTAMIENTOS GEODÉSICOS son aquellos que abarcan grandes ex-
tensiones y obligan a tomar en cuenta la forma de la Tierra, ya sea 
considerándola como una verdadera esfera, o más exactamente, como un 
esferoide de revolución. Estos levantamientos se salen de los límites de 
la topografía y entran en el dominio de la geodesia. 
LEVANTAMIENTOS TOPOGRAFICOS 
Los levantamientos topográficos en cuanto a su calidad se dividen como 
SIgue: 
PRECISOS, que se ejecutan por medio de triangulaciones o poligonales 
de precisión. Se emplean para fijar los límites entre naciones o estados, 
en el trazo de ciudades, etc. 
REGULARES, los cuales se .realizan por medio de poligonales, levanta-
das con tránsito y cinta. Se usan para levantar linderos de propiedades, 
para el trazo de caminos, vías férreas, canales, ciudades pequeñas, etc., 
y en obras de saneamiento en las ciudades. 
~ff 
~ 
Generalidades 5 
TAQUIMÉTRICOS, en los cuales las distancias se miden por procedimien-
tos indirectos. Generalmente se ejecutan con tránsito y estadía, y se emplean 
en trabajos previos al trazo de vías de comunicación, en trabajos de 
configuración y de relleno, y también para la formación de planos a 
pequeña escala. 
EXPEDITIVOS, efectuados con aparatos portátiles, poco precisos, como: 
brújula, sextante, podómetro, telémetro, estadía de mano, etc., Y. cuando 
no se dispone de aparatos se ejecutan a ojo o por informes proporcionados 
por los habitantes de la región. Estos levantamientos se emplean en recono-
cimientos del terreno o en las exploraciones militares. 
POLIGONAL 
En topografía se da el nombre de poligonal a un polígono o a una 
línea quebrada de n lados. También se puede definir la poligonal como 
una sucesión de líneas rectas que conectan una serie de puntos fijos. 
Clases de poligonales 
De la definición de poligonal se deduce que las poligonales pueden 
ser cerradas ° abiertas. 
POLIGONAL CERRADA es aquella cuyos extremos inicial Y final coinci-
den; es decir, es un polígono. 
POLIGONAL ABIERTA es una línea quebrada de n lados o aquella poli-
gonal cuyos extremos no coinciden. 
Existen dos cIases de poligonales abiertas: las de enlace Y los cami-
namientos. 
POLIGONAL DE ENLACE es una poligonal abierta cuyos extremos son 
conocidos de antemano y, por tanto, puede comprobarse. 
CAMINAMIENTO se denomina a una poligonal abierta, en la cual sólo 
se conoce el punto de partida y por esto no es susceptible de compro-
bación. 
LOS ERRORES 
No se puede medir exactamente ninguna magnitud; por perfectos que 
sean los procedimientos y aparatos que se empleen; cada medida que se 
6 Curso básico de topografía 
haga estará siempre afectada por un error. Al considerar una magnitud 
cualquiera debemos distinguir en ella tres valores: valor verdaderp, valor 
observado y valor más probable. 
Valor verdadero de una magnitud es el que está exento de todo error; 
y por lo mismo, será siempre desconocido para nosotros. 
Valor observado es el que resulta de la observación o experiinentación, 
después de hechas todas las correcciones instrumentales y del medio en 
que se trabaja. 
Valor más probable de una cantidad es el que más se acerca al valor 
verdadero de acuerdo con las observaciones hechas o medidas tomadas. 
Al referimos a las medidas, es importante distinguir entre exactitud y 
precisión. 
Exactitud es la aproximación a la verdad o bien el grado de confor-
midad con un patrón. 
Precisión es el grado de refinamiento con
que se lee una medida o el 
número de cifras con el que se hace un cálculo. También se define como 
el grado de refinamiento para ejecutar una operación o para dar un 
resultado. 
De estas dos definiciones, compatibles entre sÍ, se sigue, que una medi-
da puede ser exacta sin ser precisa, y viceversa. Por ejemplo, una distancia 
puede medirse cuidadosamente con una cinta, aproximando hasta los 
milímetros, y tener; sin embargo, un error de varios centímetros por ser 
incorrecta la longitud de la cinta. La medida es precisa, pero no exacta. 
Fuentes de error 
Una de las funciones más importantes del ingeniero es obtener medidas 
que estén correctas dentro de ciertos límites de error, fijados por la Natu-
raleza y objeto del levantamiento, para lo que se requiere que conozca las 
fuentes de error, el efecto de los diferentes errores en las cantidades obser-
vadas, y esté familiarizado con el procedimiento necesario para mantener 
la precisión requerida. 
En las medidas hechas en topografía no es posible tener el valor exacto 
a causa de los inevitables errores inherentes al operador, a la clase de 
instrumentos empleados y a las condiciones en que se efectúa la medida. 
Los errores personales se producen por la falta de habilidad del obser-
vador para leer los instrumentos. La apreciación de una lectura en una 
cinta, por ejemplo, depende de la agudeza visual del observador y se 
~ff 
.5 
Generalidades 7 
comprende que a causa de la imperfección de nuestros sentidos, nOo es pOosi-
ble que se pueda hacer una coincidencia perfecta 00 una lectura exacta. 
Los errores instrumentales se Ooriginan por las imperfecciOones 00 ajuste 
defectuoso de los instrumentOos con que se toman las medidas. 
Los errores naturales se deben a las variaciOones de los fenómenos de 
la Naturaleza comOo la temperatura, la humedad, el viento, la gravedad, la 
refracción atmosférica y la declinación magnética. 
Clases de errores 
Error verdadero es la diferencia entre el valOor verdaderOo de una canti-
dad y el OobservadOo, razón por la que siempre será descOonocido para nos-
Ootros; y como lOo único que llegamos a conocer es el valor más probable; 
es decir, el más cercanOo al verdadero, la diferencia entre este valOor y el 
observado se designa cOon el nombre de error residuo o residuo simplemente. 
Los errores pueden dividirse en sistemáticos y accidentales. 
Errores sistemáticos son aquellos que siguen siempre una ley definida 
física o matemática y, mientras las cOondiciones en que se ejecutan las 
medidas permanezcan invariables, tendrán la misma magnitud y el mismo 
signo algebraico; por tantOo, son acumulativos. La magnitud de estos errOores 
se puede determinar y se eliminan aplicandOo métodos sistemáticos en el 
trabajOo de campo o correcciones a las medidas. 
Los errores sistemáticos pueden ser instrumentales, persOonales o 
naturales. 
Errores accidentales son los que obedecen a una combinación de causas 
que no alcanza el Oobservador a controlar y para las cuales no es posible 
obtener correcciones; para cada Oobservación la magnitud y signOo alge-
braico del errOor accidental dependen del azar y no pueden calcularse. Como 
todos los errOores accidentales tienen las mismas probabilidades de ser 
positivos que negativos, existe ciertOo efectOo compensador y por ellOo muchos 
de lOos errOores accidentales se eliminan. Los errores accidentales sólo se 
pueden reducir por mediOo de un mayor cuidado en las medidas y aumen-
tando su númerOo. 
Eq uivocaciones 
Una equivocación es una falta involuntaria · Ooriginada por el mal criterio, 
falta de cuidado o de conocimientos, distracción o confusión en la mente 
del OobservadOor. 
Las equivocaciones no pertenecen al campOo de la teoría de los errores 
y, a diferencia de éstos, nOo pueden cOontrolarse y estudiarse. Las equivOoca-
ciOones se encuentran y se eliminan comprobandOo todo el trabajOo. 
8 Curso básico de topografía 
Discrepancia 
Una discrepancia es la diferencia entre dos medidas de la mjsma magni-
tud: distancia, ángulo o desnivel. 
Valor más probable 
El valor más probable de una magnitud medida varias veces, en idénti-
cas condiciones, es el promedio de las medidas tomadas o media arit-
mét:'ca. 
Esto se aplica tanto a ángulos como a distancias y desniveles. 
Comprobaciones 
En todo trabajo de topografía, se debe buscar siempre la manera de 
comprobar las medidas y los cálculos ejecutados. Esto tiene por objeto 
descubrir equivocaciones y errores, y determinar el grado de precisión 
obtenic3. 
Tolerancia 
Se entiende por tolerancia el error máximo admisible en la medida de 
ángulos, distancias y desniveles. 
~ff • 
CAPÍTULO 11 
PLANIMETRíA 
Se llama planimetría al conjunto de los trabajos efectuados para tomar 
en el campo los datos geométricos necesarios que permitan construir una 
figura semejante a la del terreno, proyectada sobre un plano horizontal. 
Levantamientos planimétricos 
Estos levantamientos pueden ejecutarse de varias maneras: 
Con cinta exclusivamente. 
Por medio de poligonales, determinando las longitudes de los lados y 
los ángulos que éstos forman entre sí; y 
Por triangulaciones, cubriendo la zona que se va a levantar, con redes 
de triángulos ligados entre sí. Por lo regular este método se elliplea en el 
levantamiento de grandes extensiones de terreno, y se hace la medida 
directa de uno de sus lados que se denomina base, así como la de los 
ángulos de los triángulos. 
Los levantamientos planimétricos por medio de poligonales, se clasi-
fican como sigue: 
Levantamientos con brújula y cinta. 
Levantamientos con tránsito y cinta. 
Levantamientos con tránsito y estadia. 
Levantamientos con plancheta. 
Medida directa de distancias 
En topografía, se entiende por distancia entre dos puntos la distancia 
horizontal. La medida directa de una distancia consiste en la aplicación 
material de la unidad de medida a lo largo de su extensión. El método 
más común de determinar distancias es con la medida directa por medio 
de la cinta. 
9 
10 Curso básico de topografía "~UéH¡~# 
.5 
Medidas con cinta 
El equipo que se emplea en la medida directa de distancias es el 
siguiente: 
Cinta de acero de 20, 30 o 50 metros de longitud, graduadas en 
centímetros; generalmente tienen una anchura de 7.5 milímetros. 
Cinta de lona en la que se han entretejido alamLres delgados de latón 
o de bronce para evitar que se alargue. 
Cinta de metal invar, de uso general para medidas muy precisas. E1 
invar es una aleación de acero y níquel a la que afectan poco los cambios 
de temperatura. La dilatación térmica de la cinta de metal invar es apro-
ximadamente la décima parte de las cintas de acero. 
Balizas de metal, madera o fibra de vidrio. Son de sección circular, 
tienen una longitud de 2.50 m y están pintadas de rojo y blanco, en 
tramos alternos de medio metro. Las de madera y las de fibra de vidrio 
están protegidas en el pie por un casquillo con punta de acero. Se usan 
como señales temporales para indicar la posición de puntos o la dirección 
de líneas. 
Fichas de acero de 25 a 40 cm de 10ngitud. Se emplean para marcar 
los extremos de la cinta durante el proceso de la medida de la distancia 
entre dos puntos que tienen una separación mayor que la longitud de la 
cinta empleada. Un juego de fichas consta de 11 piezas. 
Plomadas, generalmente de latón, de 280 a 450 gramos, provistas de 
una punta cambiable de acero de aleación resistente al desgaste, y de un 
dispositivo para ponerles un cordón que queda centrado. En roca o pavi-
mento pueden marcarse los puntos con crayón o pintura de aceite. 
Medidas de distancias sobre terreno horizontal 
Para medir la distancia entre dos puntos del terreno, previamente se 
materializan los extremos de la línea. La medida exige dos operadores: 
el zaguero o cadenero de atrás y el delantero o cadenero de adelante. 
La operación se realiza en la forma siguiente: 
El zaguero contará las fichas y entregará al delantero 10 de ellas; 
tomará la cinta colocando la marca
cero en coincidencia con el eje de 
la ficha inicial, mientras el delantero tomando el otro extremo de la cinta 
se encaminará en la dirección de la línea por medir y atenderá las indi-
Planimetría 11 
caciones del zaguero para que la cinta quede alineada. Durante el proceso 
de alinear, el cadenero de adelante está a un lado, frente a la línea, soste-
niendo firmemente la cinta; con una mano coloca la ficha verticalmente 
en línea y con la otra mantiene la cinta estirada y la pone en contacto con 
la ficha. Como comprobación, vuelve a estirar la cinta y verifica que el 
extremo de las graduaciones de la cincta coincida con el eje de la ficha 
plantada. Entonces grita "bueno"; y el cadenero de atrás suelta la cinta; 
el de adelante avanza; y de esta manera se repite el proceso. 
Al partir, el zaguero recoge la ficha. De esta manera, siempre hay una 
ficha en el terreno, y el número de fichas que trae el zaguero indica en 
cualquier tiempo el número de puestas de cinta del origen a la ficha que 
está en el terreno. 
Cuando el delantero llegue al extremo de la línea que se está midiendo, 
hará la lectura de la fracción correspondiente. 
La distancia total medida se obtendrá multiplicando el número de 
fichas que recogió el zaguero por la longitud de la cinta y añadiendo la 
fracción leída en el extremo de la línea. 
Para distancias largas, se usan generalmente 11 fichas de las cuales 
10 recoge el cadenero de atrás; cuando el zaguero comprueba que ya 
tiene 10 fichas volverá a entregarlas al delantero. Si se opera con una 
cinta de 20 metros, por ejemplo, cada cambio o tirada corresponderá a 
200 metros medidos. 
Medidas de distancias sobre terreno inclinado 
Cuando la pendiente del terreno es muy variable, se emplea el método 
llamado de escalones, presentándose los dos casos siguientes: 
Terreno descendente. A partir del punto inicial el zaguero colocará 
~l extremo de la cinta en el suelo y en coincidencia con dicho punto y el 
delantero manteniendo la cinta horizontal, a ojo, ejercerá tensión sobre 
ella de manera que se reduzca al mínimo la curvatura que toma bajo la 
acción de su peso; cuando el delantero es é alineado, utilizando una ploma-
da, marcará el punto del terreno, en el sitio señalado por la punta de la 
plomada, y colocará la ficha correspondiente. 
El zaguero se trasladará entonces en esa dirección y comenzará la 
medida siguiente en la forma indicada. 
Este procedimiento adolece de que la horizontalidad de la cinta exten-
dida es aproximada, porque se estima a ojo. 
Terreno ascendente. Cuando la medida se realiza en terreno ascen-
dente, además del error por la horizontalidad aproximada de la cinta, 
se comete otro debido a que la baliza plantada al lado de cada ficha no se 
encuentra en posición vertical. En este caso el zaguero levantará la cinta, 
manteniéndola a 10 largo de la baliza, hasta que el delantero, teniendo la 
12 Curso básico de topografía 
cinta horizontal a ojo, haga contacto con el suelo y una vez alineado por 
el zaquero coloque la ficha. Si se requiere mayor precisión debe usarse 
la plomada en vez de la baliza. 
Si la pendiente del terreno es constante, la cinta puede ponerse paralela 
al terreno, y deberá medirse también el ángulo vertical o la pendiente para 
calcular posteriormente la distancia reducida al horizonte o sea la proyec-
ción horizontal de la distancia medida. 
Errores en la medida de distancias con cinta 
SISTEMÁ TICOS 
Longitud incorrecta de la cinta. Se determina, por longitud de cinta, 
comparándola cm: un patrón. 
Si la longitud de la cinta es mayor que la correcta, el error es negativo 
y, por tanto, la corrección será positiva y viceversa. 
Catenaria. Se comete este error cuando la cinta no se apoya sobre 
el terreno sino que se mantiene suspendida por sus extremos, formando 
entonces una curva llamada catenaria. Este error es positivo y se elimina 
aplicando la corrección calculada. 
Alineamiento. incorrecto. Se produce este error cuando la alineación 
se separa de la dirección verdadera. Es positivo y, en consecuencia, la 
corrección es negativa. Este error es de poca importancia, pues una des-
viación de 2 cm en 20 m, apenas produce un error de 1 mm. 
Inclinación de la cinta. Si se opera en terreno quebrado hay que colo-
car a ojo, en posición horizontal, toda la cinta o parte de ella. El error 
es positivo, por tanto, la corrección debe aplicarse con signo contrario 
al error. 
Variaciones de temperatura. Los errores debidos a las variaciones de 
temperatura se reducen mucho utilizando cintas de metal invar. La cinta 
se dilata al aumentar la temperatura y se contrae cuando la temperatura 
disminuye; en el primer caso el error es positivo y negativo en el segundo. 
Variaciones en la tensión. Las cintas, siendo elásticas, se alargan 
cuand9 se les aplica una tensión. Si ésta es mayor o menor que la que 
se utilizó para compararla, la cinta resultará larga o corta con relación 
al patrón. Este error sistemático es despreciable excepto para trabajos 
muy precisos. 
ACCIDENTALES 
De índice o de puesta de ficha. Consiste este error en la falta de 
coincidencia entre el punto terminal de una medida y el inicial de la si-
guiente. Se evita colocando las fichas en posición vertical. 
~r»ff 
.5 
Planimetría 13 
Variaciones en la tensión. En los trabajos comunes la tensión que 
se da a la cinta es la natural ejercida por los cadeneros, y puede ser 
mayor o menor que la usada en la comparación de la cinta con el patrón. 
Apreciación de fracciones al leer las graduaciones. Este error se co-
mete al hacer las lecturas de las fracciones, por no coincidir las marcas 
colocadas en el terreno con las graduaciones de la cinta. 
TOLERANCIAS EN MEDIDA DE DISTANCIAS CON CINTA 
1 Q Si no se conoce la distancia entre dos puntos, puede determinarse 
midiéndola en los dos sentidos; es decir, de ida y regreso. 
En este caso la tolerancia se calcula aplicando la fórmula siguiente: 
en la cual: 
T = 2e ~ ~L 
T = tolerancia, en metros. 
e = error cometido en una puesta de cinta, en metros. 
L = promedio de medidas, en metros. 
1 = longitud de la cinta empleada, en metros. 
(1) 
Error: Si se hacen dos o más medidas, el error de cada una de ellas 
es la diferencia con el promedio aritmético de medidas, o valor más pro-
bable. 
2Q Si se conoce la verdadera longitud de la línea, la cual puede haber 
sido obtenida por métodos más precisos, y después se tiene que volver a 
medir la distancia, por ejemplo, para fijar puntos intermedios, la tole-
rancia está dada por la fórmula: 
siendo: 
T = tolerancia, en metros. 
e = error cometido en una puesta de cinta, en metros. 
L = longitud medida, en metros. 
1 = longitud de la cinta, en metros. 
K = error sistemático por metro, en metros. 
(2) 
El error está dado por la diferencia entre la longitud conocida y la 
longitud media. 
14 Curso bási:o de topografía 
Los valores de "e" y "K" pueden tomarse de la tabla de valores expe-
rimentales que figuran en el libro MÉTODOS TOPOGRÁFICOS del Ing. Ricar-
do Toscano: 
Condiciones de las medidas e (metros) K (metros) 
Terreno plano, cinta bien comparada y alinea-
da, usando plomada y corrigiendo por tem-
peratura 0.015 0.0001 
Terreno plano, cinta bien comparada 0.02 0.0003 
Terreno quebrado 0.03 0.0005 
Terreno muy quebrado 0.05 0.0007 
PROBLEMAS 
1. En la medida de una distancia, en terreno quebrado, usando una 
cinta de 50 m, se obtuvieron los dos valores: 
Ll = 150.04 m (ida) y L 2 = 150.08 m (regreso) 
Calcular el error cometido, la toleran'cia y el valor más probable 
de la distancia medida, indicando sí se acepta el resultado o debe 
repetirse la medida. 
DATOS: 
Ll = 150.04 m 
L,2 = 150.08 m 
Terreno quebrado 
1 = 50 m 
L = valor más proba-
ble de la distancia 
medida = ? 
E = error = ? 
T = tolerancia = ? 
SOLUCIÓN 
Designemos por L el valor más probable: 
Ll + L 2 = 150.06 m L = 2 
E = Ll - L = 150.04 -
~ff 
.5 
150.06 = - 0.02 m 
E = L 2 - L = 150.08 -
150.06 = + 0.02 m 
E = +0.02 m 
T = 2e~ ~L = 2(0.03)
~ 2 X 5~0.06 = +0.06~ 300~12 
T = +0.15 m 
Planimetría 1 S 
Se acepta el resultado, porque: E < T 
Y el valor más probable para la distancia medida: L = 150.06 m 
2. La distancia entre dos puntos, en terreno plano, es de 298.10 m. 
Con una cinta comparada, de 30 m, y corrigiendo por temperatura 
al medir esta distancia resultó de 298.02 m. ¿Es correcta la medi-
da o debe repetir-se? 
SOLUCIÓN 
Longitud conocida = 298.10 m 
Distancia medida = 298.02 m 
Terreno plano 
Longitud de la cinta = 30.00 m 
Error = 298.10 - 298.02 = 0.08 m 
Tolerancia = 2 ( 0.015 ~ 29:002 + 0.0001 X 298.02 ) 
= 0.03~29~~02 + 0.0002 X 298.02 = 0.0945 + 0.0596 
Tolerancia = 0.15 m 
La medida es correcta, porque: E < T. 
3. En terreno muy quebrado, se empleó una cinta de 20 m para medir 
una distancia, obteniéndose los siguientes resultados: 
Ll = 120.38 m (ida) 
L 2 = 120.06 m (regreso) 
Si se acepta el resultado, ¿cuál es el valor más probable de la dis-
tancia? 
SOLUCIÓN 
120.38 + 120.06 
Error = 120.38 - 2 = 120.38 120.22 = +0.16 m 
Error = 120.06 -- 120.22 = -0.16 m 
E = -+-0.16 m 
Tolerancia = 2(0.05) ~ 2 X ;gO.22 = 0.1 v' 12.022 = -+-0.35 m 
T = -+-0.35 m 
E < T por tanto, el valor más probable para la distancia medida 
es: L ,= 120.22 m. 
16 Curso básico de topografía 
PROBLEMAS RESUELTOS CON CINTA 
Trazo de perpendiculares 
A. Levantar una perpendicular en cualquier punto sobre una línea. 
1. Se puede determinar dicha perpendicular por medio de_ID!... trián-
gulo rectángulo cuyos lados estén en la proporción~:I\ pues 
un triángulo en el que se cumple esta condición, siempre es rec-
tángulo. En efecto: 
(5n)"l = (4n)2 + (3n)2 
Al emplear este método, la distancia correspondiente a uno de 
los catetos se mide a lo largo de la línea de referencia. Si un 
cadenero junta la extremidad O de la cinta con la marca de 12 
metros y otro cadenero la detiene en la marca de 3 metros, y 
un tercero en la de 7 metros, y se mantiene tensa la cinta, se 
estará formando un triángulo rectángulo. (Fig. NQ 1.) 
~ff 
.5 
A . ~ IV~ &( 
3m. 
Figura 1 
4m. 
B 
Este procedimiento tiene los inconvenientes de que se requieren 
tres personas y que la cinta no se puede doblar completamente 
en los ángulos del triángulo. 
2. Desde un punto cualquiera P, descríbase un arco de círculo con 
un radio P A, intersectando MN en C. El punto B de la perpendicu-
lar AB a la línea MN se encuentra prolongando CP; es decir, B 
se halla en línea con CP y PB = CP. (Fig. NQ 2.) 
2 
I 
/ 
I 
P ~ 
/ 
/ 
/ 
Planimetría 17 
M __ ----______ ~~--------~~~------------
e A 
Figura 2 
Por ejemplo, si se usa una cinta de 30 metros, establézcase el punto 
P a 15 metros desde A, deteniendo la marca O en A. 
El punto e se encuentra, manteniendo en P la marca 15 metros 
e intersectando la línea MN con la extremidad O de la cinta; tenien-
do luego la marca O de la cinta en e, con la marca 15 aún en P, 
prolónguese la cinta hasta que la marca 30 metros determine el 
punto B. 
3. La perpendicular AB al alineamiento MN se puede trazar también, 
midiendo distancias iguales a uno y otro lado del punto A. (Fig. 
NQ 3.) 
Se eligen dos puntos B y e, de tal manera que AB = Ae; con 
la cinta se trazan arcos de igual radio, haciendo centro en B y e. 
La intersección de los arcos será el punto D de la perpendicular 
buscada. 
D 
~1 ________ *-__ +-~ __ ~ __ ~ __ ~~/ ______ __ 
B A 
Figura 3 
AB = Ae 
BD = eD 
18 Curso básico de topografía 
B. Desde un punto exterior a un alineamiento bajar una perpendicular a 
éste. 
1. Bajar del punto D la perpendicular DA al alineamiecto MN. (Fig. 
NQ 4.) 
Con un radio arbitrario, mayor que AD, trácense las intersecciones 
en B y en C sobre el alineamiento MN. Mídase la distancia BC 
y materialícese el punto A J pie de la perpendicular" buscada, to-
mando a partir de B, sobre la línea MN, la distancia BA = ~ BC. 
~ff 
.5 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
X 
D 
\ 
\ 
\ 
j 
\ 
\ 
\ 
M: .... ((< //:lo < j90
0 
'- I \/ 
~ ----- .. 
B A C 
Figura 4 
-N 
2. Este problema puede resolverse también de la manera siguiente 
(Fig. NQ 5): 
/ 
j\ 
ci 
/, Be = CD 
j \ \ 
/ 
M , / ~o~\l/ :>- N 
B A 
Figura 5 
Planimetría 19 
Tómese un punto B arbitrario sobre el alineamiento y materialícese 
el punto medio C de la distancia BD. Luego, con centro en C y 
radio igual a CB, trácese el arco CA. El punto A de intersección 
de este arco con el alineamiento M N es el pie de la perpendicular 
buscada. 
3. Del punto D bajar una perpendicular a la línea MN. (Fig. NC? 6.) 
Fíjese uno de los extremos de la cinta en el punto D y movién-
dola a lo largo de la línea MN, la menor lectura de la cinta 
determinará el punto A, pie de la perpendicular DA al alinea-
miento MN. 
/ 
/ 
/ 
I 
I 
I 
I 
/ 
D 
~--------~~--~--~~--~~--------
Figura 6 
Trazo de paralelas 
N 
1. Por un punto C trazar una paralela al alineamiento MN. (Fig. 
NQ 7.) 
e 
M ____ ~ __ +_--------------~~-------
p Q 
Figura 7 
20 Curso básico de topografía 
Determínese y mídase la perpendicular CP a la línea MN 
desde el punto dado; luego, en algún otro punto de la línea, como 
el Q~ levántese la perpendicular QD al alineamiento MN · Y mídase 
QD = CP. El punto D pertenece a la paralela buscada. 
2. Si se quiere trazar por C una paralela a MN (Fig. NC? 8), escójase 
un punto P sobre la línea dada y materialícese el punto Q a la 
mitad de la distancia CP. Se marca otro punto, como el R, sobre 
la línea MN; se mide la distancia RQ y se prolongá, midiendo 
QD = RQ. 
Así se encuentra el punto D por el cual pasa la paralela CD 
a la línea MN. 
\ 1 N 
R p 
Figura 8 
3. En el caso de la figura NC? 9, a partir del punto A, marcado 
~ff 
.5 
~~1 ; V \' N 
A B 
Figura 9 
Planimetría 21 
sobre el alineamiento MN, se mide la distancia AC y se prolonga, 
materializando el punto O, de tal manera que CO = AC; luego 
se mide la distancia OB, cuyo punto medio D pertenece a la 
paralela CD al alineamiento MN. 
Trazo de alineamientos entre puntos invisibles uno de otro 
1. Si entre ambos puntos M y N, existe un obstáculo cualquiera, se 
traza la línea MP que salve el obstáculo y del punto N se baja 
la perpendicular NQ a la línea MP. Se eligen, convenientemente, 
sobre la línea MQ, los puntos a, b, e ... y se miden las distancias 
MQ, NQ, Ma, Mb, Me. .. Comparando los triángulos semejan-
tes formados, se encuentran las distancias aa', bb', ce' . .. , cuyos 
extremos a', b', e' . .. corresponden al alineamiento MN. 
M " ~b'~' _ _ a,' .,/ e ___ _ . . d " 
o 
Figura 10 
ASÍ, de la proporción: 
aa' _ bb' _ ce' _ NQ _ 
~-- -~----K 
Ma Mb Me MQ 
se deduce: aa' = NQ Ma = K . Ma 
MQ 
bb' = K' Mb 
ce' = K· Me 
N 
(1) 
2. Si se interpone una colina entre los puntos M y N (Fig. NQ 11), 
se emplean dos baliceros, los cuales se sitúan en puntos tales, como 
A y B, que desde ellos se vean M y N. 
22 Curso básico de topografía 
M 
El balicero situado en A, alínea al ubicado en B con el extre-
mo N de la línea; y el que se halla en B, alínea al situado en A 
en la dirección de M; y así prosiguen sucesivamente hasta que los 
cuatro puntos queden en línea recta. 
-- ---- ------- - ---flm7hA" ...... --- - -- - --
~UC#lDff 
~ 
Figura 11 
Intersección de alineamientos 
Para materializar en el terreno la intersección de los alinea-
mientos MN y PQ (Fig. N9 12), márquense sobre uno de ellos, 
dos puntos que estén situados a ambos lados del otro alineamiento, 
como los puntos A y B de la figura. Luego, extiéndase la cinta 
o un cordel entre A y B, marcando la línea AB en el terreno y 
sobre ésta se localiza el punto 1, üitersección de los dos alinea-
mientos. 
~M 
"- , 
P >( 
/ 
/ 
Figura 12 
;ft 
, 
B " 
''1( N 
Planimetría 23 
Determinación de distancias a puntos inaccesibles pero visibles 
1. Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible. 
(Fig. NQ 13.) 
A ~~--------~ p 
Figura 13 
El problema se resuelve, trazando AP perpendicular a la línea 
AB y bajando de A la normal A Q a la línea BP; se miden las
distancias AP, AQ Y PQ Y se calcula la distancia AB. 
Comparando los triángulos semejantes BAP y AQP, se en-
cuentra: 
AQ-AP 
AB = PQ 
2. Determinar la distancia A B al punto B inaccesible, pero visible. 
(Fig. NQ 14.) 
Se trazan AP y CQ perpendiculares a la línea AB y se miden 
las distancias AP, CQ yAC: 
Los triángulos semejantes BA P Y QQ'P, permiten establecer 
la proporción: 
( 1 ) 
24 Curso básico de topografía 
B 
~ . \ 
~ 
==t-~:-5· 
I \ 
......,., ¡. \. \ 
\ 
E=--=~ -X·_-
e 
\ 
\ 
Q 
~ff 
~ AY'~ ! ''f' P 
Q' 
Figura 14 
Ahora bien, en la figura se ve que: 
QQ' =AC 
Q'P =AP - CQ } 
por tanto, sustituyendo (2) en (1), se encuentra: 
AB AC 
AP - AP - CQ 
AP'AC 
AB = AP - CQ 
Medida de distancias salvando un obstáculo 
(2) 
1. Para hallar la distancia AB (Fig. NQ 15) se forma un triángulo 
AL ~~~~~..- \'B 
Figura 15 
Planimetría 25 
rectángulo, bajando del punto B la perpendicular BP a la línea 
AP; y se miden los catetos AP y BP. 
AH = V (AP)' + (HP) ' I 
2. También se puede determinar la distancia AB, por triángulos 
semejantes (Fig. NQ 16). Para aplicar este procedimiento- se elige 
.B 
~--------------~¡~.~\,~\~~~------~ 
Figura 16 
un punto C desde el cual se vean los puntos A y B . Se I1l iden 
AC y BC y se marcan D y E, de manera que CD tenga con CA. 
la misma relación que CE tiene respecto a CR. Se miden DE \' 
CD. De la propoTción: 
se obtiene: 
AB AC 
DE - eD 
AB = AC' DE 
CD 
Trazo de ángulos con cinta 
1. Para trazar el ángulo a (Fig. NQ 17), sobre la línea base se mide 
la distancia AC y se calcula la normal BC. El punto B se marca 
en el terreno y determina la dirección del lado A B 4ue con la 
línea A C forman el ángulo .a. 
I BC = AC tan a 
26 Curso básico de topografía 
línea base-"¡ 
A e 
Figura 17 
2. El ángulo a se puede trazar también por el método de la cuerda 
(Fig. NQ 18). 
/~J-nff 
~ 
e 
Figura 18 
La cuerda se calcula aplicando la fórmula siguiente: 
1 BM 2BM 
sen 2 a = AC 2AC 
BC 
2AC :. \ BC = 2AC sen ~ a 
Escogida convenientemente la distancia AC = AB, Y calculada 
la cuerda BC, podrá materializarse el punto B y el ángulo a que-
dará trazado. 
Planimetría 27 
PROBLEMAS NUMERICOS 
1. Para levantar la perpendicular AB al alineamiento MN, se suje-
taron los extremos de la cinta, en los puntos A y C del terreno. 
Si se usó una cinta de 50 metros y se juntaron las marcas de 25 
y 30 metros en el punto B ¿qué distancia existe entre A y C? 
(Fig. N<'> 19). 
30 
rJ_._._.~ .---. 900 .¡ 50 . ...... ---- N 
e A 
Figura 19 
(Sujetando los extremos de la cinta este trabajo lo puede 
ejecutar una sola persona.) 
SOLUCIÓN 
AC = V (BC)2 - (AB)-2 = V (25)2 - (20) 2 = \1'225 
AC = 15 m I 
2. Calcule la distancia AB con los datos de la figura siguiente: 
AM = 38.50 m 
CN = 29.10 m 
AC = 15.80 m 
AB = ? 
SOLUCIÓN 
Trácese NQ / / AC y compárense los 6. semejantes BAM y 
NQM. 
28 Curso básico de topografía 
A 
Q 
M 
./ 
,/ 
/' 
/' 
N 
t/ 
/' 
./ 
Figura 20 
__ ~/B 
.// 
AB _NQ 
---
AM MQ 
AB = AM·NQ AM·AC 
AM-CN 
Si se sustituyen los datos en (1), se obtiene: 
AB = 38.5 X 15.8 = 608.3 
38.5 - 29.1 9.4 
AB = 64.71 m 
(1) 
3. Con el vértice A del ángulo a como centro, se hizo girar la cinta, 
colocándose fichas en los puntos M y N donde el arco intercepta 
los lados AB y AC del ángulo. Se midió la cuerda MN y se 
conoce el radio de giro de la cinta. ¿Cuál es el valor del ángulo 
a? (Fig. NQ 21). 
~ff 
.5 
B 
MN = 15.76 m 
AM = 30.00 m 
A p,wE:: J l' e 
Figura 21 
DATOS: 
SOLUCIÓN 
MN = 15.76 m 
AM =30.00 m 
1 
1 "2 MN 7.88 
sen'2 a = AM = 30 = 0.26266 
~a = 15°14' 
2 
Planimetría 29 
4. Para determinar la distancia AB al punto B inaccesible, pero visi-
ble (Fig. NQ 22), se trazaron AP perpendicular a la línea AB 
p 
Figura 22 
y AQ normal a la línea BP, y se midieron AP, AQ Y PQ. De esta 
manera se tienen elementos suficientes para obtener la distan-
cia AB. Calcúlela. 
DATOS: 
SOLUCIÓN 
AP =24.00 m 
AQ =21.70 m 
PQ = 10.25 m 
AB = ? 
Los triángulos rectángulos BAP y AQP son semejantes, por 
tanto, se puede establecer la proporción: 
30 Curso básico de topografía 
AB _AQ 
AP - PQ 
A - AQ'AP _ 21.7 X 24 
B - PQ - 10.25 
AB = 50.81 m 
5. ¿Qué longitud debe tener la perpendicular CB a la línea AB, para 
que el ángulo ,a sea de 25°30'? 
~ff 
.5 
A 
0' := 25° 30' 
B 
Figura 23 
Se midió la distancia: A B = 20.00 m. 
SOLUCIÓN 
BC = AB tan ,a = 20 tan 25°30' 
BC = 20(0.47698) = 9.54 m 
I BC = 9.54 m I 
6. ¿A qué distancia del punto auxiliar C, sobre CB, se debe situar 
el punto E, para que los triángulos ACB y DCE sean semejantes 
(Fig. N9 24) y, una vez medida la distancia DE, pueda calcu-
larse AB? 
DATOS: 
SOLUCIÓN 
AC = 42.00 m 
CD = 15.00 m 
CB = 31.60 m 
CE = ? 
CE CD 
CB CA 
e 
Figura 24 
CE = CD·CB 
CA 
CE = 11.29 m 
Planimetría 31 
B 
15 X 31.6 
42 
LEVANTAMIENTOS CON CINTA 
Estos levantamientos se emplean cuando el terreno es sensiblemente 
horizontal, descubierto y accesible. El levantamiento de un terreno con la 
cinta se efectúa dividiéndolo en triángulos y tomando suficientes medidas 
de los lados, alturas y ángulos de los triángulos que permitan calcular el 
resto de lados y ángulos necesarios para dibujarlo yca1cular las superficies. 
Para fijar las posiciones de puntos del terreno, se traza una figura lla-
mada polígono de base o poligonal, que siga aproximadamente el perímetro 
del terreno que se desea levantar. 
El polígono de base se transforma en una figura rígida dividiéndolo en 
triángulos bien conformados; es decir, lo más cerca posible del equilátero 
y evitando ángulos menores de 20°. 
El levantamiento con cinta, comprende dos clases de trabajos: de cam-
po y de gabinete. 
A. TRABAJO DE CAMPO. Este incluye las operacIOnes siguientes: 
1. Reconocimiento del terreno donde se ejecutará el levantamiento, 
para elegir el método adecuado, estimar el tiempo y el personal necsarios, 
definir los vértices del polígono de base, etc. 
32 Curso básico de topografía 
2. Materialización de los vértices del polígono de base, por medio de 
estacas, marcas sobre roca o pavimento, fichas, etc. 
3. Elección del método que se aplicará en el levantamiento. 
4. Dibujo del croquis del polígono de base, orientado aproximada-
mente. 
5. M edición de los lados del polígono de base y de las líneas auxi-
liares (radiaciones, diagonales, líneas de liga, etc.), empleadas para dividir 
en triángulos el polígono de base. 
6. Medición de las distancias necesarias para el levanltamiento de 
detalles con relación al polígono de base. 
Los datos recogidos en el levantamiento deberán anotarse en forma clara 
y ordenada en la libreta de campo, al mismo tiempo que se ejecuta el 
trabajo. Se deberá utilizar un lápiz 3H o 4H con buena punta. 
La libreta de campo debe tener papel de buena calidad, con una pasta 
dura, y ser del tamaño adecuado para llevarla en el bolsillo. En general, 
los datos numéricos se escriben en las páginas del lado izquierdo; los 
croquis y las notas aclaratorias en las de la derecha. 
Los números deberán ser claros; y no se deberá anotar un número 
sobre otro. Los datos numéricos no deben borrarse; si un número está equi-
vocado, se le trazará una raya encima y el valor corregido se colocará 
arriba. 
Los croquis se dibujan a mano libre y son la guía y base para la 
con3trucción del plano. 
Las notas aclaratorias se emplean para explicar lo que los datos numé-
ricos y los croquis dejan de hacer. 
El registro de campo refleja la competencia del ingeniero y su valor 
depende, en gran parte, de la claridad y lo completo que se haya llevado. 
B. TRABAJO DE GABINETE. Se entiende por trabajo de gabinete la 
ordenación de los datos tomados en el campo y los cálculos que con ellos 
se ejecutan, con objeto de obtener los elementos necesarios para construir 
el plaíD . 
Este trabajo se hace en el orden siguiente: 
1. Cálculo. 
a ) De los ángulos interiores del polígono de base. 
~$ 
~ 
En cada uno de los triángulos en
que se divide el polígono de base, 
los ángulos interiores se calculan aplicando las fórmulas siguientes: 
Planimetría 33 
tan ~ A = .. ! (p - b) (p - e) . 
2 1 p(p - a) , 
tan!. B = J (p - a) (p - c) 
2 ~ p(p - b) 
• $uuen;jflUf/ 
1 e ~ (p - a)(p - b) 
tan- = 
2 p(p - c) 
Como comprobación, la suma de los ángulos calculados debe satisfacer la 
condición geométrica: 
A + B + e = 1800 
Una vez calculados los ángulos interiores de todos los triángulos en 
que se dividió el polígono de base, podrán obtenerse los ángulos interiores 
de éste. 
b) De la superficie del polígono de base. 
Esta se encuentra sumando las superficies de los triángulos en que fue 
dividido el polígono. 
La superficie de cada triángulo se determina por la fórmula : 
S = vp(p - a)(p - b)(p - c) 
En las fórmulas anteriores, a, b y c, son los lados del triángulo y p el 
semipedmetro. 
2. Dibujo. 
a) Antes de construir el plano se debe, en algunas ocasiones, deter-
min!ir la escala que se utilizará. En otros casos la escala, según la finalidad 
del trabajo, ya está especificada. 
La escala de un plano es la relación fija que todas las distancias en 
el plano guardan con las distancias correspondientes en el terreno. 
Se puede expresar por relaciones numér'ica o gráficamente. 
Escala numérica: es la relación de la distancia del plano a la distancia 
correspondiente en el terreno. Una unidad de longitud en el plano representa 
un número determinado de las mismas unidades de longitud en el terreno, 
como: 
1 
1000 
ó 1: 1000 
Escala gráfica es una línea subdividida en distancias del plano que 
corresponden a unidades de longitud en el terreno. (Fig. N<? 25 . ) 
100 50 O 100 200 300 400 500 
Figura 25 
3 
34 Curso básico de topografía 
En la escala gráfica de la figura N9 25, un centímetro representa 
100 metros. 
La fórmula general de la escala es: 
en la cual: 
I 1 
Y-M 
L = longitud medida en el terreno. 
I = longitud en el plano, y 
~ff 
~ 
M = denominador o módulo de la escala. 
b) Construcción del plano. 
De preferencia la parte superior del plano debe representar el norte, 
aunque la forma del terreno levantado, o la dirección de algún detalle prin-
cipal, pueden exigir otra orientación. 
El estilo de letra será sencillo; para datos referentes al terreno se usará 
el tipo romano moderno vertical y para los datos referentes a las aguas 
(lagos, ríos, mares, etc.), el tipo cursivo, dibujados en la proporción que 
se necesite y procurando que sean agradables a la vista. 
La dirección de los letreros en un plano se indica en el esquema siguien-
te (Fig. N9 26): 
Sonora 
~ 
C,) 
~ 
~ 
O 
Figura 26 
Los cuadros de los títulos de los planos se situarán en el ángulo infe-
rior derecho. 
Planimetría 35 
Un título de un plano debe contener todos los datos que se necesiten 
de los que a continuación se citan. 
Clase del plano. 
Objeto del plano, si se representan detalles especiales. 
Localización del terreno levantado. 
Nombre del propietario. 
Escala del plano (a menos de que se ponga en otra parte). 
Fecha. 
Nombre del iegeniero responsable. 
Los datos que deben aparecer en los planos topográficos son: 
La longitud de cada lado del polígono. 
El ángulo entre cada par de lados consecutivos. 
La superficie del terreno incluido. 
El nombre del propietario del terreno y de los propietarios de los 
terrenos adyacentes al levantado. 
La dirección de la meridiana (magnética o astronómica). 
La escala. 
Símbolos o clave de símbolos que no sean de los correspondientes a 
signos convencionales. Un símbolo es un diagrama, dibujo, letra o abrevia-
tura que por convención se supone que representa una característica espe-
cífica u objeto y su tamaño deberá ser en cierta forma proporcional a 
la escala del plano. 
Los dibujos a lápiz y los provisionales se hacen en papel de manila. 
Para planos, en general, es conveniente usar el papel de calca o la tela 
de calca. 
Los instrumentos de dibujo son: 
EscaIímetros, de sección triangular, con seis escalas. 
Regla de acero niquelada o de acero inoxidable, de un metro de longi-
tud, con una de sus aristas longitudinales achaflanada. 
Juego de escuadras. 
Transportador para medir y trazar ángulos. La forma usual para dibu-
jar planos consiste en un círculo completo o en un arco semicircular de 
metal, celuloide o papel dividido en grados y fracciones de grado. 
Compás de regla para dibujar los arcos de los círculos, con radios 
mayores de 15 cm. 
Máquina de dibujo que combina las funciones de la regla T, la regla, 
las escuadras, escalas y el transportador. 
Las operaciones de la construcción de un plano son, en cierto modo, 
inversas de las operaciones efectuadas para su levantamiento. 
El proceso del dibujo del plano comprende: 
36 Curso básico de topografía 
1. La determinación de los puntos de control que son los vértices de 
la poligonal o polígono de base; y 
2. La localización de los detalles del plano, empleando medidas 
angulares y lineales de los lados y vértices del polígono de base. 
METODOS DE LEVANTAMIENTO CON CINTA 
Comúnmente se emplean los siguientes: 
Rarliaciones. 
Diagonales. 
Líneas de liga. 
Prolongación de alineaciones; y 
Coordenadas rectangulares. 
Método de radiaciones 
/.VUff~ff 
~ 
Este método se emplea cuando desde un punto interior del polígono 
de base sea posible ver los vértices de éste y no se dificulte la medida de 
las distancias del punto interior a los vértices. Estas líneas auxiliares se 
denominan radiaciones y con ellas se divide en triángulos el polígono de base. 
Además de las radiaciones, se miden los lados del polígono y los resul-
tados se anotan ordenadamente en el registro de campo, como se indica 
en el ejemplo siguiente (registro 1): 
REGISTRO DE CAMPO 1 
Levantamiento con cinta de 30 me-
tros, por el método de radiaciones 
DISTANCIAS 
Est.1 P.V. 1-----,---------
Ida 
-----1---- -------
o 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
4 
1 
2 
O 
3 
O 
4 
O 
33.53 
31.97 
37.64 
49.98 
29 .23 
47.72 
38.26 
62.91 
33.55 
31.95 
37.64 
49.94 
29.23 
47.72 
38.28 
62.95 
33.54 
31.96 
37.64 
49.96 
29.23 
47.72 
38.27 
62.93 
2.óOm 
MEXICO, D. F. 
20-MAR-72 
Levantó: José Gómez H. 
CROQUIS Y NOTAS 
t 
Planimetría 37 
Est. = ESTACIÓN: vértice desde el cual se hace la observación o medida. 
P.V. = PUNTO VISADO. 
El método descrito puede aplicarse cuando el terreno por levantar es 
de pequeñas dimensiones y suficientemente despejado y debe procurarse 
que los triángulos que se formen difieran poco del equilátero o en su 
defecto del isósceles. 
Método de diagonales 
Consiste este método en dividir en triángulos el polígono de base por 
medio de las diagonales de dicha figura. Las longitudes de los lados del 
polígono y de las diagonales se miden, anotándose los resultados en el re-
gistro de campo. (Registro 2.) 
REGISTRO DE CAMPO 2 
Levantamiento con cinta de 30 me· 
tras, por el método de diagonales 
DISTANCIAS 
Est. P. V.I-----,------,------- I 
o 
1 
2 
2 
3 
3 
4 
4 
O 
1 
2 
O 
3 
1 
4 
1 
O 
3 
Ida Regreso Promedio 
27.80 
33.49 
46.55 
29.67 
57.31 
33.67 
43.78 
28.42 
56.93 
27.82 
33.49 
46.57 
29.67 
57.35 
33.67 
43.82 
28.42 
56.97 
27.81 
33.49 
46.56 
29.67 
57.33 
33.67 
43.80 
28.42 
56.95 
Método de líneas de liga 
ZACATENCO, D. F. 
24-ABR-63 
Levantó: Enrique Zárate 
CROQUIS Y NOTAS 
Cuando el terreno encerrado por la poligonal es de tal naturaleza que 
no permite el empleo de los métodos de levantamiento hasta ahora descritos, 
por la existencia de accidentes naturales o artificiales que impidan ver tres 
vértices consecutivos del polígono de base, el procedimiento indicado en 
tales circunstancias es el conocido con el nombre de método de líneas 
de liga, que consiste en medir los lados del polígono de base y, además, 
las líneas que ligan dos puntos pertenecientes a lados contiguos. El registro 
de campo se lleva como se ilustra en el siguiente ejemplo (registro 3): 
38 Curso básico de topografía 
REGISTRO DE CAMPO 3 
Levantamiento con cinta de 30 me-
tros, por el método de líneas de liga 
DISTANCIAS 
Est. 1 P.V.I---------..,.----
MEJfICO, D, F. 
4-MAY-73 
Levantó: Felipe Zárate 
CROQUIS Y NOTAS 
Ida Regreso 1 Promedio 
----1 1- I 
9.CK> . 1 o 
a 
a 
h 
h 
-1-1 2 I 
b 
c 
b c 
----
2 3 
d 
e 
d e 
----
3 O 
f 
g 
f g 
40.44 
41.65 
Método de alineaciones 
40.46 
41.65 
4.00 
4.00 . 
6.20 
40.45 
4.00 
5.CK> 
5.94 
11.58 
6.00 
6.00 
9.33 
41.65 
5.CK> 
6.00 
6.71 
() 
\,,~e'lfo 
r:.e \\~'IJ. 
~~.ff 
~ 
N 
Consiste este método en encerrar el polígono por levantar dentro de 
un rectángulo director cuyos lados se pueden medir con cinta, y en prolon-
gar los lados del polígono, que pueden ser los muros de una construcción 
o los linderos de una propiedad, hasta su encuentro con los lados del 
rectángulo, y se miden las distancias de los vértices del rectángulo a los 
puntos en que los alineamientos prolongados intersectan los lados del rec-
tángulo, como se indica en el ejemplo siguiente. Se miden también, como 
comprobación, los lados del polígono AB, BC, CD y DA, o bien las dis-
tancias Aa', Aa", Bb', Bb", ... Este método es adecuado para levantar 
perímetros de construcciones irregulares. 
Planimetría 39 
REGISTRO DE CAMPO 4 
Levantamiento eon cinta de 30 me-
tros, por el método de alineaciones 
DISTANCIAS 
Est. P.v. 
Ida Regreso Promedio 
----
M d 6.75 
a" 4.04 
N b' 4.00 
b" 10.61 
P e' 8.30 
e" 3.22 
Q d' 2.50 
d" 7.20 
comprobación: 
A B 49.12 I 49.08 49.10 
B C 26.50 26.50 26.50 
C D 49.01 48.99 49.00 
D A 28.50 28.50 28.50 
Método de coordenadas rectangulares 
ZACATENCO, D. F. 
16-AG0-64 
Levantó: Manuel Ortiz H. 
CROQUIS Y NOTAS 
~----4t!~N 
b" 
c" 
~------------~~~ 
Este es en muchos casos el mejor procedimiento, porque permite fijar 
cada vértice del polígono de base independientemente de los demás. Consiste 
en proyectar todos los vértices del polígono sobre dos ejes rectangulares 
convenientemente elegidos y en medir las distancias del pie de cada per-
pendicular al origen. 
En algunos casos el método se facilita trazando solamente un eje y 
bajando perpendiculares de los vértices del polígono a este eje; entonces 
se miden, a partir del origen, las distancias al pie de las perpendiculares 
y las longitudes de éstas, anotándose los resultados en el registro de campo, 
como se indica en el ejemplo siguiente. 
40 Curso básico de topografía ~Jnff 
.5 
REGISTRO DE CAMPO 5 
Lemntamiento COII cinta por el 
m étodo de coordenadas rectangu-
lares 
COORDENADAS 
Vértices x 
10.00 
2 11.40 
3 30.76 
4 39.79 
5 30.40 
Comprobación: 
1-2 25.47 
3-4 15.93 
4-5 21 .00 
5-1 20.65 
y 
5.00 
30.44 
33 .78 
20.66 
1.86 
.1 
y 
MEXICO, D. F. 
4-SEP-74 
Levantó: Othón Ríos 
CROQUIS Y NOTAS 
N 
~ J.I _. _J I_..l • X 
proyección 
LEVANTAMIENTO DE EDIFICACIONES 
Si se trata de levantar la planta de un edificio, por ejemplo, se pueden 
fijar las ~uatro esquinas de cada habitación o patio, midiendo en cada u.no 
los cuatro lados del perímetro y las diagonales. 
Se facilita este levantamiento, empleando este método en combinación 
con el de coordenadas o el de radiaciones, pero a veces se puede hacer 
todo el levantamiento dividiendo la planta en cuadriláteros y tomando nota 
del espesor de los muros. Sobre los claros, si no son muy grandes, se 
pueden medir las diagonales por dos operadores, de una azotea a otra. 
Si los claros son grandes, puede haber necesidad, en algunos casos, de 
emplear líneas de liga, para tener los ángulos. 
-También pueden levantarse por este método los predios y lotes peque-
ños, en la parte no edificada. 
LEVANTAMIENTO DE DETALLES 
Los detalles se fijan por intersecciones; es decir, por medio de dos 
distancias Fig. NQ 27) o bien por normales a los lados del polígono de 
base o a la prolongación de los lados del polígono. 
poi ígono d.e base 
- 4 ........ 
Planimetría 41 
A--- norm al al 
lado 4-5 
intersecciones 
Figura 27 
PROBLEMAS 
1. Calcular la longitud que tendrá en un plano cuya escala es 1: 10,000 
una línea que en el terreno mide 450 metros. 
DATOS: 
L = 450 m 
M = 10,000 
l = ? 
SOLUCIÓN 
De la fórmula general de la escala: 
l 1 
se deduce: 
L M 
l = .!::... = 450 
M 10,000 
l = 0.045 m 
2. Determinar la longitud en el terreno de una línea medida en el pla-
no. Sea 1 :5,000 la escala del plano, l = 14 mm la distancia medida 
en él, y L su homóloga en el terreno. 
DATOS: 
l = 14 mm 
M = 5,000 
L= ? 
SOL U CIÓN 
L = l ' M ~ 0.014 X 5,000 = 70 m 
I L = 70.00 m 
3. Conocidas la distancia real y la longitud de su homóloga en el 
plano, determinar la escala que se usará para dibujar el plano. 
DATOS : 
L = 128.50 m 
l = 0.065 m 
M= ? 
SOLUCIÓN 
L 128.50 
M = -l = 0.065 = 1976.9 ::::: 2,000 
Se usará la escala 1 : 2,000 I 
-
1'"1 .YO 
+ 50 .'to 
.54.00 -114.80 
.' 
/ 
Il'\.B 
X ,.. -14 q. b 
42 Curso básico de topografía 
4. Calcular los ángulos interiores y la superficie de un terreno trian-
gular cuyos lados se midieron con cinta. 
A 
b 
B 
DATOS 
a;:::: 19.90 m 
a 
b = 50.90 m 
e = 54.00 m 
1 ~ SOLUCIÓN (por logaritmos): e 
a= 19.90 
b = 50.90 
e = 54.00 
2p= 124.80 
p = 62.40 
p - a = 42.50 
p-b= 11.50 
p-c= 8.40 
FÓRMULAS 
tan ! A = ...1 (p - b) (p - e) 
2 1 p(p- a) 
s = yp(p - a)(p - b)(p - e) 
1 
S = -ab sen e 
2 
El cálculo por logaritmos se dispone como sigue: 
log (p - b) = 1.060698 
log (p - e) = 0.924279 
colog p = 8.204815 
colog (p - a) = 8.371611 
A 
2log tan 2" = 18.561403 
A 
log tan 2" = 9.2807015 
~ = 10°48' 
2 
A = 21 °36' 
log (p - a) = 1.628389 
log (p - e) = 0.924279 
colog p = 8.204815 
colog (p - b) = 8.939302 
B 
210g tan 2" = 19.696785 
~ff 
~ 
B 
log tan 2" = 9.8483925 
.!!.. = 35°12' 
2 
B = 70°24' 
Comprobación: 
log (p - a) = 1.628389 
log (p - b) = 1.060698 
colog p = 8.204815 
colog (p - e) = 9.075721 
C 
2log tan 2" = 19.969623 
C 
log tan - = 9.9848115 
2 
~ = 44°00' 
2 
A = 21 °36' 
B = 70°24' 
C = 88°00' 
Planimetría 43 
log p = 1.795185 
lag (p - a) = 1.628389 
Comprobación: 
log a = 1.298853 
log b = 1.706718 
log (p - b) = 1.060698 
lag (p - e) = 0.924279 
2log S = 5.408551 
log S = 2.7042755 
S = 506.1464 m2 I 
log sen C = 9.999735 - 10 
colog 2 = 9.698970 - 10 
log S 22.704276 - 20 
lag S = 2.704276 
S = 506.1464 m2 
2<:l SOLUCIÓN (por funciones naturales): 
tan A - .... /(p - b) (p - e) =....1 11.5 X 8.4 = 0.190854; ~ = 10048'.3 
"2 -1 p(p - a) 162.4 .x 42.5 2 
tan!: = J(p - a) (p - e) = J -42.5 X 8.4 = 0.705331; ~ = 35011'.8 
2 1 p(p - b) 162.4 X 11.5 
C _ ~(P - a) (p - b) __ ~42.5 X 11.5 = 0.965632; C
2 
= 43059'.9 tan- - 4 
2 p(p - e) 62.4 :x 8. 
44 Curso básico de topografía 
Comprobación: 
A = 21 °36'.6 
~ff 
~ 
B = 70°23'.6 
C = 87°59'.8 
-A -+ -B --,...+-C=----,--:18:-:::0-=-°OO~, .-=-0 
1 1 
S = 2. be sen A = 2" (50.9) (54) (0.368294) = 506.1464 m2 
Comprobación: 
1 1 
S = 2. ab sen C = 2: (19.9) (50.9) (0.99939) = 506.1461 m2 
5. Con los datos del registro de campo siguiente, calcular la superfi-
cie del polígono de base. 
Levantamiento con cinta de 30 m por 
el método de radiaciones 
ZA CA TENCO, D. F. 
24-ABRIL-76 
Levantó: Alejandro Garda L. 
Est. P. V. Distancias I CROQUIS Y NOTAS 
O 1 22.92 N 
1 2 26.84 ·1 
2 3 17.40 
3 4 25.00 
4 O 28.60 
A O 21.21 
" 1 24.67 
" 2 20.96 
/ 
" 85 / " / " // 
" / 81 ,/ S4 
--~" --- '" 
82 I s., "-
I • <> 
3 
" 3 17.82 
" 4 18.94 
2 
SOLUCIÓN 
SI = y 34.40 X 11.48 X 13.19 X 9.73 y 50682.3480 = 225.1271 
S2 = y 36.235 X 11.565 X 15.275 X 9.395 = Y 60138.3990 = 245.2313 
Ss = Y28.09 X 7.13 X 10.69 X 10.27 = Y21988.1860 = 148.2841 
S4 = Y30.88 X 13.06 X 5.88 X 11.94 = Y28314.0580 = 168.2678 
S5 = Y 34.375 X 15.435 X 5.775 X 13.165 = Y 40338.7250 = 200.8450 
I ST = 987.7553 m2 J 
Planimetría 45 
6. Calcular los ángulos interiores y la superficie del polígono de base 
levantado por el método de diagonales, comprobando el cálculo, 
con los datos del siguiente registro de campo. 
Levantamiento con cinta de 50 m, 
MEXICO, D. F. 
30-AGOSTO-54
Levantó: Fd(). García L. por el método de diagonales 
Est. P.V. Distancias 1-- - -- CROQUIS Y NOTAS 
1 2 50.60 N 
2 3 35.10 
3 4 56.40 
4 1 39.00 
1 3 61.50 4 
2 4 68.30 
banque ,ta::==~=:~===~==~~=3.00 ro 
Calle Feo. i. M¡¡:!!''O 
SOLUCIÓN 
Triángulo 1 - 2 - 4 
a = 50.60 ID a _/39.95 X 10.65 
b = 39.00 " tan '2 = "78.95 X 28 .35 = 0.435994; 
e = 68.30 " 
2p = 157.90 
p = 78.95 
tan~= -'28.35 X 10.65 = 0309397' ~2 = 17011'.5 
2 " 78.95 X 39.95 ' , 
"'-p - a = 28.35 
p - b = 39.95 
p - e = 10.65 
tan.!. = /39.95 X 28.35 = I 160604' 
2 , 78.95 X 10.65 ' , 
SI = V 78.95 X 28.35 X 39.95 X 10.65 = 975.8561 m".? 
Comprobación: 
f3 = 34°23'.0 
1 = 98°30'.2 
a + f3 + 1 = 180°00'.0 
SI = ~ (50.6) (39.0) (0.98902) 
SI = 975.8660 m2 
46 Curso básico de topografía 
Triángulo 2 - 3 - 4 
a'= 35.10 m a' ¿,j235x116 a' 
b' = 5640" tan ""2 = .,' . = 0.275963; - = 15°25'.6 
e = 68:30" 79.9 X 44.8 2 
2p = 159.80 tan 11' = J 44.8 X 11.6 = 0526090' /3' = 27°44' 9 
p = 79.90 2" 79.9 X 23.5 · ' '2 . 
p - a' = 44.80 A A 
P - b' == 23.50 tan ~ = J 44.8 X 23.5 = 1.065787; ~ = 46049'.4 
p - e = 11.60 2" 79.9 X 11.6 2 
S2 '= V 79.9 X 44.8 X 23.5 X 11.6 = 987.8143 m2 
Comprobación: 
a' = 30°51'.2 
f3' = 55°29'.8 
A 
3 93°38'.8 
a' + f3' + 3 = 179°59'.8 
A 
4 = a + a' 
A 
2 = f3 + /3' 
S = S1 + S2 
1 
S2 = 2: (35.1) (56.4) (0.99797) 1= 
S2 = 987.8107 m2 
1= 98°30'.2 
2= 89°52'.8 
3= 93°38'.8 
4= 77°58'.0 
ÁNGULOS 
INTERIORES 
1 + 2 + 3 + 4 = 359°59'.8 
/.VUWUfh1nff 
-.5 
S1 = 975.8561 
S2 = 987.8143 
Sr = 1963.6704 m 2 SUPERFICIE 
7. Calcular los ángulos interiores del cuadrilátero levantado por el 
procedimiento de líneas de liga, comprobando el cálculo, con los 
datos del registro siguiente: 
Planimetría 47 
Levantamiento con cinta de 30 me-
tros, por el método de lineas de liga 
ZACATENCO, D. F . 
28-DIC-70 
Levantó: Javier González 
Est. P.v . Distancias CROQUIS Y NOTAS 
A B 70.86 A N 
a 10.00 a 
h 10.00 b B 
a h 13.70 
B C 69.88 
b 7.00 
e 7.00 
b e 11.79 
C D 100.00 
d 8.00 
e 8.00 
d e 10.83 
A 97.63 rr .:> D 
f 9.00 
g 9.00 
/ g 10.78 D 
SOLUCIÓN • cff~ Triángulo a-A-h 
Aa = 10.00 p - Aa = 6.85 
Ah = 10.00 p - Ah = 6.85 
ah = 13.70 p - ah = 3.15 
2p ';= 33~70 
p = 16.85 
Triángulo b-B-e 
Bb -= 7.00 p - Bb = 5.895 
Be = 7.00 p - Be ;= 5.895 
be = 11.79 p - be :::-: 1.105 
2p = 25.79 
p = 12.895 
Triángulo d-C-e 
Cd = 8.00 p - Cd = 5.415 
Ce = 8.00 p - Ce = 5.415 
de = 10.83 p - de = 2.585 
-2p 26.83-
p = 13.415 
tan ~ = J (6.85) 2 .= 0940 
2 " 16.85 X 3.15 . . 2 
tan ~ = ... 1 (5.895) 2 = 1.5617 
2 " 12.895 X 1.105 
~ - 57°22' I B = 114°44' I 
tan ~ = J (5.415) 2 = 0.9195 
2 " 13.415 X 2.585 
C 
2 
48 Curso básico de topografía 
Triángulo f-D-g 
Df = 9.00 
Dg = 9.00 
fg = 10.78 
p - Df = 5.39 
p - Dg = 5.39 
p - fg = 3.61 
D _ J (5.39):! = 0.7478 
tan 2"' - ., 14.39 X 3.61 
2p = 28.78 
p = 14.39 
Comprobación: 
D = 36°47'.5 
2 
A = 86°28' 
B ;= 114°44' 
C = 85 °12' 
D = 73 °35' 
A + B + e + D = 359°59' 
8. Con los datos del registro siguiente 
a) Dibuje el plano a la escala 1: 500. 
I D = 73 °35' 
~Ufhlnff 
~ 
b) Calcule la superficie del cuadrilátero 1-2-3-4-1, comprobando 
el resultado. 
L evantamiento con cinta de 50 m e- Lomas de Sote/o, D. F. 
tras, por el método de prolongación 15-FEB-75 
de alineaciones Levantó: Guillermo Garda O. 
Est. P.v. Distancias L CROQUIS Y NOTAS 
P l ' 17.10 rectángulo director 
1" 6.80 p 1 ~ 1 2'. Q 
Q 2' 13.20 1 "", 11 12 J 2" 
2" 7.00 
N 3' 13.20 
3" 8.80 
~'-J3" 
E 
M 4' 9.91 o o 
4" 3.65 o 
tt:) 
1 2 50.60 I 4" 
2 3 35.10 
M I 
I 
3 4 56.40 
4' 3' IN 
~. ~< 
I 
I 
4 1 39.00 80.0fun j-
SOLUCIÓN 
s = 1963.5967 m 2 I 
9. En el levantamiento con cinta del predio que se indica en el regis-
tro de campo, se obtuvieron los datos siguientes: 
4 
Planimetría 49 
a) Calcule la superficie. 
b) Calcule las longitudes de los lados y compare los resultados 
con los obtenidos directamente en el campo. 
e) Dibuje el plano del predio levantado (Escala 1: 100'). 
Levantamiento con cinta de 30 me-
tros, por el método de coordenadas 
rectangulares 
MEXICO, D. F. 
26-MAY-76 
Levantó: Enrique Garda 
COORDENADAS 
Vértices CROQUIS Y NOTAS 
1 
2 
3 
4 
Lados: 
1-2 
2-3 
3-4 
4-1 
x 
1.92 
20.00 
28.90 
11.62 
22. 35 m 
32. 82 m 
17.95 m 
25. 25 m 
y 
26.87 
40.00 
8.42 
3.55 
SOLUCIÓN 
. 
y 
o 
l ' 4 ' 2' 3' 
N 
3.00 m 
X 
a) Cálculo de la superficie: 
s = ~ [ (Xl + X.2 ) (Y2 - Yl ) + (X 2 + Xa) (Ya - Y 2 ) + 
(Xa + X 4 ) (Y4 - Ya) + (X4 + X l) (Y1. - Y 4 ) J 
s = ~ [ (21.92) (13.13) + (48.9) (-31.58) + 
(40.52)(-4.87) + (13.54) (23.32)J 
S = ~ [ 287.8096 - 1544.2620 - 197.3324 + 315.7528 J 
S = 569.0160 m' I 
Nota: El signo de la superficie sólo indica el sentido en que se ha 
recorrido el polígono. 
50 Curso básico de topografía 
b) Cálculo de los lados: d = V (X;! - X 1 )2 + (Yi - Y1F 
1 - 2 = V (20 - 1.92F + (40 - 26.87) 2 = 22.34 m 
. 
2 - 3 = V (28.9 - 20P + (8.42 - 40)"2 = 32.81 m 
3 - 4 = V (11.62 - 28.9):! + (3.55 - 8.42)2 = 17.95 m 
_ _ _ o 
4 - 1 = V (1.92 - 11.62):! + (26.87 - 3.55)2 . 25.26 m 
Nota: Los lados calculados coinciden con los medidos en el 
caqlpo y que figuran en el registro respectivo. 
LEVANTAMIENTOS CON BRUJULA y CINTA 
Generalidades 
La orientación topográfica, en términos generales, tiene por objeto dar 
a las lí'1eas de un plano la misma dirección que guardan sus homólogas 
en el terreno. La dirección de cualquier línea se determina por el ángulo 
horizontal que forma con alguna referencia real o imaginaria que tiene 
una dirección fija. Comúnmente se emplean como líneas de referencia la 
meridiana astronómica, la meridiana magnética o una meridiana elegida 
arbitrariamente que se denomina meridiana supuesta. 
Definiciones 
Plano meridiano astronómico o verdadero de un punto es el círculo 
máximo que pasa por ese punto¡y por los polos terrestres. 
Plano meridiano magnético es el plano vertical en que se coloca una 
aguja imanada y orientada bajo la acción única del campo magnético te-
rrestre. 
Meridiana astronómica o verdadera es la dirección norte-sur dada por 
la intersección del plano meridiano astronómico con el horizonte. 
Meridiana magnética es la línea paralela a las líneas magnéticas de 
fuerza de la Tierra; su dirección es la que toma una aguja magnética sus-
pendida- libremente. 
Lo:; polos magnéticos están a alguna distancia de los }Jolos geográficos, 
por tanto, la meridiana magnética no es paralela a la verdadera. 
La situación de los polos magnéticos está cambiando constantemente; 
y por eso la dirección del meridiano magnético no es constante. Sin em-
bargo, la meridiana magnética se emplea como una línea de referencia en 
los levantamientos aproximados en los que a menudo se usa una brújula. 
Los diversos instrumentos de orientación suelen llevar todos una 
brújula. 
Planimetría 51 
Se llama declinación magnética el ángulo entre la meridiana astronómica 
y la magnética. 
En nuestro país la declinación magnética es oriental; es decir, el extremo 
norte de la aguja de la brújula apunta al Este de la meridiana astronómica 
o verdadera. (Fig. N9 28.) 
eS = Declinación magnética 
Figura 28 
La declinación cambia de valor de un lugar a otro y está sujeta a 
variaciones seculares, anuales, diarias e irregulares. 
La variación secular es igual a varios grados en un ciclo de aproxi-
madamente 300 años. Debido a su magnitud, es de mucha importancia 
para el topógrafo, especialmente para retrazar líneas, cuyas direcciones se 
encuentran referidas al meridiano magnético como existía en años anteriores. 
La variación anual es una oscilación periódica diferente de la variación 
secular y en la mayor parte de la República Mexicana su magnitud es 
menor de 1'. 
A la variación diaria se le llama variación solar diurna y ocurre todos 
los días. La variación media es menor de 8', cantidad tan pequeña que 
no es necesario tomar en cuenta en los trabajos en los que se emplea la 
brújula. 
Las variaciones irregulares
se deben a perturbaciones magnéticas y 10 
más probable es que se produzcan en las tormentas magnéticas. Pueden 
alcanzar la magnitud de 1 o o más, especialmente a elevadas latitudes. 
52 Curso básico de topografía 
Se llaman líneas isogónicas a las que unen los distintos lugares de la 
Tierra que tienen la misma declinación. 
Líneas agónicas son las que unen los puntos de declinación nula. 
Inclinación magnética de un lugar es el ángulo vertical que la aguja 
imanada libre forma con el plano horizontal. 
Para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical, en las 
brújulas fabricadas para su empleo en el hemisferio norte, se pone en la 
punta sur de la aguja una pequeña corredera de alambre, que permite man-
tener 13. aguja en posición horizontal e identificar las puntas norte y sur. 
Lineas isóclinas son aquellas que unen puntos de igual inclinación mag-
nética y corresponden a los círculos de igual latitud. 
La dirección de cualquier línea con respecto a una meridiana dada 
puede definirse por el azimut o por el rumbo. 
Azimut de una línea es su dirección dada por el ángulo horizontal entre 
el meridiano y la línea; se mide a partir del norte en el sentido del movi-
miento de las manecillas del reloj y su valor varía entre 0 0 y 3600 • 
Los azimutes se llaman astronómicos o magnéticos según si el meri-
diano e3 el verdadero o el magnético. 
Azimut directo de una línea es el que se toma en el origen de la línea 
y azimut inverso el tomado en su extremo final. 
Entre ambos azimutes, directo e inverso, existe una diferencia de 1800 , 
esto es 
N 
A 
Azimut inverso = Azimut directo ± 1800 I 
~ff 
.5 
levantamiento • 
Figura 29 
Az. BA = Az. AB + 1800 
N 
Az. BA 
---
B 
Planimetría 53 
Cuando el azimut directo es mayor que 180°, para obtener el azimut 
inverso, se le restan 180°; Y si el azimut directo es menor que 180°, enton-
ces el inverso se obtiene agregándole esa cantidad. 
EJEMPLOS 
1. Si: Az. directo = 75 °12' 
entonces: 
Az. inverso = 75 °12' + 180° = 255 °12' 
2. Si: Az. directo = 230°40' 
entonces: t)o~ ~ I 
Az. inverso = 230°40' - 180° :::s 60°301 
Rumbo de una línea es el ángulo horizontal que dicha línea forma con 
la meridiana; su valor está comprendido entre 0° y 90°; y se mide a partir 
del Norte o desde el Sur, hacia el Este o hacia el Oeste. , 
El rumbo se llama astronómico o magnético según que el meridiano 
sea el astronómico o el magnético. 
El rumbo de una línea se indica por el cuadrante en el que se encuentra 
y por el ángulo agudo que la línea hace con el meridiano en ese cuadrante. 
ASÍ, en la figura NQ 30, los rumbos de las líneas OA , OB, OC Y OD, 
se indican como sigue: 
N 
W ____ ...L.L.-"*~_---E 
e 
B 
s 
Figura 30 
Rbo. OA = N 61 °10' E 
Rbo. OB = S 42°07' E 
Roo. OC = S 59 °32' W 
Rbo. OD = N 31 °40' W 
S4 Curso básico de topografía 
Como en el caso de los azimutes, los rumbos pueden ser directos e 
inversos. Se llama rumbo directo de una linea, el que se toma en la direc-
ción general del levantamiento y rumbo inverso, el tomado en la dirección 
opuesta. (Fig. NQ 31.) El rumbo directo y el rumbo inversO' -de una mis-
ma línea tienen el mismo valor y se localizan en cuadrantes opuestos. 
N 
\V A l E 
~ff 
.5 
s 
N 
directo W ?ti 
s 
Rbo. AB = S 60°15' E 
Rbo. BA = N 60° 15' W 
Figura 31 
R bo. inverso 
B E 
Conversión de azimutes magnéticos a azimutes astronómicos 
Cuando se conocen el azimut magnético de una línea y la declinación 
magnética, se puede obtener el azimut astronómico de la línea mediante 
la relación siguiente (Fig. N<? 32): 
Planimetría 
Azimut astronómico de la 1 in ea AB 
Azimut magnét ico de la 1 in ea AB 
A 
B 
Figura 32 
Az. astronómico = Az. magnético + Declinación 
EJEMPLO 
Determine el azimut astronómico de la línea AB. 
DATOS: 
Az. magnético AB = 93 c'28'. 
Declinación magnética : 8 = 1+ 9°43'. 
SOLucrÓN 
Az. astronómico A B = 93 °28' + 9°43' 
Az. astronómico A B = 103 o tI ' 
Conversión de rumbos magnéticos a rumbos astronómicos 
ss 
Para convertir rumbos magnéticos a rumbos astronómicos se suma o 
se resta la declinación al rumbo magnético, según el cuadrante. 
56 Curso básico de topografía 
o o 
B 
1er cuadrante 29 cuadrante 
Rbo. astr. = Rbo. mago + 8 Rbo. astro = Rbo. mago - 8 
o o 
B 
3 er cuadrante ~J»ff 49 cuadran.te 
.5 
Rbo. astro = Rbo. mago + 81 I Rbo. astro = Rbo. mago - 8 
Figura 33 
1 er y 3er cuadrantes: Rumbo astronómico = Rumbo magnético + 
Declinación. 
29 y 49 cuadrantes. Rumbo astronómico = Rumbo magnético -
Declinación. 
Planimetría 57 
EJEMPLO: 
El rumbo magnético de una línea es S 42°40' W , y la declinación 
magnética es 6°10' E. ¿Cuál es el rumbo astronómico de la línea? 
DATOS: 
Rbo. magnético = S 42°40' W. 
Declinación = 6°10' E. 
Rbo. astronómico = ? . 
SOLUCIÓN 
Dibuje un croquis. 
o 
A 
W ----------~-----------E 
6° 10' 
B 
s 
Figura 34 
Rbo. astronómico = rumbo magnético + declinación. 
Rbo. astronómico = S 42 ° 40' W + 6° 10'. 
Rbo. astronómico = S 48°50' W I 
Conversión de azimutes a rumbos y viceversa 
Con frecuencia hay necesidad de convertir los azimutes en rumbos y 
viceversa. Para facilitar esta conversión, con el auxilio de las figuras siguien-
58 Curso básico de topografía 
tes, estableceremos la relación entre azimut y rumbo en cada uno de los 
cuatro cuadrantes. (Fig. NQ 35.) 
w 
B 
r..; 
1 
B 
K 
A 
s 
1('f cuadrante 
Rbo = Az 
Az = Rbo 
N 
E 
~~ff 
.5 
s 
3<!f cuadrante 
Roo = Az - 180'" 
Az = 180 ::' + Rbo 
E 
W 
B 
N 
... 
"-, 
A l '(\z 
s 
29 cuadrante 
Rbo = 1800 - Az 
Az = 180 0 - Rbo 
N 
W "1 
s 
4Q cuadrante 
Rbo = 360 : - Az 
Az = 360 - - Rbo 
Figura 35 
E 
ti: 
Planimetría 59 
EJEMPLOS 
1. Convertir a rumbos los siguientes azimutes : 
A zimutes Rumbos SOLUCIÓN 
124°35' S 55 °25' E 179°60' 359 °60' 
283 °07' N 76°53' W 124°35' - 283 °07' 
72°10' N 72°10' E S 55 °25' E N 76°53' W 198°52' S 18°52' W I 
2. Convertir a azimutes, los rumbos siguientes: 
Rumbos Azimutes 
S 23 °40' W 203 °40' 
N 56°21' E 56°21' 
S 9°56' E 170°04' 
N 81 °03' W 278 °57' 
Descripción de la brújula 
180° 
+ 23°40' 
203 °40' 
SOLUCIÓN 
198°52' 
180° 
S 18°52' W 
359°60' 
- 81 °03' 
278°57' 
La brújula es un instrumento topográfico que sirve para determinar 
direcciones con relación a la meridiana magnética. (Fig. Nq 36.) 
Casi todos los trabajos antiguos de topografía fueron hechos con la 
brújula, y por lo tanto es esencial un conocimiento de la brújula y de su 
aplicación en los trabajos de topografía, para la comprensión de los eje-
cutados antiguamente y que a menudo tienen que ser resueltos por el topó-
grafo moderno. 
Las partes principales de la brújula son: 
1. La caja que lleva un círculo graduado de 0° a 360° en el sentido 
del movimiento de las manecillas del reloj, o de 0° a 90° en ambas direc-
ciones del N y del S y, generalmente, los puntos E y W invertidos debido 
al movimiento relativo de la aguja respecto a la caja. 
2. Un nivel circular que se usa para mantener el círculo graduado en 
un plano horizontal, cuando se van a tomar direcciones con la brújula. 
3. Pínulas ocular y objetivo,. que son los elementos que sirven para 
dirigir la visual y están colocados en línea con los puntos cardinales N y S 
de la caja de la brújula, y 
4. Una aguja imantada que puede girar libremente sobre un pivote 
colocado en el centro del círculo graduado. La punta S lleva un contrapeso 
para contrarrestar la atracción magnética en el sentido vertical. 
60 Curso básico de topografía 
contrapeso de 
la aguja 
pínula 
• fJ11 nivel circular 
nivel del eclímetro 
pínula 
.l"u,r"",1 ~# 
-5 
Figura 36 
Planimetría 61 
Condiciones que debe satisfacer toda brújula 
1. La aguja debe ser móvil. Se conoce que la aguja llena esta condi-
ción cuando separada de su posición normal la recobra exactamente des-
pués de varias oscilaciones regularmente decrecientes. La faIta de limpieza 
o los defectos de suspensión pueden ser causa