Execício Física 3 Campo elétrico

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1 
l 
+q 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 – Questões 2 
 Questão 1
 
Um elétron se desloca entre duas placas 
carregadas, onde existe um campo elétrico 
uniforme E. Num certo instante, os componentes 
do vetor velocidade do elétron são dados por: ݒ௫ ൌ ʹǡͲ ൈ ͳͲ଺�݉ ή ݏିଵ e ݒ௬ ൌ ͳǡͷ ൈ ͳͲଷ�݉ ή ݏିଵ. O 
campo elétrico entre as placas é dado por: ܧ ൌ ݆ሺͳǡͷ ൈ ͳͲସ�ܰ ή ܥିଵሻ. (a) Calcule a aceleração 
do elétron. (b) A partir do instante mencionado, o 
elétron se desloca para um outro ponto a uma 
distância ݔ ൌ ʹǡͲ�ܿ݉ do ponto original; ache a 
velocidade do elétron neste ponto. 
Resolução: 
a) A aceleração será dada por: 
 ܽ ൌ െ݆ ൬ ݁݉௘ ή ܧ൰ ܽ ൌ െ݆ ቆ ͳǡ͸ ή ͳͲିଵଽͻǡͳͳ ή ͳͲିଷଵ ή ͳǡͷ ή ͳͲସቇ ׵ ܽ ൌ െ݆ሺʹǡ͸͵ ή ͳͲଵହ݉ ή ݏିଶሻ 
(1-1) 
 
b) Na direção do eixo x, o elétron, ao percorrer os 
2 cm, levará um intervalo de tempo dado por: 
 οݐ ൌ ݔݒ௫ ൌ ʹ ή ͳͲିଶʹ ή ͳͲ଺ ൌ ͳͲି଺ݏ 
(1-2) 
 
Utilizando os resultados de (1-1) e (1-2), 
teremos: 
 ݒ௬ ൌ ͳǡͷ ή ͳͲଷ ൅ ͳͲି଼ ή ʹǡ͸͵ ή ͳͲଵହ ׵ ݒ௬ ൌ ʹǡ͸͵ ή ͳͲ଻�݉ ή ݏିଵ 
(1-3) 
 
 Questão 2
 
Estabelece-se um campo uniforme, vertical, E, 
no espaço existente entre duas placas paralelas. 
Suspende-se, nesse campo, uma pequena esfera 
condutora de massa m, presa a um cordel de 
comprimento l. Determine o período deste 
pêndulo, quando a esfera está carregada com 
uma carga +q, se a placa inferior estiver positiva-
mente carregada; repetir o cálculo para a placa 
inferior carregada negativamente. 
Resolução: 
Considere a figura abaixo, como uma 
representação do problema em questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2-1 
 
O período de um pêndulo é dado pela seguinte 
relação: 
 ܶ ൌ ʹߨ ൬ ݈݃ ൰ଵଶ 
(2-1) 
 
Para a placa inferior com carga positiva, teremos 
um campo elétrico orientado para cima, de tal 
forma que a esfera será submetida a uma 
aceleração adicional também para cima, 
conforme a relação: 
 ܽ ൌ ݍ݉ܧ 
(2-2) 
 
Logo, para a esfera, a gravidade terá seu valor 
reduzido de: 
 ݃ᇱ ൌ ݃ െ ܽ 
(2-3) 
 
Assim, tomando (2-1), (2-2) e (2-3), teremos: 
 
ܶᇱ ൌ ʹߨ ቌ ݈݃ െ ݍ݉ܧቍ
ଵଶ
 
(2-4) 
 
 
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2 
+q 
+Q - Q 
a a 
a 
+q 
+Q - Q 
a a 
a 
ܨԦଵ 
ࡲሬሬԦ૛ 
ܨԦோ ͸Ͳι ͸Ͳ° 
ݍଵ ݍଶ ܲ 
 
݀ 
ݔ 
ݍଵ ݍଶ ܲ 
 
݀ 
ݔ 
ܧሬԦଵ ܧሬԦଶ 
Em (2-4), ݃ ൐ ௤ா௠ . 
 
Se a placa inferior estiver carregada 
negativamente, para a esfera a gravidade tem seu 
valor aumentado de: 
 ݃ᇱᇱ ൌ ݃ ൅ ܽ 
(2-5) 
 
Logo, utilizando (2-1), (2-2) e (2-5), teremos para 
o período: 
 
ܶᇱᇱ ൌ ʹߨቌ ݈݃ ൅ ݍ݉ܧቍ
ଵଶ
 
(2-6) 
 
 Questão 3
 
Três cargas estão dispostas nos vértices de um 
triângulo conforme mostra a figura. Qual é a 
direção e o sentido da força que age sobre a carga 
+q? 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As forças F1 e F2, são dadas por: 
 
 ܨଵ ൌ ܨଶ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ȁܳȁȁݍȁܽଶ 
(3-1) 
 
Pela simetria do nosso problema, observamos 
que o triângulo formado pelos vetores também 
será equilátero. Logo: 
 ܨோ ൌ ܨଵ ൌ ܨଶ 
(3-2) 
 
 Questão 4
 
Duas partículas carregadas estão separadas 
por uma distância d, conforme indicado na figura 
abaixo. Considere um eixo Ox com origem O no 
ponto onde se encontra a carga q1. 
 
 
 
 
 
 
Determine o ponto (ou os pontos) do eixo 0x para 
os quais o módulo do campo elétrico assume um 
valor máximo. Exclua os pontos x = 0 e x = d. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
No ponto P o campo elétrico resultante é dado 
por: 
 ܧሬԦோ ൌ ܧሬԦଵ ൅ ܧሬԦଶ 
(4-1) 
 
Em módulo: 
 ܧோ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ൤ݍଵݔଶ ൅ ݍଶሺݔ െ ݀ሻଶ൨ 
(4-2) 
 
 
 
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3 
y 
q q d d 
y 
ܧሬԦ ܧሬԦ 
x 0 
Ƚ 
Ƚ ܧሬԦ௬ 
r r 
Agora tomando a derivada da expressão dada 
por (4-2), com relação a variável x, teremos: 
 ݀ܧோ݀ݔ ൌ െͳʹߨ߳଴ ൤ݍଵݔଷ ൅ ݍଶሺݔ െ ݀ሻଷ൨ 
(4-3) 
 
Para obtermos o valor máximo para o campo 
elétrico resultante, toma-se o valor nulo para a 
expressão dada por (4-3). Assim, teremos: 
 ݀ܧோ݀ݔ ൌ Ͳ ֜ ݍଵݔଷ ൌ െݍଶሺݔ െ ݀ሻଷ� ሺݔ െ ݀ሻඥݍଵయ ൌ െݔඥݍଶయ � ׵ ݔ ൌ ݀ඥݍଵయඥݍଵయ ൅ ඥݍଶయ 
(4-4) 
 
 Questão 5
 
Considere duas cargas iguais e de mesmo sinal 
separadas por uma distância 2d. Um sistema de 
coordenadas 0xy possui origem em 0 no centro 
da distância entre as cargas; o eixo 0x é a reta que 
une as duas cargas e o eixo 0y é ortogonal a esta 
reta. (a) Determine os pontos ao longo do eixo 0y 
para os quais o campo elétrico assume seu valor 
máximo. (b) Determine o módulo do campo 
elétrico máximo. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 5-1 
 
Da 
figura 5-1 podemos observar que o campo 
elétrico resultante só possui componente vertical, 
isto é, na direção 0y. Assim, teremos: 
 ܧோ ൌ ʹܧ௬ 
(5-1) 
 
Em que 
ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݎଶ ή ݏ݁݊�ߙ 
(5-2) 
Da figura 5-1 temos: 
 ݏ݁݊�ߙ ൌ ݕݎ Ǣ ��ݎ ൌ ඥ݀ଶ ൅ ݕଶ 
(5-3) 
 
Agora, utilizando (5-2) e (5-3) em (5-1), teremos: 
 ܧோ ൌ ݍʹߨ߳଴ ή ݕሺݕଶ ൅ ݀ଶሻଷ ଶൗ 
(5-4) 
 
Agora, de forma semelhante ao que foi feito em 
(4-4), teremos: 
 ݀ܧோ݀ݕ ൌ ݍʹߨ߳଴ ቎ሺݕଶ ൅ ݀ଶሻଷଶ െ ͵ݕଶሺݕଶ ൅ ݀ଶሻଵଶሺݕଶ ൅ ݀ଶሻଷ ቏� ݀ܧோ݀ݕ ൌ Ͳ ֜ ሺݕଶ ൅ ݀ଶሻଷଶ െ ͵ݕଶሺݕଶ ൅ ݀ଶሻଵଶ ൌ Ͳ� ݕଶ ൅ ݀ଶ ൌ ͵ݕଶ � ׵ ݕ ൌ േ݀ξʹʹ 
(5-5) 
 
Agora, substituindo o resultado de (5-5) em 
(5-4), teremos: 
 
ܧோ೘žೣ ൌ ݍʹߨ߳଴ ή ݀ξʹ ʹൗ൬݀ଶʹ ൅ ݀ଶ൰ଷଶ�� ׵ ܧோ೘žೣ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή Ͷݍ݀ଶξʹ͹ 
(5-6) 
 
Tanto no sentido positivo como no sentido 
negativo de 0y. 
 
 Questão 6
 
Na figura a seguir, suponha que ambas as 
cargas sejam positivas. (a) Supondo também ݎ ب ܽ, demonstrar que ܧ, no ponto P, é dado por: 
 
 
 
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4 
q 
q 
r 
a 
a 
Ʌ 
Ʌ 
ܧሬԦ 
ܧሬԦ ܧሬԦ௫ 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
R 
P 
+ 
+ 
+ 
R 
݀ߠ 
ߠ ࢊࡱ࢟ ݀ܧ 
݀ݍ 
ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ʹݍݎଶ 
 
(b) Qual a direção e o sentido de E? (c) É razoável 
que E varie, neste caso, proporcionalmente a ݎିଶ, 
enquanto que para o dipolo para essa mesma 
figura, varia proporcionalmente a ݎିଷ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
O campo elétrico resultante é semelhante aquele 
dado pela expressão (5-4). Logo, teremos: 
 ܧோ ൌ ݍʹߨ߳଴ ή ݎሺݎଶ ൅ ܽଶሻଷଶ 
(6-1) 
 
A expressão (6-1) pode se escrita da seguinte 
forma: 
 ܧோ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݍݎଶ ή ቆͳ ൅ ܽଶݎଶቇିଷଶ 
(6-2) 
 
Levando em consideração que ݎ ب ܽ, a expressão 
entre parênteses pode ser expandida. Seja a 
seguinte expansão: 
 ቆͳ ൅ ܽଶݎଶቇିଷଶ ؆ ͳ െ ͵ʹ ή ܽଶݎଶ ൅ Ͷ͵ ή ܽସʹǨ ή ݎସ ൅ڮ 
(6-3) 
 
Desprezando os termos de potência de a, em 
(6-3), e substituindo em (6-2), teremos: 
 ܧோ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݍݎଶ ׵ ܧோ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ʹݍݎଶ 
(6-4) 
 
Orientado na direção perpendicular ao eixo 
que liga as cargas no sentido de afastamento das 
mesmas (caso as cargas sejam negativas, o 
sentido seria de aproximação das cargas). Para 
distâncias muito grandes com relação à distância 
de separação das cargas, tomamos a carga total 
(no caso 2q) e utilizamos a relação do inverso do 
quadrado da distância. Como era de se esperar. 
 
 Questão 7
 
Um bastão fino de vidro é encurvado de modo 
a formar um semicírculo de raio R. Uma carga +Q 
está uniformemente distribuída ao longo da 
metade superior, e uma carga –Q ao longo da 
inferior, como mostra a figura abaixo. Determinar 
o campo elétrico E no centro P, do semicírculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Tomando a parte positiva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 7-1 
 
A densidade linear de carga, referente a ¼ de 
circunferência, vale: 
 ߣ ൌ ʹܳߨܴ 
(7-1) 
 
Logo, para o elemento de carga, teremos: 
 ݀ݍ ൌ ߣܴ݀ߠ 
(7-2) 
 
 
 
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5 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
l 
y 
P 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 
l 
y 
P Ʌ 
 x 
r 
dq 
 dx 
݀ܧ ࢊࡱ࢞ ࢊࡱ࢟ 
A expressão do campo elétrico dE referente ao 
elemento decarga dq será: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݀ݍܴଶ 
(7-3) 
 
Utilizando (7-2) em (7-3), teremos: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣ�݀ߠܴ 
(7-4) 
 
Pela simetria, observa-se que a parte negativa 
do bastão, contribuirá com um campo elétrico, 
cujo componente na direção de 0x, anulará o 
componente 0x da contribuição da parte positiva 
do bastão. Logo, o campo elétrico resultante das 
duas partes estará na direção de 0y. Logo, 
teremos: 
 ܧோ ൌ ʹන݀ܧ௬ 
(7-5) 
 
Em que: 
 ݀ܧ௬ ൌ ݀ܧ ή …‘• ߠ 
(7-6) 
 
Utilizando (7-6) em (7-5) para os limites de 0 até గଶ, teremos: 
 ܧோ ൌ ߣʹߨ߳଴ܴන ܿ݋ݏߠ�݀ߠ���గଶ଴ ܧோ ൌ ߣʹߨ߳଴ܴ ሾݏ݁݊�ߠሿ଴గଶ � ׵ ܧோ ൌ ߣʹߨ߳଴ܴ 
(7-7) 
 
Utilizando (7-1) no resultado de (7-7), teremos: 
 ܧோ ൌ ܳ߳଴ߨଶܴଶ 
(7-8) 
 
 
 
 
 Questão 8
 
Uma barra fina (de comprimento finito l e de 
material não condutor) acha-se carregada 
uniformemente, com uma carga total q. 
Demonstrar que o valor de E, no ponto P da sua 
mediatriz, representado na figura abaixo, é dado 
por: 
 ܧ ൌ ݍʹߨ߳଴ ή ͳݕඥ݈ଶ ൅ Ͷݕଶ 
 
Demonstrar que, quando ݈ ՜ λ, esta expressão 
tende para: 
 ܧ ൌ ߣʹߨ߳଴ݕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 8-1 
 
Observando a figura 8-1, podemos concluir 
que as contribuições para o campo na direção 0x 
dos dois lados da mediatriz, se anulam 
mutuamente. Assim, o campo elétrico resultante 
em P será orientado na direção de 0y. O campo 
 
 
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6 
elétrico em P devido ao elemento de carga dq 
vale: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݀ݍݎଶ 
(8-1) 
 
Em que o elemento de carga é dado por: 
 ݀ݍ ൌ ߣ݀ݔǢ �ߣ ൌ ݈ݍ 
(8-2) 
 
E a distância r é dada por: 
 ݎ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ 
(8-3) 
 
Utilizando (8-2) e (8-3) em (8-1), teremos: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣ�݀ݔݔଶ ൅ ݕଶ 
(8-4) 
 
O componente na direção de 0y será: 
 ݀ܧ௬ ൌ ݀ܧ ή ܿ݋ݏߠ ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣ�݀ݔݔଶ ൅ ݕଶ ή ܿ݋ݏߠ 
(8-5) 
 
Existe um vínculo entre a variável x e o ângulo Ʌ. 
Vejamos: 
 ݐ݃�ߠ ൌ ݔݕ ֜ ݔ ൌ ݕ�ݐ݃ߠ 
(8-6) 
 
Desta forma teremos: 
 ݀ݔ݀ߠ ൌ ݕ�ݏ݁ܿଶߠ 
(8-7) 
 
Utilizando (8-6) e (8-7) em (8-5), teremos: 
 ݀ܧ௬ ൌ ߣͶߨ߳଴ݕ ή ܿ݋ݏߠ�݀ߠ 
(8-8) 
Em que ݐ݃ଶߠ ൅ ͳ ൌ ݏ݁ܿଶߠ. Agora, integrando 
(8-8), teremos: 
 ܧோ ൌ ʹන݀ܧ௬� ܧோ ൌ ߣʹߨ߳଴ݕන …‘• ߠ�݀ߠఏబ଴ � ܧோ ൌ ߣʹߨ߳଴ݕ ሾݏ݁݊�ߠሿ଴ఏబ � ׵ ܧோ ൌ ߣ�ݏ݁݊�ߠ଴ʹߨ߳଴ݕ 
(8-9) 
 
Em que ߠ଴ é tal que: 
 ݏ݁݊�ߠ଴ ൌ ݈ʹටቀ݈ʹ ቁଶ ൅ ݕଶ 
(8-10) 
 
Agora substituindo (8-10) em (8-9), e utilizando 
(8-2), teremos: 
 ܧோ ൌ ݍʹߨ߳଴ݕ ή ͳඥ݈ଶ ൅ Ͷݕଶ 
(8-11) 
 
Tomando a expressão (8-11), temos ainda: 
 ܧோ ൌ ݍʹߨ߳଴ݕ ή ͳ݈ටͳ ൅ Ͷݕଶ݈ଶ �� ܧோ ൌ ߣʹߨ߳଴ݕ ή ͳටͳ ൅ Ͷݕଶ݈ଶ �� ܧோ ൌ Ž‹௟՜ஶ ߣʹߨ߳଴ݕ ή ͳටͳ ൅ Ͷݕଶ݈ଶ � ׵ ܧோ ൌ ߣʹߨ߳଴ݕ 
(8-12) 
 
 Questão 9
 
Um elétron tem seu movimento restrito ao 
eixo do anel de cargas mostrado na figura a 
seguir. Demonstrar que o elétron pode oscilar 
com uma frequência dada por: 
 ߱ ൌ ට ௘௤ସగఢబ௠௔య. 
Em que x << a. 
 
 
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7 
 
2a 
r 
+q -q P 
݌Ԧ 
 
Resolução: 
O campo elétrico no ponto P devido ao elemento 
de carga dq é dado por: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݀ݍݎଶ 
(9-1) 
 
Nesse caso, devido à simetria, o campo resultante 
será orientado na direção de 0x. Assim, teremos: 
 ݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݀ݍݎଶ �ܿ݋ݏߠ 
(9-2) 
 
Em que …‘• ߠ ൌ ௫௥. Assim, integrando (9-2) 
teremos: 
 ܧோ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݔݎଷන݀ݍ �׵ ܧோ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݔሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ 
(9-3) 
 
Em que ݎଶ ൌ ܽଶ ൅ ݔଶ. Assim, um elétron que é 
colocado em P, fica sujeito a uma força que será 
dada por: 
 ݂ ൌ െ݁ܧோ ݂ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ݍݔሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ 
(9-4) 
 
No entanto, para x << a, A expressão (9-4) será 
dada por: 
 ݂ ؆ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ݍݔܽଷ 
(9-5) 
 
Sendo m a massa do elétron, teremos para (9-5): 
 ݀ଶݔ݀ݐଶ ൌ െ ͳͶߨ߳଴ ή ݁ݍݔ݉ܽଷ 
(9-6) 
 
O que caracteriza um M.H.S. é o fato da aceleração 
ser diretamente proporcional ao oposto do 
deslocamento, ou seja: 
 ݀ଶݔ݀ݐଶ ൌ െ߱ଶݔ 
(9-7) 
 
Em que ɘ é uma constante, ou seja, é a frequência 
angular do movimento. A expressão (9-6) é uma 
equação da forma dada por (9-7). Comparando as 
duas, teremos: 
 ߱ ൌ ඨ ݁ݍͶߨ߳଴݉ܽଷ 
(9-8) 
 
 Questão 10
 
Campo axial produzido por um dipolo elétrico. 
Na figura a seguir, considerar um ponto à 
distância r do centro do dipolo e situado sobre a 
reta que une as cargas. (a) Demonstrar que, para 
valores grandes de r, o campo elétrico nesse 
ponto é igual a: 
 ܧ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݌ݎଷ 
 
(b) Qual a direção de E? 
 
 
 
 
 
Resolução: 
O campo elétrico resultante no ponto P será dado 
por: 
 ܧோ ൌ ݍͶߨ߳଴ ൬ ͳሺݎ െ ܽሻଶ െ ͳሺݎ ൅ ܽሻଶ൰ 
(10-1) 
 
 
 
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8 
dq 
r 
x 
Ʌ 
Ʌ Ƚ 
Ƚ 
dȽ 
a 
݀ܧ ࢊࡱୄ ࢊࡱ࢟ 
Expandindo a expressão (10-1), teremos: 
 ܧோ ൌ ݍͶߨ߳଴ݎଶ ቎ ͳቀͳ െ ܽݎቁଶ െ ͳቀͳ ൅ ܽݎቁଶ቏� ܧோ ൌ ݍͶߨ߳଴ݎଶ ൤ቀͳ െ ܽݎቁିଶ െ ቀͳ ൅ ܽݎቁିଶ൨� ܧோ ؆ ݍͶߨ߳଴ݎଶ ൤ͳ ൅ ʹܽݎ ǥെ ൬ͳ െ ʹܽݎ ǥ ൰൨�� ׵ ܧோ ൌ ݌ʹߨ߳଴ݎଷ 
(10-2) 
 
Em que ݌ ൌ ʹݍܽ. A direção e o sentido do campo 
elétrico resultante são dados por ݌Ԧ. 
 
 Questão 11
 
Demonstrar, para o anel de cargas da questão 
9, que o valor máximo de E ocorre quando: 
 ݔ ൌ ξܽʹ 
 
Resolução: 
Vamos tomar a derivada da expressão dada em 
(9-3): 
 ݀ܧ݀ݔ ൌ ݍͶߨ߳଴ ቎ሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ െ ͵ݔଶሺܽଶ ൅ ݔଶሻଵଶሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷ ቏ 
(11-1) 
 
Agora, para determinar o ponto de máximo, 
vamos tomar o valor nulo da expressão (11-1). 
Assim, 
 ݀ܧ݀ݔ ൌ Ͳ ֜ ሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ ൌ ͵ݔଶሺܽଶ ൅ ݔଶሻଵଶ� �ܽଶ ൅ ݔଶ ൌ ͵ݔଶ ׵ ݔ ൌ ξܽʹ 
(11-2) 
 
 Questão 12
 
Considerar o anel de cargas da questão 9. 
Supor, agora, que a carga q não esteja mais 
uniformemente distribuída no anel; mas sim, que 
haja uma carga q1 distribuída uniformemente em
uma das metades, e uma carga q2, também 
distribuída uniformemente, na outra metade do 
anel. Supor: q1 + q2 = q. (a) Determinar a 
componente do campo elétrico, num ponto do 
eixo e paralela a este, comparando-a com o caso 
uniforme da questão 9. (b) Repetir o cálculo para 
a componente perpendicular ao eixo, num ponto 
do mesmo, comparando-a novamente com o caso 
da questão 9. 
Resolução: 
Cada metade do anel contribui com um campo 
dado por: 
 ܧ௫ଵ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍଵݔሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ �݁� ܧ௫ଶ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍଶݔሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ� 
(12-1) 
 
Logo, na direção 0x, temos: 
 ܧ௫ ൌ ܧ௫ଵ ൅ ܧ௫ଶ � ׵ ܧோ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݔሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ� 
(12-2) 
 
Agora, na direção do eixo 0y teremos a seguinte 
disposição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 12-1 
 
Observando a figura 12-1 temos: 
 ݀ܧୄ ൌ ݀ܧ�ݏ݁݊ߠ��݁�݀ܧ௬ ൌ ݀ܧୄ�ݏ݁݊ߙ 
(12-3) 
 
Em que dE é dado por (9-1). 
 
 
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9 
a 
a 
Y 
 
+q 
-q 
x 
y 
X 
P Ƚ 
b 
ܧሬԦା ࡱሬԦെ 
Assim, utilizando as expressões (9-1) e (12-3), 
teremos: 
 ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣ�ܽଶ�ݏ݁݊ߙ�݀ߙሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ 
(12-4) 
 
Em que ݀ݍ ൌ ߣ�ܽ�݀ߙ. Resolvendo para a metade 
de superior: 
 ݀ܧ௬ଵ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣଵ�ܽଶ�ݏ݁݊ߙ�݀ߙሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ �� ܧ௬ଵ ൌ ߣଵͶߨ߳଴ ή ܽଶሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ ή න ݏ݁݊ߙ�݀ߙగ଴ �� ׵ ܧ௬ଵ ൌ ݍଵʹߨଶ߳଴ ή ܽሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ 
(12-5) 
 
Em que ߣଵ ൌ ௤భగ௔. A metade inferior contribui com 
um campo dado por: 
 ܧ௬ଶ ൌ ݍଶʹߨଶ߳଴ ή ܽሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ 
(12-6) 
 
Porém com sentido oposto ao originado pela 
metade superior. Assim, o campo resultante na 
direção de 0y, utilizando (12-5) e (12-6) será: 
 ܧ௬ ൌ ܧ௬ଵ െ ܧ௬ଶ�� ׵ ܧ௬ ൌ ሺݍଵ െ ݍଶሻʹߨଶ߳଴ ή ܽሺܽଶ ൅ ݔଶሻଷଶ 
(12-7) 
 
 Questão 13
 
Campo elétrico devido a um dipolo elétrico. 
Demonstrar que as componentes de E produzidas 
por um dipolo em pontos distantes, são dadas 
por: 
 ܧ௫ ൌ ଵସగఢబ ή ଷ௣௫௬ሺ௫మା௬మሻఱమ Ǣ ܧ௬ ൌ ଵସగఢబ ή ௣൫ଶ௬మି௫మ൯ሺ௫మା௬మሻఱమ . 
 
Em que x e y são as coordenadas do ponto, 
conforme mostra a figura a seguir.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
No ponto P teremos: 
 ܧା ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶ� ܧି ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶ 
(13-1) 
 
Devido às cargas positiva e negativa 
respectivamente. Da figura temos ainda: 
 ݏ݁݊�ߙ ൌ ݕ െ ܽሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻଵଶ �ܿ݋ݏ�ߙ ൌ ݔሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻଵଶ 
(13-2) 
 
E 
 ݏ݁݊�ߚ ൌ ݕ ൅ ܽሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻଵଶ� �ܿ݋ݏ�ߚ ൌ ݔሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻଵଶ 
(13-3) 
 
Para a direção de 0x, teremos: 
 ܧ௫ ൌ ܧା௫ െ ܧି௫ 
(13-4) 
 
Em que: 
 ܧା௫ ൌ ܧାܿ݋ݏߙ�݁�ܧି௫ൌ ܧିܿ݋ݏߚ. 
(13-5) 
 
Assim, utilizando as relações (13-1), (13-2) e 
(13-3) e (13-5) em (13-4), teremos: 
 
 
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10 
 
R 
෬ 
P 
+ + + + + + + + 
 ܧ௫ ൌ ݍݔͶߨ߳଴ ቎ ͳሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶ െ ͳሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻଷଶ቏ 
(13-6) 
 
Manipulando a expressão entre colchetes de 
(13-6), e expandindo as potências, teremos: 
 ሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻଷଶ െ ሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶሾሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻሿଷଶ �� ؆ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻଷଶ ൤ͳ ൅ ͵ܽݕݔଶ ൅ ݕଶ ൅ڮെ ͳ ൅ ͵ܽݕݔଶ ൅ ݕଶ ൅ڮ൨ሺݔଶ ൅ ݕଶሻଷ ൌ ͸ܽݕሺݔଶ ൅ ݕଶሻଵଶሺݔଶ ൅ ݕଶሻଷ ൌ ͸ܽݕሺݔଶ ൅ ݕଶሻହଶ 
(13-7) 
 
Em que ݔଶ ൅ ݕଶ ب ܽଶ. Substituindo o resultado 
de (13-7) em (13-6), teremos: 
 ܧ௫ ؆ ͳͶߨ߳଴ ή ͵݌ݔݕሺݔଶ ൅ ݕଶሻହଶ 
(13-8) 
 
Em que ݌ ൌ ʹܽݍ. 
 
Agora na direção de 0y, temos: 
 ܧ௬ ൌ ܧା௬ െ ܧି௬ 
(13-9) 
 
Em que: 
 ܧା௬ ൌ ܧାݏ݁݊ߙ��݁��ܧି௬ ൌ ܧିݏ݁݊ߚ 
(13-10) 
 
Utilizando as relações (13-1), (13-2), (13-3) e 
(13-10) em (13-9), teremos: 
 ܧ௬ ൌ ݍͶߨ߳଴ ቎ ݕ െ ܽሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶ െ ݕ ൅ ܽሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻଷଶ቏ 
(13-11) 
 
Semelhante ao que foi efetuado anteriormente,
vamos manipular a expressão entre colchetes de 
(13-11) e expandir as potências. Assim, teremos: 
 ሺݕ െ ܽሻሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻଷଶ െ ሺݕ ൅ ܽሻሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻଷଶሾሺݔଶ ൅ ሺݕ ൅ ܽሻଶሻሺݔଶ ൅ ሺݕ െ ܽሻଶሻሿଷଶ ؆ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻଷଶ ൤ሺݕ െ ܽሻ ൬ͳ ൅ ͵ܽݕሺݔଶ ൅ ݕଶሻ ൅ ڮ൰ െ ሺݕ ൅ ܽሻ ൬ͳ െ ͵ܽݕሺݔଶ ൅ ݕଶሻ ൅ڮ൰൨ሺݔଶ ൅ ݕଶሻଷ ൌ ʹܽ ቎ ʹݕଶ െ ݔଶሺݔଶ ൅ ݕଶሻହଶ቏ 
(13-12) 
 
Substituindo o resultado de (13-12) em (13-11), 
teremos: 
 ܧ௬ ؆ ͳͶߨ߳଴ ή ݌ሺʹݕଶ െ ݔଶሻሺݔଶ ൅ ݕଶሻହଶ 
(13-13) 
 
 Questão 14
 
Uma haste isolante “semi-infinita” (figura a 
seguir) é portadora de uma carga constante, por 
unidade de comprimento, ɉ. Mostrar que o campo 
elétrico no ponto P forma um ângulo de 45Ͳ�…‘�ƒ� Šƒ•–‡Ǥ� �‡”‹ˆ‹“—‡� “—‡� ‡••‡� ”‡•—Ž–ƒ†‘� ±�‹†‡’‡†‡–‡�†ƒ�†‹•–Ÿ…‹ƒ��Ǥ��������
 
Resolução: 
A resolução desta questão é semelhante à 
resolução da questão 8. Sendo que nesse caso, o 
componente 0x do campo não será nulo. Da 
equação (8-8), teremos: 
 ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܴߣ ή ܿ݋ݏ�ߠ�݀ߠ 
(14-1) 
 
E de forma semelhante, teremos para o 
componente 0x, a expressão dada por: 
 
 
 
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11 
 ݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܴߣ ή ݏ݁݊�ߠ�݀ߠ 
(14-2) 
 
Integrando as equações (14-1) e (14-2), teremos: 
 ܧ௬ ൌ ߣͶߨ߳଴ܴන ܿ݋ݏߠ݀ߠഏమ଴ ൌ ߣͶߨ߳଴ܴ 
(14-3) 
 ܧ௫ ൌ ߣͶߨ߳଴ܴන ݏ݁݊ߠ݀ߠഏమ଴ ൌ ߣͶߨ߳଴ܴ 
(14-4) 
 
Seja ߙ o ângulo entre ܧ௫ e ܧ௬. Então: 
 ߙ ൌ ݐ݃ିଵ ܧ௬ܧ௫ ൌ ͳ ׵ ߙ ൌ ߨͶ �ݎܽ݀ 
(14-5) 
 
 Questão 15
 
(a) Determinar o módulo do campo elétrico no 
ponto P mencionado na questão anterior. (b) 
Suponha que a densidade de carga ɉ (carga por 
unidade de comprimento) seja variável; suponha 
que ߣ ൌ ܣݔ, onde A é uma constante 
dimensionalmente homogênea e x é a distância 
contada a partir da extremidade da haste 
próxima do ponto P. Determine ܧሺݔሻ. 
Resolução: 
(a) Utilizando os resultados de (14-3) e (14-4), 
teremos: 
 ܧோ ൌ ߣξʹͶߨ߳଴ܴ 
(15-1) 
 
 
(b) Utilizando as relações (14-1) e (14-2), 
teremos: 
 ݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣ݀ݔܴଶ ൅ ݔଶ ݏ݁݊ߠ 
(15-2) 
 
 ݀ܧ௬ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣ݀ݔܴଶ ൅ ݔଶ �ܿ݋ݏߠ 
(15-3) 
 
Em que ߣ ൌ ܣݔ e ݔ ൌ ܴ ή ݐ݃ߠ. Assim, teremos de 
(15-2), para o campo na direção 0x: 
 ݀ܧ௫ ൌ ܣͶߨ߳଴ ή ݔଶሺܴଶ ൅ ݔଶሻయమ ݀ݔ 
(15-4) 
 
Integrando até um valor x, teremos: 
 ܧ௫ ൌ ܣͶߨ߳଴න ݔƴ ଶሺܴଶ ൅ ݔƴ ଶሻయమ ݀ݔƴ௫଴ � ׵ ܧ௫ ൌ ܣͶߨ߳଴ ቈ݈݊ ቆݔ ൅ ξܴଶ ൅ ݔଶܴ ቇ െ ݔξܴଶ ൅ ݔଶ቉ 
(15-5) 
 
Em que: 
 න ݔଶሺܴଶ ൅ ݔଶሻయమ ݀ݔ ൌ െݔξܴଶ ൅ ݔଶ ൅ ݈݊ ቀݔ ൅ ඥܴଶ ൅ ݔଶቁ 
 
Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas 
Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973 
 
E para a o campo na direção de 0y, teremos, de 
(15-3): 
 ܧ௬ ൌ ܣ ή ܴͶߨ߳଴න ݔƴሺܴଶ ൅ ݔƴ ଶሻయమ௫଴ ݀ݔƴ �� ׵ ܧ௬ ൌ ܣ ή ܴͶߨ߳଴ ൤ͳܴ െ ͳξܴଶ ൅ ݔଶ൨ 
(15-6) 
 
Em que: 
 න ݔሺܴଶ ൅ ݔଶሻయమ ݀ݔ ൌ െͳξܴଶ ൅ ݔଶ 
 
Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas 
Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973 
 
Assim, o campo resultante será: ܧሺݔሻ ൌ ܧ௫ ൅ ܧ௬ 
 
 
 
 
 
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12 
a ɅͲ Ʌ †Ʌ 
݀ܧሬԦ ࢊࡱሬሬԦ࢟ Ʌ 
a 
dq 
C 
 Questão 16
 
Uma taça hemisférica não condutora, de raio 
interno a, acha-se uniformemente carregada em 
sua superfície interna com uma carga q. 
Determinar o valor do campo elétrico no seu 
centro de curvatura. 
Resolução: 
 
igura 16-1 
 
A igura 16-1 mostra uma taça hemisférica 
carregada. Tomamos um elemento de carga 
circular semelhante a um anel carregado com 
uma carga dq. Esse elemento de carga gera um 
campo dE que está orientado na direção de 0z, 
que de acordo com a equação (9-3) pode ser 
expresso por: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݀ݍ ή ݖሺݎଶ ൅ ݖଶሻయమ 
(16-1) 
 
Em que ݀ݍ ൌ ߪ ή ݀ܣ. Ainda da figura podemos 
concluir: 
 ݀ܣ ൌ ʹߨܽଶݏ݁݊ߠ ή ݀ߠǢ� �ݎ ൌ ܽ ή ݏ݁݊ߠ�݁�ݖ ൌ ܽ ή ܿ݋ݏߠ 
(16-2) 
 
Assim, a equação (16-1) fica: 
 ݀ܧ ൌ ͳʹ߳଴ ή ߪݏ݁݊ߠܿ݋ݏߠ�݀ߠ 
(16-3) 
 
Agora integrando a equação (16-3) partindo de ߠ ൌ Ͳ até ߠ ൌ గଶ, teremos: 
 ܧ ൌ ʹ߳ߪ଴න ݏ݁݊ߠܿ݋ݏߠ�݀ߠഏమ଴ ܧ ൌ ʹ߳ߪ଴ ή ݏ݁݊ଶగଶʹ �׵ ܧ ൌ ߪͶ߳଴ 
(16-4) 
 
Em que: ߪ ൌ ௤ଶగ௔మ (densidade superficial de 
cargas). Assim, teremos: 
 ܧ ൌ ͳͺߨ߳଴ ή ܽݍଶ 
(16-5) 
 
 Questão 17
 
Uma haste fina, não condutora, é curvada de 
modo a formar um arco de circunferência de raio 
a, subtendendo um ângulo central ߠ଴. Distribui-se 
uniformemente, em toda a sua extensão, uma 
carga total q. Determinar a intensidade do campo 
elétrico, no centro da circunferência, em função 
de a, q e ߠ଴. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 17-1 
 
A figura 17-1 representa a configuração do nosso 
problema. O elemento de carga dq gera um 
campo elétrico no ponto C dado por: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݀ݍܽଶ 
(17-1) 
 
Em que: ݀ݍ ൌ ߣ ή ܽ ή ݀ߠ. Pela simetria da 
distribuição das cargas na haste, podemos 
 
 
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13 
 
r 
a x 
݀ܧሬԦ 
P 
dq 
 
 
r 
a 
a 
P 
+q 
+q 
-2q െ݌Ԧ ݌Ԧ 
 concluir que a componente do campo na direção 
0x será nulo. Assim, só teremos componente na 
direção 0y. Da (17-1), teremos: 
 ݀ܧ௫ ൌ ݀ܧܿ݋ݏߠ� �݀ܧ௫ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣܽ�ܿ݋ݏߠ�݀ߠܽଶ 
(17-2) 
 
Assim integrando a equação (17-2) de ߠ ൌ Ͳ até ߠ ൌ ఏబଶ e tomando o dobro, teremos: 
 ܧ ൌ ߣʹߨ߳଴ܽන ܿ݋ݏߠ�݀ߠഇబమ଴ �� ׵ ܧ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݍܽଶߠ଴ ݏ݁݊ ߠ଴ʹ 
(17-3) 
 
Em que ߣ ൌ ௤௔ఏబ (densidade linear de carga). 
 
 Questão 18
 
Um disco (fino, circular, de raio a) acha-se 
carregado uniformemente, com uma densidade 
superficial de carga ɐ. Determinar o campo 
elétrico num ponto do eixo do disco, situado a 
uma distância r do mesmo. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 18-1 
 
A figura 18-1 representa a configuração do nosso 
problema. O elemento de carga é representado 
por uma distribuição de cargas circular (o anel 
carregado da questão 9). O campo produzido em 
P pelo elemento de carga é dado por: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݎ݀ݍሺݔଶ ൅ ݎଶሻయమ 
(18-1) 
Em que: ݀ݍ ൌ ߪ݀ܣǢ ��݀ܣ ൌ ʹߨݔ݀ݔ. Assim, 
integrando a equação (18-1), teremos: 
 ܧ ൌ ߪݎʹ߳଴න ݔ�݀ݔሺݔଶ ൅ ݎଶሻయమ௔଴ � �ܧ ൌ ߪݎʹ߳଴ ൤ െͳξݔଶ ൅ ݎଶ൨଴௔� ׵ ܧ ൌ ʹ߳ߪ଴ ൤ͳ െ ݎξݔଶ ൅ ݎଶ൨ 
(18-2) 
 
 Questão 19
 
Quadrupolo elétrico. A figura 19-1 representa 
um quadrupolo elétrico típico. É constituído por 
dois dipolos cujos efeitos em pontos distantes 
não chegam a se anular completamente. 
Demonstrar que o valor de E no eixo do 
quadrupolo, para pontos situados a uma 
distância (r >> a) do seu centro, é dado por: 
 ܧ ൌ ͵ܳͶߨ߳଴ݎସ 
 
onde Q (igual a ʹݍܽଶ) é chamado momento de 
quadrupolo da distribuição de cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 19-1 
 
Vamos utilizar o resultado da questão 10 dado 
pela equação (10-2). Assim, no ponto P, teremos: 
 ܧ ൌ ܧ௣ െ ܧି௣ 
(19-1) 
 
Em que: 
 
 
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14 
2a 
-q 
+q -q 
+q 
R P 
Ʌ �Ͳ 
Ž 
† ܧሬԦ 
 ܧ௣ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݌ቀݎ െ ܽʹቁయ ǡ ܧି௣ ൌ ͳʹߨ߳଴ ή ݌ቀݎ ൅ ܽʹቁయ 
(19-2) 
 
Agora substituindo em (19-1) e expandido as 
potências para r >> a, teremos: 
 ܧ ൌ ݌ʹߨ߳଴ݎଷ ൤ቀͳ െ ܽʹݎቁିଷ െ ቀͳ ൅ ܽʹݎቁିଷ൨�� ܧ ؆ ݌ʹߨ߳଴ݎଷ ൤ͳ ൅ ͵ܽʹݎ ൅ڮെ ൬ͳ െ ͵ܽʹݎ൰൨ ܧ ؆ ݌ʹߨ߳଴ݎଷ ή ͸ܽʹݎ 
(19-3) 
 
Como nesse caso ݌ ൌ ݍܽ, teremosentão: 
 ܧ ؆ ͸ݍܽଶͶߨ߳଴ݎସ ൌ ͵ܳͶߨ߳଴ݎସ 
(19-4) 
 
 Questão 20
 
Um tipo de “quadrupolo elétrico” é formado 
por quatro cargas situadas nos vértices de um 
quadrado de lado 2a. Um ponto P está a uma 
distância R do centro do quadrupolo sobre uma 
reta paralela a dois dos lados do quadrado, como 
mostra a figura 20-1. Mostrar que, para R >> a, o 
campo elétrico em P é dado, aproximadamente 
por: 
 ܧ ൌ ͵ሺʹݍܽଶሻͶߨ߳଴ܴସ 
 
 
 
 
 
 
 
figura 20-1 
 
Resolução: 
A estratégia a ser utilizada é a mesma da 
questão anterior. O campo gerado por um dipolo 
em um ponto que se encontra a uma distância R 
perpendicular ao seu eixo é dado por: 
 ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݌ܴଷ 
(20-1) 
 
Logo, teremos: 
 ܧோ ൌ ݌Ͷߨ߳଴ܴଷ ൤ቀͳ െ ܴܽቁିଷ െ ቀͳ ൅ ܴܽቁିଷ൨ 
(20-2) 
 
Agora expandindo as potências para R >> a, 
teremos: 
 ܧோ ൌ ݌Ͷߨ߳଴ܴଷ ή ͸ܴܽ ׵ ܧோ ൌ ͸ሺʹݍܽଶሻͶߨ߳଴ܴସ 
(20-3) 
 
Obs.: Foi mantida a forma original da questão. 
Acredito que na ocasião da edição, a equação, 
alvo de demonstração, foi escrita de forma 
errada. Penso que a forma correta a ser escrita e 
editada deveria ser: 
 ܧோ ൌ ͵ሺʹݍܽଶሻʹߨ߳଴ܴସ 
 
 Questão 21
 
Um elétron é projetado, como na figura 21-1, 
com uma velocidade de ͸ǡͲ ൈ ͳͲ଺�݉ ή ݏିଵ, 
segundo um ângulo Ʌ de 450. ܧ ൌ ʹǡͲ ൈ ͳͲଷܰܥିଵ 
(apontando de baixo para cima), ݀ ൌ ʹǡͲ�ܿ݉ e ݈ ൌ ͳͲǡͲ�ܿ݉. (a) Atingirá o elétron uma das duas 
placas? (b) Se atingir, em que ponto isso 
ocorrerá? 
 
 
 
 
 
 
 
figura 21-1 
Resolução: 
Previamente vamos determinar os componentes 
da velocidade nas direções 0x e 0y: 
 
 
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15 
 ݒ଴௫ ൌ ݒ଴ܿ݋ݏߠ ൌ ͶǡʹͶ ή ͳͲ଺݉ ή ݏିଵ� ݒ଴௬ ൌ ݒ଴ݏ݁݊ߠ ൌ ͶǡʹͶ ή ͳͲ଺݉ ή ݏିଵ 
(21-1) 
 
O campo elétrico fornecerá uma aceleração para 
o elétron que aponta na direção de 0y para baixo, 
dada por: 
 ܽ ൌ ݁݉ܧ ൌ ͵ǡͷʹ ή ͳͲଵସ�݉ ή ݏିଶ 
(21-2) 
 
O elétron deve percorrer a distância entre as 
placas e atingirá a altura de 2,0 cm com uma 
velocidade dada por: 
 ݒ௬ଶ ൌ ݒ଴௬ଶ െ ʹܽ݀� ݒ௬ ൌ ඥሺͶǡʹͶ ή ͳͲ଺ሻଶ െ ʹ ή ͵ǡͷʹ ή ͳͲଵସ ή ͲǡͲʹ� ݒ௬ ൌ ͳǡͻ͹ ή ͳͲ଺�݉ ή ݏିଵ 
(21-3) 
 
O intervalo de tempo gasto para o elétron 
adquirir essa velocidade na direção de 0y vale: 
 οݐ ൌ οݒ௬ܽ ൌ ͸ǡͶͷ ή ͳͲିଽݏ 
(21-4) 
 
Nesse intervalo de tempo, o elétron percorrerá 
na direção 0x: 
 οݔ ൌ ݒ௫οݐ ؆ ͲǡͲʹ͹݉ ൌ ʹǡ͹ܿ݉ 
(21-5) 
 
 Questão 22
 
Determinar a frequência de oscilação de um 
dipolo elétrico, de momento p e momento de 
inércia I, para pequenas amplitudes de oscilação 
em torno de sua posição de equilíbrio, num 
campo elétrico uniforme de intensidade E. 
Resolução: 
O torque no dipolo é dado por: 
 ࣮ ൌ െ݌ܧݏ݁݊ߠ 
(22-1) 
 
O torque, por sua vez, é dado por: 
 ࣮ ൌ ܫߙ 
(22-2) 
 
Para um M.H.S., o torque deve ser proporcional 
ao oposto do deslocamento angular. Assim: 
 ࣮ ൌ െ݇ߠ 
(22-3) 
 
Da equação (22-1), para pequenas oscilações: 
 ࣮ ؆ െ݌ܧߠ 
(22-4) 
 
Assim, utilizando (22-2) e (22-4): 
 െ݌ܧߠ ൌ ܫߙ� ߙ ൌ െ݌ܧܫ ߠ 
(22-5) 
 
Como um M.H.S. é caracterizado por ߙ ൌ െ߱ଶߠ, 
teremos: 
 ߱ ൌ ඨ݌ܧܫ ֜ ߭ ൌ ͳʹߨඨ݌ܧܫ 
(22-6) 
 
 Questão 23
 
Dipolo num campo não uniforme. (a) Deduzir a 
expressão para ೏ಶ೏೥ num ponto situado a meia 
distância entre duas cargas positivas iguais, 
sendo z a distância a partir de uma delas, medida 
sobre o segmento de reta por elas definido. (b) 
Ficará um pequeno dipolo, colocado nesse ponto 
com seu eixo coincidente com o eixo dos z, sujeito 
à ação de alguma força? Lembrar que, nesse 
ponto E = 0. 
Resolução: 
Seja uma cargas positivas colocadas em 0. Assim, 
em um ponto que se localiza em z, o campo 
elétrico é dado por: 
 ܧ ൌ ݍͶߨ߳଴ ൤ ͳݖଶ െ ͳሺ݀ െ ݖሻଶ൨�� 
 
 
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16 
׵ ܧ ൌ ݍͶߨ߳଴ ቈ݀ଶ െ ʹݖ݀ݖଶሺ݀ െ ݖሻ቉ 
(23-1) 
 
Utilizando a expressão (23-1), teremos: 
 ݀ܧ݀ݖ ൌ െݍͶߨ߳଴ ൤ʹݖଷ ൅ ʹሺ݀ െ ݖሻଷ൨ 
(23-2) 
 
Para ݖ ൌ ௗଶ, teremos: 
 ݀ܧ݀ݖ ൌ െͺݍߨ߳଴݀ଷ 
(23-3) 
 
Estando o dipolo com seu eixo coincidente ao 
eixo das cargas e com seu centro coincidente com 
o centro das cargas, existirá uma força atuando 
no dipolo. 
 
 Questão 24
 
Duas barras delgadas de comprimento L estão 
sobre o eixo 0x, uma delas entre os pontos ݔ ൌ ௔ଶ 
e ݔ ൌ ௔ଶ ൅ ܮ e a outra entre os pontos ݔ ൌ െ ௔ଶ e ݔ ൌ െ ௔ଶ െ ܮ. Cada barra possui uma carga Q 
distribuída uniformemente ao longo de seu 
comprimento. (a) Calcule o campo elétrico 
produzido pela segunda barra nos pontos 
situados ao longo da parte positiva do eixo 0x. (b) 
Mostre que o módulo da força que uma barra 
exerce sobre a outra é dado por: 
 ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳଴ܮଶ ݈݊ ቈ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽሺܽ ൅ ʹܮሻ቉ 
 
(c) mostre que, quando a >> L, o módulo dessa 
força se reduz a: 
 ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳଴ܽଶ 
Resolução: 
 
Considere a figura a seguir como a representação 
do nosso problema. 
 
O elemento de carga em dx, gera um campo 
elétrico num ponto que dista r dado por: 
 ݀ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ߣ݀ݔݎଶ 
(24-1) 
 
Em que ݎ ൌ ܮ െ ݔ ൅ ܾ. Assim, integrando a 
equação (24-1) de 0 até L, teremos: 
 ܧ ൌ ߣͶߨ߳଴න ݀ݔሺܮ െ ݔ ൅ ܾሻଶ௅଴ �� ׵ ܧ ൌ ܳͶߨ߳଴ܮ ή ܮܾሺܮ ൅ ܾሻ 
(24-2) 
 
Em que ߣ ൌ ொ௅ . Agora, cada elemento de carga na 
barra da direita de 0, experimentará uma força 
dada por (utilizando (24-2)): 
 ݀ܨ ൌ ߣ ή ܾ݀ ή ܧ� ݀ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳଴ܮଶ ή ܮ ή ܾܾ݀ሺܮ ൅ ܾሻ 
(24-3) 
 
Integrando (24-3) de a até L + a, teremos: 
 ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳଴ܮଶන ௅�ௗ௕௕ሺ௅ା௕ሻ௔ା௅௔ �� ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳଴ܮଶ ൤݈݊ ൬ ܾܾ ൅ ܮ൰൨௔௔ା௅� ׵ ܨ ൌ ܳଶͶߨ߳଴ܮଶ ݈݊ ቆ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽሺܽ ൅ ʹܮሻቇ 
(24-4) 
 
Agora para a >> L, teremos: 
 ݈݊ ሺܽ ൅ ܮሻଶܽሺܽ ൅ ʹܮሻ ൌ ݈݊ ቀͳ ൅ ܽܮቁଶቀͳ ൅ ʹܽܮቁ 
 
 
 
 
L L 
x 
dx 
r 
b ି௔ଶ ௔ଶ 0 
 
 
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17 
ൌ ʹ݈݊ ൬ͳ ൅ ܽܮ൰ െ ݈݊ ൬ͳ ൅ ʹܽܮ൰ 
(24-5) 
 
Expandindo o logaritmo, teremos: 
 ؆ ʹ ቈܽܮ െ ͳʹ ܮଶܽଶ቉ െ ቈʹܽܮ െ ʹܮଶܽଶ ቉ ൌ ܮଶܽଶ 
(24-6) 
 
Substituindo em (24-4), teremos: 
 ׵ ܨ ؆ ܳଶͶߨ߳଴ܽଶ 
(24-7) 
 
 
 න ݀ݔሺܽݔ ൅ ܾሻଶ ൌ െͳܽሺܽݔ ൅ ܾሻ 
 න ݀ݔݔሺܽݔ ൅ ܾሻ ൌ ͳܾ ݈݊ ቀ ݔܽݔ ൅ ܾቁ 
 ݈݊ሺͳ ൅ ݔሻ ൌ ͳ െ ݔଶʹ ൅ ݔଷ͵ െ ݔସͶ ൅ڮ�ȁݔȁ ൏ ͳ 
 
Spielgel M. R.; Manual de fórmulas e tabelas 
Matemáticas; McGRAW-HILL, 1973