AV1 MecFlu MM 12 04 2017

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DIRETORIA DE CIÊNCIAS EXATAS 
CURSO MODULAR – ENGENHARIA MECÂNICA –MEMORIAL 
AVALIAÇÃO AV1 DE MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Prof. Dr. Rodrigo de Almeida Amarante – DATA: 12 / 04 / 2017 
 
NOME: GABARITO ______________________________________________ RA __________________ 
 
LEIA AS INSTRUÇÕES COM ATENÇÃO!! 
- Avaliação individual; responder de forma legível e organizada; Valor: de zero a dez; Peso: 50% da AV1; 
- A interpretação é parte integrante da avaliação; proibido o uso de equipamentos eletrônicos; 
- Para esta avaliação, considere X como o último dígito não nulo do seu R.A. 
 
Dados: massas específicas, ߩó௟௘௢ = 800 ݇݃/݉³, ߩá௚௨௔ = 1000 ݇݃/݉³, ߩு௚ = 13600 ݇݃/݉³, g = 10 m/s² 
 
QUESTÃO 1 (3,5 pontos): O diâmetro da tubulação ilustrada abaixo diminui de 240 mm em (A) para 180 mm em (B), 
despejando água no reservatório a 140 L/s (escoamento permanente). Se a descarga nessa tubulação for constante e igual 
a 140,0 L/s, determine: (a) a perda de carga entre os pontos (A) e (B), 1 ponto; (b) o tempo necessário para que o 
reservatório menor encha completamente, se a válvula (1) estiver fechada e a (2) aberta, 0,5 ponto; (c) a máxima vazão 
de água na saída da válvula (1), 1 ponto; (d) o diâmetro da tubulação da válvula (2), sabendo que quando ambas as 
válvulas estão abertas, as vazões em (1) e (2) são iguais e a velocidade em (1) é o dobro da velocidade em (2), 1 ponto. 
 
 
X Hp (m) 
1 0,03 
2 0,23 
3 0,43 
4 0,63 
5 0,83 
6 1,03 
7 1,23 
8 1,43 
9 1,63 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
(a) 
݌ଵ
ߛ
+ ݖଵ +
ݒଵଶ
2݃
=
݌ଶ
ߛ
+ ݖଶ +
ݒଶଶ
2݃
+ ܪ௣ 
ܳଵ = ܳ = ݒଵ ∙ ܣଵ ܳଶ = ܳ = ݒଶ ∙ ܣଶ 
0,140 = ݒଵ ∙
ߨ ∙ 0,240ଶ
4
= ݒଵ ∙ 0,0542 0,140 = ݒଶ ∙
ߨ ∙ 0,180ଶ
4
ݒଶ ∙ 0,0254 
ݒଶ = 3,09 ݉/ݏ ݒଶ = 5,50 ݉/ݏ 
10000 ∙ ܺ
10000
+ 1,2 +
3,09²
20
=
12000 ∙ ܺ
10000
+ 0 +
5,50²
20
+ ܪ௣ 
 
O valor de Hp depende do número de R.A. As possíveis respostas estão na tabela acima, ao lado da figura. 
 
Reservatório de 
grandes dimensões 2,1 m³
1,2 m
(10*X) kPa
(12*X) kPa
(1)
(2)
(A)
(B)
Diâmetro (X) cm
X m
 
NOTA 
(b) 
ܳ = 
ܸ
∆ݐ
 
 
0,14 = 
2,1
∆ݐ
 
 ∆࢚ = ૚૞ ࢙ 
(c) A máxima vazão pela tubulação onde se encontra a válvula 1 ocorre quando a válvula 2 está fechada. Cuidado: 
essa vazão não é igual à vazão pela tubulação! Como o reservatório de grandes dimensões está completamente 
cheio, existe uma coluna de líquido de X metros de altura, responsável pela pressão de saída do jato. Como vimos 
em sala de aula, a aplicação da Equação de Bernoulli para esse caso leva à seguinte equação: 
ݒ௝௔௧௢ = ඥ2 ∙ ݃ ∙ ℎ = √2 ∙ 10 ∙ ܺ ܳ = ݒ௝௔௧௢ ∙ ܣଵ = 4,47 ∙ √ܺ ∙ 0,0542 
ݒ௝௔௧௢ ≈ 4,47 ∙ √ܺ ݉/ݏ ܳ ≈ 0,2424 ∙ √ܺ ݉³/ݏ 
A tabela a seguir apresenta as respostas possíveis para cada número de R.A. 
X Q (m³/s) 
1 0,2424 
2 0,3428 
3 0,4198 
4 0,4848 
5 0,5420 
6 0,5938 
7 0,6413 
8 0,6856 
9 0,7272 
 
(d) O enunciado exigia que as vazões pelas válvulas fossem iguais, ou seja: 
 
ݒଵ ∙ ܣଵ = ݒଶ ∙ ܣଶ ݒଵ ∙
ߨ
4
ܦଵଶ = ݒଶ ∙
ߨ
4
ܦଶଶ ݒଵ ∙ ܦଵ
ଶ = ݒଶ ∙ ܦଶଶ 
 
Além disso, a velocidade em 1 é o dobro da velocidade em 2, ou seja, ݒଵ = 2 ݒଶ. 
 
2 ݒଶ ∙ ܺ² = ݒଶ ∙ ܦଶଶ ܦଶ = ܺ ∙ √2 ܿ݉ 
 
A tabela a seguir compila os possíveis resultados, para cada valor de X. 
 
X D2 (cm) 
1 1,41 
2 2,83 
3 4,24 
4 5,66 
5 7,07 
6 8,49 
7 9,90 
8 11,31 
9 12,73 
 
QUESTÃO 2 (3,0 pontos): O bocal da figura descarrega, no canal, (૚૙ ∙ ࢄ) ܮ/ݏ de um fluido com viscosidade 
cinemática ߥ = 10ିସ ݉ଶ/ݏ e peso específico ߛ = 8000 ܰ/݉³. Determinar: (a) a velocidade média no canal; (b) a 
perda de carga entre 1 e 2, considerando que na seção 1 o diâmetro da tubulação é 10 polegadas e a pressão é igual a 0,3 
MPa; (c) a máxima velocidade no canal, supondo que ݒ(ݕ) = ܽݕଶ + ܾݕ + ܿ, com ௗ
ௗ௬
ݒ(ݕ) = 0 na superfície do canal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) A vazão de (૚૙ ∙ ࢄ) ܮ/ݏ deve ser utilizada em unidades internacionais, ou seja, 0,010 ∙ ܺ ݉³/ݏ. 
ܳ = ݒ௠éௗ௜௔ ∙ ܣ X v (m/s) 
1 0,125 
2 0,25 
3 0,375 
4 0,50 
5 0,625 
6 0,75 
7 0,875 
8 1,00 
9 1,125 
 
0,010 ∙ ܺ = ݒ௠éௗ௜௔ ∙ (0,4 ∙ 0,2) 
ݒ௠éௗ௜௔ = (0,125 ∙ ܺ) ݉/ݏ 
(b) 
݌ଵ
ߛ
+ ݖଵ +
ݒଵଶ
2݃
=
݌ଶ
ߛ
+ ݖଶ +
ݒଶଶ
2݃
+ ܪ௣ 
ܳଵ = ܳ = ݒଵ ∙ ܣଵ ܳଶ = ܳ = ݒଶ ∙ ܣଶ 
0,010 ∙ ܺ = ݒଵ ∙
ߨ ∙ 0,254ଶ
4
 0,010 ∙ ܺ = ݒଶ ∙
ߨ ∙ 0,050ଶ
4
 
ݒଶ = (0,0507 ∙ ܺ) ݉/ݏ ݒଶ = (0,0020 ∙ ܺ) ݉/ݏ 
300.000
8.000
+ 0 +
(0,0507 ܺ)ଶ
20
=
0
ߛ
+ 0 +
(0,0020 ܺ)ଶ
20
+ ܪ௣ 
 
ܪ௣ = ቈ37,5 +
(0,04 ܺ)ଶ
20
−
(0,02 ܺ)ଶ
20 ቉
 ݉ 
X H_p (m) 
1 36,25 
2 32,51 
3 26,27 
4 17,53 
5 6,30 
6 -7,43 
7 -23,65 
8 -42,38 
9 -63,59 
(c) A velocidade no canal é máxima na superfície livre, onde y = h = 20 cm = 0,20 m. 
 
ݒ(ݕ) = ܽݕଶ + ܾݕ + ܿ 
 
Como ௗ
ௗ௬
ݒ(ݕ) = 0 na superfície do canal, logo b = 0 e c = 0, como visto em sala de aula. 
 
ݒ(ݕ) = ܽݕଶ 
Além disso, por definição: 
 
ݒ௠ =
1
ܣ
ඵ ݒ(ݕ) ݀ܣ =
1
(0,20 ∙ 0,50)
න (ܽݕଶ ∙ 0,50)
଴,ଶ଴
଴
݀ݕ 
 
Mas a velocidade média já havia sido determinada no item (a). Assim: 
 
0,125 ∙ ܺ =
1
(0,20 ∙ 0,50)
න (ܽݕଶ ∙ 0,50)
଴,ଶ଴
଴
݀ݕ = 5ܽ 
ݕଷ
3
ቤ
௬ୀ଴
௬ୀ଴,ଶ଴
= 0,0133 ܽ 
 
ܽ = 9,375 ∙ ܺ 
Portanto, 
ݒ(ݕ) = (9,375 ∙ ܺ) ݕଶ 
 
Para y = 0,20 m: 
ݒ௠á௫ = ݒ(0,20) = (9,375 ∙ ܺ) 0,20ଶ = 0,375 ∙ ܺ 
 
 
X v_máx 
1 0,375 
2 0,75 
3 1,125 
4 1,50 
5 1,875 
6 2,25 
7 2,625 
8 3,00 
9 3,375 
 
Note que a velocidade máxima é exatamente igual ao triplo da velocidade média! 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 (3,5 pontos): Em um conduto retangular, ar (massa específica ߩ = 1,2 ݇݃/݉³) escoa, em regime 
permanente, com um diagrama bidimensional de velocidades dado por ݒ(ݕ) = −4 ∙ ௠ܸá௫ ∙ ߚ(ߚ − 1), com velocidade 
máxima ௠ܸá௫ = (૛ ∙ ࢄ) ݉/ݏ e ߚ =
ݕ
ℎൗ . Determine a velocidade média do escoamento no tubo de saída, se o ar for 
resfriado, de maneira que sua massa específica se reduza à metade. 
 
É importante notar que a massa específica, neste exercício, não é constante. Assim, a Equação da Continuidade deve 
levar isso em consideração, ou seja, a vazão em massa é constante: ∑ ܳ௘௡௧௥௔ௗ௔௠ = ∑ ܳ௦௔íௗ௔௠ . 
 
ߩଵ ∙ ݒଵ ∙ ܣଵ = ߩଶ ∙ ݒଶ ∙ ܣଶ 
 
1,2 ∙ ݒଵ ∙ (0,05 ∙ 0,20) = 0,6 ∙ ݒଶ ∙
ߨ ∙ 0,042
4 
 
ݒଶ = 15,9155 ∙ ݒଵ 
 
ݒଵ = ݒ(ݕ) = −4 ∙ ௠ܸá௫ ∙ ߚ(ߚ − 1) 
 
ݒଵ = −4 ∙ (2 ܺ) ∙
ݕ
ℎ
∙ ቀ
ݕ
ℎ
− 1ቁ 
 
ݒଵ = −8 ∙ ܺ ∙ ቈ൬
ݕ
0,05
൰
ଶ
−
ݕ
0,05
቉ = −8 ∙ ܺ ∙ (400ݕଶ − 20ݕ) 
 
Por definição: 
ݒ௠ =
1
ܣ
ඵ ݒ(ݕ) ݀ܣ =
−8 ∙ ܺ
(0,05 ∙ 0,20)
න ሾ(400ݕଶ − 20ݕ) ∙ 0,20ሿ
଴,଴ହ
଴
݀ݕ 
 
ݒ௠ = −160 ∙ ܺ ∙ ቆ
400 ݕଷ
3
−
20 ݕଶ
2 ቇ
 ቤ
௬ୀ଴
௬ୀ଴,଴ହ
=
4 ܺ
3
≈ 1,33 ∙ ܺ 
 
Note que, desta vez, a velocidade máxima é igual a 1,5 vezes o valor da velocidade média! Por quê? 
 
Substituindo na Equação da Continuidade: 
 
1,2 ∙
4 ܺ
3
∙ (0,010) = 0,6 ∙ ݒଶ ∙ (0,001257) 
 
ݒଶ ≈ 21,22 ∙ ܺ 
 
X v1(m/s) v2 (m/s) 
1 1,33 21,2 
2 2,67 42,4 
3 4,00 63,7 
4 5,33 84,9 
5 6,67 106,1 
6 8,00 127,3 
7 9,33 148,5 
8 10,67 169,8 
9 12,00 191,0 
 
5 cm
4 cm
Vmáx