Aula 02 – Distribuições Contínuas de Probabilidades

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Aula 02 – Distribuições Contínuas de Probabilidades
Prof. Me. André Breve andre.breve@estacio.br
CCE0174 – Estatística Aplicada à Engenharia
Introdução
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Me. André Breve
Distribuições Contínuas
Variável aleatória contínua é aquela	que pode assumir inúmeros	valores num inte
rvalo de números	reais e é medida numa escala contínua.
A temperatura, a pressão, a precipitação ou qualquer elemento medido numa es cala contínua é uma variável aleatória contínua.
Há muitas distribuições teóricas contínuas, dentre as quais se destaca a distribuição Normal, a mais importante e mais empregada distribuição de probabilidades contínua.
Outras distribuições contínuas: Uniforme; Gama; Exponencial; Log-normal e Weibull
Distribuição Uniforme
Uma distribuição de variável aleatória contínua é a distribuição uniforme cuja função densidade de probabilidade é constante dentro de um intervalo de valores da variável aleatória.
•
Representação gráfica:
Distribuições Contínuas de Probabilidades
A variável aleatória X tem distribuição uniforme de probabilidades no intervalo (a, b) com as seguintes condições: b ≥ a e a ≤ x ≤ b
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Distribuição Uniforme
Da definição da distribuição uniforme deduzimos:
A área do retângulo é igual a 1, pois a base é (b – a) e a altura é 1/(b – a)
A probabilidade da variável aleatória x ser igual ou maior que a e,
ao mesmo tempo, menor ou igual a b é igual a 1 ou 100%
Cálculo da média e da Variância:
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Distribuição Uniforme
Ex1: A variável aleatória x tem distribuição uniforme no intervalo (50, 200).
Calcular a média e o desvio padrão.
Qual a probabilidade de um valor da variável X se encontrar entre 110 e 150?
a)
b)
50
200
1/150
P (110 ≤ x ≤ 150) = Área = base x altura
P (110 ≤ x ≤ 150) = (150 – 110) x 1/150 P (110 ≤ x ≤ 150) = 40 x 1/150 = 40/150 P (110 ≤ x ≤ 150) = 0,2667 ou 26,67%
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
•
Distribuição Uniforme
Ex2: Qual é a probabilidade de obter um ângulo entre 30 e 60 graus?
P (30 < x < 60) = Área = base x altura P (30 < x < 60) = (60 – 30) x 1/360
P (30 < x < 60) = 0,0833
P (30 < x < 60) = 8,33%
360
1/360
0 30 60
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
Distribuição Normal
Entre as distribuições teóricas de variáveis aleatórias contínuas, uma das
mais empregadas é a distribuição normal.
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa socioeconômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam.
Aspecto gráfico de uma distribuição normal:
Distribuições Contínuas de Probabilidades
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Distribuição Normal
Para uma correta compreensão de uma distribuição normal deve-se levar em consideração as seguintes propriedades:
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real
A representação gráfica de uma distribuição normal é uma curva em formato de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.
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Distribuição Normal
Para uma correta compreensão de uma distribuição normal deve-se levar
em consideração as seguintes propriedades:
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem tocá-lo.
Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual a probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5.
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Distribuição Normal
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, o principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo.
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média x̅	e desvio padrão s, então a variável z tem distribuição normal reduzida:
z = (x - x̅ )
s
As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são
encontradas em tabelas, não havendo a necessidade de serem calculadas.
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Distribuição Normal
Ex: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Supondo-se que essa variável tenha distribuição normal com média x̅	= 2 cm e desvio padrão s = 0,04 cm, qual é a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05cm?
P (2 < X < 2,05)
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z = (x - x̅ ) / s
z = (2,05 - 2) / 0,04
z = 0,05 / 0,04	=>
z = 1,25
Na tabela: P (0 < Z < 1,25) = P (2 < X < 2,05) = 0,3944
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Distribuição Normal
Exercícios:
Determine as probabilidades: a) P(-1,25 < Z < 0)
b) P(-0,5 < Z < 1,48)
c) P(0,8 < Z < 1,23)
d) P(Z > 0,6)
e) P(Z < 0,92)
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Distribuição Normal
Exercícios:
2) Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, sem torno da média de R$500,00, com desvio padrão de R$40,00. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$490,00 e R$520,00.
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Distribuição Normal
Exercícios:
3) Sendo Z uma variável com distribuição normal reduzida, calcule: a) P(0 < Z < 1,44)
b) P(-0,85 < Z < 0)
c) P(-1,48 < Z < 2,05)
d) P(0,72 < Z < 1,89)
e) P(Z > -2,03)
f ) P(Z > 1,08)
g) P(Z < -0,66)
h) P(Z < 0,60)
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Distribuição Normal
Exercício 4: Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média igual a 100 e desvio padrão igual a 10. Determine a probabilidade de um indivíduo submetido ao teste ter nota:
Maior que 120
maior que 80
entre 85 e 115
maior que 100
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Distribuição Normal
Exercício 5: Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuidos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:
entre 60 e 70 kg;
mais que 63,2 kg;
menos que 68 kg.
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Distribuição Normal
Exercício 6: A duração de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias. Sabendo que a duração é normalmente distribuida, calcule a probabilidade de esse componente durar:
entre 700 e 1000 dias;
mais de 800 dias;
menos de 750 dias.
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Distribuição Exponencial
A distribuição exponencial é geralmente aplicada à dados com forte assimetria como aqueles cujo histograma tem a forma da figura abaixo, ou seja, de J invertido
nos	casos	onde	q
o	espaço	ou
Aplicada	ueremos	analisar intervalo de acontecimento de um evento
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Distribuição Exponencial
Bastante empregada em situações onde se trabalha com o
intervalo entre ocorrências de determinado evento
Tempo entre chegada de
pessoas em uma fila;
Tempo de vida de material eletrônico;
Tempo de atendimento de um pedido de suprimento de
materiais;
Tempo entre chegadas de arquivos num servidor.
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Distribuição Exponencial X Distribuição de Poisson
Na distribuição de Poisson: estimativa da quantidade de eventos num
intervalo (distribuição de dados discreta).
Ex.:	um	fio	de	cobre	apresenta	uma	taxa	de	2	falhas	por	metro. Qual a probabilidade de apresentar, em um metro, 4 falhas?
A distribuição Exponencial está ligada à de Poisson; ela analisa inversamente o experimento: um intervalo ou espaço para ocorrência de um evento.
No exemplo do fio, qual a probabilidade de ocorrer uma falha em em 0,5 metros, se ele possui uma taxa de 2 falhas por metro?
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
Distribuição Exponencial
Distribuições Contínuas de Probabilidades
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Distribuição Exponencial
Distribuições Contínuas de Probabilidades
λ: Parâmetro da distribuição (λ > 0)
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Distribuição Exponencial
Ex1: O setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento das falhas de um importante equipamento, constatando que há, em média, 0,75 falha por ano e que o tempo entre falhas segue uma distribuição exponencial. Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano?
λ = 0,75
P(X > 1) = ?
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Distribuição Exponencial
Ex2: A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, 10.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Qual é a percentagem esperada de componentes que apresentarão falhas em menos de
10.000 horas?
Distribuições Contínuas de Probabilidades
P(X < 10000) = ?
P(X < 10000) = 63,21%
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Distribuição Exponencial
Ex3:	O	prazo	de	operação
medido
em	horas
embalagem	de	frascos	sem	interrupções	para	manutenção
de	uma	máquina	de
tem
distribuição	exponencial	com	média	de	2	horas.	Qual	a	probabilidade desta máquina conseguir operar mais de uma hora sem interrupção?
λ = ½ = 0,50 P(X ≥ 1) = ?
Distribuições Contínuas de Probabilidades
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Distribuição Gama
Uma variável aleatória exponencial descreve o comprimento até
que a primeira contagem seja obtida em um processo de Poisson
A distribuição Gama é um generalização da distribuição exponencial que representa o comprimento até que n contagens ocorram em um processo de Poisson
Ou seja, se o número de ocorrências de um processo de contagens segue a distribuição Poisson(λ), então a variável aleatória "Tempo até a n-ésima ocorrência" do referido processo tem distribuição Gama(n,λ)
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Distribuição Gama
Exemplo: As falhas em CPU’s de computadores usualmente são modeladas por processos de Poisson. Isso porque, tipicamente, as falhas não são causadas por desgaste, mas por eventos externos ao sistema. Assuma que as unidades que falham sejam imediatamente
0,0001.
reparadas	e	que	o	número	médio	de	falhas	por	hora	seja
determine as probabilidades de que:
(a) o tempo entre falhas sucessivas exceda 10.000 horas;
(b) o tempo até a quarta falha exceda 40.000 horas;
Distribuições Contínuas de Probabilidades
P(N = 0) = ?
λ = 1
P(N ≤ 3) = ?
λ = 4
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
Distribuição Gama
Exercício 1: Chamadas para o sistema telefônico seguem uma distribuição de Poisson, com uma média de cinco chamadas por minuto. Qual é a probabilidade de, exatamente, quatro chamadas ocorrerem dentro de um minuto?
P(N = 4) = ?
λ = 5
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
Distribuição Gama
Exercício 2: O tempo entre falhas de um laser em uma máquina citogênica é distribuído exponencialmente, com uma média de 25.000 horas. Qual é a probabilidade de que o tempo até a terceira falha exceda
50.000 horas?
P(X > 50.000) = ?
λ = 1 falha a cada 25.000h
λ = 2 falhas a cada 50.000h
P(X ≤ 2) = 0,6767
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Distribuição de Weibull
A distribuição de Weibull é frequentemente usada para modelar o tempo até a falha de muitos sistemas físicos diferentes
Os parâmetros da distribuição fornecem uma grande flexibilidade para modelar sistemas em que o número de falhas aumenta com o tempo (desgaste de rolamento), diminuem com o tempo (alguns semicondutores) ou permanecem constantes com o tempo (falhas causadas pelos choques externos ao sistema).
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
Distribuição de Weibull
Fórmula:
Fórmula Cumulativa:
Distribuições Contínuas de Probabilidades
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Distribuição de Weibull
Ex: O tempo de falhas (em horas) de um mancal em um eixo mecânico é satisfatoriamente modelado como uma variável aleatória de Weibull, com β = 2 e δ = 5.000 horas. Determine a probabilidade de um mancal durar no mínimo 6.000 horas.
Distribuições Contínuas de Probabilidades
P(X > 6.000) = ? k = 6.000
β = 2
δ = 5.000
P(X > 6.000) = 0,237
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23,7% de todos os mancais duram no mínimo 6.000 horas
Distribuição de Weibull
Exercício 1: A vida (em horas) de uma unidade de processamento de um computador (CPU) é modelada por uma distribuição de Weibull, com parâmetros β = 3 e δ = 900 horas. Qual é a probabilidade de a CPU falhar antes de 500 horas?
Distribuições Contínuas de Probabilidades
P(X < 500) = ? k = 500
β = 3
δ = 900
P(X < 500) = 1 – 0,84243 = 0,15757
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Distribuição Lognormal
Uma variável aleatória X tem a distribuição log-normal quando o seu logaritmo tem a distribuição normal
Assim como a distribuição Weibull, a distribuição Log-Normal é muito usada para caracterizar tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui fadiga de metal, semicondutores, diodos e isolação elétrica.
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
Distribuição Lognormal
Fórmulas Cumulativas:
Distribuições Contínuas de Probabilidades
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Distribuição Lognormal
Ex: O tempo de vida de um laser semicondutor tem uma distribuição lognormal, com θ = 10 horas e ω = 1,5 hora. Qual é a probabilidade de o tempo de vida exceder 10.000 horas?
Distribuições Contínuas de Probabilidades
P(X > 10.000) = ? k = 10.000
θ = 10
ω = 1,5
P(X > k) = 1 - P(X ≤ k)
P(X > 10.000) = 1 – ϕ(-0,52) P(X > 10.000) = 1 – 0,30 = 0,70
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Distribuições Contínuas de Probabilidades
•		P(X > 10) = ? k = 10
θ = 0,5
ω = 1
P(X > k) = 1 - P(X ≤ k)
P(X > 10) = 1 – ϕ(1,80)
P(X > 10.000) = 1 – 0,964 = 0,036
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