Aula 05 – Intervalo de Confiança

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Aula 05 – Intervalo de Confiança
Prof. Me. André Breve andre.breve@estacio.br
CCE0174 – Estatística Aplicada à Engenharia
Na aula anterior, ilustramos com um parâmetro pode ser estimado a partir de dados de uma amostra. Entretanto, é importante entender quão boa é a estimativa obtida.
Uma estimativa de intervalo para um parâmetro de uma população
é chamado de intervalo de confiança.
Informação sobre a precisão de estimação é expressa pelo
comprimento do intervalo:
Intervalo curto =	estimação precisa
Intervalo longo = estimação menos precisa
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Introdução
Não podemos estar certos de que o intervalo contém o parâmetro verdadeiro desconhecido da população – usamos somente uma amostra proveniente da população completa para calcular a estimativa pontual e o intervalo.
No entanto, o intervalo de confiança (IC) é construído de modo que tenhamos alta confiança de que ele contenha o parâmetro desconhecido da população.
Intervalos de Confiança são largamente utilizados em engenharia e nas ciências
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Introdução
Construir um intervalo de confiança para um parâmetro nada mais é que estabelecer uma margem de erro para um estimador e calcular o grau de confiança correspondente a esta margem;
Inúmeros casos na Engenharia se faz necessária a construção de uma margem aceitável para um valor desconhecido porém desejável com um certo grau de confiabilidade;
– Em linhas de produção, é necessário estabelecer margens com a garantia que o produto estará a disposição do consumidor sem grandes riscos financeiros, operacionais ou até mesmo ambientais ou de saúde
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gerar
resultados
confiáveis
para	a
–	Ensaios	científicos	devem comunidade científica
Introdução
Variância conhecida
Suponha que tenhamos uma população normal, com média desconhecida μ e variância conhecida σ2.
– Sabemos que a média da amostra	é normalmente distribuída, com média	e variância σ2
𝑛
– Podemos padronizar	subtraindo e média e dividindo
pelo desvio padrão:
Intervalo de Confiança para a Média
𝑍 =
𝑥 − 𝜇
 𝜎 
𝑛
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Intervalo de Confiança para a Média
0 ≤ α ≤ 1
Há uma probabilidade de 1 – α de selecionar uma amostra para a qual o IC conterá o valor verdadeiro de μ.
Limite inferior de confiança
Limite superior de confiança
Variância conhecida:
Nível de confiança
P {l ≤ μ ≤ u} = 1 - α
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Variância conhecida:
P {- zα/2 ≤
𝑥 − 𝜇
 𝜎 
𝑛
≤ zα/2} = 1 - α
𝜎
P { - zα/2	𝑛 ≤
𝜎
- μ ≤ zα/2	𝑛 } = 1 - α
P {
- zα/2
𝜎
≤ μ ≤
𝑛
+ zα/2
𝜎
} = 1 - α
𝑛
l =
- zα/2
𝜎
𝑛
u =
- zα/2
𝜎
𝑛
Intervalo de Confiança para a Média
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Variância Conhecida
Intervalo de Confiança para a Média, Variância Conhecida
Se for a média amostral de uma amostra aleatória, de tamanho n, proveniente de uma população com variância conhecida σ2, um intervalo 100(1-α)% de confiança para μ é dado por:
- zα/2
𝜎
≤ μ ≤
𝑛
+ zα/2
𝜎
𝑛
sendo zα/2 o ponto superior com 100α/2% da distribuição normal padrão
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Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
–	Valores de zα/2 para os níveis de confiança mais usados na prática:
NíveldeConfiança
α
α/2
zα/2
90%
0,10
0,050
1,65
95%
0,05
0,025
1,96
99%
0,01
0,005
2,58
Intervalo de Confiança para a Média
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Variância Conhecida
Exemplo 1: A norma padrão ASTM E23 define métodos padrões de testes para o impacto em barras entalhadas, feitas de materiais metálicos. A técnica Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto e é frequentemente utilizada para determinar se um material experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com um decréscimo de temperatura. Dez medidas de energia (J) de impacto nos corpos de prova de aço A238, cortados a 60°C, são: 64,1; 64,7; 64,5; 64,6; 64,5;
64,3; 64,6; 64,8; 64,2 e 64,3. Considere que a energia de impacto seja
normalmente distribuída, com σ = 1J. Encontre um intervalo de confiança de 95% para a μ (energia média de impacto).
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Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
Exemplo 1: Resolução
Interpretação Prática: Com base nos dados da amostra, uma faixa de valores altamente plausíveis para a energia média de impacto para o aço A238 a 60°C é 63,84J ≤ μ ≤ 65,08J
Intervalo de Confiança para a Média
- zα/2
𝜎
≤ μ ≤
𝑛
+ zα/2
𝜎
𝑛
α= 0,05
zα/2 = z0,025 = 1,96
= 64,46
σ = 1
n = 10
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64,46 – 1,96 1 ≤ μ ≤ 64,46 + 1,96 1 
10	10
63,84 ≤ μ ≤ 65,08
[63,84, 65,08]
Variância Conhecida
Exercício 1: Deseja-se obter uma estimativa de intervalo de confiança para o ganho em um circuito de um dispositivo semicondutor. Suponha que o ganho seja normalmente distribuído com desvio padrão σ = 20.
Encontre um IC de 95% para μ, quando n = 10 e
Encontre um IC de 95% para μ, quando n = 25 e
Encontre um IC de 99% para μ, quando n = 10 e
Encontre um IC de 99% para μ, quando n = 25 e
= 1000.
= 1000.
= 1000.
= 1000.
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Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
Exercício 2: O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De experiências prévias com esse processo, sabe-se que o rendimento é normalmente distribuído e σ = 3. Os últimos cinco dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimentos percentuais: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. Encontre um intervalo de confiança de 95% para o rendimento médio verdadeiro.
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Intervalo de Confiança para a Média
R: [87,85, 93,11]
Variância Conhecida
–	Limites unilaterais de confiança
Limites Unilaterais de Confiança para a Média, Variância Conhecida
O limite superior com 100(1-α)% de confiança para μ é dado por:
μ ≤ u =
+ z
α
𝜎
𝑛
O limite inferior com 100(1-α)% de confiança para μ é dado por:
- z
α
𝜎
𝑛
= l ≤ μ
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Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida – Limites Unilaterais de Confiança
Exemplo 2: Os mesmos dados para o teste de impacto do Exemplo 1 são usados para construir um intervalo unilateral inferior com 95% de confiança para a energia média de impacto. Lembre-se que	= 64,46, σ = 1J e n = 10.
α= 0,05
zα = z0,05 = 1,64
64,46 – 1,64
1
10
≤ μ
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63,94 ≤ μ
Interpretação Prática: O limite inferior para o intervalo bilateral no Exemplo 1 foi 63,84. Uma vez que zα < zα/2, o limite inferior de um intervalo unilateral é sempre maior que um bilateral de igual confiança. Como não limita μ por cima, ele atinge 95% de confiança com um limite inferior levemente maior. Se o interesse está somente no limite inferior para μ, então o intervalo unilateral é preferido pois fornece igual confiança com um limite inferior maior. Similarmente, um limite unilateral superior é sempre menor do que um limite superior bilateral de igual confiança.
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida – Limites Unilaterais de Confiança
Exercício 3: Um fabricante produz anéis para pistões de um motor de um carro. Sabe-se que o diâmetro do anel é distribuído normalmente com σ = 0,001 mm. Uma amostra aleatória de 15 anéis tem um diâmetro médio de = 74,036 mm.
a) Construa um intervalo bilateral de confiança de 99% para o
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diâmetro médio do anel do pistão;
b)	Construa	um	limite	inferior	de	confiança	99%	para	o	diâmetro
médio do anel do pistão. Compare o limite inferior desse intervalo
de confiança com aquele do item a
Intervalo de Confiança para a Média
R: [74,0353, 74,0367]
R: [74,035, ∞[
Variância Desconhecida
–	Quando	a	variância
σ2
for	desconhecida,	um	procedimento
lógico será trocar σ pelo desvio padrão da amostra S.
–	A variável aleatória Z torna-se agora T:
Distribuição t
Seja	X1,	X2,	...,	Xn	uma	amostra	aleatória	proveniente	de	uma
tem uma distribuição t, com n-1 graus de liberdade
distribuição	normal,	com	média aleatória
𝑇 =
e	variância	desconhecidas.	A variável
𝑥 − 𝜇
 𝑆 
𝑛
Intervalo de Confiança para a Média
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Variância Desconhecida
– A aparência da distribuição t é similar à da distribuição normal padrão, entretanto a distribuição t tem extremidades (caudas) mais espessas, ou seja, tem mais probabilidades nas extremidades do que a distribuição normal.
Intervalo de Confiança para a Média
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Variância Desconhecida
–	Exemplo do uso da tabela: t com 10 graus de liberdade, tendo uma área de 0,05 para a direita é t0,05, 10 = 1,812
1,812
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Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
– É simples encontrar um intervalo de confiança de 100(1-α)% para a média de uma distribuição normal com variância desconhecida, procedendo essencialmente como fizemos no caso da variância conhecida
𝑥 − 𝜇
P (- tα/2,n-1 ≤ 	 𝑆 
𝑛
≤ tα/2,n-1) = 1 - α
P (- tα/2,n-1
𝑆
≤
𝑛
- μ ≤ tα/2,n-1
𝑆
) = 1 - α
𝑛
P (
- tα/2,n-1
𝑆
≤ μ ≤
𝑛
+ tα/2,n-1
𝑆
) = 1 - α
𝑛
Intervalo de Confiança para a Média
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Variância Desconhecida
Intervalo de Confiança para a Média, Variância Desconhecida
Se e s forem a média e o desvio padrão de uma amostra aleatória, de tamanho n, proveniente de uma população normal, com variância desconhecida σ2, então um intervalo de confiança de 100(1-α)% para a média μ é dado por:
- tα/2,n-1
𝑠
≤ μ ≤
𝑛
+ tα/2,n-1
𝑠
𝑛
sendo tα/2,n-1 o ponto superior com 100α/2% da distribuição t, com n-1 graus
de liberdade
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Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
Exemplo 3: Um artigo no periódico Materials Engineering descreve os resultados de testes de tração de adesivos em 22 corpos de prova da liga U-700. A carga no ponto de falha do corpo de prova é dada a seguir (em megapascal):
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Encontrar um intervalo de confiança de 95% para a média.
19,8
10,1
14,9
7,5
15,4
15,4
15,4
18,5
7,9
12,7
11,9
11,4
11,4
14,1
17,6
16,7
15,8
19,5
8,8
13,6
11,9
11,4
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
Exemplo 3: Resolução:
α= 0,05
n = 22
n - 1 = 21 graus de liberdade
tα/2,n-1 = t0,025, 21 = 2,080
= 13,71
s = 3,55
- tα/2,n-1
𝑠
𝑛
≤ μ ≤
+ tα/2,n-1
𝑠
𝑛
13,71 – 2,08 3,55 ≤ μ ≤ 13,71 + 2,08 3,55
22	22
13,71 – 1,57 ≤ μ ≤ 13,71 + 1,57
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12,14 ≤ μ ≤ 15,28
[12,14, 15,28]
Interpretação Prática: O IC é razoavelmente amplo porque há uma grande variabilidade nas medidas do teste de tração de adesivos. Uma amostra com tamanho maior teria levado a um intervalo mais curto.
Intervalo de Confiança para a Média
Exercício 4: Um engenheiro do setor de pesquisa de um fabricante de pneu está investigando a vida do pneu em relação a um novo componente da borracha. Ele fabricou 16 pneus e testou-os até o final da vida em um teste na estrada. A média e o desvio padrão da amostra são 60.139,7 e 3.645,94 km. Encontre um intervalo de confiança de 95% para a vida média do pneu.
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Intervalo de Confiança para a Média
R: [58197,33, 62082,07]
Variância Desconhecida
Exercício 5: O escritório de Meteorologia do Governo Australiano forneceu a quantidade (em mm) anual média de chuva na Austrália entre 1983-2002 conforme apresentado a seguir:
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Construa um intervalo de confiança de 95% para a quantidade anual média de chuva.
Intervalo de Confiança para a Média
499,2
555,2
398,8
391,9
453,4
459,8
483,7
417,6
469,2
452,4
499,3
340,6
522,8
469,9
527,2
565,5
584,1
727,3
558,6
338,6
R: [443,520, 528,080]
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
–	Limites unilaterais de confiança
Limites Unilaterais de Confiança para a Média, Variância Desconhecida
O limite superior com 100(1-α)% de confiança para μ é dado por:
μ ≤	+ t
α,n-1
𝑠
𝑛
α,n-1
O limite inferior com 100(1-α)% de confiança para μ é dado por:
𝑠
𝑛
- t	≤	μ
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Variância Desconhecida
Exercício 6: A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12 corpos de prova e obtém os seguintes resultados: 2216, 2237, 2249, 2204, 2225, 2301, 2281,
2263, 2318, 2255, 2275, 2295.
a) Construa um intervalo bilateral de confiança de 95% para a
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resistência média.
b)	Construa um limite unilateral inferior de confiança de 95% para a
resistência média. Compare esse limite inferior com o limite inferior
do intervalo bilateral de confiança.
Intervalo de Confiança para a Média
R: [2237,3, 2282,5]
R: [2241,4,∞[
Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População
Frequentemente é necessário construir intervalos de confiança para a proporção de uma população;
Exemplo: Suponha que uma amostra aleatória	de tamanho n tenha	sido	retirada	de	uma	grande	(possivelmente	infinita)
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população e que X (≤ n) observações nessa amostra pertençam a uma classe de interesse. Então P = X/n é um estimador pontual da proporção da população p que pertence a essa classe.
–	n e p são parâmetros de uma distribuição binomial
Intervalo de Confiança para a Proporção
^
Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População
–	Se n for grande, a distribuição de Z será aproximadamente normal padrão
𝑍 =
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
𝑃^ − 𝑝
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Intervalo de Confiança para a Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População
P (- zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1 - α
P ( - zα/2 ≤
𝑝(1−𝑝)
𝑛
≤ zα/2) = 1 - α
P ( P - zα/2
𝑝(1−𝑝)
𝑛
≤ p≤ P + zα/2
𝑝(1−𝑝)
𝑛
) = 1 - α
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𝑃^ −𝑝
^
^
Intervalo de Confiança para a Proporção
p - zα/2
≤ p≤ p + zα/2
𝑛 	 𝑛
Onde zα/2 é o ponto α/2% superior da distribuição normal padrão
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Intervalo de Confiança para a Proporção
^
^
𝑝^(1−𝑝) 	 𝑝^(1−𝑝)
Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População
Intervalo Aproximado de Confiança para uma Proporção Binomial
Se p^ for a proporção de observações em uma amostra aleatória, de tamanho n, que pertença a uma classe de interesse, então um intervalo aproximado de confiança de 100(1-α)% para a proporção p da população que pertença a essa classe será:
Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População
Exemplo 4: Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis, 10 têm um acabamento de superfície que é mais rugoso do que as especificações permitidas. Encontre o intervalo de confiança de 95% para a proporção de mancais da população.
Intervalo de Confiança para a Proporção
0,12 – 1,96
0,12(0,88)
85
≤ p ≤ 0,12 + 1,96
0,12(0,88)
85
0,05 ≤ p ≤ 0,19
α= 0,05
n = 85
x = 10
zα/2 = z0,025 = 1,96
10
85
p =	= 0,12
p - zα/2
𝑝(1−𝑝)
𝑛
≤ p≤ p + zα/2
𝑝(1−𝑝)
𝑛
Estatística Aplicada
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Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População
Exercício 7: Está sendo estudada a fração de circuitos integrados defeituosos produzidos em um processo de fotolitografia. Uma amostra aleatória de 300 circuitos é testada, revelando 13 defeitos. Calcule um IC bilateral de 95% para a fração de circuitos defeituosos produzidos por essa ferramenta particular.
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Intervalo de Confiança para a Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção de uma População
–	Podemos encontrar limites unilaterais aproximados de confiança para p por meio de uma simples modificação:
Limites Unilaterais Aproximados de Confiança para uma Proporção
Os limites aproximados inferior e superior de confiança de 100(1-α)%
são:
α
𝑛
𝑝(1−𝑝) ≤ p
α
𝑝(1−𝑝)
𝑛
e	p ≤ ^p + z
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p^ - z
Intervalo de Confiança para a Proporção
Escolha do tamanho da Amostra
–	Ou seja, estamos 100(1- α)% confiantes de que esse erro seja
menor que zα/2
𝑝(1−𝑝)
𝑛
–	Em	situações	em
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que	o
tamanho	da
amostra
puder	ser
selecionado, podemos escolher n de modo a estarmos 100(1- α)%
o	erro
será	menor
do	que
algum	valor
confiantes	de	que especificado E.
Tamanho da Amostra
^
–	Uma vez que P é o estimador pontual de p, podemos definir o erro na estimação de p por meio de P^ :	E = |p - P^ |
Escolha do tamanho da Amostra
Tamanho da Amostra para um Erro especificado
Se uma estimativa p de uma amostra anterior for disponível:
n =
zα/2
𝐸
2
p(1 – p)
n =
zα/2
𝐸
Se p não for conhecido, o tamanho da amostra sempre será um máximo para p = 0,5, isto é, p(1 – p) ≤ 0,25, podendo isso ser usado para obter um limite superior para n:
2
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(0,25)
Tamanho da Amostra
Escolha do tamanho da Amostra
Exemplo 5: Considere a situação do exemplo 4. Quão grande deverá ser a amostra, se quisermos estar 95% confiantes de que o erro em usar p para estimar é menor que 0,05? Lembrando que p = 0,12.
Se	quiséssemos
estar
no	mínimo
95%	confiantes
de	que	nossa
estimativa	p	da	proporção
verdadeira
p	estivesse	dentro
de	0,05,
independente do valor de p, então:
n =
z0,025
𝐸
2
p(1 – p) =
1,96
0,05
2
0,12(0,88) = 163
n =
z0,025
𝐸
2
(0,25) =
1,96
0,05
2
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(0,25) = 385
Interpretação Prática: Se tivéssemos a informação relativa ao valor de p, poderíamos usar uma amostra menor, embora mantendo a precisão desejada de estimação e o nível de confiança.
Tamanho da Amostra
Escolha do tamanho da Amostra
Exercício 8: Um artigo na revista Journal of the American Statistical Association (1990, vol. 85, pp. 972-985) mediu o peso de 30 ratos sob controles experimentais. Suponha que haja 12 ratos abaixo do peso.
Calcule um intervalo bilateral de confiança de 95% para a
verdadeira proporção de ratos.
Usando a estimativa pontual de p, obtida a partir da amostra preliminar, qual o tamanho necessário da amostra para estarmos 95% confiantes de que o erro em estimar o valor verdadeiro de p seja menor do que 0,02?
Quão grande deve ser a amostra se desejarmos estar no mínimo 95% confiantes de que o erro em estimar p seja menor do que 0,02, independente do valor verdadeiro de p?
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Tamanho da Amostra
Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão
Algumas vezes são necessários intervalos de confiança para a variância e desvio-padrão.
Para tanto, utilizaremos a distribuição Qui-Quadrado:
tem uma distribuição qui-quadrado (X2), com n-1 graus de liberdade
X2 =
Distribuição X2
Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória proveniente de uma distribuição normal, com média e variância , e seja S2 a variância da amostra. Então a variável aleatória
𝑛−1 𝑆2
𝜎2
Intervalo de Confiança para a Variância
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Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão
Distribuição Qui-Quadrado
A	variável	aleatória	qui-quadrado	é	não	negativa	e	a distribuição de probabilidades é deslocada para a direita
Intervalo de Confiança para a Variância
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Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão
Tabela da distribuição qui-quadrado
Exemplo: X20,05,10= 18,307 (ponto 5% superior) X20,95,10= 3,940 (ponto 5% inferior)
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Intervalo de Confiança para a Variância
Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão
–	A construção do IC de 100(1-α)% para σ2 é direita, uma vez que:
P (X21-α/2,n-1 ≤ X2 ≤ X2α/2,n-1) = 1 - α
𝑛−1 .𝑆2
𝜎
2
P (
𝑛−1 .𝑆
P (X21-α/2,n-1 ≤
2
X2α/2,n−1
≤ 𝜎2≤
𝑛−1 .𝑆
≤ X2α/2,n-1) = 1 - α
2
X21−α/2,n−1
) = 1 - α
X2 =
𝑛−1 𝑆
2
𝜎2
Intervalo de Confiança para a Variância
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Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão
Intervalo de Confiança para a Variância
Se s2 for a variância amostral de uma amostra aleatória de n observações provenientes de uma população normal, com variância desconhecida σ2, então um intervalo de confiança de 100(1-α)% para σ2 será
𝑛−1 𝑠2 ≤ 𝜎2≤	𝑛−1 𝑠2
X2α/2,n−1	X21−α/2,n−1
sendo X2α/2,n−1 e X21−α/2,n−1 os pontos percentuais superior e inferior 100α/2% da distribuição qui-quadrado, com n-1 graus de liberdade, respectivamente. Um intervalo de confiança para σ tem limites inferior e superior que são as raízes quadradas dos limites correspondentes na equação.
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Intervalo de Confiança para a Variância
Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão
–	É também possível encontrar um limite inferior ou superior de confiança de 100(1-α)% para σ2
Limites Unilaterais de Confiança para a Variância
Os limites inferior e superior de confiança de 100(1-α)% para σ2 são:
X2α,n−1
𝑛−1 𝑠2≤ 𝜎2
e
𝜎2 ≤
𝑛−1 𝑠2
X21−α,n−1
respectivamente.
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Intervalo de Confiança para a Variância
Intervalo de Confiança para a Variância e Desvio Padrão
Exemplo 8: Uma máquina automática de enchimento é usada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância amostral de volume de enchimento de 0,0153 (onça fluida)2. Considerando que o volume de enchimento seja distribuído de forma aproximadamente normal. Encontrar um intervalo superior de confiança de 95%
α= 0,05
n = 20 s2=0,0153
X2α,n-1 = X20,95,19 = 10,117
𝜎2 ≤
𝑛−1 𝑠
2
X21−α,n−1
𝜎2 ≤
19 0,0153
10,117
𝜎2 ≤ 0,0287 (onça fluida)2
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σ ≤ 0,17 onça fluida
Intervalo de Confiança para a Variância
Exercício 9: Um rebite deve ser inserido em um orifício. Uma amostra aleatória de n=15 peças é selecionada e o diâmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do orifício é s=0,008 milímetro. Construa um limite inferior de confiança de 99% para σ2.
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Intervalo de Confiança para a Variância
Exercício 10: Considere a situação do exercício anterior (exercício 9).
Encontre um limite inferior de confiança de 99% para o desvio padrão.
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Intervalo de Confiança para a Variância
R: [0,0055,∞)
Exercício 11: O conteúdo de açúcar na lata de pêssegos em calda é normalmente distribuído. Uma amostra aleatória de n=10 latas resulta em um desvio padrão amostral de s = 4,8 miligramas. Calcule um intervalo bilateral de confiança de 95% para σ.
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Intervalo
de Confiança para a Variância
Exercício 12: A percentagem de titânio em uma liga usada na fundição de aeronaves é medida em 51 peças selecionadas aleatoriamente. O desvio padrão amostral é s = 0,37. Construa um intervalo bilateral de confiança de 95% para σ.
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Intervalo de Confiança para a Variância
R: [0,31, 0,46]
Exercício	13:	Um
capacidade	de	uma
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artigo	na	revista	Cancer	Research	testou	a
droga	na	gênese	de	um	tumor.	Ratos	foram
selecionados aleatoriamente de ninhadas e receitados com a droga. Os tempos de aparecimento do tumor foram registradas conforme segue:
101, 104, 104, 77, 89, 88, 104, 96, 82, 70, 89, 91, 39, 103, 93, 85, 104, 104,
81, 67, 104, 104, 87, 104, 89, 78, 104, 86, 76, 103, 102, 80, 45, 94, 104, 104,
76, 80, 72, 73
Calcule o intervalo de confiança de 95% para o desvio padrão do tempo até o aparecimento do tumor. Verifique a suposição de normalidade da população e comente sobre as suposições para o intervalo de confiança.
Intervalo de Confiança para a Variância