Aula 06 – Testes de Hipóteses

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Aula 06 – Testes de Hipóteses
Prof. Me. André Breve andre.breve@estacio.br
CCE0174 – Estatística Aplicada à Engenharia
Testes de Hipóteses
Nas aulas anteriores, vimos como um parâmetro de uma população pode ser estimado a partir de dados amostrais, usando tanto uma estimativa pontual quanto um intervalo de confiança.
Em muitas situações, um tipo diferente de problema é de interesse: existem duas afirmações competitivas acerca do valor de um parâmetro, e o engenheiro tem de determinar qual afirmação está correta.
Vamos supor a existência de uma hipótese que será considerada correta até que se prove o contrário. Os dados amostrais serão utilizados para aceitar ou rejeitar essa hipótese.
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Introdução
Exemplo: Projeto de um sistema de escape da tripulação de uma aeronave (assento ejetor com motor de foguete que energiza o assento)
Para o assento funcionar apropriadamente, o propelente deve ter uma taxa mínima de 50cm/s.
Se	a	taxa	de	queima	for	muito	baixa,	o	assento	poderá	não
funcionar corretamente
Se	a	taxa	for	muito	alta	pode	implicar	em	instabilidade	no propelente ou ejeção muito potente
Pergunta: A taxa média de queima do propelente é igual a 50cm/s
ou é igual a algum outro valor (maior ou menor)?
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Introdução
Muitos problemas de engenharia requerem que decidamos qual das duas afirmações competitivas acerca do valor de algum parâmetro é verdadeira.
As afirmações são chamadas de hipóteses, e o procedimento de tomada de decisão sobre a hipótese é chamado de teste de hipóteses
Esse é um dos mais úteis aspectos da inferência estatística, uma vez que muitos tipos de problemas de tomada de decisão, teste, ou experimentos no mundo da engenharia podem ser formulados como problemas de testes de hipóteses
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Introdução
Estimação de parâmetros com testes de hipóteses estatísticas e com intervalos de confiança são métodos fundamentais usados no estágio de análise de dados de um experimento comparativo em que o engenheiro está interessado, por exemplo, em comparar a média de uma população com certo valor especificado.
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HIPÓTESE ESTATÍSTICA
Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros de uma
ou mais populações
Introdução
Exemplo: Consideremos o sistema de escape da população descrito anteriormente
Suponha que estejamos interessados em decidir se a taxa média de queima é ou não 50cm/s
Estamos analisando duas hipóteses:
H0 (hipótese nula): μ = 50cm/s
H1 (hipótese alternativa): μ ≠ 50cm/s
A hipótese alternativa, neste caso, é bilateral pois os valores de μ podem ser
superiores ou inferiores a 50cm/s
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Teste de Hipóteses
Procedimentos de testes de hipóteses se apoiam no uso de informações de uma amostra aleatória proveniente da população de interesse.
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–	Se	essa	afirmação
for	consistente
com	a	hipótese,	não
rejeitaremos a hipótese.
com	a	hipótese,
–	Se	essa	afirmação	for	inconsistente
concluiremos que a hipótese é falsa.
Teste de Hipóteses
Testar a hipótese envolve considerar uma amostra aleatória, computar uma estatística de teste a partir dos dados amostrais e então usar a estatística de teste para tomar uma decisão a respeito da hipótese nula
Exemplo: retomando o exemplo anterior.
–	H0: μ = 50cm/s
– H1: μ ≠ 50cm/s
Suponha	que	uma	amostra	de
n=10	espécimes	seja
testada e que a taxa média de queima seja observada. Suponha também que se 48,5≤ ≤51,5 não rejeitaremos a hipótese nula e se <48,5 ou >51,5 rejeitaremos a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.
Teste de Hipóteses
51,5
Região de aceitação
Aceitar H0
μ=50cm/s
Região crítica Rejeitar H0
μ≠50cm/s
Região crítica Rejeitar H0
μ≠50cm/s
48,5
Valores críticos
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Erros Tipo I e Tipo II
Esse procedimento de decisão pode conduzir a uma de duas
decisões erradas
A rejeição da hipótese nula H0 quando ela for verdadeira é definida como erro tipo I.
A falha em rejeitar a hipótese nula H0 quando ela é falsa, é
definida como erro tipo II.
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Teste de Hipóteses
Decisão
H0éverdadeira
H0éfalsa
AceitarH0
Nenhumerro
ErrotipoII
RejeitarH0
ErrotipoI
Nenhumerro
Probabilidade de erro tipo I (α)
–	A probabilidade de erro tipo I pode também ser chamada de
nível de significância ou erro α ou tamanho do teste.
Teste de Hipóteses
α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 for verdadeira)
Lembrando:
Z =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
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Exemplo: Taxa de queima de propelente
–	Erro tipo I ocorrerá quando x > 51,5 ou x < 48,5 e a taxa
verdadeira for μ = 50cm/s
– Suponha σ=2,5 e n=10
Teste de Hipóteses
z1 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	48,5 −50
𝜎
2,5
10
= -1,90
z2 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	51,5 −50
𝜎	2,5
= 1,90
α/2 = 0,0287
α/2 = 0,0287
10	48,5	μ=50	51,5
α = P(Z < -1,90) + P(Z > 1,90) = 0,0287 + 0,0287 = 0,0574
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Interpretação: Essa probabilidade de erro tipo I implica que 5,74% de todas as amostras
taxa média
aleatórias conduziriam à rejeição da hipótese H0: μ=50cm/s, quando a verdadeira de queima fosse realmente 50cm/s.
Exemplo: Taxa de queima de propelente
Podemos reduzir α alargando a região de aceitação
Considere como valores críticos 48 e 52
Teste de Hipóteses
z1 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	48 −50
𝜎
2,5
10
= -2,53
z2 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	52 −50
𝜎	2,5
= 2,53
α/2 = 0,0057
α/2 = 0,0057
10	48
52
μ=50
α = P(Z < -2,53) + P(Z > 2,53) = 0,0057 + 0,0057 = 0,0114
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Exemplo: Taxa de queima de propelente
Podemos reduzir α aumentando o tamanho da amostra
Considere n=16 e valores críticos 48,5 e 51,5
Teste de Hipóteses
z1 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	48,5 −50
𝜎
2,5
16
= -2,40
z2 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	51,5 −50
𝜎	2,5
= 2,40
α/2 = 0,0082
α/2 = 0,0082
16	48,5
51,5
μ=50
α = P(Z < -2,40) + P(Z > 2,40) = 0,0082 + 0,0082 = 0,0164
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Probabilidade de erro tipo II (β)
–	Para	calcular	β,	precisamos	ter	uma	hipótese	alternativa
específica; ou seja, precisamos ter um valor particular de μ.
Teste de Hipóteses
β = P(erro tipo II) = P(falhar em rejeitar H0 quando H0 for falsa)
Lembrando:
Z =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
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Exemplo: Taxa de queima de propelente
Encontrar	a	probabilidade	de	aceitar	a	hipótese	nula
H0:μ=50cm/s, quando a média verdadeira for μ=52cm/s
Agora, um erro tipo II será cometido se a média amostral cair entre 48,5 e 51,5 (limites da região crítica) quando μ=52
Teste de Hipóteses
48
50
52
54
Sujeita a H0: μ=50
Sujeita a H1: μ=52
z1 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	48,5 −52
𝜎	2,5
10
= -4,43
z2 =
𝑛
=
𝑥 − 𝜇	51,5 −52
𝜎
2,5
10
= -0,63
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β = P(-4,43 ≤ Z ≤ -0,63)
β = 0,5000 - 0,2357 = 0,2643
Exercício 1: Um fabricante de fibra têxtil está investigando um novo fio, que a companhia afirma ter um alongamento médio de 12kg, com um desvio padrão de 0,5kg. A companhia deseja testar a hipótese H0:μ=12 contra H1: μ<12, usando uma amostra aleatória de quatro espécimes.
Qual será a probabilidade do erro tipo I, se a região crítica for
definida como x<11,5kg? R: 0,0228
Encontre β para o caso em que o alongamento médio verdadeiro seja de 11,25kg. R: 0,1587
Encontre β para o caso em que a média verdadeira seja de 11,5kg R: 0,5
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Exemplo: Taxa de queima de propelente
Assim, se estivermos testando H0 contra H1 e o verdadeiro valor da média for 52,
a probabilidade de falharmos em rejeitar a falsa hipótese nula é de 26,43%
A probabilidade de cometer o erro tipo II, β, aumenta rapidamente à medida que o valor verdadeiro da média se aproxima do valor da hipótese feita
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Teste de Hipóteses
Valores P
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–	Uma	maneira	de
reportar	os
resultados
de	um
hipóteses	é	estabelecer	que	a
hipótese	nula	foi	ou	não
rejeitada	com	um	valor	especificado	de	α,	ou	nível
teste	de
foi
de
significância.
O valor de α não dá ideia, a quem vai tomar a decisão, a respeito de se o valor calculado estava apenas nas proximidades da região de rejeição ou se estava muito longe dessa região.
Com o objetivo de evitar essas dificuldades, a abordagem do
valor P tem sido largamente adotada na prática.
Teste de Hipóteses
Valor P
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– É costume chamar a estatística de teste significativa quando a hipótese nula H0 é rejeitada; por conseguinte, podemos pensar a respeito do valor P como o menor nível em que os dados α são significativos.
palavras,
o	valor
P	é	o	nível
de	significância
–	Em	outras
observado.
Teste de Hipóteses
Valor P
O valor P é o menor nível de significância que conduz à rejeição da hipótese nula H0, com os dados fornecidos.
Exemplo: Taxa de queima de propelente
Suponha que a média amostral observada seja 51,3cm/s
Teste de Hipóteses
x=51,3 n=16 σ=2,5
H0: μ=50 H1: μ≠50
48,7
50
51,3
O valor P do teste é a probabilidade acima de 51,3 mais a probabilidade abaixo de 48,7
Valor P = 1 – P(48,7 < X < 51,3)
Valor P = 1 – P
48,7−50 < 𝑍 < 51,3−50
2,5/ 16	2,5/ 16
Valor P = 1 – P(-2,08 < Z < 2,08)
Valor P = 1 – 0,962
Valor P = 0,038
Interpretação: Comparando com o nível de significância “padrão” de 0,05, nosso valor P observado é menor, desse modo, se estivéssemos usando um nível de significância fixo de 0,05, a hipótese nula seria rejeitada. De fato, a hipótese nula H0=50 seria rejeitada em qualquer nível de significância acima de 0,038
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Exercício: Um fabricante de fibra têxtil está investigando um novo fio, que a companhia afirma ter um alongamento médio de 12kg, com um desvio padrão de 0,5kg. A companhia deseja testar a hipótese H0:μ=12 contra H1: μ<12, usando uma amostra aleatória de quatro espécimes. Calcule o valor P se a estatística observada for:
a)	x = 11,25 b)	x = 11,0 c)	x = 11,75
Teste de Hipóteses
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Conexão entre Testes de Hipóteses e Intervalo de Confiança
–	Há uma relação íntima entre o teste de hipótese acerca de um
parâmetro e o intervalo de confiança.
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No	exemplo
do	sistema
de	escape
propelente,	com	x=51,3,	σ=2,5	e	n=16,
do		problema		do a	hipótese	nula
H0:μ=50 foi rejeitada, usando α=0,05.
O IC bilateral de 95% para μ pode ser calculado e resultará em 50,075≤ μ ≤52,525.
–	Uma vez que o valor μ=50 não está incluído nesse intervalo, a
hipótese nula H0:μ=50 é rejeitada
Teste de Hipóteses
Procedimento Geral
Determinar	o	parâmetro	de	interesse	(média,	proporção	ou
variância);
Definir a hipótese a ser testada H0;
Definir a hipótese alternativa H1;
Determinar uma estatística de teste apropriada
Delimitar a região de rejeição (valor crítico);
Efetuar os cálculos necessários;
Comparar o valor crítico com o valor calculado e aceitar ou rejeitar H0;
Conclusão a partir da aceitação ou rejeição
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Teste de Hipóteses
Testes para a Média – Variância conhecida
Testes de hipóteses acerca da média μ de uma única população
normal, em que a variância da população σ2 é conhecida.
Com base em considerações anteriores, a média amostral X é um estimador não tendencioso de μ com variância σ2/n
–	Estatística de Teste:
Teste de Hipóteses para a Média
Z0 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
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Testes para a Média – Variância conhecida
–	H0: μ=μ0
H1: μ≠μ0
Teste bilateral:
P = 2[1 – ϕ(|z0|)]
–		H0: μ=μ0
H1: μ>μ0
Teste unilateral superior:
P = 1 – ϕ(z0)
–		H0: μ=μ0
H1: μ<μ0
Teste unilateral inferior:
P = ϕ(z0)
Teste de Hipóteses para a Média
-z0 	0
z0
Valor P = 2[1 – ϕ(|z0|)]
0
z0
Valor P = 1 – ϕ(z0)
-z0 	0
Valor P = ϕ(z0)
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Testes para a Média – Variância conhecida
Podemos também usar a abordagem de nível de significância
fixo com o teste z.
Para tanto, o que temos a fazer é determinar onde colocar as regiões críticas para as hipóteses bilaterais e alternativas unilaterais.
Teste de Hipóteses para a Média
-zα/2
0
zα/2
Regiões Críticas
α/2
α/2
Região de aceitação
zα
Região Crítica
α
Região de aceitação
0
-zα 	0
Região Crítica
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α
Região de aceitação
Testando Hipóteses para a Média, Variância Conhecida (Testes Z)
Hipótese Nula: H0: μ=μ0
Estatística de teste:
HipóteseAlternativa
ValorP
Critério de Rejeição paraTestescomníveisFixos
H1: μ≠μ0
Probabilidade acima de |z0|eabaixode-|z0|
P = 2[1–ϕ(|z0|)]
z0>zα/2ou
z0<-zα/2
H1: μ >μ0
Probabilidade acima de z0 P = 1 – ϕ(z0)
z0 > zα
H1: μ <μ0
Probabilidade abaixo de z0 P = ϕ(z0)
z0 < -zα
Z0 =
𝑥 − 𝜇
 𝜎 
𝑛
Teste de Hipóteses para a Média
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Exemplo: Os sistemas de escape da tripulação de uma aeronave funcionam devido a um propelente sólido......
A taxa média de queima tem de ser 50cm/s, o desvio padrão é 2cm/s, α = 0,05, n = 25 e obteve-se uma taxa média amostral de queima de x=51,3cm/s . Que conclusões poderiam ser tiradas?
Parâmetro de interesse: O parâmetro de interesse é μ, a taxa média de queima
Hipótese nula: H0: μ = 50cm/s
Hipótese alternativa: H1: μ ≠ 50cm/s
4.	Estatística de teste:	Z0 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑛
5. Rejeite H0 se: o valor P for menor que 0,05. Obs: Para usar o teste com nível de significância fixo, os limites da região crítica seriam z0,025 = 1,96 e –z0,025 = -1,96
Teste de Hipóteses para a Média
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Exemplo: Continuação....
6.	Cálculos: Desde que x = 51,3 e σ = 2
7.	Aceitar ou rejeitar H0:
3,25 > 1,96
Rejeitamos H0: μ = 50cm/s, com nível de significância de 0,05
Valor P = 2[1 – ϕ(3,25)] = 2[1 – 0,999423] = 0,0012
7. Conclusão: concluímos que a taxa média de queima difere de 50cm/s, com base em uma amostra de 25 medidas pois o valor P encontrado foi inferior a 0,05. De fato, há forte evidência de que a média de queima exceda 50cm/s.
z0 =
𝑥 − 𝜇
 𝜎 
𝑛
=
25
51,3 −50	1,3
 2 
=	= 3,25
0,4
Teste de Hipóteses para a Média
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Exercício: Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria é aproximadamente distribuída normalmente, com desvio padrão de 1,25 hora. Uma amostra aleatória de 10 baterias tem uma vida média de x=40,5 horas. Há evidências que suporte a alegação de que a vida da bateria excede 40 horas? Use α = 0,05.
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Teste de Hipóteses para a Média
Aplicação 1: O Inmetro ajuda a fiscalizar a qualidade dos produtos. Esse órgão é responsável, por exemplo, por verificar se o conteúdo de um pacote de determinado alimento tem o peso declarado na embalagem. Isso é bastante importante, uma vez que, sem o Inmetro, seria bem mais difícil punir as empresas que não cumprem as especificações da embalagem. Caso esse evento ocorra, o órgão está autorizado a aplicar multas aos fornecedores.
Considere uma empresa que vende pacotes de café com indicação de 500g na embalagem. O Inmetro deseja verificar se os direitos do consumidor estão sendo feridos, então faz uma amostragem aleatória com 16 pacotes e obtêm um peso
médio de 450g do produto contido na embalagem.
Sabendo-se que σ2 = 100, determine se os pacotes tem ou não 500g com α = 5%. O Inmetro deveria multar esse fornecedor?
Considere que o fornecedor pode ser multado tanto por fornecer menos do que
500g quanto mais de 500g em cada embalagem.
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Teste de Hipóteses para a Média
Aplicação 2: Um tipo de tinta bastante peculiar é o termocrômico. Essas tintas são sensíveis a temperaturas quentes e outras, a temperaturas frias (dois tipos diferentes). São feitas com cristais líquidos que mudam de cor de acordo com a temperatura de contato. Pesquisas atuais apontam que um mercado muito interessante para essa tinta é o de eletrodomésticos e acessórios para casa. Um exemplo bastante interessante está no uso dessas tintas em algumas panelas. De acordo com o aquecimento, suas cores vão se modificando.
Considere hipoteticamente que a temperatura declarada por um fabricante dessas panelas para a ativação da cor laranja seja 130º. Considere também uma amostra hipotética de 9 panelas que, quando testadas, produzem uma temperatura média amostral de ativação de 131,08º C. Se a distribuição dos tempos de ativação for normal, com desvio-padrão de 1,5º C, os dados contradiriam a afirmação do fabricante com nível de significância α = 0,01?
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Teste de Hipóteses para a Média
Aplicação 3: A obesidade é uma doença em ascensão e isso se deve em grande parte à mudança dos hábitos alimentares das pessoas, aliada à mudança em seu ritmo de vida. Esses fatos despertam uma preocupação crescente da população em relação aos alimentos consumidos, tornando preferíveis aqueles menos calóricos. Pensando nisso, alguns cientistas estadunidenses, em parceria com uma empresa holandesa, uniram esforços para criar uma batata light. Essa batata tem menos amido do que a tradicional e mais proteínas e fibras. Todos esses fatores resultam em uma batata light 28% menos calórica do que a batata comum.
Considere que para determinado fim culinário, é desejável que um prato à base de batata possua mais de 15 g de hidratos de carbono (amido) em sua composição. O cozinheiro, no entanto, quer saber se pode utilizar as batatas light em sua receita, mas está em dúvida porque não sabe se a redução de amido afetará demasiadamente o parâmetro de amido na receita final. Então, esse cozinheiro fez um teste com 13 pratos. Obteve uma média amostral de 16,4 g e sabe-se que σ = 2,6 g. Determine se o teor de amido médio do lote de batatas é suficiente para a receita no nível de 5%.
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Teste de Hipóteses para a Média
Testes para a Média – Variância desconhecida
–	A situação é similar ao que foi feito em relação ao intervalo de
confiança para a média com variância desconhecida.
–	Neste	caso,	haverá	a	suposição	de	que
a	distribuição	da
população seja, no mínimo, aproximadamente normal.
–	A variável aleatória terá uma distribuição t com n-1 graus de liberdade
–	Estatística de teste:	T = 𝑋 − 𝜇
𝑆
𝑛
Teste de Hipóteses para a Média
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Testes para a Média – Variância desconhecida
–	H0: μ=μ0
H1: μ≠μ0
Teste bilateral:
P = 2P(Tn-1 > |t0|)
–		H0: μ=μ0
H1: μ>μ0
Teste unilateral superior:
P = P(Tn-1 > t0)
–		H0: μ=μ0
H1: μ<μ0
Teste unilateral inferior:
P = P(Tn-1 < t0)
Teste de Hipóteses para a Média
-t0 	0
t0
Valor P
0
t0
Valor P
-t0 	0
Valor P
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Testes para a Média – Variância conhecida
Podemos também usar a abordagem de nível de significância
fixo com o teste t.
Para tanto, o que temos a fazer é determinar onde colocar as regiões críticas para as hipóteses bilaterais e alternativas unilaterais.
Teste de Hipóteses para a Média
-tα/2,n-1
0
tα/2,n-1
Regiões Críticas
α/2
α/2
Região de aceitação
0
tα,n-1
Região Crítica
α
Região de aceitação
-tα,n-1
0
Região Crítica
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α
Região de aceitação
Teste de Hipóteses para a Média
Testando Hipóteses para a Média, Variância Conhecida (Testes Z)
Hipótese Nula: H0: μ = μ0
Estatística de teste:
HipóteseAlternativa
ValorP
Critério de Rejeição paraTestescomníveisFixos
H1: μ≠μ0
Probabilidade acima de |t0|e
abaixode-|t0|
t0>tα/2,n-1
ou
t0<-tα/2,n-1
H1: μ >μ0
Probabilidade acima de t0
t0 > tα,n-1
H1: μ <μ0
Probabilidade abaixo de t0
t0 < -tα,n-1
0
𝑋 − 𝜇0
T	=
𝑆
𝑛
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Teste de Hipóteses para a Média
5.	Rejeite H0 se: o valor P for menor que 0,05.
4.	Estatística de teste: T0 =
Exemplo: Um experimento foi feito com 15 tacos de golfe e seus coeficientes de restituição foram medidos. É de interesse determinar se há evidência (α=0,05) que suporte a afirmação de que o coeficiente médio de restituição excede 0,82. A média e o desvio padrão da amostra são 0,83725 e 0,02456, respectivamente.
Parâmetro de interesse: O parâmetro de interesse é o coeficiente médio de restituição μ.
Hipótese nula: H0: μ = 0,82
Hipótese alternativa: H1: μ > 0,82
𝑋 − 𝜇0
 𝑆 
𝑛
6.	Cálculos: T0 =
𝑋 − 𝜇0
 𝑆 
𝑛
=
0,83725 −0,82
 0,02456
15
= 2,72
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Teste de Hipóteses para a Média
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Exemplo: Continuação....
Aceitar ou rejeitar H0: Da tabela de distribuição t encontramos para uma distribuição t de 14 graus de liberdade, que t0=2,72 cai entre dois valores: 2,624 para o qual α=0,01, e 2,977, para o qual α=0,005. Pelo fato de ser um teste unilateral, sabemos que o valor P está entre esses dois valores. Consequentemente, uma vez que P<0,05, rejeitamos H0.
Conclusão: concluímos que o coeficiente médio de restituição excede
0,82 (rejeitamos H0)
Aplicação: A combinação de hibridez mais comum nos veículos de passeio inclui gasolina e eletricidade e, para serem viáveis, esses veículos devem ser reabastecidos rapidamente e com facilidade, ter boa autonomia e desempenho semelhante aos demais automóveis em uso. Apesar dos benefícios, seu custo ainda é muito mais alto do que o do automóvel tradicional a gasolina e esse fator dificulta sua implementação.
No Brasil, o primeiro veículo híbrido lançado foi o Mercedes-Benz S400. No fim de 2010 foi lançado outro carro deste tipo no mercado, o Ford Fusion Hybrid.
Suponha que os dados a seguir representem o consumo de cinco carros híbridos. Esses dados estão em km/litro, uma medida comumente utilizada para esse parâmetro. Assumindo que a variável é normalmente distribuída, os dados sugerem que o valor médio do consumo excede 25 km/litro com nível de significância de 5%?
Teste de Hipóteses para a Média
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–	Estatística de teste:	Z0 =
𝑋 −𝑛𝑝0
𝑛𝑝0(1−𝑝0)
Testes para a Proporção
Frequentemente é necessário testar hipóteses para a proporção de uma população
Por exemplo, suponha que uma amostra aleatória de tamanho n tenha sido retirada de uma grande população e que X observações dessa amostra pertençam a uma classe de interesse. Então P^ =X/n é um estimador pontual da proporção p
A distribuição amostral de P^ será aproximadamente normal
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Teste de Hipóteses para a Proporção
Testando Hipóteses para uma Proporção Binomial
Hipótese Nula: H0: p = p0
Estatística de teste: Z0 =
𝑋 −𝑛𝑝0
𝑛𝑝0(1−𝑝0)
HipóteseAlternativa
ValorP
Critério de Rejeição paraTestescomníveisFixos
H1: p≠p0
Probabilidade acima de |z0|eabaixode-|z0|
P = 2[1–ϕ(|z0|)]
z0>zα/2ou
z0<-zα/2
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H1: p >p0
Probabilidade acima de z0 P = 1 – ϕ(z0)
z0 > zα
H1: p <p0
Probabilidade abaixo de z0 P = ϕ(z0)
z0 < -zα
Teste de Hipóteses para
a Proporção
Exemplo:	Um	fabricante	de
semicondutores
produz
controladores
usados em aplicações no motor de automóveis. O consumidor requer
que	a	fração	defeituosa	em	uma	etapa
crítica
exceda	0,05	e	que	o	fabricante	demonstre	uma	capacidade
da	fabricação	não
de
Teste de Hipóteses para a Proporção
processo nesse nível de qualidade, usando α = 0,05. O fabricante retira uma amostra de 200 aparelhos e encontra que quatro deles são defeituosos. O fabricante pode demonstrar uma capacidade de processo para o consumidor?
Parâmetro de interesse: Fração defeituosa do processo, p.
Hipótese nula: H0: p = 0,05
Hipótese alternativa: H1: p < 0,05 – Afirmativa forte caso descarte H0
4.	Estatística de teste: Z0 =
𝑋 −𝑛𝑝0
𝑛𝑝0(1−𝑝0)
5.	Rejeite H0 se: se o valor p for menor que 0,05
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Teste de Hipóteses para a Proporção
Exemplo: Continuação...
6.	Cálculos:
Z0 =
𝑋 −𝑛𝑝0
0	0
=
𝑛𝑝 (1−𝑝 )
4 −200(0,05)
= -1,95
200(0,05)(0,95)
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7.	Aceitar ou rejeitar H0:
Valor P = ϕ(-1,95) = 0,0256
Rejeitamos H0: 0,0256 < 0,05
8. Conclusão: Como rejeitamos H0 e concluímos que a fração defeituosa do processo, p, é menor do que 0,05, a conclusão final é de que o processo é capaz.
Aplicação: A data de invenção do sabão não é conhecida ao certo, mas se sabe que é utilizado há muito tempo. A criação do sabão se deu de forma natural e a evolução desse produto foi lenta. No início, ele era feito com a simples mistura de cinza vegetal e gordura animal. Misturavam-se estes elementos e aguardava-se até que reagissem de maneira satisfatória para então utilizá-lo. Essa reação é conhecida como saponificação. A primeira melhoria neste processo aconteceu quando as cinzas foram substituídas pela água sanitária. Outras mudanças implementadas ao longo dos tempos ocorreram no pré-tratamento das gorduras utilizadas, na melhoria das matérias-primas e no acabamento do sabão.
Neste ano, uma determinada marca de sabão afirmou que 60% de seus clientes aprovaram uma nova mudança em seu processo produtivo, que trouxe melhorias ao produto. A marca concorrente, insatisfeita com a perda de mercado, entrevistou 200 usuários e verificou que 110 deles realmente aprovaram as mudanças.
É possível afirmar que o sabão possui aprovação inferior a 60%, ao nível de significância de 1%?
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Teste de Hipóteses para a Proporção
Testes de Hipóteses para a Variância e para o Desvio Padrão
–	Os	testes	em	questão	se	aplicam
quando
a	população	for
modelada por uma distribuição normal.
–	Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância σ2 de uma população normal seja igual a um valor σ 2 específico,
0
ou, equivalentemente, que o desvio padrão σ seja igual a σ0.
–	Estatística de teste:
X02 =
𝑛−1 𝑆2
𝜎0
2
Teste de Hipóteses para a Variância
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Testando Hipóteses para a Variância de uma Distribuição Normal
Hipótese Nula: H0: σ2 = σ02
2
Estatística de teste: X0	=
𝑛−1 𝑆2
0
𝜎 2
Hipótese Alternativa
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Critério de Rejeição
H1: σ2 ≠ σ02
X02 > X2α/2,n-1
ou
X02 < -X21-α/2,n-1
H1: σ2 > σ02
X02 > X2α,n-1
H1: σ2 < σ02
X02 < -X21-α,n-1
Teste de Hipóteses para a Variância
Exemplo: Uma máquina de enchimento automático é usada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância amostral de volume de enchimento de s2=0,0153 (onça fluida)2. Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01 (onça fluida)2, existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo e cujo enchimento foi em demasia. Há evidências nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com garrafas cheias com falta e excesso de detergente? Use α=0,05 e considere que o volume de enchimento tenha uma distribuição normal.
Teste de Hipóteses para a Variância
Parâmetro de interesse: Variância da população σ2.
Hipótese nula: H0: σ2 = 0,01
Hipótese alternativa: H1: σ2 > 0,01
4.
2
Estatística de teste: X0	=
𝑛−1 𝑆2
0
𝜎 2
5.	Rejeite H0 se: se X 2 > X2	= 30,14
0	0,05,19
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Teste de Hipóteses para a Variância
Exemplo: Continuação...
6.	Cálculos:
2
X0	=
𝑛−1 𝑆2
0
𝜎 2
20−1 0,0153
0,01
=	= 29,07
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2	2
Aceitar ou rejeitar H0: Uma vez que X0	= 29,07 < X 0,05,19 = 30,14
não rejeitamos H0
Conclusão:	Logo,	não	há	forte	evidência	de	um	problema	com garrafas preenchidas incorretamente.
Aplicação: Um experimento, conduzido numa comunidade, para verificar a variação na qualidade da água fornecida para a população, incluiu uma amostra de 10 elementos e forneceu variância de 12,4. Este resultado é suficiente para concluir que a variância é inferior a 25 ao nível de 5% de significância?
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Teste de Hipóteses para a Variância
Inferência Estatística para Duas Amostras
Um artigo reportou a contaminação por arsênio em uma amostra de água de 10 comunidades na região metropolitana de Fênix, e em 10 comunidades do Arizona. Os dados mostram dramáticas diferenças na concentração de arsênio, variando de 3ppb a 48ppb.
Há uma diferença real entre as concentrações na região de Fênix e comunidades rurais do Arizona?
Quão grande é essa diferença?
Ela é grande o suficiente para requerer ação?
Os níveis reportados são grandes o suficiente para constituir
um risco de saúde pública?
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Inferência Estatística para Duas Amostras
Inferência Estatística para Duas Amostras
–	Algumas dessas questões podem ser respondidas por métodos
estatísticos.
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–	Se	pensarmos
cada	comunidade
como
poderíamos	determinar	se	existe	diferença
uma	população, estatisticamente
significativa na concentração média de arsênio entre as duas populações, testando a hipótese de que as duas médias, ou seja, μ1 e μ2 ,são diferentes.
– O problema de concentração de arsênio é um exemplo muito típico de vários problemas em engenharia e em ciências que envolvem estatística
Inferência Estatística para Duas Amostras
Inferência Estatística para Duas Amostras
Suposições para Inferência com Duas Amostras
X11,	X12,	...,	X1n1	é	uma	amostra	aleatória	proveniente	da população 1.
X21,	X22,	...,	X2n1	é	uma	amostra	aleatória	proveniente	da
população 2.
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por	X1	e	X2	são
As	duas	populações	representadas independentes.
Ambas as populações são normais.
Inferência Estatística para Duas Amostras
Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas
Suponha que estejamos interessados em testar a diferença de médias μ1 e μ2 como igual a um valor especificado Δ0.
Em muitos casos, especificamos Δ0=0 de modo que estaremos
testando a igualdade de duas médias (ou seja H0: μ1=μ2)
–	Estatística de Teste:	Z0 =
𝑋1 −𝑋2 − Δ0
1
σ 2
𝑛
1
+σ2
2
𝑛
2
Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Testes para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas
Hipótese Nula: H0: μ1- μ2 = Δ0
Estatística de teste:
Hipótese
Alternativa
ValorP
CritériodeRejeiçãopara
TestescomníveisFixos
H1: μ-μ0≠Δ0
Probabilidade acima de |z0| eabaixode-|z0|
P =2[1–ϕ(|z0|)]
z0>zα/2ou
z0<-zα/2
H1: μ-μ0> Δ0
Probabilidade acima de z0 P = 1 – ϕ(z0)
z0 > zα
H1: μ-μ0< Δ0
Probabilidade abaixo de z0
P = ϕ(z0)
z0 < -zα
Z0 =
𝑥1 −𝑥2 − Δ0
1
σ 2
𝑛
1
+σ2
2
𝑛
2
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Exemplo: Uma pessoa que desenvolve produtos está interessada
em reduzir o tempo de secagem de um zarcão. Duas formulações de tinta são testadas; a formulação 1 tem uma química padrão e a formulação 2 tem um novo ingrediente para secagem, que deve reduzir o tempo. Da experiência, sabe-se que o desvio-padrão do tempo de secagem é igual a 8 minutos, e essa variabilidade inerente não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente. Dez espécimes são pintados com a formulação 1 e outros 10 com a 2. Os tempos médios de secagem das duas amostras são 121 minutos e 112 minutos respectivamente. Quais as conclusões que o idealizador de produtos pode tirar sobre a eficiência do novo ingrediente, usando α=0,05?
Parâmetro de interesse: Diferença nos tempos médios de secagem.
Hipótese nula: H0: μ1- μ2 = 0 ou H0: μ1=μ2
Hipótese alternativa: H1: μ1>μ2 (queremos rejeitar H0 se o novo ingrediente reduzir o tempo médio de secagem)
4.	Estatística de teste:
Z0 =
𝑥1 −𝑥2 − Δ0
1
σ 2
𝑛
1
+σ2
2
𝑛
2
Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Exemplo: Continuação
5. Rejeito H0 se: o valor P for menor que 0,05
6.	Cálculos:
0
1
σ 2
𝑛
1
+σ
2
𝑛
2
+
8	8
2	2	2
10	10
𝑥1 −𝑥2 − Δ0	121 −112 −0
Z	=	=	= 2,52
Aceitar ou rejeitar H0:
Valor P = 1 – ϕ(2,52) = 1 – 0,994132 = 0,0059
Como 0,0059 é menor que 0,05, rejeitamos H0
Conclusão: Concluímos que a adição do novo ingrediente à tinta reduz significativamente o tempo de secagem. Essa é um conclusão forte.
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Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas
Exercício 1: Considere o teste de hipóteses H0: μ1=μ2 contra H1: μ1≠μ2, com variâncias conhecidas σ1=10 e σ2=5. Suponha que os tamanhos de amostras sejam n1=10 e n2=15 e que a média amostral de 1 é 4,7 e de 2 é 7,8. Use α=0,05. Teste a hipótese e encontre o valor P.
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Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Conhecidas
Exercício 2: Considere o teste de hipóteses H0: μ1=μ2 contra H1: μ1>μ2, com variâncias conhecidas σ1=10 e σ2=5. Suponha que os tamanhos de amostras sejam n1=10 e n2=15 e que a média amostral de 1 é 24,5 e de 2 é 21,3. Use α=0,01. Teste a hipótese e encontre o valor P.
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Aplicação: As técnicas de tratamento a frio para aços tem como objetivos o aumento da resistência ao desgaste e o aumento da tenacidade. Esses tratamentos têm efeito principalmente sobre a martensita, que sofre mudanças cristalográficas e microestruturais.
Considere a análise de 20 placas que não sofrerão nenhum tratamento. O parâmetro de interesse é a resistência dessas placas a um determinado esforço. A partir de um experimento com esta amostra, foi encontrada uma resistência média amostral de x=29,8ksi.
Uma segunda amostra aleatória de n=25 placas de aço, tratadas a frio, submetidas ao mesmo experimento, forneceu uma resistência média amostral de y=34,7ksi.
Assumindo que as duas distribuições de resistências sejam normais e os desvios-padrão populacionais conhecidos, como σ1=4,0 e σ2=5,0, os dados indicam que as resistências de rendimento médias reais correspondentes a e são diferentes? Considerar um teste de significância α=0,01.
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Aplicação 2: De acordo com estudos do especialista Álvaro Durão, apresentados em 2011, no seminário “A saúde dos médicos e de outros profissionais de saúde”, os médicos vivem mais tempo em relação a pessoas que exercem outras profissões. Segundo os estudos, os médicos são os profissionais que têm maior longevidade.
Considere uma amostra de 215 médicos que morreram entre 2000 e 2005. Desses, 125 trabalhavam em clínica em tempo integral e viveram em média
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
48,9	anos
acadêmicos,
após além
sua		graduação.	Os	90	que	tinham	também	vínculos da	clínica,	viveram,		em		média,	43,2		anos	depois	da
graduação. Assumindo =14,6, =14,4 e nível de significância de 0,01, os dados sugerem que o tempo de vida médio depois da graduação dos médicos que trabalham em clínica em tempo integral excede o tempo de vida médio daqueles que possuem vínculo acadêmico? Suponha que as idades dos médicos, em ambos os casos, tem distribuição normal.
para
a	Diferença
de	Médias,
Variâncias
Testes	de	Hipóteses Desconhecidas
–Seostamanhosdas
amostras	excederem40,
então
os
procedimentosparaa
distribuição	serãoiguais
aos
das
variâncias	conhecidas,	substituindo-se	os	valores	de	σ	pelos valores de s.
sejam
–	Caso	contrário,	consideramos	que	as	populações normalmente distribuídas e baseamos na distribuição t.
Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas
–	Estimador Combinado da Variância: 𝑆𝑝2 =
𝑛1 − 1 𝑆 2 +	𝑛	− 1 𝑆 2
1	2	2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Testando Hipóteses para a Média, Variâncias Desconhecidas e Iguais
Hipótese Nula: H0: μ1- μ2 = Δ0
Estatística de teste:
HipóteseAlternativa
ValorP
Critério de Rejeição paraTestescomníveisFixos
H1: μ-μ0≠Δ0
Probabilidade acima de |t0|e
abaixode-|t0|
t0> tα/2,n1+n2-2
ou
t0< -tα/2,n1+n2-2
H1: μ-μ0> Δ0
Probabilidade acima de t0
t0 > tα,n1+n2 - 2
H1: μ-μ0< Δ0
Probabilidade abaixo de t0
t0 < -tα,n1+n2 - 2
T0 =
𝑋1 −𝑋2 − Δ0
𝑆𝑝
+
1	1
𝑛 	 𝑛
1	2
Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Exemplo: Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Especificamente, o catalisador 1 está correntemente em uso, mas o catalisador 2 é aceitável. Uma vez que o catalisador 2 é mais barato, ele deve ser adotado, desde que não mude o rendimento do processo. Um teste é feito em uma planta piloto com 8 catalisadores de cada tipo, resultando em uma média de 92,255 e desvio padrão amostral de 2,39 para o catalisador 1 e uma média de 92,733 e desvio padrão amostral de 2,98 para o catalisador 2. Há alguma diferença entre os rendimentos médios? Use α=0,05 e considere variâncias iguais.
Parâmetro de interesse: Rendimento médio do processo usando os catalisadores 1 e 2, respectivamente.
Hipótese nula: H0: μ1- μ2 = 0 ou H0: μ1=μ2
Hipótese alternativa: H1: μ1≠μ2
4.	Estatística de teste:
T0 =
𝑋1 −𝑋2 − Δ0
𝑆𝑝
+
1	1
𝑛 	 𝑛
1	2
Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Exemplo: Continuação
5. Rejeito H0 se: o valor P for menor que 0,05
6.	Cálculos:
7. Aceitar ou rejeitar H0: t0,40,14=0,258 e t0,25,14=0,692
Como o valor encontrado (0,35) está entre 0,258 e 0,692, concluímos que os limites inferior e superior para P são 0,50 e 0,80. Dessa maneira, uma vez que o valor P excede 0,05, a hipótese nula não pode ser rejeitada.
8. Conclusão: Não temos evidência forte para concluir que o catalisador 2 resulta em um rendimento médio que difere do catalisador 1.
𝑛1+𝑛2 −2
𝑆𝑝2 = 	1	1	2	2 =
𝑛 −1 𝑆 2+ 𝑛 −1 𝑆 2	8−1 2,392+ 8−1 2,982
8+8 −2
= 7,30
𝑆𝑝=2,70
T0 =
𝑋1 −𝑋2 − Δ0
𝑆𝑝
+
1	1
𝑛 	 𝑛
1	2
=
92,255 −92,733 −0
2,70	+
1	1
8	8
= -0,35
Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias, Variâncias Desconhecidas
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Testes para a Diferença nas Proporções, Populações Grandes
–	Consideremos	agora
o	caso	em	que
há	dois
parâmetros
binomiais	de	interesse,	como
p1	e	p2,
e	desejamos
obter
inferências acerca dessas populações.
– Suponha que as duas amostras aleatórias independentes, de tamanhos n1 e n2, sejam retiradas de duas populações e que X1 e X2 sejam os números de observações que pertencem a classe de interesse 1 e 2, respectivamente.
–	Estatística de Teste:
Testes
para a Diferença nas Proporções, Populações Grandes
Z0 =
𝑃1 − 𝑃2
𝑃(1 − 𝑃)
1 + 1
𝑛1 	 𝑛2
^	^
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Testes para a Diferença nas Proporções, Populações Grandes
Testes Aproximados para a Diferença de Proporções
Hipótese Nula: H0: p1 = p2
Estatística de teste: Z0 =
𝑃1 −𝑃2
𝑃(1−𝑃)
1 + 1
𝑛 	 𝑛
1	2
HipóteseAlternativa
ValorP
Critério de Rejeição paraTestescomníveisFixos
H1:p1≠p2
Probabilidade acima de |z0|eabaixode-|z0|
P = 2[1–ϕ(|z0|)]
z0>zα/2ou
z0<-zα/2
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
H1: p1>p2
Probabilidade acima de z0 P = 1 – ϕ(z0)
z0 > zα
H1: p1<p2
Probabilidade abaixo de z0 P = ϕ(z0)
z0 < -zα
^	^
Exemplo: Extratos de erva-de-são-joão são largamente usados para tratar depressão. Um artigo comparou a eficácia de um extrato-padrão de erva-de- são-joão com um placebo em 200 pacientes diagnosticados com depressão unipolar. Pacientes foram designados aleatoriamente em dois grupos: um grupo recebeu a erva e o outro recebeu placebo. Depois de oito semanas, 19 dos pacientes tratados com placebo mostraram melhoria, enquanto 27 daqueles tratados com a erva melhoraram. Há alguma razão para acreditar que a erva-de-são-joão seja efetiva no tratamento de depressão unipolar? Use α=0,05.
Testes para a Diferença nas Proporções, Populações Grandes
1.	Parâmetro	de	interesse:
p1	p2,
e	proporção	de	pacientes	que
melhoraram depois do tratamento com erva ou placebo.
Hipótese nula: H0: p1= p2
Hipótese alternativa: H1: p1≠p2
4.	Estatística de teste:
Z0 =
𝑃1 − 𝑃2
𝑃(1 − 𝑃)
1 + 1
𝑛1 	 𝑛2
^	^
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Testes para a Diferença nas Proporções, Populações Grandes
Exemplo: Continuação
Rejeito H0 se: o valor P for menor que 0,05
Cálculos:
Z0 =
𝑃1 −𝑃2
𝑃(1−𝑃)
1 + 1
𝑛 	 𝑛
1	2
0,27 −0,19
0,23(0,77)
1 + 1
100 100
=	= 1,34
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
^	^
Aceitar ou rejeitar H0:
Valor P = 2[1 – ϕ(1,34)] = 2[1 – 0,909877] = 0,18
Como 0,18 é maior que 0,05, não rejeitamos H0
Conclusão: Não temos evidência forte para concluir que a erva-de-são- joão seja efetiva no tratamento de depressão unipolar.
Aplicação 1: Considere que, num país hipotético, quando alguém é acusado de um crime, possa declarar-se culpado e ser sentenciado sem julgamento, ou possa declarar-se inocente, sendo então submetido a um julgamento. Levando em conta esse contexto, um fato interessante é observar o que ocorre logo após essa declaração do acusado.
Considere uma amostra de acusados por furto, que foi estudada para avaliar se as punições dos acusados que optaram pelas formas diferentes de declaração são iguais ou não. Ao nível de significância de 1%, existe diferença no julgamento dos que de declararam culpados e dos que se declararam inocentes?
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Testes para a Diferença nas Proporções, Populações Grandes
Autodeclaraçãoculpado
Autodeclaraçãoinocente
Julgado comoculpado
189
71
Sentenciado àprisão
97
62
Aplicação 2: Na fabricação de lentes, o processo de polimento é largamente utilizado com diversas soluções que podem ser utilizadas para esta operação. Considere que uma empresa recebeu a proposta de solução de polimento de um fornecedor, que afirma que a qualidade de seu produto é superior à do produto utilizado atualmente. Então, o gerente da loja fez um teste com 300 lentes polidas pelo novo métdo e obteve 253 lentes com boa qualidade após o polimento. Fazendo o mesmo procedimento em 300 lentes pelo método antigo,
196 lentes foram consideradas de boa qualidade. Considerando o nível de significância de 1%, o gerente deve trocar de fornecedor?
Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Msc. André Breve
Testes para a Diferença nas Proporções, Populações Grandes