A TEORIA DA RELATIVIDADE (Baldiotti)

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Física moderna I - Parte A
A TEORIA DA RELATIVIDADE
M.C. Baldiotti
April 10, 2014
Contents
1 As nuvens negras da física 4
2 Noções de relatividade especial 6
2.1 Velocidade de propagação das interações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 A mecânica de Newton e Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Distinguindo a física da matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Um pouco de notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 O eletromagnetismo e as TG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 O experimento de Michelson e Morley (1887) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 As transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 A relatividade de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 Primeiro postulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Segundo postulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.3 O segundo postulado e as TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Sobre o tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Simetria das transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Sobre o espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Simultaneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 Sincronização de relógios e observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.11 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.12 Aberração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13 Adição de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.13.1 Diagrama espaço-tempo e os tipos de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.13.2 O arrasto do éter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1
2.13.3 Rigidez e elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.14 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.14.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.15 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.16 Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.17 O espaço de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.17.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.17.2 Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.17.3 Transformações de Lorentz numa direção arbitrária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.18 Minudências matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.18.1 Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.18.2 Pseudo-métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.19 Mecânica relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.19.1 Tempo próprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.19.2 Quadrivetor velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.19.3 Momento relativístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.19.4 Energia relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.19.5 Mais do mesmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.19.6 Fissão e fusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.19.7 Fótons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.20 Dinâmica relativística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.21 Lei de transformação das forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.21.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.21.2 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.21.3 Espalhamento Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.22 Mais um pouco sobre notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.23 Gradiente em 4D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.23.1 Levantamento e abaixamento de índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 Eletrodinâmica relativística 126
3.1 Conservação da carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.1 Transformação das densidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 Transformação dos campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3 Tensor do campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.4 Invariância de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2
4 As equações de Maxwell 140
4.1 Outra aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2 Ainda sobre as equações não-homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.3 Invariantes do campo eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4 Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5 Força de Lorentz 150
6 Noções de relatividade geral 152
6.1 Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2 Espaço tangente e vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2.1 Lei de transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3 Conexões e a derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4 Regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.5 Símbolo de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7 A geometria da relatividade 171
7.1 Equação da geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Tensor de energia e momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.3 Equações de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A Noções de cálculo vetorial 190
A.1 Campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
A.2 Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A.3 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
A.3.1 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
A.3.2 O divergente em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.4 Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
A.5 O rotacional de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
A.5.1 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.5.2 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.5.3 Rotacional em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.6 O operador Nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
A.7 Teoremas Fundamentais do Cálculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A.8 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3
1 As nuvens negras da física
No inicio do século XX a Física apresentava um cenário, no mínimo, perfeito. O ferramental matemático
desenvolvido desde os trabalhos de Newton e os subseqüentes desenvolvimentos da Mecânica Analítica,
parecia su…ciente para descrever o comportamento de todos os corpos na natureza. Em seguida, o de-
senvolvimento da Mecânica Estatística permitiu generalizar estes conceitos para o caso de um número
(praticamente) in…nito de corpos. Dando com isso uma base formal a (praticamente) todo o desenvolvi-
mento fenomenológico da Termodinâmica. Somado a tudo isso temos o ferramental desenvolvido para a
Mecânica dos Fluidos e a brilhante aplicação deste ferramental na descrição de fenômenos eletromagnéticos,
ou seja, temos a teoria de Maxwell do eletromagnetismo. Obviamente cada um destes ramos da Física
se desdobrava numa in…nidade de outros que envolviam seus próprios ferramentais e conceitos. Mas sob
a sombra destas teorias repousava um universo completamente conhecido, cuja determinação de qualquer
evento, passado ou futuro, era apenas uma questão de medidas precisas e poder computacional.
Foi neste cenário que em 1900 Lord Kelvin (Sir William Thomson) apresentou uma palestra1 com o obje-
tivo de dar um panorama geral do estado da Física na época. Nesta palestra ele a…rma que as teorias da física
haviam chegado a um nível tão grande de so…sticação (englobando as mais diversas áreas da matemática),
consistência e sucesso, que, a menos do que ele chamou de duas “nuvens negras”, a Física seria uma teoria
prestes a ser “terminada”2 . Ou seja, assim que estas nuvens se dissipassem, o que ele acreditava que não
tardaria, as teorias físicas existentes seriam capazes de descrever com perfeição (e, conseqüentemente, fazer
todas as previsões) para qualquer fenômeno da natureza (tomando-se em conta, obviamente, a di…culdade
computacional de sistemas complexos). As “nuvens negras”apontadas por Kelvin são:
1. Na termodinâmico: A violação do Teorema da Eqüipartição de Energia para baixas temperaturas e
a catástrofe do ultra-violeta para altas temperaturas.
Pelo Teorema da Eqüipartição de Energia, um sistema em equilíbrio termodinâmico com n graus
de liberdade teria a energia média hEi,
hEi = n� 1
2
KT ; n 2 N :
Na descrição do comportamento de um gás, podemos calcular a variação da energia com a temperatura
@ hEi
@T
= n� 1
2
K = CV ;
que é o calor especí…co (a volume constante). Classicamente, este seria o comportamento esperado para
baixas temperaturas (próximas ao zero absoluto). Entretanto, experimentalmente observa-se que, para
temperaturas extremamente baixas, o calor especí…co tende a zero. Na verdade, a discrepância
1From a 1900, April 27, Royal Institution lecture. Lord Kelvin, Nineteenth Century Clouds over the Dynamical Theory of
Heat and Light, Philosophical Magazine, Sixth Series, 2, 1–40 (1901).
2Na verdade Jeans já havia dito algo semelhante sobre o problema do calor especí…co.
4
entre a previsão clássica e os experimentos já haviam sido observados por Maxwell em 1859. Além
disso, para o caso da descrição de fótons em uma cavidade, ou a radiação do corpo negro, o resultado
acima diz que a energia média dos fótons é independente da freqüência. Assim, se � (�) é a
densidade de fótons com uma certa freqüência � a densidade de energia da cavidade seria
E (T; �) = hEi � (�) = 1
2
KT� (�) :
Usando agora que as ondas na cavidade são estacionárias, é possível mostrar que � (�) _ �2, com o
que a formula acima se torna a fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação do corpo negro. O
crescimento desenfreado da densidade E (T; v) _ KT�2 de energia com a temperatura, que obviamente
não condiz com as experiências, é chamada de catástrofe do ultra-violeta.
2. No eletromagnetismo: O resultado negativo da detecção do éter pela experiência de Michelson–
Morley (1887).
No …nal do século XIX era praticamente consenso entre a comunidade cientí…ca que a luz era uma
onda mecânica. Isso exigia a existência de um meio para a sua propagação. Ou seja, em qualquer
região do espaço onde se …zesse vácuo (e.g., as regiões entre as estrelas) sobraria ainda uma substância
que preenche todo o espaço. Esta substância foi chamada de éter. Preenchendo o éter todo o espaço,
seria obviamente possível detectar o movimento dos corpos celeste (em especial a própria terra) em
relação a este meio.
Como previsto por Kelvin, logo no início do século XX foram encontradas as soluções para estes dois
problemas. A solução do primeiro problemas se deu com a proposta de Planck para a discretização dos
níveis de energia do corpo negro e, conseqüentemente, o surgimento da Mecânica Quântica. Já a solução do
segundo problema deu origem a Teoria da Relatividade.
Assim, ao invés de “fecharem”a Física, como previa Lord Kelvin, a solução destes dois problemas sim-
plesmente revolucionou todos os conceitos do homem sobre a natureza e o universo, dando origem a tudo
que hoje se chama “Física Moderna”. Estes novos conceitos reinam nos limites fora das escalas do cotidiano,
ou seja, nos limites de (muito) baixas e altas energias. Estes conceitos exigiram que se repensassem todos
os fenômenos conhecidos e a incorporação (e o desenvolvimento) de novas ferramentas matemáticas. Grosso
modo, o maior problema da Física contemporânea é a elaboração de uma teoria que uni…que a Teoria da
Relatividade Geral e a Mecânica Quântica. Este é um assunto para o curso de Física Moderna II.
A compreensão do primeiro problema e sua solução, i.e., a Mecânica Quântica, é o assunto da segunda
parte do nosso curso.
Vamos iniciar então nosso curso tratando detalhadamente a solução do segundo problema e a Teoria da
Relatividade Restrita (ou Especial) (TRR).
5
2 Noções de relatividade especial
"... a complete conspiracy is itself a law of nature!”(H. Poincaré)
2.1 Velocidade de propagação das interações
Antes de darmos uma descrição precisa da diferença entre a mecânica clássica (MC) e a mecânica relativística
(MR), vejamos a principal diferença conceitual entre estas duas teorias. Ambas aceitam o chamado princí-
cipio da relatividade. Que signi…ca que as Leis da Física são as mesmas para um determinado conjunto de
observadores que de…nem os chamados Referenciais Inerciais. Assim, o que se altera de uma teoria para a
outra é o conceito de Referencial Inercial.
Na MC espaço,i.e., a localização de um corpo, é relativo, mas o tempo é absoluto. Isso não
signi…ca, é claro, que cada referencial não possa ter seu próprio relógio, mas sim que estes relógio podem
ser sincronizados e, mais ainda, uma vez de…nida uma escala de tempo (e relógios perfeitos) esta sin-
cronização se mantêm para sempre. Assim, existe um único tempo paraqualquer referencial
inercial e o intervalo de tempo é o mesmo medido por qualquer refencial inercia. Em especial o
conceito de simultaneidade é absoluto.
Tudo que foi dito acima se resume no fato de que na MC efeitos podem se propagar instantanea-
mente por todo o sistema. Por exemplo, nesta teoria a ação gravitacional é instantânea. Ou seja, se um
corpo se move, a força que este exerce sobre os demais corpos do sistema se altera no mesmo instante. Com
isso é possível para um observador conhecer o estado de cada corpo em qualquer lugar em
qualquer instante.
Já na MR todo efeito (ou, de forma mais geral, toda informação) precisa de um tempo para se propagar.
Além disso, existe uma velocidade limite, chama c, para a propagação de qualquer informação. No exemplo
anterior isso implica que, se um corpo é deslocado, um segundo corpo a uma distância D deste, levará (no
mínimo) um tempo D=c para tomar conhecimento deste deslocamento. Assim, um observador não pode
(apenas por observação) saber o estado de todos os corpos do universo. Mais ainda, é impossível qualquer
troca de informação com velocidade acima de c.
Um ponto importante, e a razão da MC ter prevalecido por tanto tempo, é que a velocidade limite c está
muito acima da velocidade dos fenômenos do cotidiano. Além disso, os resultados da MC são iguais aos da
MR para c in…nito.
2.2 A mecânica de Newton e Galileu
Dada uma lei física, codi…cada matematicamente numa série de equações, faz-se necessário saber onde estas
leis são válidas. Por exemplo, se você tentar aplicar a lei da inércia de Newton estando dentro de um trem
acelerado, ela certamente falhará. Além disso, para se descreve matematicamente o comportamento de um
corpo, é importante introduzir no espaço um sistema de coordenadas as quais farão referência às equações da
6
teoria em questão. Assim, a questão básica é saber para quais sistemas de coordenadas as equações
são válidas. Uma forma de se responder esta questão é encontrar um certo sistema “bom”para as nossas
leis, i.e., onde as leis são válidas (ou seja, onde isso possa ser veri…cadas experimentalmente). Chamamos
este sistema de referencial. Estando o nosso referencial codi…cado por um sistema de coordenadas, podemos
então descrever uma mudança para outro sistema, ou outro referencial, através de uma relação entre as
coordenadas destes sistemas. Chamamos isso de uma transformação de coordenadas. Nossa questão sobre
quais os sistemas onde a nossa teoria é válida pode, com isso, ser matematicamente traduzida na questão:
Remark 1 Dado um referencial “bom” quais transformações me permitem achar outros refer-
enciais igualmente “bons”?
Em mecânica estes referenciais,i.e., todos os referenciais ligados pela transformação adequada, são chama-
dos de referenciais inerciais.
As equações que descrevem a dinâmica dos corpos massivos, propostas por Newton, fazem referência a um
conjunto de coordenadas espaciais x = (x; y; z) e uma coordenada temporal t. Estas equações são invariantes
por um grupo de transformações conhecidas como transformações de Galileu (TG),
x �! x0 = x� vt ;
y �! y0 = y ;
z �! z0 = z ;
t0 = t ; (1)
com v uma constantes. Estas transformações descrevem a noção intuitiva de soma e subtração de veloci-
dades.
Usando a notação vetorial x = (x; y; z) e v = (v; 0; 0) e as TG, da de…nição de velocidade
d
dt0
x0 =
d
dt
x0 =
d
dt
(x+ vt) = v ;
vemos que o parâmetro v da transformação (1) é a velocidade relativa entre os referenciais.
A relação entre t e t0 a…rma que é sempre possível sincronizar os relógios de dois referenciais e estes
permanecerão sempre sincronizados. Assim, as equações (1) descrevem a seguinte situação: existe um
referencial S, com coordenadas (x; y; z; t) e um segundo referencial S0, com coordenadas (x0; y0; z0; t0). O
referencial S0 (S) se move com velocidade v (�v) na direção x (x0) em relação ao referencial S (S0). A
descrição de um referencial que se move numa direção arbitrária pode ser obtida através de uma rotação dos
eixos de forma a alinhar o eixo x com a direção do deslocamento (isso será feito com detalhes na MR mais
adiante).
O conjunto das quatro coordenadas (x; y; z; t) é chamado de um evento no referencial S. Ou seja, usando
as coordenadas de S estas quatro quantidades indicam quando e onde algo ocorreu.
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Dado um evento em S, como este mesmo evento pode ser descrito usando as coordenadas do referencial
S0?
Por exemplo, suponha que S está parado (o que signi…ca isso?) e S0 se move para a direita com uma
velocidade de v = 1m=s. No referencial S veri…ca-se que aos 3s um martelo atingiu o ponto x = 0. Igno-
rando as coordenadas y e z este evento tem coordenas (x = 0; t = 3). Suponha ainda que os relógios dos
referenciais estejam sincronizados (isso está descrito pela última equação em (1)) e que as origens dos
referenciais coincidem em t = 0 (isso está descrito três primeiras equações em (1)). Com isso, este mesmo
evento será descrito por alguém que usa o referencial S0 com tendo ocorrido aos 3s, mas na posição x0 = �3,
ou seja, com coordenadas (�3; 3).
Alguns pontos devem ser notados nas transformações (1):
1. Os relógios dos referencias devem ser sincronizados e, uma vez feito isso, eles permanecerão sempre
sincronizados.
2. Além de alinhar os seus eixos espaciais, o referencial S0 deve marcar a origem do seu referencial como
sendo a origem do referencial S no instante t = t0 = 0.
A mecânica de Newton admite os postulados:
1. A força num corpo é diretamente proporcional a aceleração e a constante de proporcionalidade é a
massa do corpo.
2. A massa de um corpo não depende do referencial.
O chamado princípio da relatividade de Galileu estabelece que:
Remark 2 Dado um certo referencial onde são válida as leis de Newton (ou as leis da MC), qualquer outro
referencial ligado pelas transformações (1) serão igualmente bons.
Para entender isso note que
d2x
dt2
! d
2x0
dt02
=
d2x0
dt2
=
d2 (x+ vt)
dt2
=
d2x
dt2
: (2)
Ou seja, a aceleração possui os mesmos valores em todos os referenciais.
Os postulados acima e a equação (2) implicam que em ambos os referenciais, a equação de movimento
tem a mesma forma algébrica
F (x) = m
d2x
dt2
= m
d2x0
dt2
= F0 (x0) ;
onde F0 (x0) tem a mesma forma algébrica de F apenas substituindo x por x0.
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Diz-se, com isso, que as equações de Newton são invariantes, pelas transformações de Galileu. Diz-se,
também, que as equações de Newton são covariantes (tem a mesma forma algébrica) por transformações de
Galileu.
Resumindo:
Remark 3 As transformações de Galileu de…nem os referenciais inerciais da mecânica de New-
ton.
Exercise 4 Suponha que você está num container num navio que trafega com velocidade constante. Que tipo
de experimento você pode fazer para determinar que você está em movimento?
A invariância das equações de Newton por transformações de Galileu possui a conseqüência física de ser
impossível determinar movimentos retilíneos uniformes por qualquer experimento mecânico
realizado num referencial. Em outras palavras, se dois referenciais se movem um em relação ao outro
com velocidade v, não faz sentido dizer qual deles está em movimento e qual está em repouso.
Assim, quando se está num referencial inercial, todos os experimentos mecânicos podem ser
realizados como se o seu referencial estivesse em repouso. Nada disso é válido se o referencial
estiver acelerado. Ou seja:
Remark 5 Qualquer relação entre os referenciais diferente das TG poderia ser determinada por experimentos
mecânicos dentro do próprio referencial.
2.2.1 Distinguindo a física da matemática
Remark 6 É de fundamental importância notar que: F0 (x0) 6= F (x0). A discussão a seguir tentará torna
clara esta distinção.
Aqui é importante separar um pouco a matemática da física. Suponha que um observador em S0 descreveo movimento de uma mola. Nesta descrição ele obtem a relação:
m
d2x0
dt2
= �kx0 = F 0 (x0) :
Matematicamente nós sempre podemos efetuar uma transformação de coordenadas, ou seja, podemos mudar
as variáveis do problema. Suponha então que efetuamos a mudança de coordenadas (ou de variáveis) (1).
Com isso:
x �! x0 = x� vt =) F 0 (x0) = �kx0 �! F 0 (x) = �k (x� vt) :
Sabendo que
m
d2x0
dt2
= m
d2x
dt2
9
então a "equação de Newton" se tornaria
m
d2x
dt2
= �k (x� vt) : (3)
Mas, pela covariância das leis de Newton, sabemos que a equação que descreve o movimento da mola tem a
mesma forma algébrica em todos os referenciais inerciais. Ou seja, sendo S um referencial inercial a equação
da mola deveria ser
m
d2x
dt2
= �kx : (4)
Exercise 7 Qual das duas equações, (3) ou (4), descreve o movimento da mola? O que cada uma destas
equações descreve?
10
Retomando ao problema acima, existe uma diferença entre efetuar uma transformação de coordenadas na
equação de movimento e usar a covariância das equações do movimento.
Pela lei de Newton, a equação diferencial que descreve o movimento de uma mola tem a forma
m
d2x0
dt2
= F 0 (x0) = �kx0
realizando uma transformação de Galileu (um artifício matemático válido para qualquer transformação)
nesta equação temos
m
d2 (x+ vt)
dt2
= �k (x+ vt) =) md
2x
dt2
= �kx� kvt = F 0 (x) :
A solução desta equação pode ser escrita como:
x = �vt+A cos (!t+ �) ; ! =
r
k
m
; A; � = const:
Fácil ver que esta equação descreve o movimento de uma mola cujo centro das oscilações está em repouso
no sistema que usa coordenadas x0 quando vista do sistema que usa coordenadas x. Ou seja, uma mola que,
além de oscilar, se move com velocidade constante v.
O processo utilizado acima nada mais é que uma mudança de variáveis. Você sempre pode fazer isso
com qualquer transformação (não apenas TG). Este procedimento não envolve nenhuma consideração
sobre a teoria física em questão.
Agora, invocar a covariância das equações (um postulado físico) signi…ca que se num referencial inercial
você fez experimentos com uma mola e obteve a equação
F 0 (x0) = kx0 =) F (x) = kx ;
em qualquer outro referencial inercial você sabe, sem precisar fazer experimentos de novo, que a
equação desta mola terá a mesma forma, mas com as coordenadas deste novo referencial. Isto é, num
referencial qualquer onde o centro das oscilações está em repouso, ela terá a mesma forma,
m
d2x
dt2
= �kx =) md
2x0
dt2
= �kx0 :
O mesmo válido sempre que o movimento for observado de qualquer outro referencial inercial no qual o
centro das oscilações esteja em repouso.
2.2.2 Um pouco de notação
Podemos escrever as equações acima, em especial a TG, usando 4 tipos de notação:
11
1. A primeira, usada acima em (1), especi…cada cada uma das transformações;
2. A segunda, também usada acima usa a notação vetorial
x0 = x� vt ;
t0 = t ;
3. Uma notação muito conveniente, mas ainda não usada, é não chamar as coordenadas de x; y; z, mas
sim de x1; x2; x3. Com isso a TG pode ser escrito de uma forma mais compacta
x0i = xi � vit
t0 = t ;
com i = 1; 2; 3, v1 = v e v2;3 = 0. Neste caso a notação deixa explicita cada uma das compo-
nentes do vetor.
4. Podemos também usar a notação matricial (i.e., usar uma representação matricial para os vetores)
x0 = Tx ;
t0 = t ;
onde
T =
0BBBB@
1 0 0 �v
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCCA ; x0 =
0BBBB@
x01
x02
x03
t
1CCCCA ; x =
0BBBB@
x1
x2
x3
t
1CCCCA :
Neste caso podemos também explicitar as componentes do vetor:
x0i =
3X
j=1
Tijxj :
Podemos nos perguntar, por exemplo, se um observador em S0 mede um determinado evento, qual a
coordenada deste evento em S?
12
Bem, se S vê S0 se movendo com velocidade v, então, obviamente S0 vê S se movendo com velocidade
�v. Ou seja, a transformação ~T�1 procurada vale
~T�1 =
0BBBB@
1 0 0 v
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCCA ;
Sem utilizar o argumento físico acima, podemos também inverter diretamente as equações que de…nem a
transformação. Por exemplo, na notação matricial
x0 = Tx =) x =T�1x0 ;
assim, devemos apenas calcular a inversa da matriz T .
13
Calculando e T�1 temos
T�1 =
0BBBB@
1 0 0 v
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1CCCCA = ~T�1 :
Que nada mais é que a transformação ~T�1 determinada com argumentos físicos.
2.2.3 O eletromagnetismo e as TG
O chamado princípio da relatividade de Galileu pode ser enunciado como:
1. As leis da mecânica são as mesmas em qualquer referencial inercial;
2. Um referencial é inercial se existe uma transformação de Galileu que o transforma num outro sabida-
mente inercial.
O ponto aqui é que gostaríamos de encontrar condições de validade não apenas para as leis de Newton,
mas para todas as leis da Física.
Exercise 8 Em que referenciais é válido, por exemplo, o eletromagnetismo?
A discussão acima deixa claro como é importante saber para quem uma certa teoria é válida. Esta questão
é crucial, obviamente, não apenas para a mecânica, mas para qualquer teoria física (ou ainda, qualquer teoria).
Em especial, é mandatório saber para qual tipo de referencial é válido o eletromagnetismo.
Um ponto chave em relação a mecânica é que a força que gera a dinâmica depende da segunda
derivada da posição em relação ao tempo (a equação (2) mostrou que isso é essencial). Isso faz com o
termo v� t na TG desapareça do lado direito da lei de Newton e garanta a covariância da teoria. Em outras
paravas:
Remark 9 As fórmulas envolvidas na mecânica Newtoniana não dependem da velocidade, mas
apenas da aceleração.
Já no eletromagnetismo as fórmulas envolvidas possuem uma dependência explícita da ve-
locidade. Por exemplo, vimos que o movimento uniforme é um conceito relativo, contudo a aceleração
não (todos os RI medem a mesma aceleração), mas a força de Lorentz, que governa a dinâmica das cargas
massivas no eletromagnetismo (i.e., fornece o link entre o eletromagnetismo e a mecânica) vale
F = q [E+ v �B] :
Um observado em repouso com a carga imersa num campo magnético B não detecta nenhuma força (conse-
qüentemente nenhuma aceleração) enquanto outro com velocidade v detecta a força qv�B (conseqüentemente
uma aceleração). Como …ca então a invariância das leis da mecânica?
14
Outro exemplo é a lei de Ampère Z
@S
B:dl = �0I + �0"0
@� (E)
@t
:
A corrente I é dada pela velocidade das cargas. Assim, se tivemos um pedaço de …o com uma certa
distribuição de carga, este …o gera um campo magnético para um observador que vê o …o se mover com
velocidade v, mas não para um observador parado com o …o.
Surge então a questão crucial:
� Qual a velocidade que deve ser usada nas equações de Maxwell e na força de Lorentz, ou ainda, em
relação ao que são medidas as velocidades do eletromagnetismo?
2.3 O experimento de Michelson e Morley (1887)
A necessidade de um referencial para o qual as leis do eletromagnetismo fossem válidas foi percebido desde
os primórdios da teoria. Entretanto isso não foi considerado um grande problema, pois, desde o século 17th
Boyle (e outros) já acreditavam que não existia o vácuo e que todo espaço não preenchido por partículas era
preenchido por uma substância chamada éter, a qual era responsável, inclusive, por qualquer interação entre
corpos que não estivessem em contato 3 . Neste mesmo período Huygens havia criado a hipótese de que a
luz se propagava no éter. Em outras palavras, a luz foi considerada uma onda mecânica que se
propagava no éter. Com o desenvolvimento das equações de Maxwell (EM) no século XIX e a constatação
de que a luz era uma onda eletromagnética, …cou claro para os cientistas da época que as velocidades
envolvidas na teoria do eletromagnetismo eram todas medidas em relação ao éter.
� Veio então uma necessidadeprática de medir a velocidade da terra, ou de alguma região especí…ca, em
relação ao éter. Pois, só assim as EM poderiam ser aplicadas corretamente.
Dentre os vários experimentos desenvolvidos para se medir a velocidade da terra em relação ao éter, o
mais famoso foi o experimento de Michelson e Morley (MM), devido a sua precisão compatível com o valor
da velocidade da luz. O que MM inventaram foi, na verdade, o interferômetro.
Neste aparato um feixe de luz coerente é dividido em dois feixes por uma placa parcialmente prateada.
Os dois feixes são re‡etidos por espelhos que distam da mesma distância L e se recombinam. Se imaginarmos
que a luz se propaga no éter e que este está em repouso com relação ao aparato, ambos os feixes percorrerão
a mesma distância e se recombinarão de forma construtiva. Agora, se a luz se propaga no éter (como o
som se propaga no ar) é o éter se move com uma velocidade v com relação ao aparato, os feixes percorrerão
distâncias diferentes e se recombinarão fora de fase. Vejamos isso com mais detalhes. Se o aparelho se move
em relação ao éter como na Figura 1, suponha que o feixe que move na direção da placa C (perpendicular a
3Para Kelvin átomos eram vórtices no éter.
15
Figure 1: Interferômetro (…gura retirada do livro do Feynman).
16
v) demore um tempo tC para atingir esta placa. Assim, este este feixe percorrerá uma distância
d2C = L
2 + (v:tC)
2
: (5)
Se a velocidade da luz no éter vale c temos também
dC = c:tC ; (6)
com isso,
L2 + (v:tC)
2
= (c:tC)
2
=) tC = L=cq�
1� v2c2
� = 
Lc ;
 =
�
1� v
2
c2
��1=2
> 1 para v < c :
onde L=c seria o tempo gasto se o aparato estivesse em repouso em relação ao éter. Voltando na expressão
(6) temos
dC = c:tC = c:
L
c
= c:tC = 
L :
Assim, a distância total L? percorrida pelo o feixe perpendicular a v para ir e retornar à placa B vale:
L? = 2dC = 2
L :
Já para o feixe na direção da placa E (paralelo a v) temos: quando o feixe atinge E a placa se deslocou uma
distância v:tBE . Assim, a distância dBE percorrida pelo feixe vale
dBE = L+ v:tBE = c:tBE =) tBE = L
c� v =) dBE = L
�
1 +
v
c� v
�
:
Enquanto o tempo tEB e a distância dEB para o feixe voltar valem
dEB = L� v:tEB = c:tEB =) tEB = L
c+ v
=) dEB = L
�
1� v
c+ v
�
:
Assim, a distância total Lk percorrido pelo feixe paralelo a v vale
Lk = dBE + dEB = L
�
2 +
v
c
�
1
1� vc
� 1
1 + vc
��
= L
"
2 +
v
c
 
1 + vc
1� v2c2
� 1�
v
c
1� v2c2
!#
= 2L
"
1 +
1
1� v2c2
v2
c2
#
= 2L
�
1 + 
2
�
� 1
2
+ 1
��
= 2L
2 = 
L? > L? ; 
 > 1 :
17
Dos resultados acima vemos, que as distâncias Lk e L? percorrido pelo dois feixes são diferentes. Esta
diferença se traduz em franjas de interferência na composição dos feixes defasados. Com isso podemos
detectar variações da ordem de grandeza do comprimento de onda da luz utilizada e, conseqüentemente,
variações na velocidade do éter em relação ao aparato desta mesma ordem de grandeza.
Tecnicamente não é possível construir um aparato onde ambas as distâncias sejam exatamente iguais.
Assim, logo de inicio já temos a presença de franjas de interferências. Com isso, o que realmente se esperava
observar seria uma modi…cação nestas franjas devido ao movimento do aparato em relação ao éter quando
o aparato fosse girado de 90 graus. Ou seja, girando-se este interferômetro pretendia-se observar diferença
nas velocidades dos feixes conforme estes percorriam caminhos paralelos ou perpendiculares ao deslocamento
do éter. Entretanto nenhuma diferença jamais foi observada! Várias tentativas de se explicar o fracasso
(na verdade um sucesso!) deste experimento foram desenvolvidas. Entre elas havia a hipótese do éter ser
arrastado com a terra, mais isso levava a inconsistências com as propriedades de viscosidade deste meio e
com os efeitos observados em fontes luminosas extraterrestres.
18
2.4 As transformações de Lorentz
Uma proposta de Lorentz e Fitzgerald (LF) foi a…rmar que o éter comprimia todos os corpos na direção de
seu movimento por um fator 
�1 (lembre que 
 > 1 para v < c). Pois, com isso, a distância percorrida pela
luz não seria Lk, mas ~Lk = 
�1Lk e com isso
~Lk =
1
Lk =
1
(
L?) = L? ;
ou seja, neste caso as distâncias percorrida pelos feixes na experiência de MM seriam as mesmas e nenhuma
mudança das franjas seria observada. Este efeito, conhecido como contração de Lorentz, será retomado na
TR, mas num contexto completamente diferente. Porém Lorentz justi…cava esta contração a…rmando que as
forças moleculares seriam in‡uenciadas pela corrente de éter. Ou seja, a interpretação física de LF estava
errada.
Além disso, no desenvolvimento do problema LF tiveram sucesso em encontrar transformações das co-
ordenadas que deixavam invariantes as EM4 (na verdade, estas transformações já haviam sido propostas
por Larmor em 1900, enquanto os trabalhos de LF são de 1903), desde que os campos também se
modi…cassem. Estas transformações têm a forma
x0 = �
 (x� vt) ;
y0 = �y ;
z0 = �z ;
t0 = �
�
t� vx
c2
�
e são hoje conhecidas (para � = 1) como as transformações de Lorentz (a modi…cação dos campos será
vista depois). A interpretação da primeira transformação seria a contração mencionada anteriormente. Pois
suponha que no referencial S0, num instante t0 foi efetuada uma medida entre os pontos x01 e x
0
2. Assim, a
distância entre estes pontos em S0 vale
�0x = x02 � x01 :
Usando as transformações acima (com � = 1) temos
�x0 = x02 � x01 = 
 (x2 � vt)� 
 (x1 � vt) = 
 (x2 � x1) = 
�x
Assim, a distância entre estes dois pontos, quando registradas por um observador em S, vale
�x =
1
�x0 :
4Na verdade, o tratamento de Lorentz está correto apenas no vácuo, pois os termos que contém transformações de cargas e
correntes não estavam correto.
19
Que é a contração de Lorentz mencionada acima.
Já a transformação do tempo era considerada uma aberração na medida do tempo ocasionada também
pela in‡uencia do éter nos fenômenos eletromagnéticos (esta transformação já havia sido introduzida, como
um artifício matemático, por Voigt em 1887). Entretanto, uma medida de tempo que não envolvesse efeitos
eletromagnéticos não sofreria esta aberração.
Um ponto importante destes trabalhos, também re-utilizado na TRR, foi a idéia de uma “massa eletro-
magnética”dependente do referencial. Ou seja, para fenômenos eletromagnéticos a massa dos corpos
não poderia ser considerada uma constante.
A contração de Lorentz, por afetar todos os corpos, não poderia ser medida por nenhum experimento.
Mas estes resultados não fecharam a questão do éter, pois experimentos diferentes foram desenvolvidos para
detectar o movimento do éter e, para cada um deles, tinha de se introduzir uma nova característica para se
explicar o seu fracasso (e.g., o éter é um super‡uido etc). Ou seja, nenhum experimento (eletromagnéticos ou
mecânico) permitia “ver”o éter. Todas estas “conspirações”da natureza para esconder o éter levou Poincaré
a…rmar “uma conspiração completa só pode ser uma lei da natureza”. Isso levou Poincaré a generalizar o
princípio da relatividade de Galileu e a…rmar:
� Todas as leis da Física são invariantes por transformações de Lorentz.
Como veremos, o mesmo postulado foi proposto, quase simultaneamente, nos trabalhos de Einstein.
Além disso, estudando as propriedades de grupo das TL Poincaré determinou que � = 1 (o que foi usado nos
trabalhos de Lorentz, mas apenas como uma escolha arbitrária).
Obviamente isso trazia um problema desconcertante, pois as equações de Newton, que até então haviam
previsto com sucesso os movimentos de corpos no céu e na terra, não era invariante por estas transformações
e, conseqüentemente, não seriamuma lei da Física.
Como vimos vários trabalhos até 1904 continham os embriões da TRR. Entretanto, num trabalho de 1905
Einstein conseguiu agrupar todas estas idéias e fornecer as, até então inexistentes, interpretações físicas de
todas as conseqüências da teoria.
2.5 A relatividade de Einstein
"...the covariant law should be derivable from the simplest possible basic assumptions. The credit for having
succeeded in doing just this goes to Einstein.", (W. Pauli)
Nos trabalhos de Einstein de 1905 sobre a TRR ele faz menção a um experimento parecido com o seguinte:
imagine uma bobina quadrada de lado l se movendo (e.g., dentro de um carro) e entrando numa região com
campo magnético uniforme B (Figura 2).
Considere este problema sob 2 pontos de vista:
1. Você está parado na região do campo e vê a bobina se mover para dentro do campo.
Neste caso, com o movimento das cargas da bobina, você vê surgir uma força de Lorentz F que, por
20
Figure 2: Figura 2.
sua vez, faz surgir uma EMF (trabalho por unidade de carga) dada por:
E =
�
1
q
� Z
F:dl =
�
1
q
�
q
Z
(v �B) :dl = �vBl
(o sinal de � vem da velocidade estar na direção �x^);
2. Agora você está dentro do carro, i.e., se movendo com a bobina.
Neste caso não há cargas se movendo e, conseqüentemente, não há forças de Lorentz. Mas você
conhece as leis do eletromagnetismo e, em especial, a Lei de Faraday. Você sabe que na bobina há um
‡uxo magnético �,
� (B) =
Z
B:da = Bl:s ;
onde s é a parte da bobina que entrou no campo. A variação temporal deste ‡uxo induz um campo
elétrico E que, por sua vez, gera a EMF:
E =
Z
E:dl = �d� (B)
dt
= � d
dt
(Bl:s) = �Blds
dt
= �Blv :
Observe que para aqueles que criam no éter a igualdade destes dois valores de E é uma coincidência
impressionante. Pois suponha que no caso 1 a pessoa está num referencial bom, i.e., que não se move em
relação ao éter. Neste caso seus cálculos vão fornecer o resultado correto, mas para qualquer outro referencial,
em especial o do caso 2, as contas estariam erradas. Ou seja, a pessoa do caso 2 não poderia usar as EM.
E o mesmo para o caso contrário, se a pessoa parada no campo está no referencial bom, então a pessoa no
carro não poderia usar a lei de Lorentz. Ou seja, apenas um dos observadores acima poderia obter a resposta
correta, mas como estas são iguais ambos devem estar certos.
21
Em sua análise do problema, Einstein tomou o resultado acima não como uma coincidência, mas como
uma conseqüência dos fundamentos da lei da física.
2.5.1 Primeiro postulado
Seu primeiro passo foi abandonar a existência do éter, e de qualquer outro referencial privilegiado,
e estender o postulado da relatividade de Galileu:
1. As leis da física são as mesmas em qualquer referencial inercial;
Mas esta extensão levava a um problema sobre o que é um referencial inercial. Como vimos, as leis do
eletromagnetismo não são invariantes por uma transformação de Galileu. Por outro lado Lorentz encontrou
leis de transformação que mantinham invariantes as EM. Entretanto, as equações da mecânica de Newton não
são invariantes pelas transformações de Lorentz. Neste sentido, o postulado acima nos diz que uma destas
teorias não está correta.
Alguns tentaram mudar as EM para serem invariantes pelas TG, mas isso gerou efeitos eletromagnéticos
que não foram observados.
Einstein escolheu como corretas as leis do Eletromagnetismo. Com isso, referenciais inerciais são
aqueles ligados pelas transformações de Lorentz:
x0 = 
 (x� vt) ;
y0 = y ; z0 = z ;
t0 = 
�
t� vx
c2
�
: (7)
Assim como no caso das transformações de Galileu, as equações acima descrevem a seguinte situação: ex-
iste um referencial S, com coordenadas (x; y; z; t) e um segundo referencial S0, com coordenadas (x0; y0; z0; t0).
O referencial S0 (S) se move com velocidade v (�v) na direção x (x0) em relação ao referencial S (S0). O
conjunto das quatro coordenadas (x; y; z; t) é chamado de um evento no referencial S. Ou seja, usando as
coordenadas de S estas quatro quantidades indicam quando e onde algo ocorreu. Dado um evento em S,
como este mesmo evento pode ser descrito usando as coordenadas do referencial S0.
Remark 10 A descrição acima, apesar de ser repetitiva e óbvia, deve ser entendida bem. Pois uma das
grandes di…culdades na resolução de problemas em TRR é transcrever um dado evento na linguagem das
coordenas.
Diferente das transformações de Galileu, atente para o seguinte:
1. Para usar as transformações acima os observadores de ambos os referenciais devem sincronizar os seus
relógios em algum instante. Entretanto, relógios sincronizados num instante T qualquer
NÃO mais estarão sincronizados para qualquer instante diferente de T .
22
2. Se os relógios foram sincronizados de forma que t = t0 = 0, o referencial S0 deve marcar a origem do
seu referencial como sendo a origem do referencial S neste instante t = t0 = 0.
A sincronização e marca da origem dos referenciais é arbitrário, mas as escolhas acima evitam que se
carregue constantes desnecessárias.
Vamos voltar exatamente no mesmo exemplo que tratamos quando estudamos as transformações de
Galileu. Suponha que S está parado e S0 se move para a direita com uma velocidade de v = 1m=s. Aos
3s medidos no referencial S (isso é de fundamental importância) um martelo atingiu o ponto x = 0.
Ignorando as coordenadas y e z este evento tem coordenas (x = 0; t = 3). Se visto do referencial S0 após,
este mesmo evento será descrito como um evento que ocorreu aos
x0 = �3
 ; t0 = 3
 ;
i.e., no instante t0 = 3
 e na posição x0 = �
3, ou seja, a coordenada do evento em S0 será (�3
; 3
). Observe
que agora, os observadores medem não apenas posições diferentes, mas também tempos diferentes (mesmo
com seus relógios sincronizados em t = t0 = 0). Entender este fato, e suas conseqüências, é o objetivo desta
parte do curso. Entretanto, neste exemplo em especí…co, como v << c, os resultados são muito próximos do
caso anterior
 =
1q
1� 1c2
= 1; 00000000000000000| {z }
17 zeros
5 :
Por isso este tipo de discrepância não é observado no cotidiano onde as velocidades envolvidas são pequenas
(em comparação a c).
Remark 11 Uma conseqüência da generalização do princípio da equivalência de Galileu para o de Einstein
é que, se no primeiro é impossível detectarmos um MRU por qualquer experimento mecânico no referencial.
Já o segundo a…rma que este movimento não pode ser detectado por nenhum experimento em geral, seja ele
eletromagnético ou qualquer outro.
2.5.2 Segundo postulado
Uma conseqüência direta das EM é o valor da velocidade da luz no vácuo. Uma vez que as EM e, conseqüen-
temente, o cálculo desta velocidade independem do referencial, isso levou Einstein ao segundo postulado
da TRR:
2 A velocidade da luz no vácuo é a mesma para qualquer observador num referencial inercial, independente
do movimento da fonte ou do observador.
Por velocidade no postulado acima se deve entender a magnitude apenas e não o vetor velocidade. Como
veremos, a “direção”da luz pode depender da fonte.
23
Observe que, a princípio, o comportamento de uma onda mecânica, como o som, também não depende
do movimento da fonte (mas apenas do movimento do meio onde se propaga). Mas o comportamento da luz
é algo bem diferente disso. Imagine um nevoeiro onde seja possível “ver”a luz se propagar. Neste nevoeiro
temos duas pessoas que se movem com velocidade constante uma na direção da outra. No ponto aonde elas
irão se encontrar existe um poste que, quando aceso, emitirá uma frente esférica de luz. Assim, ao passar
uma pela outra o poste se acende. O que cada um dos observadores irá ver. O primeiro verá uma onda
esférica com ele no centro da esfera, enquanto o outro observador certamente está em algum ponto fora deste
centro. Já o segundo veráuma esfera com ele no centro (pois para ambos a luz se afasta com velocidade c em
todas as direções) e a…rmará, com certeza, que o outro observado é que está fora do centro. Mas certamente
existe apenas uma frente de luz.
Exercise 12 Qual deles diz a verdade?
24
Como veremos, o segundo postulado nos leva a reconsiderar o que até então chamamos de “verdade”.
O segundo postulado acima, além de completamente anti-intuitivo, representa uma completa revolução
nas noções usuais de distância e, conseqüentemente, da geometria do tempo e do espaço.
A importância crucial de uma lei física é fazer previsões (esta característica é imprescindível para que a lei
possa ser testada). Ou seja, a lei deve dizer quando e onde algum fenômeno ocorrerá, a partir do conhecimento
do estado (como e onde) do sistema no passado. Até Einstein pouca importância se dava a uma de…nição
precisa dos termos quando e onde (obviamente os valores sempre foram importantes), uma vez que estes
são intuitivos o su…ciente para que esta questão fosse apenas uma questão …losó…ca. Em especial, observador
de diferentes referenciais (não necessariamente inerciais) poderiam em algum momento e lugar compartilhar
réguas e relógios que posteriormente seriam usados por cada observador no seu respectivo referencial. Assim,
dado, por exemplo, um ponto de referência “visível”por todos os referenciais, este poderia ser usado para
converter as distâncias de um observado para o outro. Por exemplo, dado um ponto qualquer (e.g., um poste)
um observador sempre poderia dizer aos demais, as cinco horas o carro estava a cinco quilômetros de
distância do poste. Cada observador, independente do seu movimento, entenderia esta a…rmação. Além
disso, um outro fenômeno, por exemplo, quando o carro passar pelo poste, poderia ser usado para sincronizar
o relógio de todos os observadores. Vamos ver como o segundo postulado acima muda drasticamente este
senso-comum.
2.5.3 O segundo postulado e as TL
Vamos ver como este postulado se relaciona com as TL. Imagine que na origem de um referencial S emitimos
um sinal luminoso. Após um tempo t (medido em S) a frente deste sinal terá viajado a distância ct, ou seja,
se (x; y; z) são as coordenadas da frente de onda,
ct =
p
x2 + y2 + z2 =) (ct)2 = x2 + y2 + z2
Para simpli…car vamos imaginar que o sinal foi emitido na direção x, com isso
(ct)
2
= x2 =) (ct)2 � x2 = 0
Imagine agora um outro observado num referencial S0 que se move com velocidade vx^ em relação a S.
Pelo primeiro postulado este observador também verá a luz se deslocar com velocidade c e, conseqüentemente,
após um tempo t0 (medido no relógio de S0) o a frente de onda terá coordenada ct0, assim, se x0 é a coordenada
da frente de onda, temos
(ct0)2 � x02 = 0
.As duas relações acima permitem identi…car as quantidades
(ct)
2 � x2 = (ct0)2 � x02 ; (8)
25
para qualquer refencial. Queremos agora encontrar uma relação entre x; t e x0; t0 que respeite a condição
acima. Lembrando a relação entre as funções hiperbólicas
cosh2 a� sinh2 a = 1 (9)
é fácil ver que esta relação é satisfeito (de forma geral) se estas coordenadas tiverem a relação
x = x0 cosh a+ ct0 sinh a ;
ct = x0 sinh a+ ct0 cosh a : (10)
Exercise 13 Veri…que que (10) respeita (8).
Suponha agora que um observador em S siga (observe) a origem de S0 (x0 = 0). Em S este ponto terá as
coordenadas:
x = ct0 sinh a ;
ct = ct0 cosh a :
dividindo estas relações
x
ct
= tanh a
obviamente, pela construção do problema, a origem de S0 se move com velocidade v, i.e.,
x
t
= v ;
com isso
tanh a =
v
c
: (11)
Usando esta igauldade e a relação (10) temos
sinh a =
V=cq
1� V 2c2
= 
v
c
;
cosh a =
1q
1� V 2c2
= 
 :
Exercise 14 Veri…que que a relação acima respeita (11) e (9).
26
Substituído novamente em (10) temos
x = 
 (x0 + vt0) ;
t = 
�
x0
v
c2
+ t0
�
:
Que são as TL entre os referenciais S e S0 (ou seja, (7) trocando v por �v). Vemos assim como o postulado
de Einstein se relaciona com as TL.
Exercise 15 Uma vez que as TL misturam as coordenadas temporais e espaciais, é muito útil que todas as
quantidades tenham a mesma unidade. Assim, ao invés de trabalharmos com t usualmente trabalhamos co ct
e escrevemos as TL como
x0 = 
 (x� vt) ;
y0 = y ; z0 = z ;
ct0 = 
�
ct� v
c
x
�
:
Escreva estas transformações na forma matricial. Calcule a inversa da matriz T�1 e mostre que esta matriz
é a mesma que se obtém invertendo o sinal de v nas TL.
2.6 Sobre o tempo
A última equação em (7) mostra que o tempo para observadores em referenciais diferentes não é
o mesmo. Vamos ver melhor o que isso signi…ca. Para tanto, vamos construir um tipo de relógio bastante
simples e especial. Nosso relógio é composto pela fonte de luz e o espelho da Figura 3. Chamamos de uma
unidade de tempo (t) o tempo que a luz demora para sair da fonte e atingir a fotocélula. Admitindo o
primeiro postulado, no nosso referencial esta unidade de tempo vale:
t = 2
D
c
:
Se você quiser imaginar um relógio imagine que a luz pisca e quando o feixe re‡etido atinge a fotocélula
existe um dispositivo que faz a luz piscar novamente. Assim, esta luz piscando é o nosso relógio.
Imagine agora que construímos 2 destes relógio de luz exatamente iguais e os iniciamos simultaneamente.
Assim, estes dois relógios estão sincronizados. Pegamos agora um destes relógios e entregamos para um
observador num foguete que se move com a velocidade v indicada na …gura acima. Este observador, pra seu
conforto, utiliza um sistema de coordenadas S0 que viaja junto com o foguete.
Como o mecanismo do relógio de luz não se modi…cou e a velocidade da luz é uma constante
o observador na nave vê o seu relógio piscar com a mesma periodicidade t. Entretanto, quando o observador
da nave olha para o relógio que …cou na terra, ele tem uma surpresa. Como, para ele, a luz do aparato que
27
Figure 3: Figura 3 - Retirado do Feymann
está na terra percorrer um caminho diferente, admitindo o primeiro postulado, para este observador temos
(c�)
2
= D2 + (v�)
2
=) � = 1
c
�
1� v
2
c2
��1=2
D = 
D
c
;
onde � é o tempo que a luz demora pra ir da lâmpada ao espelho. Com isso, o tempo total t0 para a luz ir e
voltar vale:
t0 = 2� = 2
D
c
= 
t : (12)
Lembrando, novamente, que para v < c =) 
 > 1, vemos que t0 > t. Ou seja, para o observador na nave o
relógio na terra demora mais para completar um ciclo do que o relógio que está com ele.
Por exemplo, para v =
p
3c=2 temos 
 = 2 e t0 = 2t. Ou seja, se o observador em S vê a lâmpada piscara
a cada 1 segundo, o observador em S0 a vê piscarar a cada 2 segundos (lembrando que o observador em S0
vê a lâmpada do seu próprio relógio piscar também a cada 1 segundo). O relógio de S quando visto de S0
anda mais devagar. Chamamos isso de dilatação do tempo.
Remark 16 A equação acima nos diz o seguinte: no nosso referencial S0 temos um relógio que marca um
tempo t0 (i.e., este relógio está parado em relação a nós). Olhamos então um referencial em movimento
S. Este referencial S também possui um relógio que marca um tempo t (se transportado para o nosso
referencial este relógio marcará a mesma unidade de tempo �t = �t0). Se observarmos um evento
que ocorreu em S podemos marcar a duração deste evento usando qualquer um dos dois relógios
(nós vemos os dois relógios). Suponha então que você está em S0 com um cronômetro na mão (que marca
um tempo t0) e, olhando para S, você vê ocorrer um evento e também enxerga o relógio de S. Então, olhando
28
para o relógio de S você observa que este evento demorou um tempo �t para ocorrer. Assim que o evento
terminou você parou o seu cronômetro. Quando você olhar para o seu cronômetro este marcará um tempo
�t0 = 
�t > �t.
Mas, obviamente, isso parece uma particularidadedo nosso relógio. É aqui que entra o primeiro postu-
lado. Lembre-se que devido a invariância das equações de Newton por uma transformação de Galileu seria
impossível (por experimentos mecânicos) detectar o movimento uniforme de um referencial inercial em re-
lação a outro. Da mesma forma, admitir o primeiro postulado da relatividade de Einstein é equivalente a
a…rmar que é impossível (por qualquer experimento) determinar o movimento uniforme de um
referencial inercial em relação a outro. A única diferença é que, agora, não nos restringimos apenas a
experimentos mecânicos. Assim, admitir o primeiro postulado implica que é impossível detectar a velocidade
v do experimento acima fazendo qualquer experiência em S0 (ou seja, não se pode a…rmar qual referencial está
se movendo e qual está parado.). Suponha então que exista algum outro relógio em S0 (mecânico, atômico
etc) que não sofra exatamente a mesma dilatação do nosso relógio de luz. Um observador em S0 poderia
então medir a diferença de tempo entre estes relógios e, com isso, determinar que o seu referencial está se
movendo. Assim, adotar os dois princípios da relatividade implica que qualquer relógio que se mova
anda mais lento. Na verdade, isso é válido para qualquer seqüência de evento, seja ele uma gota caindo,
uma planta crescendo, qualquer coisa! Ou seja, para quem está na nave, tudo na terra parece estar em
câmera lenta.
Para ilustrar o signi…cado da expressão (12), imagine que em S0, juntamente com o relógio, existe uma
torneira gotejante. Esta torneira está a uma altura na qual, quando medido em S0 (i.e., no referencial onde
a torneira e o relógio estão em repouso) a gora demora 1 segundo para atingir o piso. Já um observado
do referencial S, que se move com 
 = 2, este tem duas possibilidades para marcar o tempo de queda da
gota: ele pode usar o seu relógio (que está em repouso em S) ou pode usar o relógio do referencial S0,
supondo que ele possa ver tanto a torneira quanto o relógio. Suponha então que o nosso observador em S
tem em sua mão um cronômetro, assim que a gota começou a cair o relógio de S0 marcava 0h00m00s e o
observador acionou o seu cronômetro. Ele continua observando a gota e o relógio de S0. Quando a gota
atingiu o chão, o relógio de S0 marcava exatamente 1s (t0 = 1s) e nosso observador para o seu cronometro.
Observe que tanto o nosso observador em S, quanto alguém em S0, concordam com o fato de que a gota
atingiu o solo em t0 = 1s. Neste momento ele olha para o seu cronômetro e ele marca um tempo:
t = 
t0 = 2� 1 = 2s :
Observe que, obviamente, toda a descrição acima não depende de quem você chama de S e S0. Relógios
em movimento andam mais devagar. Ou seja, se existe um observador A com um relógio no pulso (i.e.,
está parado em relação ao relógio) e um outro observador B que vê A se movendo com velocidade v. Para B
este relógio se moverá mais devagar do que para A. Na verdade, tudo que A …zer, ou que se mover com ele,
parecerá estar em câmera lenta.
29
Para tirar a mesma conclusão acima usando diretamente as TL (7) imaginamos que A (e o relógio) está
no centro do sistema S, ou seja, a coordenada do relógio no sistema sem linha é x = 0. Então o observador
B no sistema S0, que vê S se mover com velocidade v para a direita usará a transformação
t0 = 
�
t� v (x = 0)
c2
�
= 
t :
Agora se B estiver no centro do sistema com linha (x0 = 0) e também tiver um relógio, o observador A, no
sistema sem linha, verá o relógio de B se mover com velocidade �v para a esquerda. Com isso, A pode usar
a transformação
t = 
�
t0 � (�v)x
c2
�
= 
�
t0 +
v (x = 0)
c2
�
= 
t0 :
Ou seja, se os relógios de A e B um dia estiveram sincronizados (foram produzidos e ajustados no mesmo
referencial, que pode ser diferente de S e S0), então A dirá que o relógio de B anda mais devagar e, ao mesmo
tempo, B dirá que o relógio de A anda mais devagar.
Vejamos uma conseqüência deste fenômeno. Um méson-� (muon) é uma partícula elementar parecida
com o elétron (carga e spin), porém um pouco mais pesada, que se desintegra espontaneamente devido a
interação fraca, decaindo num elétron e num neutrino
�� �! e� + ��e + �� :
Esta partícula pode ser produzida em laboratório e seu tempo médio de decaimento é de 2:2 � 10�6 sec.
Estas partículas são produzidas também por raios cósmicos ao atingirem a atmosfera terrestre. Isso ocorre
em altitudes superiores a 10Km. Pelo tempo médio de vida do �, com a energia com que estes raios cósmicos
são produzidos, ele poderia percorrer distâncias da ordem de 600m. Entretanto, alguns destes � produzidos
na alta atmosfera atingem a superfície da terra (i.e., viajam mais de 10Km). A resposta para este enigma
é que alguns destes � criados pela radiação cósmica possuem velocidades próximas a da luz (o que pode
ser medido no momento da detecção). Enquanto no referencial do � sua vida é de apenas 2:2:�s, quando
vistos da terra este tempo se dilata o su…ciente para que ele alcance a terra. Mesmo que o mecanismo de
desintegração dos �’s não seja conhecido, e di…ra completamente dos efeitos eletromagnéticos, sabemos que,
por obedecer ao princípio da relatividade, este mecanismo será mais lento para um � em movimento.
Remark 17 Um ponto a se observar no desenvolvimento acima é que, apesar da velocidade da luz não
depender da fonte a direção do feixe de luz depende do observador. Este efeito é chamado de aberração.
Para evidências experimentais da dilatação do tempo, consulte:
� G. Gwinner, Experimental Tests of Time Dilation in Special Relativity, Mod. Phys. Lett. A, 20, no.
11 (2005), pg 791.
30
2.7 Simetria das transformações
Um ponto a se notar, o qual a primeira vista parece gerar uma série de paradoxos, é a simetria presente nas
transformações de Lorentz. Se invertermos as relações (7) obtemos
x = 
 (x0 + vt0) ;
y = y0 ; z = z0 ;
t = 
�
t0 +
vx0
c2
�
: (13)
O que obviamente representa apenas a troca do sinal da velocidade v, pois, se um referencial vê o outro ir
para a direita, o outro vê o primeiro ir para a esquerda (lembrando sempre que não faz sentido falar em
qual realmente se move). Uma conseqüência das relações acima é que, cada referencial vê um relógio no
outro referencial andar mais devagar.
Este fato, a princípio, parece estar em con‡ito com o primeiro postulado. Um exemplo famoso é o chamado
“paradoxo dos gêmeos”: dois irmãos gêmeos trabalham no programa espacial, um deles como astronauta
o outro como operador de terra (ground control). A primeira missão acontece no aniversário dos gêmeos,
completando então 30 anos. O controlador se despede do seu irmão que decola na nave. A nave viaja por 10
anos contados na terra, com uma velocidade que, apenas para facilitar as contas, vamos supor o …ctício valor
de v =
p
3c=2. Assim, o irmão que …cou na terra vê o tempo dentro da nave andar mais devagar, de sorte que
cada 2 anos passados na terra corresponde a apenas 1 ano dentro da nave. Então, quando seu irmão retorna,
após dez anos terrestres, ter-se-ão passados apenas 5 anos para o astronauta. Ou seja, o irmão gêmeo na
terra terá 40 anos enquanto o seu irmão astronauta terá apenas 35! Agora, uma análise ingênua das relações
inversas acima pode levar a seguinte a…rmação: para o astronauta quem se move é a terra (se afastando da
nave), então é o relógio de quem …cou na terra que anda mais devagar. Assim, quando ele voltar para a terra
o seu irmão é que terá 35 e ele 40.
Exercise 18 Mas, quando eles realmente se encontrarem, qual deles terá razão?
Antes de prosseguirmos vamos olhar para outro exemplo completamente equivalente ao problema acima,
mas onde não precisemos comparar idades. Voltando ao exemplo da nossa torneira gotejante, imagine que
tanto na nave S0 quanto na terra S existe ao lado do relógio uma torneira que goteja num balde a uma taxa
de 1G=h (lembre-seque ambos os observadores concordam com esta taxa para a sua torneira). Suponha
também que a nave viaja com 
 = 2 e depois de 1 hora (medidos na terra) reverte instantaneamente o seu
motor e retorna à terra com a mesma velocidade. Quanto o observador na terra (B) olha a ocorrência do
fenômeno da reversão dos foguetes da nave depois de t = 1h o relógio na nave marca t0,
t = 
t0 =) t0 = 1
t =
1
2
1 =
1
2
h :
31
Então, enquanto B vê uma gota cair no seu balde, ele constata que em S0 nenhuma gota caiu. Depois
do retorno da nave B vê seu relógio marcar t = 2h (i.e., outra gota caiu no seu baldo) enquanto o relógio
da nave marcará t = 
�1t0 = 1h, i.e., a primeira e única gota acaba de cair no balde na nave. Assim B
espera que ao comprar os baldes, o seu balde tenha 2 gotas enquanto o balde na nave terá apenas 1. Da
mesma forma como no paradoxo dos gêmeos, se mudarmos para a descrição de um observador A na nave,
numa primeira análise poderíamos esperar que A a…rmasse que a viagem demorou 2h (e ele teria duas gotas
no seu baldo) enquanto um relógio na terra (para ele em movimento) marcou apenas 1 hora de viagem e,
conseqüentemente, apenas uma gota teria cído no balde da terra. Assim, quando eles se encontrarem, A
esperaria 2 gotas no seu balde e apenas 1 gota no balde da terra. Repetindo a pergunta anterior: quem está
com a razão?
O ponto aqui é que para retornar a terra o astronauta teve de mudar sua velocidade e, conseqüentemente,
sofrer aceleração. Quando isso ocorreu o seu referencial deixou de ser inercial, de sorte que ele não pode mais
usar as suas medidas (seria como aplicar as leis de Newton num vagão acelerado). Desta forma, apenas o
referencial de quem …cou na terra é inercial em todo o processo e apenas este pode usar diretamente a TRR.
Ou seja, a TRR diz que o irmão que …cou na terra está certo e seu irmão astronauta estará mais novo. A
análise do ponto de vista do referencial não inercial pode ser feita se usarmos o conceito de tempo próprio,
que será introduzido posteriormente.
Uma outra questão interessante no exemplo das gotas no balde acima é: se B (na terra) a…rma que os
foguetes de A (na nave) foram revertidos em t = 1h. A que horas num relógio de A isto ocorreu? Vamos
simpli…car este exemplo com apenas uma viagem de ida e uma forma mais simples de comparar os relógios.
Imagine que um observado tem um cronômetro e passa por ele (atirado por algém) um outro relógio com
 = 2. Quando os dois relógios se encontram eles estão sincronizados com t = t0 = 0 e o cronômetro é
acionado. O observador sabe que a uma distância de
p
3=2m existe uma parede e o outro relógio irá se chocar
com ela depois de t = 1s. Quando o relógio viajante se choca com a parede ele pára de funcionar. Neste
momento o observador para o seu cronômetro (que marca t = 1s) e caminha até o relógio quebrado.
Exercise 19 Quanto marca o relógio quebrado?
Pelo que foi dito antes, o relógio quebrado sofreu aceleração, mas o nosso observador permaneceu sempre
num referencial inercial, ou seja, o nosso observador sabe a veradede. Assim, usando o ponto de vista do
nosso observador, o relógio terá parado as
t = 
t0 =) t0 = 1
t =) t0 = 1
2
s :
Observe que alguém que viajasse com o relógio também veria este parar porque bateu na parede. Assim,
para quem viaja com o relógio o choque aconteceu 1=2s (e não 1s) depois que os dois relógios se encontrarão.
Como um observador B que caminha junto com o relógio, i.e., que bateu na parede e sobreviveu, explicaria
32
a marcação dos relógios quando estes se encontrassem5 .
Apesar de podermos calcular todos os ocorridos, a descrição rigorosa deste fenômeno exclusivamente
pelo ponto de vista do referencial que sofreu aceleração está fora do escopo da TRR. Mas pela experiência
adquirida com a teoria da relatividade geral sabemos que o oservador B veria o relógio de A andar mais
devagar até o choque com a parede. Assim, no momento do choque o relógio de A visto por B marcaria
(lembrando que para B o choque ocorreu em t0 = 0; 5s)
t0 = 
t = 1
2
s =) t = 1
t0 =
1
4
s :
Ou seja, o relógio de A estava ainda mais atrasado. Entretanto, durante o processo de desaceleração, B
veria o relógio de A andar mais rápido (tão mais rápido quanto maior a aceleração) de sorte que, durante
a desaceleração o relógio de A passaria o relógio de B e, quando ele …nalmente parasse o relógio de B teria
conseguido atingir os 1s.
Exercise 20 Alice embarca numa nave, deixando seu irmão gêmeo Bob na terra, e viaja por 2; 2�108s (' 7
anos) do tempo dela, com uma velocidade de 0; 96c. Após este período ela (instantaneamente) reverte a
direção de seu foguete e retorna a terra (com a mesma velocidade). Quem será o mais velho dos irmãos e
qual a diferença na idade?
Testes realizados com relógios atômicos, inicialmente sincronizados, con…rmam a hipótese discutida acima.
� C. W. Sherwin, Some Recent Experimental Tests of the ’Clock Paradox’, Phys. Rev. 129 no.1 , pg 17
(1960)
� J. Hafele, R. Keating, Around the world atomic clocks:observed relativistic time gains, Science Vol. 177
pg 166 (1972)
5Lembre que o cronômetro foi parado antes do observador A se movesse, de sorte que seu movimento é irrelevante.
33
2.8 Sobre o espaço
O efeito da contração do espaço, ou contração de Lorentz, já foi discutido no experimento de MM. O único
ponto é que na TRR este efeito não deve ser interpretado, como fez Lorentz, como uma modi…cação na
estrutura da matéria devido a fenômenos eletromagnéticos (o que poderia não ocorrer para outro tipo de
forças), mas sim como um efeito sobre o próprio espaço.
Vamos ver um pouco melhor como este efeito é descrito pelas TL.
A segunda linha de (7) a…rma que não há mudanças nas coordenas, e conseqüentemente nos comprimentos,
perpendiculares ao movimento. Este fato já foi usado na análise da dilatação do tempo do relógio
de luz. A invariância das distâncias perpendiculares ao movimento é, na verdade, uma conseqüência direta
do primeiro postulado. Usando um exemplo de Taylor e Wheeler (Spacetime Physics): Imagine um trilho
reto, um trem que se move com velocidade v sobre ele e um túnel. Pode um observador na terra (S) (em
repouso com o túnel) observar alguma contração na altura do trem ou, por outro lado, alguém no trem (S0)
observar contrações na altura do túnel? Para veri…car tal coisa bastaria, no sistema em repouso com o túnel,
se construir o trem exatamente da altura do túnel. Se houver uma contração perpendicular ao movimento
para um observador no trem o túnel irá se contrair e o trem não poderá passar por ele, causando assim um
desastre calamitoso. Por outro lado6 , alguém em repouso com túnel veria a altura do trem se contrair e ele
passaria pelo túnel sem dano algum. Entretanto, o fato de passar ou não pelo túnel é uma realidade física que
deve ser compartilhada por todos os observadores. Isso só é possível se não houver nenhuma contração
na direção perpendicular ao movimento. Vejamos agora os outros dois membros da transformação.
Suponha um vagão de trem de comprimento L com um espelho em uma das laterais. Se um sinal de luz
é emitido do lado oposto ao espelho, para um observador A num referencial S para o qual o vagão está em
repouso, o feixe de luz retornará a fonte num tempo:
t = 2
L
c
:
Agora vamos analisar o mesmo experimento do ponto de vista de um observador B, num referencial S0
para o qual S se move com velocidade v. Para este observador o tempo total de viagem do feixe é a soma do
tempo t01 para ir da fonte ao espelho e t
0
2 para ir do espelho para a fonte. Calculando a distância percorrida
pela luz nestes dois tempos temos
ct01 = L
0 + vt01 =)
L0
(c� v) = t
0
1
ct02 = L
0 � vt02 =)
L0
(v + c)
= t02
6Lembre-se que, pelo primeiro postulado, devemos esperar uma simetria nos efeitos.34
Figure 4: Observe que esta …gura apresenta quantidades com e sem linha. Você jamais pode comparar
geometricamente estas quantidades. Ou seja, a …gura não representa a visão de nenhum dos observadores.
onde L0 é o tamanho do vagão para o observador B. Assim, a distância total percorrida pela luz para B vale
c (t01 + t
0
2) = c
L0
2
�
1
(c� v) +
1
(v + c)
�
= cL0
1
c2
�
1� v2c2
� (2c)
= 2L0
1�
1� v2c2
� = 2L0
2 = ct0 ;
L0 =
c
2
2
t0 ;
onde t0 = t01+ t
0
2 é o tempo total do percurso (medido por B) no sistema S
0. Agora, pela dilatação do tempo
sabemos que:
t0 = 
t = 
2
L
c
=) L0 = c
2
2
2
L
c
;
ou
L0 =
1
L :
Ou seja, o tamanho do vagão quando visto por B é menor que o valor medido por A. Esta é a contração de
Lorentz. Apesar do valor obtido ser o mesmo da hipótese de Lorentz sobre a contração do experimento de
MM, este resultado é conceitualmente muito diferente.
Vejamos como o resultado acima se relaciona com as TL. Suponhamos agora o observador A marcou um
certo ponto P dentro do vagão que dista de �x do início do vagão. Se ele usar um sistema de coordenada
que tem origem no inicio do vagão, poderá identi…car �x = x. Ou seja, x é a coordenada de um ponto do
sistema S que tem o início do vagão como origem. Se o observador B em S0 quiser identi…car este mesmo
35
ponto (uma entidade física, ou geométrica), sabendo que o início do vagão esta a uma distância vt0 + x00,
onde x00 a distância inicio do vagão ao centro do sistema S
0 no instante t0 = 0, temos
x0 = vt0 + x00 +�x
0 = vt0 + x00 +
1
�x = vt0 + x00 +
1
x :
Agora, se os dois referenciais concordarem em começar a contar o tempo quando as origens
dos referenciais se encontrarem, ou seja, quando o inicio do vagão passar pela origem do sistema S0,
então x00 = 0 e lembre que �x = x. Com isso, isolando todos os termos com linha,
x = 
 (x0 � vt0) :
Que é o primeiro termo das TL em (7), com o sinal da velocidade devidamente ajustado7 . Vemos então como
a linguagem de réguas e relógios se traduz na linguagem das transformações de Lorentz.
É interessante agora analisar o problema do decaimento do � novamente. Suponha que você é o �, ou
pelo menos esteja num referencial que se move juntamente com o �, para você não há a dilatação do tempo
descrita anteriormente e o � viverá apenas 2:2�s.
Exercise 21 Problem 22 Como, neste tempo, você conseguirá viajar do topo da atmosfera até a superfície
terrestre?
No referencial do �, o espaço medido por alguém na terra se contrai pelo efeito descrito acima. Assim, se
para alguém na terra o � viajou 10Km (durante mais de 2:2�s), para o � ele viajou apenas 600m (durante
2:2�s).
Até o momento não existe nenhum teste experimental direta da contração da do comprimento dos obje-
tos8 . Uma vez que a medida do comprimento de objetos em movimento, com a precisão necessária para a
comprovação, está aquém das tecnologias atuais. Entretanto, uma série de evidências indiretas deste efeito
pode ser observada. Um exemplo simples é o seguinte:
Um …o que carrega uma corrente estacionária pode ser considerado praticamente neutro, quando observado
de um referencial onde o …o está parado. Uma vez que os elétrons em movimento se deslocam por uma rede
de átomos com carga contrária. Isso pode ser comprovado pelo fato de cargas em repouso (em relação ao …o)
não sofrerem nenhuma in‡uencia deste. Agora, se analisarmos o comportamento de uma carga que se move
com velocidade constate, igual a dos elétrons na corrente9 , e paralela ao …o, devemos esperar que o campo
magnético gerado pela corrente in‡uencie o movimento da carga pela força de Lorentz. Esta é a descrição de
um observador em repouso com o …o sobre o deslocamento (e conseqüentes forças) da carga.
Entretanto, um observador que se desloque juntamente com a carga, verá uma contração na distância
entre as cargas positivas (paradas na rede em relação ao …o). Conseqüentemente a densidade de cargas
7É crucial que você saiba identi…car as quantidades em cada problema, sem se “bitolar”nas expressões.
8O exemplo a seguir e esta a…rmação foram retirados de:
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/experiments.html
9Lembrado que a velocidade dos elétrons é de alguns milímetros por segundo.
36
positivas será agora maior que as negativas e uma força elétrica agirá na carga. Por outro lado, como a carga
está em repouso para este observador, nenhuma força magnética é esperada. Assim, este observador
descreve as forças que agem sobre a carga, apenas como um efeito da força elétrica. Esta última força
foi prevista usando a contração de Lorentz e o resultado confere com o experimento. Esta é uma evidência
(indireta) de que a contração ocorre.
(Pode ser medido experimentalmente)
Um ponto importante deste experimento é que, devido a enorme intensidade das forças eletromagnéticas
envolvidas, o efeito pode ser veri…cado e medido mesmo para velocidades muito baixas e, conseqüentemente,
este tipo de experimento pode ser facilmente implementado no laboratório. Para uma descrição mais detal-
hada veja: Purcel, Electricity and Magnetism.
2.9 Simultaneidade
Nas seções anteriores vimos como a exigência de que um certo fenômeno tenha uma "realidade física" nos
permite obter vário resultados da TRR. Por exemplo, quando falamos da não contração das componentes
ortogonais ao movimento. Entretanto, a a…rmação de que algo possua uma realidade física precisa ser
analisada com muito cuidado na TRR. Antes de Einstein poucas pessoas duvidariam que a a…rmação “isso
aconteceu no mesmo instante daquilo”, ou “aquilo aconteceu no mesmo lugar disto”, possui uma
realidade física. Porém, vejamos o seguinte exemplo:
Imagine um celeiro (ou uma garagem) e uma escada. A escada foi construída para caber exatamente no
celeiro. Ou seja, num referencial em que ambos estão parados, ambos têm comprimento L, Figura 3-a. O
celeiro possui duas portas automáticas, uma de cada lado. Estas portas possuem um relógio onde se pode
programar o momento do fechamento e da abertura. Ambas as portas do celeiro estão abertas e a escada é
introduzida com velocidade v. Quando a escada está dentro do celeiro, ambas as portas se fecham e tornam a
abrir rapidamente. Para uma pessoa dentro do celeiro, que vê a escada se mover com velocidade v, a escada
sofre uma contração de Lorentz e passa a ter um comprimento 
�1L < L (Figura 3-b). Assim, quando
ambas as portas se fecharem a escada cabe (com folga) dentro do celeiro. Ou seja, para a pessoa dentro do
celeiro a escada entrou no celeiro, as portas se fecharam e abriram e a escada saiu. Depois do experimento
todos os componentes saíram ilesos. Agora, para a pessoa que carrega a escada, que vê o celeiro se mover
com velocidade �v, quem sofre a contração de Lorentz é o celeiro. Assim, como a escada tem agora um
comprimento L maior que o celeiro (
�1L), está não caberá no celeiro. Então, quando as portas se fecharem
ou a escada será cortada ou as portas irão se quebrar, de sorte que um dos componentes será destruído.
Exercise 23 Problem 24 Como só pode haver uma realidade física, o que acontece então com a escada e
o celeiro?
Primeiramente é preciso notar que o problema acima está mal colocado, pois a descrição da montagem
do experimento não faz referencia a nenhum observador em especial. Vamos analisar o problema com todos
os detalhes necessários.
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Figure 5: .
Figure 6: .
(É possível para alguém no celeiro preparar o experimento)
Para montar o problema, primeiro vamos a um fato: exceto pelo problema técnico de desenvolver dispos-
itivos rápidos o su…ciente, é possível para alguém no celeiro programar as portas para abrirem e fecharem
quando a escada estiver lá dentro (desde que ele saiba a velocidade da escada e sua posição em algum in-