apostila matrizes

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Matrizes 
Noção 
Chamamos de matriz a um conjunto de objetos dispostos, numa certa ordem, em linhas e 
colunas. Esses objetos (que podem ser: números, funções, figuras, ...) são os elementos da 
matriz. Uma matriz que tem m linhas e n colunas é uma matriz do tipo mn ou de ordem 
mn ou de dimensão mn e possui mn elementos. Neste trabalho consideraremos somente 
as matrizes cujos elementos são números ou funções reais. 
 
Representação 
Consideremos o seguinte quadro de números abaixo. Nesse quadro temos 4 linhas: a primeira 
com os números 1, 2 e 3; a segunda com 4, 5 e 0; a terceira com 6, 7 e 8 e a quarta com 9, –3 
e 
2
. E temos 3 colunas: a primeira com os números 1, 4, 6 e 9; a segunda com 2, 5, 7 e –3 
e a terceira com 3, 0, 8 e 
2
. Assim esse quadro, emoldurado por colchetes, é a 
representação de uma matriz 43. 
1 2 3
4 5 0
6 7 8
9 3 2
 
 
 
 
   
 
 
 Notação 
Para nomear as matrizes usamos as letras maiúsculas: A, B, C, D, etc. Os elementos são 
representados por letras minúsculas munidas de dois índices (i e j) os quais se referem a 
posição ocupada pelo elemento na matriz. O primeiro índice (i) indica a linha e o segundo 
índice (j) indica a coluna. Assim, na matriz A33 descrita abaixo, 4 é o elemento a22 (a dois, 
dois);  é o elemento a13. 
2
0 2
1 4 log
( ) 5 3
A x
sen x
 
 
  
 
 
 
 
Para escrever, de maneira geral, uma matriz A65 , deveríamos escrever 30 elementos, 
Conforme o exemplo abaixo. 
 
 
 
11 12 13 14 15
21 22 23 24 25
31 32 33 34 35
41 42 43 44 45
51 52 53 54 55
61 62 63 64 65
a a a a a
a a a a a
a a a a a
A
a a a a a
a a a a a
a a a a a
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
Uma abreviação conveniente é escrever a matriz A indicando somente os elementos dos 
vértices. 
11 15
61 65
a a
A
a a
 
 
  
 
 
 
 
Uma notação ainda mais simples seria a seguinte: A = (aij)65 , ficando subtendido que o 
índice i varia de 1 a 6 e o índice j varia de 1 a 5. 
 
Tipos especiais de matrizes 
Matriz quadrada 
Diz-se que a matriz A é quadrada quando tem o mesmo número de linhas e colunas. 
Em uma matriz quadrada A de ordem n devemos destacar os seguintes conjuntos: 
Diagonal principal – É o conjunto dos elementos 
ija
 tais que i = j; 
Na matriz abaixo, os elementos da diagonal principal estão assinalados em vermelho. 
 
 12 13 1
21 23 2
31 32
11
22
33
1 3
3
2
...
...
...
...
n
n
n
n n n nn
a
a
a
a
a a a
a a a
a a aA
a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagonal secundária 

 É o conjunto dos elementos 
ija
 tais que 
1i j n  
; por 
exemplo, consideremos 
 
5 5ij
A a


 , abaixo, na qual a diagonal secundária está 
assinalada em vermelho. 
 
 
 11 12 13 14
21 22 23 25
31 32 34 35
41 43 44 45
52 53
15
2
54 55
4
33
42
51
a
a
a
a
a
a a a a
a a a a
a a a aA
a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos superiores 

 É o conjunto dos elementos 
ija
 tais que 
i j
; 
por exemplo, consideremos 
 
5 5ij
A a


 , abaixo, na qual os elementos superiores estão 
assinalados em vermelho. 
 
 
 12 13 14 15
23 24 25
34 35
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
51 52 53 54 5
45
5
a a a a
a a a
a a
a
a
a a
a a aA
a a a a
a a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos inferiores 

 É o conjunto dos elementos 
ija
 tais que 
i j
; 
por exemplo, consideremos 
 
5 5ij
A a


 , abaixo, na qual os elementos inferiores estão 
assinalados em vermelho. 
 
 11 12 13 14 15
22 23 24 25
33 34 35
44
21
31 32
41 42 43
51 52 53 5
45
54 5
a a a a a
a a a a
a a aA
a a
a
a a
a a a
a a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz Nula 
É aquela em que 
0ija 
, para todo i e j. 
 
Matriz coluna ou vetor coluna 
É a matriz constituída por apenas uma única coluna. 
 
 
 
Matriz linha ou vetor linha 
É a matriz constituída por apenas uma única linha. 
 
Matriz triangular 
É toda matriz quadrada tal que 
0ija 
, para 
 ou i j i j 
, para o caso de 
0iji j a  
 é dita triangular superior e para o caso de 
0iji j a  
 é dita 
triangular inferior. 
 
 
Matriz diagonal 
É a matriz quadrada na qual 
0ija 
 para 
i j
. 
 
 
Matriz escalar 
É a matriz diagonal tal que 
ija a
 para 
i j
 
Exemplos: 2 0
0 2
 
 
 
, 
5 0 0
0 5 0
0 0 5
 
 
 
 
 
 
Observação importante : A matriz escalar funciona como um nº real na 
aritmética das matrizes quadradas. 
 
 
Matriz Identidade 
É toda matriz escalar, onde 
1ija 
, para 
i j
. Dada sua importância na álgebra das 
matrizes, ela tem notação especial. Será denotada por 
nI
, onde n é a ordem da matriz. 
Por exemplo:
2
1 0
0 1
I
 
  
 
, 
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
 
 
 
 
Operações com matrizes 
Adição 
Só podemos adicionar matrizes de mesma dimensão. 
Dadas duas matrizes 
    e ij ijm n m nA a B b  
, então 
   ij m nA B s  
 tal 
que 
ij ij ijs a b 
. 
Exemplo: 
1 1 0 4 1 0 1 4 1 3
4 0 2 5 4 2 0 5 2 5
2 5 1 0 2 1 5 0 3 5
          
       
            
               
 
 
Propriedades 
Dadas as matrizes A, B e C de mesma dimensão: 
 
1.1.1.1. Comutativa - 
A B B A  
. 
 
1.1.1.2. Associativa - 
   A B C A B C    
 
 
 
1.1.1.3. Existe o elemento neutro - 
0 0 ,A A A A    
 
 
1.1.1.4. Existe a matriz oposta - 
    0,A A A A A      
. 
 
 
 
Multiplicação por escalar 
Seja 
 ij m nA a 
 e 

, então 
 . ij m nA a  
. 
Exemplo: 
 
 
1 1 1
3 3 3
1 1 1
3 3 3
1 5
1 3 51 3 5 11
. 3 3
6 3 186 3 183
2 1 6
 
                       
 
Propriedades 
Dadas as matrizes A e B de mesma dimensão e números 
e  
, temos: 
1.1.1.5. 
1.A A
 
1.1.1.6. 
 1 A A  
 
1.1.1.7. 
.0 0m n m n  
 
1.1.1.8. 
0. 0m nA 
 
1.1.1.9. 
 . . .A B A B    
 
1.1.1.10. 
 . . .A A A     
 
1.1.1.11. 
   . . .A A  
 
 
 Transposição 
Dada uma matriz 
 ij m nA a 
, podemos obter uma outra matriz 
 t ij n mA b 
 tal que 
ij jib a
. Ou seja tA é a matriz cujas as linhas são as colunas de A. tA é denominada 
transposta de A. 
Exemplo: 
2 1
2 0 1
0 3
1 3 4
1 4
tA A
 
  
     
   
 
 
 
Propriedades 
1.1.1.12. 
 
t
tA A
 
1.1.1.13. 
 
t t tA B A B  
 
1.1.1.14. 
 . .
t tA A 
 
 
Multiplicação de matrizes 
Para que o produto de duas matrizes exista é necessário que o primeiro fator deve 
possuir tantas colunas quantas são as linhas do segundo fator. Assim, se A é uma 
matriz de ordem 
m n
 e B é uma matriz de ordem 
p k
, o produto AB só existe se 
n p
, caso contrário, não existe AB. 
Definição: Sejam 
   1 e k kjm p p nA a B b  
 então AB = C, onde: ij m nC c 
 tal 
que 
1
p
ij ik kj
k
c a b


. 
Exemplo: Sejam 
4 0
1 0 1
e 5 1
2 3 1
1 0
A B
 
   
     
   
 
, então 
1 4 0 ( 5) ( 1) 1 1 0 0 1 ( 1) 0 3 0
2 4 3 ( 5) 1 1 2 0 3 1 1 0 6 3
AB
               
    
              
 
 
 
 
Exercícios propostos 1 
 
1) Sejam as matrizes: 
1 1 3 0 0 1
2 5 1 7 11 0
4 3 2 5 3 4
A B
    
   
     
      
 Determine: 
a) 
A B
 
b) 
B A
 
 
2) Determine os números reais x e y sabendo-se que: 2
2
0
0
xx x
I
yy y
   
    
  
. 
3)Sejam as matrizes: 
2 2 2 3 3 3 4 4 4
2 1 3 , 3 0 5 e 5 1 0
1 0 4 6 9 1 7 8 1
A B C
     
     
         
          
 
a) Determine a matriz 
6 2A B C 
. 
b) Resolva a equação matricial 
   
1
3. 2
2
X A X X B C      
 
4)Determine as matrizes X e Y sabendo-se que: 1 2 1 0
e 
3 4 0 0
X Y X Y
   
      
   
 
5) X e Y são matrizes de ordem 
3 3
. Determine-as sabendo-se que: 
3 32 e 2 0X Y I X Y   
 
6) Seja 22
2 1 0
x
A
x
 
  
 
. Se tA A , determine x. 
7) Considere as seguintes matrizes: 
 
2 3ij
A a


tal que 
2 3ija j i 
 e 
 
3 2ij
B b


tal que 
 se 
0 se 
ij
i j i j
b
i j
 


. Determine a matriz 
   32 3 3t tX B A B A I   
. 
8) Considere 2 2
3 1
A
 
  
 
. Se 
  3 23 2 4f x x x x   
 encontre 
 f A
. 
9) Se 3 2
4 3
A
 
  
 
, ache B de modo que 2B A . 
10) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e 
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela tabela: 
 
 Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo 
Moderno 5 20 16 7 17 
Mediterrâneo 7 18 12 9 21 
Colonial 6 25 8 5 13 
 
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência.) 
 
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial 
respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas? 
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, 
respectivamente, 15,8,5,1 e 10 unidades monetárias. Qual é o preço unitário de cada tipo de 
casa? 
c) Qual o custo total do material empregado? 
 
Determinantes 
Podemos entender determinante como a função que associa cada matriz, de números reais, 
quadrada de ordem n a um real que denotaremos por 
Det A
 ou 
| |A
 . Dizemos então que 
toda matriz quadrada tem um determinante. Aqui tentaremos descrever como se associa a 
uma matriz quadrada o seu determinantes. 
Determinante de ordem 1 
Se A é uma matriz quadrada de ordem 1: 
 11A a
, então 
11Det A a
. 
Determinante de ordem 2 
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2: 
11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
 então 
11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
 
. 
Determinante de ordem 3 – (Regra de Sarrus) 
O cálculo de um determinante de ordem 3 pode ser feito através de uma regra que passamos a 
descrever: 
1º passo: Repetem-se as duas primeiras colunas à direita do determinante. 
2º passo: Tomam-se diagonais paralelas à diagonal principal e toma o produto dos elementos 
destas diagonais, mantendo o seu sinal. 
3º passo: Tomam-se diagonais paralelas à diagonal secundária e toma o produto dos 
elementos destas diagonais, trocando o seu sinal. 
4º passo: Somam-se os produtos obtidos nos passos anteriores. 
 
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
+ + +- - - 
 
Exemplo – Calculemos o determinante da matriz 
1 1 4
0 3 2
1 0 3
A
 
 
  
  
: 
1 1 4 1 1
0 3 2 0 3
1 0 3 1 0- -
6 000 -212
= 16
 
 
Desenvolvimento de LAPLACE 
O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o 
determinante de uma matriz quadrada de ordem n, a partir dos determinantes de submatrizes 
quadradas de ordem 
1n
. 
 
Menor Complementar e Cofator 
Dada a matriz A, quadrada de ordem n , denotamos por 
ijM
 o determinante da submatriz 
obtida de A quando eliminamos a i-ézima linha e a j-ézima coluna. Chamamos de Cofator do 
elemento 
ija
, ao número 
 1
i j
ij ijA M

 
. 
Teorema de Laplace 
O determinante da matriz A, quadrada de ordem n, é igual à soma dos produtos obtidos 
multiplicando os elementos de uma fila qualquer pelos seus respectivos cofatores. Ou seja, 
1
n
ij ij
j
A a A


 ou 
1
n
ij ij
i
A a A


. 
Exemplo: Utilize o desenvolvimento de Laplace para calcular 
3 1 0 1
2 3 1 2
0 4 2 3
0 1 1 2
 . 
Solução: Devemos escolher a fila que contiver o maior número de “zero”. Assim 
a melhor escolha é a 1ª coluna. Logo, 
3 1 0 1
3 1 2 1 0 1
2 3 1 2
3 4 2 3 2 4 2 3 3 2 3 3 0
0 4 2 3
1 1 2 1 1 2
0 1 1 2
      . 
 
Principais propriedades dos determinantes 
Matriz transposta - 
tA A
. 
Fila nula - Se os elementos de uma fila qualquer forem todos nulos, então 
0A 
. 
Multiplicação de uma fila por escalar – Se multiplicarmos uma fila qualquer por k, o 
determinante fica multiplicado por k. 
Troca de filas paralelas – Se trocarmos de posição duas filas paralelas quaisquer o 
determinante fica multiplicado por 
 1
. 
Filas paralelas proporcionais – Se A tem duas filas paralelas formadas por elementos 
respectivamente proporcionais, então 
0A 
. 
Teorema da combinação linear – Se A tem uma fila que é combinação linear das outras 
paralelas a ela, então 
0A 
. 
Teorema de Cauchy – A soma dos produtos de uma fila qualquer de A, ordenadamente pelos 
cofatores dos elementos de uma fila paralela é igual a zero. 
Adição de determinantes - Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Se 
excetuando-se os elementos de uma determinada fila r de A, cada um dos demais elementos 
de A é igual aos seus correspondentes em B e C, e cada elemento dessa fila r é a soma de seus 
correspondentes em B e C, então: 
A B C 
. 
Teorema de Binet – Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então: 
AB A B 
 
Teorema de Jacobi – Um determinante não se altera quando substituímos uma fila qualquer 
pela soma dela por outra paralela a ela previamente multiplicada por 
k
. 
Matriz triangular – O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da 
diagonal principal. 
 
Exercícios propostos 2 
1) Calcule os seguintes determinantes: 
1
2
3 2
2
  ; 13 7
11 5
 ; 
sen cos
sen cos
x x
y y
 ; sen cos
cos sen
x x
x x
 
2) Sendo 
 
2 2ij
A a


 e 
2
ija j i 
, qual é o determinante de A? 
3) Determine x tal que 
2 3 2
0
1
x x
x


. 
4) Calcule, usando a regra de Sarrus, os seguintes determinantes: 
5 5
5 5
3 3
1 1 0 1 3 2 0 2 1 0 2 log 5 log 5
0 1 0 ; 1 0 2 ; 0 ; 2 ; 5 log 125 log 25
0 1 1 2 5 1 0 3 5 4 8 log 27 log 243
a c
c b m n
a b

  
 
5) Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz 
1 2 3
1 1
1 1 1
A m
 
 
  
 
 
 cujo determinante é K, qual 
é o determinante da nova matriz? 
6) Dada a matriz 
2 4 1 0
6 2 5 7
1 7 2 4
0 3 1 10
A
 
 
 
 
    
, determine 
13 24 32 43; ; ;A A A A
. 
7) Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema deLaplace: 1 2 3 4 53 4 2 1 1 3 2 0
0 1 3 1
5 0 1 2 3 1 0 2
; ; 0 0 2 3
0 0 4 0 2 3 0 1
0 0 0 2
1 0 3 3 0 2 1 3
0 0 0 0
a
A B C b
c
d
 
     
             
     
             
 
 
8) Usando o teorema de Jacobi obtenha a matriz triangular cujo determinante é igual a 
1 4 2 3
2 9 7 8
3 15 7 11
1 5 4 4
 
9) Resolva a equação 
1 2 1 0
3 7 5 1
0
1 3 1 1
2 3 5x x


 
10) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, 
2n 
, determine 
A
 sabendo-se que 
2 2A A
. 
11) Se 
2
a b c
d e f
g h i
 
, calcule 
2 3
2 3
2 3
a b c c
d e f f
g h i i



 
 
Matriz Inversa 
Dada A matriz quadrada de ordem n, se existir uma matriz B de mesma dimensão tal que 
nAB BA I 
, então diremos que A é invertível e que B é uma inversa de A. Se não existir tal 
matriz B então diremos que A é singular ou não-invertível. Desde já dizemos que se existir a 
matriz B ela é única. De fato, suponhamos que B e C são inversas da matriz A. Temos: 
nI AB
 - por hipótese, multiplicando os membros da igualdade por C, obtemos: 
   n nCI C AB C CA B C I B    
, pois C também é inversa de A, logo, 
C B
. Por 
tanto se B existe, ela é única. Denominaremos a inversa de uma matriz A por 1A . 
 
Cálculo da matriz inversa de uma matriz quadrada de ordem 2. 
 
Seja 
11 12
21 22
a a
A
a a
 
  
 
. Vamos supor que exista 
1 a bA
c d
    
 
, sendo assim, temos pela 
definição que:
11 12
21 22
1 0
0 1
a a a b
a a c d
    
    
    
, logo, 
11 12 11 12
21 22 21 22
1 0
0 1
a a a c a b a d
a a a c a b a d
    
   
    
 
portanto, 
11 12 11 12
21 22 21 22
1 0
e 
0 1
a a a c a b a d
a a a c a b a d
    
 
    
 resolvendo os sistemas , para as incógnitas 
a, b, c, d obtemos: 
22 12 21 11
11 22 12 21 11 22 12 21 11 22 12 21 11 22 12 21
; ; ;
a a a a
a b c d
a a a a a a a a a a a a a a a a
 
   
   
 ou seja: 
22 12
11 22 12 21 11 22 12 211
21 11
11 22 12 21 11 22 12 21
a a
a a a a a a a a
A
a a
a a a a a a a a

 
  
 
 
 
  
 ou seja 
22 121
21 1111 22 12 21
1 a a
A
a aa a a a
    
  
. 
Observe que 
11 22 12 21a a a a
 é o determinante de A. Podemos, sem medo de errar, que 1A 
existe se, e somente se, 
  0Det A 
. Agora fica fácil calcular a inversa de uma matriz 
quadrada de ordem 2. Por exemplo: Calcular, se existir a inversa de 2 3
2 4
A
 
  
 
. 
Condição de existência: 
  2.4 3.3 2Det A   
, logo existe 1A . E pelos resultados acima é 
3
1 2
4 3 21
2 22 1 1
A
   
    
    
. Observe ainda que para invertermos uma matriz A quadrada 
de ordem 
2n 
, pelo processo exposto, devemos resolver n sistemas, cada um deles com n 
equações e n incógnitas. Isto é no mínimo maçante e exaustivo! De um modo geral 
calcularemos a inversa de uma matriz quadrada de ordem n utilizando o seguinte teorema: 
“Seja A uma matriz quadrada de ordem n então 
 
1 1 . jA A
Det A
 
 , onde jA (matriz adjunta 
de A) é a transposta da matriz dos cofatores da matriz A.”. Por exemplo: Determine, caso 
exista, a inversa de 
1 2 3
2 5 3
1 0 8
A
 
 
  
 
 
. 
Condição de existência: calculando o determinante de A encontramos det(A) = -1. Logo, 
existe 1A . Temos então: 
11
5 3
40
0 8
A  
 , 
12
2 3
13
1 8
A    
, 
13
2 5
5
1 0
A   
 
21
2 3
16
0 8
A    
, 
22
1 3
5
1 8
A  
, 
23
1 2
2
1 0
A   
 
31
2 3
9
5 3
A   
 , 
32
1 3
3
2 3
A   
, 
33
1 2
1
2 5
A  
 
Portanto, 
11 21 31
12 22 32
13 23 33
40 16 9
13 5 3
5 2 1
j
A A A
A A A A
A A A
    
   
     
      
. Daí, 1
40 16 9
13 5 3
5 2 1
jA A
 
 
     
   
. 
 
Exercícios Propostos 3: 
Encontre, caso exista a inversa da matriz dada: 
1) 
1 4
2 7
A
 
  
 
 
2) 3 6
4 5
B
 
  
 
 
3) 6 4
3 2
C
 
  
 
 
4) 
3 4 1
1 0 3
2 5 4
D
 
 
  
  
 
5) 
1 3 4
2 4 1
4 2 9
E
  
 
  
   
 
6) 
1 0 0 0
1 3 0 0
1 3 5 0
1 3 5 7
F
 
 
 
 
  
 
 
7) 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
b
G
c
d
 
 
 
 
  
 
 
8) 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
a
b
H
c
d
 
 
 
 
  
 
 
9) 
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
k
k
I
k
k
 
 
 
 
  
 
 
10) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
k
k
J
k
k
 
 
 
 
  
 