Exercicio Derivadas

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Cálculo 1
4ª Lista de Exercícios – Derivadas
1) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
a) 
xxy 42 +=
 R: 
42 += x
dx
dy
 
b) 
( ) 22xxf = R: ( ) 3
4
x
xf −=′
c) 2
3
2
3 xxy +=
 R: 
( )1
2
3 2 += x
dx
dy
d) 
3 xy =
 R : 3 23
1
xdx
dy
=
e) 
( ) ( )1613 −⋅


+= x
x
xxf
 R : 
( ) 3136 2 −+= xxdx
xdf
f) 
x
ba
x
ba
xy −
−
−
+
=
25
 R: 
125
4
−
−
−
+
=
ba
x
ba
x
dx
dy
g) 
( )
2
3
31
x
xy +=
 R: 
( ) ( )
2
52
1213 2
x
xx
dx
dy −+
=
h) 
( )( )2312 +−= xxxy
 R: 
( )192 2 −+= xx
dx
dy
i) 
22
42
xb
xy
−
=
 R: 
( )
( )222
223 24
xb
xbx
dx
dy
−
−
=
j) xa
xay
+
−
=
 R: ( )2
2
xa
a
dx
dy
+
−
=
k) 
3



+
−
=
xa
xay
 R: 
( )
( )4
26
xa
xaa
dx
dy
+
−−
=
l) x
xy
−
+
=
1
1
 R: ( ) 211
1
xxdx
dy
−−
=
m) 
( )331 xy +=
 R: 
2
3
11




+=
xxxdx
dy
n) 
2
2
1
12
xx
xy
+
−
=
 R: ( )322
2
1
41
xx
x
dx
dy
+
+
=
o) 
( )522 axy −=
 R: 
( )42210 axx
dx
dy
−=
2) Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas. 
a) f(r) = pi r²
b) f(x) = 14 – ½ x –3
c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4)
d) f(x) = 7(ax² + bx + c)
e)
f(t) = 1
15²3
−
−+
t
tt
f) f(s) = (s² - 1) (3s-1)(5s² + 2s)
g)
f(t) = 2
²2
−
−
t
t
h) 64
2
2
1)(
xx
xf +=
3) Calcular a derivada.
a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10
b) f(x) = 
3 )²26²3( −+ xx
c)
f(x) = 
13
)13(2
²7
5
++
+
x
x
x
d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7 
e)
f(x) = 
xx
x
b
a
6²3
3
−
f)
 f(s) = 2
1
 (a + bs)In(a + bs)
g) f(x) = sen³ (3x² + 6x)
h)
f(t) = 1
1
+
−
t
t
e
e
i) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx
j) f(x) = sen² x + cos² x
k) f(x) = e2x cos 3x
l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2)
m) f(x) = log2 (3x – cos 2x)
n) f(t) = e2 cos 2t
4) Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
a) y = 3x4 – 2x; n = 5
b) y = 1/ex; n = 4
5) Calcule as derivadas abaixo através da definição 
( ) ( )
.lim 00
0 x
xfxxf
x ∆
−∆+
→∆
a) f(x) = 3x + 2 
c) f(x) = 1 – 4x2 
b) f(x) = 2
1
+x
d) f(x) = 2x2 – x – 1
Respostas: 
a) 3 b) - 8x c) ( )22
1
+
−
x d) 4x - 1
e) ( ) 34 −= xxf 
f) ( ) xxf 25−=
g) ( ) 32 −= xxf , no ponto x = 2
h) ( ) xxxf 22 += , no ponto x = 3
 i) ( ) 3xxf =
6) Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo:
a) Determine a derivada de f(x) = 5x2 no ponto x0 = 5.
b) Determine a derivada de f(x) = -3x + 2 no ponto x0 = 2.
c) Determine a derivada de f(x) = x2 – 6x + 2 no ponto x0 = 3.
d) Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x + 7 no ponto x0 = 0.
e) Determine a derivada de f(x) = 
3 x no ponto x0 = 0.
7) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado:
643)()
5
5
935)()
21)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2
=+−=
=
+
−+
=
==
=−+−+=
=−=
=−=
=−=
=+=
==
xparaxxxfi
xpara
x
xxxfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
Respostas: a) 8 b)2 c) - 3 d) 1 e) 0 f) 9 g) - 1/4 h) 14/45 i) 9
7) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de abscissa x0 = 0.
8) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto (1, f(1)).
9) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2 + 3 que seja paralela reta 
y = 8x + 3.
10) Encontre a reta tangente à curva x
xy
−
+
=
3
6
 no ponto 
( )2,0=P
11) Encontre a reta tangente à curva 
2
2
2 24




−
x
xx
 no ponto 
( )4,1=P
12) Obter a derivada da função 35
23 +−= xxy em um ponto genérico.
13) Obter a derivada da função ( )22 32 −= xy no ponto ( )1,1=P
14) Obter a derivada da função 
22 axy += em um ponto genérico.
15) Obter a derivada da função 
( ) ( ) 211
1
1
−
−=
−
= v
v
vf
 no ponto 
( )1,2=P
16) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em 
segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados:
a) ( ) 1102 2 −+= tttS . Determine a velocidade no instante t = 3 s.
b) ( ) tttS 32 += . Determine a velocidade no instante t = 2 s.
c) ( ) 1223 +++= ttttS . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s.
17) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a função horária:
s = f(t) = t2 + 2t - 3
sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade no 
instante t0 = 2 s.
18) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a distância em km percorrida 
e a velocidade em km/h ao fim de 5 h.
19) Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade obedece à 
função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s)
20) Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável segundo a 
expressão v(t) = t (t em segundos e v em metros/segundo).
21) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas 
peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?
Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada 
y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.
22) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por ( ) 19253 2 ++= xxxC . Quantas unidades 
deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?
23) Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível.
Regras de Derivação
1) y = k à y’ = 0
2) y = ax à y’ = a
3) y = ax + b à y’ = a
4) y = un à y = n.u n-1. u’
 y = xn à y’ = n.x n-1
5) y = k.u à y’ = k.u’
6) y = u + v à y’ = u’ + v’
7) y = u.v à y’ = u.v’ + u’. v
 y = v
u
 à y’ = 2
''
v
uvvu−
8) y = a u à y = au.lna.u’
 y = 
k u
 à y’ = 
k kuk
u
1
'
−
9) y = 
ualog
à y’ = au
u
ln
'
 y = ln u à y’ = u
u'
 
 y = 
axlog
à y’ = x
a
ln
ln
10) y = cos u à y’ = -sen u . u’
11) y = sen u à y’ = cos u . u’
12) y = tg u à y’ = sec2 u . u’
13) y = cotg u à y’= sec u . tg u . u’
14) y = sec u à y’ = sec u . tg u . u’
15) y = cosec u à y’ = - cosc u . cotg u . u’
16) y = arc sen u à y’ = 
21
'
u
u
−
17) y = arc cos u y’ = 
21
'
u
u
−
−
 
18) y = arc tg u y’ = 21
'
u
u
+
19) y = arc cotgu y’ = 21
'
u
u
+−
20) y = arc cosu y’ = 1
'
2
−uu
u
 
21) y = arc cosu y’ = 1
'
2
−
−
uu
u
 22) y = uv y’ = v . uv-1 . u’ + uv . lnu . v