Cálculo I-DERIVADAS-UNISA (6)

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Cálculo Diferencial e 
Integral II
Sandra Regina Leme Forster
Revisada por Sandra Regina Leme Forster (setembro/2012)
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Diferencial e 
Integral II, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmi-
co e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................5
1 INTRODUÇÃO AO LIMITE .................................................................................................................7
1.1 Símbolo Matemático para Limite de Função ........................................................................................................7
1.2 O Conceito de Limite ......................................................................................................................................................9
1.3 Propriedades dos Limites .......................................................................................................................................... 12
1.4 Limite da Função Racional ........................................................................................................................................ 13
1.5 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 18
1.6 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 19
2 A DERIVADA E SUA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E FÍSICA ............................ 21
2.1 Taxa Média de Variação .............................................................................................................................................. 21
2.2 Taxa Média de Variação e Retas Secantes ............................................................................................................ 23
2.3 Taxa Instantânea ........................................................................................................................................................... 24
2.4 A Derivada de uma Função ....................................................................................................................................... 36
2.5 Derivabilidade e Continuidade ............................................................................................................................... 37
2.6 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 41
2.7 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 41
3 ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO ....................................................................................... 43
3.1 Regra da Constante...................................................................................................................................................... 43
2.2 Regra da Potência ......................................................................................................................................................... 44
2.3 Múltiplo Constante ...................................................................................................................................................... 46
3.4 Regra da Soma e da Diferença ................................................................................................................................. 47
3.5 Regra do Produto.......................................................................................................................................................... 49
3.6 Regra do Quociente ..................................................................................................................................................... 51
3.7 Derivada das Funções Trigonométricas ............................................................................................................... 54
3.8 Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia) .......................................................................................... 58
3.9 Derivada da Função Inversa ..................................................................................................................................... 61
3.10 Derivada da Função Exponencial ........................................................................................................................ 66
3.11 Derivada da Função Logarítmica ......................................................................................................................... 69
3.12 Derivadas de Ordem Superior ............................................................................................................................... 70
3.13 Derivada da Função Implícita ................................................................................................................................ 70
3.14 Resumo do Capítulo ................................................................................................................................................. 73
3.15 Atividades Propostas ................................................................................................................................................ 73
4 ALGUMAS APLICAÇÕES DA DERIVADA .............................................................................. 75
4.1 A Derivada como Taxa de Variação em Diversos Casos ................................................................................. 75
4.2 Taxas Relacionadas ....................................................................................................................................................... 80
4.3 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................... 82
4.4 Atividades Propostas ................................................................................................................................................... 82
5 SIGNIFICADO DO SINAL DAS DERIVADAS PRIMEIRA E SEGUNDA ................. 83
5.1 Sinal da Derivada Primeira – Crescimento e Decrescimento de uma Função ......................................83
5.2 Pontos Críticos ...............................................................................................................................................................88
5.3 Sinal da Derivada Segunda – Determinação da Concavidade ....................................................................90
5.4 Derivada Segunda – Ponto de Inflexão ................................................................................................................935.5 Aplicações – Esboço de Gráficos – uma Aplicação de Limite e das Derivadas Primeira e 
Segunda ...........................................................................................................................................................................95
5.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................98
5.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................98
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 99
REFERÊNCIAS ...........................................................................................................................................109
ANEXO ...........................................................................................................................................................111
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5
INTRODUÇÃO
Esta apostila destina-se aos(às) alunos(as) dos cursos de Engenharia Ambiental e Engenharia de 
Produção, com a finalidade de servir de orientação aos estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e 
Integral II. Ela foi elaborada com o objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e 
auxiliar o(a) aluno(a) do Ensino a Distância (EaD). 
Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada daquela que normalmente apa-
rece nos livros, a fim de proporcionar uma melhor compreensão para os(as) alunos(as) do EaD.
A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, aplicações em forma de exercí-
cios resolvidos, que aparecem como exemplos, e exercícios de aprendizagem para melhor compreensão 
dos assuntos abordados. 
Espera-se, com este material, contribuir de forma expressiva no aprendizado dos(as) alunos(as), 
porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das atividades e interação no correio, fóruns de dis-
cussões e chats são fundamentais para o seu sucesso.
Os tópicos apresentados são essenciais para entendermos o conceito e as aplicações dos limites 
de uma função e das derivadas. No capítulo 1, estudaremos os limites de uma função. Já no capítulo 2, é 
apresentada a interpretação geométrica e física da derivada e a sua definição. No capítulo 3, são demons-
tradas as principais fórmulas de derivação. No capítulo 4, são dados alguns exemplos de aplicação das 
derivadas em diversas áreas. Para finalizar, no capítulo 5, aplicamos a derivada na Matemática, ou seja, 
usamos a 1ª derivada e a 2ª derivada nos esboços e interpretação de gráficos de diversas funções.
Caso discorde de algo apresentado nesta apostila, comunique ao professor da disciplina, pois de-
sejamos ouvi-lo(a) para que possamos melhorar o curso a cada trimestre.
Sandra Regina Leme Forster
Caro(a) aluno(a),
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7
INTRODUÇÃO AO LIMITE1
Querido(a) aluno(a),
Você já havia estudado o limite de uma fun-
ção em algum outro curso?
O que será que é isso? 
O limite é um simples número real, obtido 
por certas técnicas, que representa determinadas 
situações práticas e teóricas. Com apoio em seu 
conceito, são estudadas as derivadas e as inte-
grais, as quais veremos com detalhes nas discipli-
nas Cálculo II e Cálculo III.
A definição de limite foi obtida no decor-
rer de um caminho muito longo, que teve início 
com preocupações acerca do problema do movi-
mento, no qual foi necessário encontrar uma ex-
plicação usando uma teoria quantitativa que nos 
permitisse, por meio do cálculo, obter resultados. 
Para isso, foi criado o conceito de infinitésimo, 
para responder à questão de que o que se passa 
em um ponto, se passa em pontos vizinhos. Com 
base nesse conceito, estabelece-se o de limite, o 
qual foi escrito no decorrer deste capítulo tendo 
como fonte as referências apontadas no final des-
ta apostila. 
Na linguagem cotidiana, referimo-nos ao 
limite de uma velocidade, ao limite do peso de 
um lutador, ao limite da resistência humana, ao 
limite de um desconto que pode ser oferecido na 
venda de uma mercadoria, ao limite de material 
que pode ser usado ao produzir uma embalagem 
etc. Todas essas expressões sugerem que limite é 
uma cota, que, em certas ocasiões, pode não ser 
atingida, mas em outras pode.
Então, todas as vezes que, no estudo de um 
fenômeno de qualquer natureza – físico, biológi-
co, econômico, geométrico –, para a determina-
ção quantitativa de seu estado, nos apareça como 
indispensável considerar a aparência desse esta-
do com os estados vizinhos, essa determinação 
será feita por meio do limite, que é a resultante da 
infinidade de possibilidades dos estados vizinhos.
Então, esse limite é um número que, por 
meio de uma operação, reside no fato de cons-
truir um resultado à custa de uma infinidade de 
possibilidades, tomando o infinito como um ele-
mento ativo de construção.
O matemático moderno, adotando em re-
lação ao conceito de limite uma atitude dinâmi-
ca e tomando-o com audácia como elemento 
de construção, obtém o resultado que a ciência 
confirma e constrói o elemento matemático que 
permite integrar o movimento no mundo da con-
tinuidade.
1.1 Símbolo Matemático para Limite de Função
O símbolo de limite para apresentarmos 
matematicamente a operação solicitada só foi 
utilizado pela primeira vez por Cauchy, no sécu-
lo XIX. Vamos ver, então, um exemplo de como 
é esse símbolo que representa esse número real 
denominado limite.
Para a função 
2 25
5
xy
x
−
=
−
, é possível achar 
o valor de y, menos quando x = 5. No entanto, é 
possível fazer y ficar tão próximo de 10 quanto 
se queira, bastando tomar x a uma distância con-
veniente de 5, quer pela sua esquerda, como em 
4,99, quer pela direita, como em 5,01.
Sandra Regina Leme Forster
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8
A comunicação dos fatos descritos no pará-
grafo anterior é feita, em matemática, escreven-
do-se:
2
5
25lim
5x
x
x→
−
− 
Porém, x² - 25 pode ser fatorado, ou seja, es-
crito em forma de produto.
Dessa forma, vamos ter:
2
5 5
25 ( 5) ( 5)lim lim
5 5x x
x x x
x x→ →
− + ⋅ −
=
− −
Simplificando:
( 5) ( 5)x x+ ⋅ −
Vamos ter que:
2
5 5
25lim lim( 5) 5 5 10
5x x
x x
x→ →
−
= + = + =
−
A expressão pode ser interpretada assim: é 
possível fazer o valor 
2 25
5
xy
x
−
=
−
 tornar-se tão 
próximo de 10 quanto se queira, bastando para 
isso tomar valores de x a uma distância suficien-
temente próxima a 5. No ponto x = 5, o limite é 
10. Observar também que, para qualquer x ¹ 5, 
nunca y será 10. De todos os números reais, fica 
faltando apenas o par (5,10). Veja (na Figura 1) o 
gráfico e a tabela que representam essa situação; 
com eles podemos observar que à medida que 
nos aproximamos de 5, ou seja, à medida que a 
diferença do x para 5 se aproxima de zero, o f(x) se 
aproxima de 10, ou seja, o limite é 10.
Figura 1 – Função y = (x² -25)/(x-5) ou y = x + 5 para x ≠ 5.
 
 
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
 x y 
 4.00 9.00 
 4.20 9.20 
 4.40 9.40 
 4.60 9.60 
 4.80 9.80 
 5.00 indeter. 
 5.20 10.20 
 5.40 10.40 
 5.60 10.60 
 5.80 10.80 
 6.00 11.00 
 
 x y 
 
 4.988 9.988 
 4.990 9.990 
 4.992 9.992 
 4.994 9.994 
 4.996 9.996 
 4.998 9.998 
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9
Tendo ainda como exemplo a função do 
tópico 1.1, poderíamos fazer diversos questiona-
mentos, como, por exemplo:Sendo f definida de ℜ→ℜ, para x ≠ 5, com 
2 25( )
5
xf x
x
−
=
−
a. Quando x = 3, y vale? 
Resposta: 8. Isso pode ser observado no 
gráfico dessa função, assim como pelo cálculo do 
valor da função no ponto 3.
b. Quando x se aproxima de 3, de qual valor 
y se aproxima?
Resolução: Podemos responder a essa 
questão que foi apresentada em linguagem na-
tural, usando registros de representações diferen-
tes, como, por exemplo: registro gráfico, registro 
numérico e registro algébrico.
1.2 O Conceito de Limite
b1. Por meio do registro gráfico, esboçamos 
o gráfico dessa função e passamos a observar 
qual é o comportamento dela quando x se apro-
xima de 3, ou seja, devemos observar para quais 
valores de y a função se aproxima, quando x se 
aproxima de 3. 
Devemos lembrar que, quando x se aproxi-
ma de 3, ele se aproxima pelos valores menores, 
ou seja, 2,8; 2,9; 2,99 etc., e também pelos valores 
maiores que 3, porém bem próximos, como, por 
exemplo, 3,1; 3,01; 3,001 etc. Observando a Figura 
2, podemos notar que o y está se aproximando 
de 8. 
AtençãoAtenção
Nem sempre a utilização do gráfico será indica-
da, pois, muitas vezes, é muito mais demorado 
esboçar o gráfico de determinadas funções do 
que determinar esses valores por outros proce-
dimentos.
Figura 2 – Aproximações do x ao 3 e do y ao 8.
−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
X se aproximando de 3, pelos valores menores que 3 X se aproximando de 3, pelos valores maiores que 3 X se aproximando de 3 
 
b2. Por meio de registro numérico, ou seja, 
vamos obter numericamente a resposta desse 
exercício. Para tanto, costuma-se fazer uma ta-
bela, tendo como x valores bem próximos de 3 e, 
como y, os valores da função nos pontos x. Obser-
ve as tabelas a seguir.
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10
b3. Por meio do registro algébrico, resolve-
mos o limite da seguinte maneira:
2 2
3
25 3 25 9 25 16lim 8
5 3 5 2 2x
x
x→
− − − −
= = = =
− − − −
Essa forma de resolução é bastante rápida, 
mas é aconselhável apenas após o entendimento 
do porquê de ela poder ser feita dessa maneira!
 x y 
3.00 8.00 
3.10 8.10 
3.20 8.20 
3.30 8.30 
3.40 8.40 
3.50 8.50 
x y 
2.00 7.00 
2.10 7.10 
2.20 7.20 
2.30 7.30 
2.40 7.40 
2.50 7.50 
Na 1ª parte da tabela, 
podemos observar que à 
medida que os valores de 
x se aproximam do 3 a 
valores menores do que 3, 
o y se aproxima de 8. 
Na 2ª parte da tabela, 
podemos observar que à 
medida que os valores de x 
se aproximam do 3 a valores 
maiores do que 3, o y se 
aproxima de 8. 
AtençãoAtenção
O limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L e 
escrevemos lim ( )
x a
f x L
→
= , se é possível tomar 
valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão 
próximos quanto quisermos), tomando x suficien-
temente próximo de a, mas não igual a a.
Exemplo
Considere o gráfico da função 
2 2 0
2 0
x se x
y
x se x
− + <
= 
+ ≥
a) Esboce o gráfico dessa função.
b) Determine o domínio e a imagem de f.
c) Qual o comportamento de f, quanto ao crescimento e decrescimento?
d) Calcule: f(-1); f(0); f(1/2) e f(1).
e) Complete a tabela a seguir (essa tabela se encontra na resolução dessa alternativa) e responda 
às seguintes perguntas:
f ) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado esquerdo, o valor de f(x) aproxima-se de qual 
valor?
g) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo lado direito, o que acontece com o f(x)? 
h) Assim, escrevemos que o limite pela esquerda é: 
0
lim ( )
x
f x
−→
= ____ e que o limite pela direita é: 
0
lim ( )
x
f x
+→
= ___ e 
0
lim ( )
x
f x
→
= _____.
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11
Resolução:
a) 
b) D = R e Im = { y ∈ R / y ≥ -2}.
c) f(x) é crescente para qualquer x ∈ R.
d) Calcule:
f(-1) = -(-1)² + 2 = 1
f(0) = 0 + 2 = 
f(1/2) = ½ + 2 = 5/2 = 2,5
f(1) = 1 + 2 = 3
e) 
x f(x) x f(x) 
- 0,5 1,75 0,5 2,5
-0,25 1,9375 0,25 2,25
- 0,1 1,99 0,1 2,1
-0,01 1,9999 0,01 2,01
-0,001 1,999999 0,001 2,001
f) Quando nos aproximamos de x = 0 pelo 
lado direito, o que acontece com o f(x)? 
A f(x) se aproxima de 2.
g) Assim, escrevemos que o limite pela es-
querda: 
0
lim ( )
x
f x
−→
= 2 e que o limite pela 
direita: 
0
lim ( )
x
f x
+→
= 2 e 
0
lim ( )
x
f x
→
= 2.
 
−3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Querido(a) aluno(a), caso tenha encontrado 
dificuldade em entender a resolução desse exem-
plo, assista à aula web “Esboço de gráfico e análise 
de gráfico”, pois nela está sendo apresentada a re-
solução detalhada de cada uma das alternativas 
desse exemplo.
No exemplo estudado anteriormente, note 
que
üüüüüüü
x a x a x a
f x L f x L f x
− +→ → →
= ⇔ = =
AtençãoAtenção
O limite de f(x) para x tendendo a a é igual a L 
se, e somente se, o limite lateral de f(x) para x 
tendendo a a pela esquerda for igual ao limite 
lateral de f(x) para x tendendo a a pela direita e 
estes forem iguais a L. 
Saiba maisSaiba mais
Quando consideramos a x 
lim
→ f(x), estamos interessa-
dos em valores no intervalo aberto contendo a, mas 
não no próprio a, isto é, em valores de x próximos 
a a, maiores ou menores do que a. Mas suponha 
que tenhamos a função f, como, por exemplo, f(x) = 
2x − . Como f(x) não existe para x < 2, f não está 
definida em nenhum intervalo aberto contendo 2. 
Logo, 
2
lim
→x
2x − não tem significado. No entan-
to, se x estiver restrito a valores maiores do que 2, o 
valor de 2x − poderá se tornar tão próximo de 
zero quanto desejarmos, tomando x suficientemente 
próximo de 2, mas maior do que 2. Em tal caso, deixa-
mos x aproximar-se de 2 pela direita e consideramos 
o limite lateral direito.
Agora, para qualquer valor de x > 2, verifica-se que os 
limites laterais existem e são iguais e, por esse motivo, 
podemos afirmar que, para qualquer x > 2, a f(x) tem 
limite.
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12
Se existem os limites )x(flim
ax→
e )x(glim
ax→
 e K é uma constante, então:
Nome Propriedade Leitura
Soma [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
+ = + Limite da soma é igual à soma dos 
limites.
Diferença [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
− = − Limite da diferença é igual à 
diferença dos limites.
Produto [ ]üüüüüüüüü
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
= Limite do produto é igual ao 
produto dos limites.
Múltiplo 
constante
[ ]lim ( ) lim ( )
x a x a
K f x K f x
→ →
⋅ =
Limite da constante que 
multiplica a função é igual à 
constante que multiplica o limite 
da função.
Quociente
 
lim ( )( )lim lim ( ) 0
üüü
x a
x a x a
x a
f xf x se g x
g x g x
→
→ →
→
 
= ≠ 
 
Limite do quociente é igual ao 
quociente dos limites, para o 
denominador diferente de zero.
Exemplo
Usando as propriedades de limite, determine 
7
7lim
2x
x
x→
−
+
.
Resolução:
7
7
7
lim 77 7 7 0lim 0
2 lim 2 7 2 9
x
x
x
xx
x x
→
→
→
−− −
= = = =
+ + +
1.3 Propriedades dos Limites
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13
1.4 Limite da Função Racional
Uma função racional é aquela que pode ser escrita como quociente de polinômios. Ela se diz im-
própria se o graudo polinômio do numerador for maior ou igual ao do polinômio do denominador; caso 
contrário, ela se diz própria.
Exemplos
1. Escreva quais são os limites de funções racionais impróprias e próprias.
a) 
2
20
9lim
6 8x
x
x x→
−
− +
 (função racional imprópria) 
 
b) 23
2lim
4x
x
x→
−
−
 (função racional própria)
c) 
7 5 4 2
5 3 20
5 4 2 7 21lim
13 8 5 7x
x x x x x
x x x x→
− + + + +
+ − + +
 (função racional imprópria)
2. Resolva o limite 23
2lim
4x
x
x→
−
−
.
Resolução:
2 23
2 3 2 1 1lim
4 3 4 9 4 5x
x
x→
− −
= = =
− − −
No início deste capítulo, você teve a oportunidade de ler um exemplo no qual a função que o repre-
senta é uma função racional (caso você ainda não o tenha lido, agora é um excelente momento para fazê-
-lo). Trata-se de um exemplo em que, para resolver o seu limite, não basta fazê-lo da forma que acabamos 
de proceder no exercício anterior. Isso ocorre pois, pelo procedimento anterior, vamos “encontrar” que o 
2
5
25lim
5x
x
x→
−
−
é igual a 
0
0
e 
0
0
 não possui significado numérico. No entanto, o exemplo mostra que ao fato-
rarmos o numerador, vamos poder simplificar os fatores que anulam o numerador e o denominador, ou 
seja, 
2
5 5
25 ( 5) ( 5)lim lim
5 5x x
x x x
x x→ →
− + ⋅ −
=
− −
, de onde vamos obter que 
2
5 5
25lim lim( 5) 5 5 10
5x x
x x
x→ →
−
= + = + =
−
.
Sandra Regina Leme Forster
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14
Vamos tentar entender o que está escrito na 
última linha do quadro?
Seja, por exemplo, o 
2
2
1lim
2x
x
x→
+
−
. Para de-
terminar o limite dessa função, podemos inicial-
mente calcular o valor da função do numerador 
no ponto 2, ou seja, P(2) = 5 e o valor da função 
do denominador no ponto 2, ou seja, Q(2) = 0. 
Nesse caso, temos que P(2) ≠ 0 e Q(2) = 0. Aí, con-
forme as informações do quadro anterior, vamos 
ter uma das três respostas, ou seja, +∞, -∞ ou ±∞. 
Para decidir por uma dessas respostas, não é ne-
cessário representar a função por meio de um 
gráfico (a não ser que você queira fazer utilizando 
esse recurso). Então, devemos estudar o sinal da 
função racional para x próximo do ponto 2, late-
ralmente se necessário. Se esse sinal for positivo, 
o limite é +∞; se negativo é -∞. Nesse caso, ao es-
tudarmos lateralmente, vamos ter que, quando x 
se aproxima de 2 pela esquerda, o sinal da função 
nesses pontos será negativo, ou seja, 
2
2
1lim
2x
x
x−→
+
−
 
terá um resultado negativo, pois o numerador 
será sempre positivo e o denominador negativo 
(pois vamos operar com x-2, para valores sempre 
menores que 2). Daí recorre o resultado negati-
vo, já que, na divisão “positivo” com “negativo”, é 
negativo. De maneira análoga, podemos estudar 
quando o x está se aproximando de 2 pela di-
reita e, dessa forma, observar que essa função é 
positiva. Mas os nossos cálculos ainda não estão 
AtençãoAtenção
Seja 
( )( )
( )
P xf x
Q x
= uma função racional, pode ocorrer de P(a) = Q(a) = 0, ficando 
( ) 0
( ) 0
P a
Q a
= . Nesses casos, fatoramos 
e simplificamos (x-a) em cada termo, se possível:
1 1
1
1 1
( ) ( ) ( )( )lim lim , ( ) 0.
( ) ( ) ( ) ( )x a x a
x a P x P aP x se Q a
Q x x a Q x Q a→ →
−
= = ≠
−
“Reescrevemos” as funções, como no exemplo do início deste capítulo, para calcular o limite, mas pode decorrer de 
( ) 0P a ≠ e aí teremos como resposta +∞, -∞ ou ±∞.
terminados, pois até agora encontramos apenas 
os sinais dos limites laterais dessa função. Para fi-
nalizarmos, devemos notar, por exemplo, que, no 
2
2
1lim
2x
x
x−→
+
−
, à medida que nos aproximamos de x 
pela esquerda, o denominador irá se aproximar de 
5 e o denominador de “zero”; o quociente desses 
dois números será um número muito grande, po-
rém negativo. Para você entender esse resultado, 
pense no seguinte: (5/(1,9 –2) = -50; 5/(1,99 –2) = 
- 500; 5/ (1,999-2) = -5000 etc.). Como se trata de 
uma operação em que estamos fazendo o x ten-
der a 2 pela direita indefinidamente, quanto mais 
próximo desse valor estivermos, mais o resultado 
dessa função estará indo para a esquerda, ou seja, 
para -∞. De maneira análoga, vamos concluir que, 
quando x tende a 2 pela direita, a função estará 
tendendo a + ∞. Logo, nessa questão, vamos ter 
que 
2
2
1lim
2x
x
x→
+
= ±∞
−
.
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15
AtençãoAtenção
Seja 
( )( )
( )
P xf x
Q x
= uma função racional e 
( )lim ,
( )x
P x
Q x→±∞
 então numa das repostas poderá ocorrer
( )lim 0
( )x
P x
Q x→±∞
= ; 
( )lim
( )x
P x
Q x→±∞
= ±∞ ou 
( )lim
( )x
P x a
Q x→±∞
= , com a∈R.
Exemplos
Observe a resolução dos três exemplos a seguir e tente associar cada uma das repostas com o qua-
dro anterior. Em seguida, responda às questões:
a) 
7
3
5lim
4x
x
x→∞
=
Resolução:
Ao iniciarmos a resolução deste exercício, devemos nos lembrar de que ∞ não é número e que, 
portanto, 
∞
∞
 é uma indeterminação. O significado de x tender ao infinito é que x está assumindo valores 
cada vez maiores; mas quais valores são estes? O fato de não sabermos apontar quais valores são estes 
faz com que pensemos: “quanto vale o infinito do numerador e quanto vale o infinito do denominador?” 
e é essa dúvida que torna essa representação, ou seja, o 
∞
∞
, uma indeterminação.
Para essa questão em que o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio 
do denominador, basta dividirmos o numerador pelo denominador, usando a propriedade de potência 
(quociente de mesma base). Então, vamos ter:
 
∞=∞⋅==
∞→∞→
44
3
7
4
5
4
5lim
4
5lim x
x
x
xx
Recomendo não registrar essa passagem, 
podendo ir direto ao resultado. 
b) 
7
7
5 5 5lim lim
4 4 4x x
x
x→∞ →∞
= =
c) 
3
7 4 4
5 5 1 5 1 5lim lim lim 0 0
4 4 4 4x x x
x
x x x→∞ →∞ →∞
= ⋅ = = ⋅ =
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Agora, tente responder às questões a seguir e, em caso de dúvidas, entre em contato no fórum 
sobre esse assunto.
1. Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é maior que o 
expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? 
2. Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é igual ao ex-
poente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? 
3. Na resolução do limite de funções racionais, quando o expoente do numerador é menor que o 
expoente do denominador e o x tende ao infinito, o que acontece com o resultado? 
 Limites Infinitos
Nos limites infinitos, os valores das funções aumentam ou diminuem sem limitações quando a va-
riável aproxima-se cada vez mais de um número fixo. Vamos ver na Figura 3 o que isso quer dizer?
Exemplo
Responda:
a) Na Figura 3(a), o comportamento da função é o mesmo se x tende a 2 pela esquerda e pela 
direita? Por quê? 
b) Na Figura 3(b), o comportamento da função é o mesmo se x tende a 1 pela direita e pela es-
querda? Por quê? 
c) Na Figura 3 (c), o comportamento da função é o mesmo se x tende a zero?
Figura 3 – Limite infinito.
(a)
2 x
y
(b)
 
1 
x
y
(c)
x
y
Quando x tende ao número 2, a
2
1( )
( 2)
f x
x
=
− aumenta sem limitações, 
ou seja,
Quando x tende ao número 1, o 
2
2ü§=
( 1)
f x
x
=
− diminui sem limitações, 
ou seja,
Quando x tende ao número 0 pela 
direita, o 1( )f x x= aumenta sem 
limitações e, quando o x tende a zero 
pela esquerda, o f(x) diminui sem 
limitações, ou seja,
22
1lim
( 2)x x→
= ∞− 21
2ü=ü
( 1)x x→
= −∞
− 2
1lim
x x→
= ±∞
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17
Resolução:
a) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de 2 pela direita ou de 2 pela esquerda, o y está 
tendendo ao infinito positivo. Como infinito não é número, devemos dizer que y está indo para 
o infinito.
b) Sim, pois, nos dois casos, quando x se aproxima de 1 pela direita ou de 1 pela esquerda, o y está 
tendendo ao infinito negativo. Como infinito não é número, devemos dizer que y está indo 
para o infinito negativo.
c) Não, pois, quando x tende a zero pela esquerda, o y está indo para o infinito negativo e, quando 
x tende a zero pela direita, o y está indo para o infinito positivo.
Limite no Infinito
Nos limites no infinito, é a variável independente que cresce ou diminui indefinidamente. Vamos 
ver na Figura 4 o que isso quer dizer?
Figura 4 – Limites no infinito.
(a)
 
x
y
(b)
 
x
y
(c)
x
y
f(x) → 2 
f(x) → 2 
Quando x aumenta e diminui 
indefinidamente, a
2
1( )
( 2)
f x
x
=
− tende a zero, ou seja,
Quando x aumenta e diminui 
indefinidamente, a
2
2( ) - 
( 1)
f x
x
=
− tende a zero, ou 
seja, 
Quando x aumenta e diminui 
indefinidamente, a 1( ) 2f x
x
= + tende a 
2, ou seja,
2
1lim 0
( 2)x x→±∞
=
− 2
2lim - 0
( 1)x x→±
=
−
1lim 2 2
x x→±∞
+ =
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18
Na Figura 4(a), podemos observar que, quando x cresce ou decresce arbitrariamente, ou seja, quan-
do x → ±∞, o (x – 2)² cresce arbitrariamente; logo, 2
1
( 2)x −
se aproxima de zero (se você não entendeu 
essa última afirmação, veja:
 2 2 2
1 1 1(12) 0,01; ( 102) 0,0001; (1002) 0,000001
10 ( 100) 1000
f f fℵℵℵ
−
 etc.) e indica-se: 
2
1lim 0
( 2)x x→±∞
=
−
).
AtençãoAtenção
A reta x = a denomina-se assíntota vertical da curva y = f(x) se, pelo menos, uma das seguintes condições valer:
lim ( ) ;
x a
f x
+→
= ∞ lim ( ) ;
x a
f x
−→
= ∞ lim ( )
x a
f x
→
= ∞
lim ( ) ;
x a
f x
+→
= −∞ lim ( ) ;
x a
f x
−→
= −∞ lim ( )
x a
f x
→
= −∞
Essas situações podem ser observadas na Figura 3.
A reta y = L denomina-se assíntota horizontal da curva y = f(x) se, pelo menos, uma das seguintes condições 
valer:
lim ( )
x
f x L
→+∞
= ou lim ( )
x
f x L
→−∞
=
Essas situações podem ser observadas na Figura 3.
Neste capítulo, estudamos o limite de diversos tipos de função. Vimos que o limite é um número 
real e que esse assunto será fundamental para o estudo das derivadas e das integrais. 
Também foi apresentado que, embora a ideia de limite e os cálculos relacionados a ele datem da 
Idade Antiga, a notação e a formalização dele se deram apenas no século XIX.
Para conceituar o limite, foi utilizada uma função racional com resolução indeterminada, inicial-
mente, e, a partir desse exemplo, vários outros foram resolvidos.
1.5 Resumo do Capítulo
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19
1. Considere a função f definida por f(x) = x² - 5x - 6.
a) Construa o gráfico de f.
b) Determine o domínio e a imagem. 
c) Os intervalos em que f cresce e decresce.
d) Pelo gráfico, você pode notar que, quando x se aproxima de -1, o valor de f(x) aproxima-se 
de ________.
e) Na tabela a seguir, temos duas situações para x. Da esquerda para a direita, os valores de x 
aproximam-se de 0 pelo lado esquerdo, mas, da direita para a esquerda, os valores aproxi-
mam-se de x = 0 pelo lado direito. Complete a tabela e responda às seguintes perguntas:
x -0,5 -0,25 -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 0,25 0,5
f(x)
f ) Nessa tabela, você nota que os valores de f(x) aproximam-se de -6 quando x está próximo 
de______.
g) Podemos tomar os valores de f(x) tão próximos de 3 quanto quisermos? Se sim, de que 
forma?
h) Expressamos que “o limite de f(x) dada por f(x) = x² - 5x – 6, quando x tende a “zero”, é 
igual a _______”. Com a seguinte notação 2
0
üüü
x
x x
→
− − = ________.
2. Calcule os limites:
1.6 Atividades Propostas
a) 
3 2
2
lim3 5 4 12
x
x x x
→
− − +
b) 
3 2
20
3 5 4 12lim
5 2 1x
x x x
x x→
− − +
− +
c) 
2
0
16lim
4x
x
x→
−
+
d) 
6 4
5 4
3 2 3 12lim
2 9x
x x x
x x→∞
− + +
− − +
e) 
5 3
6 3
3 2 3 12lim
2 9x
x x x
x x→∞
− + +
− − +
 
f ) 
4
lim cos
x
x
π→
g) 2
23
9lim
6 9x
x
x x→
−
− +
 
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20
3. Conforme as leis do limite e os gráficos de f e g plotados a seguir, pode-se afirmar que (obser-
vação: cada quadrado do plano cartesiano tem 1 unidade de lado):
a) =+
→→
)(lim)(lim
55
xgxf
xx
b) =
→→
)(lim).(lim
55
xgxf
xx
c) =
−→−→
)(lim).(lim
11
xgxf
xx
d) =−
→→
)(lim)(lim
55
xgxf
xx
e) =− −→−→ )(lim)(lim 11 xgxf xx
4. O gráfico a seguir sugere que:
a) quando x tende a 1 pela esquerda, o y se aproxima de -15.
b) quando x tende a 1 pela direita, o limite da função que repre-
senta esse gráfico é -15.
c) quando x tende a 1, o limite da função que representa esse 
gráfico é o menos infinito.
d) quando x tende a 1, o limite da função que representa esse 
gráfico é o infinito.
e) quando x tende a 1, o limite da função que representa esse 
gráfico é 15
 
1 
x
y
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21
A DERIVADA E SUA INTERPRETAÇÃO 
GEOMÉTRICA E FÍSICA12 
Neste capítulo, estudaremos a derivada de uma função, mas com o objetivo de melhor entendê-
-la, antes de apresentar o que é e como é possível determiná-la, mostraremos como é que ela deve ser 
interpretadas tanto geometricamente quanto fisicamente.
Você já ouviu falar em função derivada? Tem ideia do que ela faz? Não! Então vamos ver.
A derivada mede a taxa de variação de uma função e é um conceito muito importante do cálculo, 
pois é utilizada com frequência em diversas ciências. A derivada pode ser interpretada, geometricamente, 
como a inclinação de uma curva e, fisicamente, como uma taxa de variação. 
Mas o que é uma taxa de variação? Vamos ver um exemplo disso?
Um exemplo comum de taxa média de variação é a velocidade média e você deve estar lembrado 
que estudou esse assunto em Física.
2.1 Taxa Média de Variação
1 Os tópicos 1.1, 1.2 e 1.4 foram adaptados de SANTOS, A.R e BIANCHINI, W. Aprendendo cálculo com Maple. Disponível em: 
<http://www.im.ufrj.br//dmm/projeto/calculo1/cap2_3/html>. Acessado em: jan. 2009.
A velocidade média de um corpo em movimento durante um intervalo de tempo é obtida dividin-
do-se a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la. A unidade de medida é o comprimento 
por unidade de tempo, como, por exemplo, quilômetros por hora.
Exemplo
Suponha que você faça uma viagem da Capital de São Paulo a Extrema (MG) pela Rodovia Fernão 
Dias. Quando parte de São Paulo, você zera o velocímetro e começa a cronometrar o tempo. Considere s 
a distância percorrida pelo carro, dada em km, como uma função do tempo decorrido t, dado em horas. 
Veja a Tabela 1.1, que indica, para algumas localizações do carro durante o percurso, o tempo transcorri-
do e a distância percorrida. 
Tabela 1 – Distâncias de São Paulo a Extrema.
 Percurso São Paulo Atibaia Bragança Paulista Extrema (MG)
t 0 1 1,2 1,6
s(t) 0 67 88 110
A partir dos dados desta tabela, é possível calcular a velocidade média desta viagem. Lembramos 
que a velocidade média é definida como: 
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22
süüüüüüü
t
D
=
D
Onde, sD é a variaçãodo espaço, ou seja, espaço final menos o espaço inicial, e tD é a variação do 
tempo, ou seja, tempo final menos o tempo inicial.
Neste caso, portanto, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel, no percurso completo de 
São Paulo a Extrema, foi de 
110 68,75
1,6
≅ km/h. 
Façamos uma análise da viagem estudando o gráfico da distância como função do tempo, traçado 
na Figura 5.
Figura 5 – Gráfico representando velocidades médias.
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
20
40
60
80
100
t
s(t)
(1,67)
(1,2;88)
(1,6;110)
Note que essas velocidades médias correspondem à inclinação das retas que, no gráfico, ligam os 
pontos (0,0) a (1,67); (1,67) a (1,2; 88); (1,2; 88) a (1,6; 110), cujas coordenadas fornecem, respectivamente, 
o tempo transcorrido e a distância percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada no percurso. 
Por exemplo, no percurso de São Paulo – que corresponde, no gráfico, ao ponto (0,0) = (0,s(0)) – a Atibaia 
– ponto (1,67) = (1, s(1)), no gráfico – a velocidade média desenvolvida pelo automóvel foi de 67 km/h, 
pois
(1) (0) 67 67
1 1
s s s
t
D −
= = =
D
 km/h
Geometricamente, esse valor representa a inclinação da reta que liga os pontos (0,0) a (1,67). De 
modo geral, como é que você escreveria uma fórmula para representar a velocidade média?
Na situação que estamos estudando, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel no percurso 
São Paulo, ponto (t0, s(t0)), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), pode ser dada pela 
fórmula:
0
0
( ) ( )
m
s t s t sv
t t t
− D
= =
− D
Agora questionamos: o que é que a velocidade média nos fornece?
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23
A velocidade média nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automóvel durante 
todo o trajeto ou parte dele. Mas como determinar a velocidade que o velocímetro do automóvel indica-
va no exato instante em que ele passava por um determinado ponto do percurso?
A leitura do velocímetro mede o que chamamos de velocidade instantânea ou, simplesmente, ve-
locidade do automóvel e é esse conceito que abordaremos no exemplo estudado no tópico 1.3.
2.2 Taxa Média de Variação e Retas Secantes
Dada a função arbitrária y = f(x), calculamos a taxa média de variação de y em relação a x no inter-
valo [a,b] dividindo a variação do valor de y, Dy = f(b) – f(a), pelo comprimento Dx = b – a = h do intervalo 
ao longo do qual a variação ocorre.
Observe, na Figura 6, que a taxa de variação de f no intervalo [a,b] é o coeficiente angular da reta 
que passa nos pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)). A reta que passa por esses dois pontos está sendo denominada 
de “s” e trata-se de uma reta secante à curva y = f(x). Portanto, a taxa média de variação de f desde “a” até 
“b” é igual ao coeficiente angular da secante PQ, ou seja, secante “s”.
AtençãoAtenção
Definição de Taxa Média de Variação
A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a,b] é
( ) ( ) ( ) ( ) , 0y f b f a f a h f a h
x b a h
D − + −
= = ≠
D −
 
x 
y 
a b 
f(a) 
f(b) 
(b – a ) = Dx = h 
f(b) – f(a) = Dy 
P 
Q 
y = f(x) 
s 
Figura 2 – Taxa de variação. 
Figura 6 – Taxa de variação.
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24
Exemplo
Determine a taxa média de variação da função f(x) = 2x² - 5 no intervalo [0,3].
Resolução:
A taxa média de variação é dada por 
03
)0()3()()(
−
−
=
−
−
=
D
D ff
ab
afbf
x
y
.
Como f(3) = 2.3² - 5 = 18 - 5 = 13 e f(0) = 2.0² - 5 = 0 - 5 = - 5, vamos ter que a taxa média de variação será:
(3) (0) 13 ( 5) 13 5 18 6
3 0 3 3 3
y f f
x
D − − − +
= = = = =
D −
Também podemos observar isso por meio do gráfico dessa função e da reta secante a essa curva 
pelos pontos P(0,-5) e Q(3,13).
A taxa média de variação dessa função no intervalo [0,3] é dada pela inclinação da reta secante, 
que se calcula pelo quociente da variação do y pela variação do x. Essas variações podem ser observadas 
na altura e na base do retângulo em cinza da Figura 7.
Você sabe o que é velocidade instantânea, não é? Isso você estudou em Física, lembra? Vamos 
rever, então.
 
s: reta secante 
↔
PQ
Ângulo que fornece a inclinação da secante 
 α α 
 α 
13 – (-5) 
 
 = 18 
3 – 0 = 3 
−4 −2 2 4
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
P
Q
−4 −2 2 4
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
P
Q
observe a 
inclinação da secante 
Figura 7 – Inclinação da reta secante e taxa média de variação.
2.3 Taxa Instantânea
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Um exemplo de taxa instantânea é a velocidade de um móvel em um determinado ponto. Vamos 
observar isso no exemplo estudado anteriormente, na viagem de São Paulo a Extrema.
Para calcular a velocidade média realizada na viagem em questão, de São Paulo a Extrema, deve-
mos pegar o ponto final (1,6;110) e o ponto inicial (0,0). Veja essa distância representada no gráfico da 
Figura 8 com o segmento pontilhado.
A velocidade média será dada por: 
( ) ( ) 110 0 110 68,75 /
( ) ( ) 1,6 0 1,6
s s f s i km h
t t f t i
D − −
= = = =
D − −
Para calcular a velocidade média realizada na viagem em questão, de São Paulo até 100 km percor-
ridos, podemos observar, no gráfico da Figura 9(a) o tempo utilizado para percorrer essa quilometragem 
e anotar esse ponto (1,4;100) e o ponto inicial (0,0). Observando o gráfico da Figura 9(b), podemos calcu-
lar essa velocidade, que será dada por:
( ) ( ) 100 0 100 71,43 /
( ) ( ) 1,4 0 1,4
s s f s i km h
t t f t i
D − −
= = = =
D − − .
 
0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
20
40
60
80
100
t
s(t)
(1,67)
(1,2;88)
(1,6;110)
Ds 
Dt 
Figura 4 – Velocidade média de SP a Extrema. 
Figura 8 – Velocidade média de SP a Extrema.
Figura 9 – Velocidade média de SP até o quilômetro 100.
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26
Mas o fato é que queremos calcular a velocidade em pontos específicos, por exemplo, a velocidade 
do automóvel exatamente no quilômetro 100 dessa viagem.
Note que em cada trecho apresentado na Tabela 1 e no gráfico da Figura 5, ou seja, de São Paulo 
a Atibaia, de Atibaia a Bragança Paulista e de Bragança Paulista a Extrema, os segmentos de retas apre-
sentam inclinações diferentes. Isso significa que, em cada um desses trechos, as equações das retas que 
passam por esses segmentos são diferentes e, consequentemente, vamos ter que observar cada um 
desses trechos para determinar a velocidade média entre eles. Como o ponto que estamos querendo 
determinar a velocidade instantânea (velocidade no ponto) está entre Bragança Paulista e Extrema, en-
tão devemos fazer esse cálculo tendo como referência a equação da velocidade entre os pontos (1,2;88) 
e (1,6; 110).
Vamos tentar entender esse conceito de velocidade instantânea por meio de um novo exemplo, 
adaptado de Santos e Bianchini, citados no início deste capítulo.
Suponha que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância até o solo em cada ins-
tante t (em segundos) é conhecida e dada por s(t) = - t² + 4t metros. Antes de determinarmos os espaços 
percorridos pela bola, devemos lembrar que não existe espaço negativo, ou seja, s(t) ≥ 0. Como s(t) = - t² 
+ 4t, então - t² + 4t ≥ 0. Ao resolvermos essa inequação, vamos ter todos os possíveis valores de t para 
que essa situação exista.
- t² + 4t ≥ 0 ⇒ t(-t + 4) ≥ 0
Estamos “querendo” determinar os valores de t que tornem esse produto positivo ou igual a zero. A 
raiz de cada fator é: t = 0 e t = 4.
 Para determinar em quais valores de t esse produto é positivo ou igual a zero, devemosestudar o 
sinal de cada um dos fatores e, em seguida, multiplicá-los.
 
1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
t
s(t)
Figura 6 – Gráfico da função s(t) = -t² + 4t. 
Figura 10 – Gráfico da função s(t) = -t² + 4t.
 
t + + + + + + + + + + + + + + 
0 - - - - - - - 
-t + 4 + + + + + + + + + + + + 
4 - - - - - - - 
t (-t + 4) + + + + + + + 
0 
 - - - - - - - - - - - - - - 
4 
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27
Esse estudo nos evidencia que esse produto é positivo ou igual a zero para os valores de t entre 
zero e 4, incluindo esses extremos, isso significa que a função s(t) = -t² + 4t ocorrerá apenas em 0 ≤ t ≤ 
4. O gráfico dessa função pode ser observado na Figura 10. Trata-se de uma parábola com concavidade 
para baixo, pois é uma função do 2° grau com coeficiente que multiplica o t² igual a -1, ou seja, coeficiente 
negativo.
O problema que queremos resolver é o de determinar a velocidade da bola em cada instante de 
tempo t, isto é, determinar a velocidade instantânea da bola para cada t fixado, por exemplo, em t0 = 1 
segundo. 
Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades instantâneas nem mesmo como 
definir matematicamente esse conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para 
esse problema. 
Parece ser razoável tomar, como aproximação para a velocidade da bola no instante t0 = 1, a velo-
cidade média calculada sobre um intervalo de tempo Dt = t – t0, com t próximo de t0. Por exemplo, para 
t = 2 segundos, temos Dt = 1 e 
)1()2()1()1( ss
t
stsvm −=D
−D+
=
Calculando esse valor, obtemos: 
S(2) = -(2)² + 4.2 = -4 + 8 = 4 e s(1) = -(1)² + 4.1 = -1 + 4 = 3.
Substituindo na Vm, teremos: 
smvm /134 =−= .
Para t = 1,5 segundos temos Dt = 0,5 e 
5,0
)1()5,1()1()1( ss
t
stsvm
−
=
D
−D+
=
Calculando esse novo valor, obtemos: 
S(1,5) = -(1,5)² + 4.(1,5) = -2,25 + 6 = 3,75 e s(1) = 3
Substituindo na Vm, teremos: 
(1,5) (1) 3,75 3 0,75 1,5 /
0,5 0,5 0,5m
s sv m s− −= = = =
Para t = 1,01 segundos, temos Dt = 0,1 e 
1,0
)1()1,1()1()1( ss
t
stsvm
−
=
D
−D+
=
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Daí, obtemos:
S(1,1) = -(1,1)² + 4.(1,1) = -1,21 + 4,4 = 3,19 e s(1) = 3
Substituindo na Vm, teremos: 
(1,1) (1) 3,19 3 0,19 1,9 /
0,5 0,1 0,1m
s sv m s− −= = = =
Prosseguindo com esse raciocínio, tomando valores de t cada vez mais próximos de 1, isto é, fa-
zendo Dt se aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma sequência de valores para Vm que parece 
convergir para dois, como mostra a tabela a seguir: 
t 1,5 1,25 1,125 1,0625 1,03125 1,0156 1,0078 1,0039 1,0019 1,0009
Vm 1,5 1,75 1,875 1,9375 1,96875 1,9843 1,9921 1,9960 1,9980 1,9990
Para obter aproximações cada vez melhores para a velocidade instantânea em t = 1, basta calcu-
larmos a velocidade média sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Essas observações 
indicam que é possível definir a velocidade em t = 1 como o limite dessas velocidades médias. Assim, 
temos: 
1
( ) (1)(1) lim
1t
s t sv
t→
−
=
−
 ou 
0
( ) ( )(1) lim
t
s t t s tv
tD →
+ D −
=
D
Esse limite é precisamente a derivada da função s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, 
simplesmente: 
t
ststv
t D
D
==
→D 0
lim)(')(
Onde s’(t) significa a derivada da função s(t), a qual significa velocidade instantânea, ou seja, velo-
cidade da função em um determinado ponto.
Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 segundo é dada por 
v(t) = s’(t) = -2t +4. No ponto t = 1, vamos ter v(1) = -2.1 + 4 = 2. Veja que esse valor coincide com o valor 
que estávamos nos aproximando. Porém, aprenderemos um pouco mais adiante como derivar a função 
s(t) = -t² + 4t para chegarmos em v(t) = -2t + 4.
De um modo geral, a velocidade instantânea em um ponto t0 qualquer é definida por: 
)(')()(lim)()(lim)( 0
0
000
00 0
ts
tt
tsts
t
tsttstv
ttt
=
−
−
=
D
−D+
=
→→D
Como vimos na resolução desse exemplo, conhecendo-se a função s(t), que fornece para cada ins-
tante de tempo t a distância percorrida por uma partícula em movimento, a velocidade média dessa 
partícula, calculada em um intervalo de tempo Dt = t – t0, coincide com a inclinação da reta secante ao 
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29
gráfico da função s(t), que passa pelos pontos (t0,s(t0)) e (t,s(t)). Acompanhe essa situação na Figura 11 
para (2,s(2)) e (1,s(1)).
Sabemos que, à medida que esses dois pontos se aproximam, isto é, quando Dt → 0, a inclinação da 
reta secante ao gráfico de s(t) se aproxima da inclinação da reta tangente à curva em t = t0 (veja isso na 
Figura 13). Assim, o valor da velocidade instantânea coincide com o coeficiente angular da reta tangente 
ao gráfico de s(t) no instante t = t0. Resumindo, se a função s(t) fornece, para cada instante de tempo t0, a 
distância percorrida por uma partícula em movimento, a sua derivada s’(t0) fornece a velocidade da partí-
cula nesse instante e essa velocidade pode ser interpretada, geometricamente, como a inclinação da reta 
tangente ao gráfico da função s no ponto t0.
Figura 13 – Reta tangente ao gráfico de y = f(x).
Bom, mas o que é uma reta tangente? Vamos estudar um pouquinho sobre isso?
O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes: calcular o coeficiente angu-
lar da reta tangente ao gráfico num ponto dado P. 
 
1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
t
s(t)
Figura 7 – Reta secante a s(t) = -t² + 4t e a Vm. 
1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
t
s(t)
Figura 8 – Reta tannte a s(t) = -t² + 4t e a Vinstantânea. 
Figura 11 – Reta secante a s(t) = -t² + 4t e a Vm. Figura 12 – Reta tannte a s(t) = -t² + 4t e a Vinstantânea.
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30
Então, vamos a ela:
No caso de uma circunferência, não há dificuldade. Uma tangente a uma circunferência (ver Figura 
14(a)) é uma reta que intercepta a circunferência em apenas um ponto, chamado ponto de tangência; as 
retas não tangentes (ver Figura 14(b)) ou interceptam a circunferência em dois pontos diferentes ou não 
a interceptam. 
Agira, convido você a observar as ilustrações abaixo para entender o caminho percorrido de uma 
reta para que deixe de ser reta secante e “vire” uma reta tangente à curva por um dado ponto.
 (a) (b)
Figura 14 – Exemplos de retas tangentes e retas não tangentes à circunferência.
Saiba maisSaiba mais
Um pouco de história...
Os matemáticos antigos afirmavam que uma reta tangente a uma curva num dado ponto era uma reta que “tocava” 
a curva naquele ponto. Sugeriam, também, a possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que 
intercepta a curva em apenas um ponto. Essa definição foi usada com sucesso pelos gregos, ao tratarem de circunfe-
rências e algumas outras curvas especiais, mas, para curvas em geral, ela é totalmente insatisfatória. Para compreender 
o porquê, considere a curva mostrada na figura abaixo. Ela tem uma tangente perfeitamente aceitável (a reta ‘a’), que 
essa definição rejeitaria. Já, a reta ‘b’ não é tangente.
 
a 
b 
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Considere uma curva y = f(x) e P um dado ponto fixo sobre essa curva. 
Considere Q um segundo ponto sobre a curva dada por f(x).
Desenhe a reta secante PQ. 
A distância da abscissa b do ponto Q em relação à abscissa a do ponto P é dada por (b-a) ou por Dx.
A distância da ordenada f(b) do ponto Q em relação à ordenada f(a) do ponto P é dada por f(b) – f(a) 
ou por Dy.
 
x 
y 
a 
f(a) 
P 
f(x) 
 
x 
y 
ab 
f(a) 
f(b) 
P 
Q 
 
a b 
f(a) 
f(b) 
(b – a ) = Dx 
x 
y 
f(b) – f(a) = Dy 
P 
Q 
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Para determinarmos a reta tangente em P, devemos aproximar o ponto Q do ponto P, observe.
Conforme aproximamos o ponto Q de P, a inclinação da reta secante também se altera. A abscissa 
b se aproxima da abscissa a e, consequentemente, a distância entre elas diminui, ou seja, o Dx diminui.
Aproximando mais ainda o ponto Q de P, podemos notar que a reta secante PQ tende à reta tan-
gente em P.
A reta tangente em P pode agora ser encarada como a posição limite da secante variável quando Q 
desliza ao longo da curva em direção a P. Essa ideia qualitativa leva, pelo menos, a um método quantita-
tivo para o cálculo do coeficiente angular exato da tangente em termos da função f(x) dada.
Como a tangente é a aproximação linear de um gráfico em um ponto, o problema da determinação 
da inclinação de um gráfico reduz ao se achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto; dessa 
forma, define-se a inclinação de um gráfico:
 
a b 
f(a) 
f(b) 
Q 
P 
x 
y 
(b – a ) = Dx 
f(b) – f(a) = Dy 
AtençãoAtenção
A inclinação m de um gráfico de f no ponto (x,f(x)) é igual ao coeficiente angular da tangente em (x,f(x)) e é dado por
x
xfxxfmm
xx D
−D+
==
→D→D
)()(limlim
0sec0
x 
y 
a b 
f(a) 
f(b) 
(b – a ) = Dx 
Dx→0 
f(b) – f(a) = Dy P Q 
Dx→0
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Exemplo (de Inclinação de um Gráfico)
Determine a fórmula para a inclinação do gráfico de f(x) = x² + 2. Qual é a inclinação nos pontos 
(1,3) e (0,2)?
Resolução:
O gráfico da função f(x) = x² + 2 está representado a seguir. Como essa função tem como domínio 
todos os números reais, ela apresenta uma quantidade infinita de pontos e, dessa forma, essa curva apre-
senta infinitas inclinações, pois em cada ponto há uma inclinação diferente.
Veja algumas inclinações apresentadas por retas tangentes a alguns dos pontos dessa curva. Cada 
inclinação pode ser representada por uma reta tangente à curva pelo ponto em que se deseja analisar 
essa inclinação. Isso significa que, ao calcularmos a inclinação da reta tangente à curva por um determi-
nado ponto, estamos determinando a inclinação da curva naquele ponto. 
Como vimos, a inclinação m de um gráfico de f no ponto (x,f(x)) é igual ao coeficiente angular da 
tangente em (x,f(x)) e é dado por: 
x
xfxxfmm
xx D
−D+
==
→D→D
)()(limlim
0sec0
Isso significa que, se quisermos determinar a inclinação da reta em um ponto qualquer, devemos 
fazer:
x
xfxxf
x D
−D+
→D
)()(lim
0
(Para determinar o coeficiente angular da 
tangente, ou seja, a inclinação da reta tangente 
em um ponto qualquer da curva)
2 2
0
[( ) 2] ( 2)lim
x
x x x
xD →
+ D + − +
D
(Fazer f(x) = x² + 2)
x
xxxxx
x D
−−+D+D+
→D
22)(2lim
222
0
(Desenvolver)
x
xxx
x D
D+D
→D
2
0
)(2lim (Simplificar)
−3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
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34
x
xxx
x D
D+D
→D
)2(lim
0
(Fatorar e cancelar)
0,2lim
0
≠DD+
→D
xxx
x
(Simplificar)
xxxm
x
2)2lim(
0
=D+=
→D
(Resolver o limite)
m = 2x é a inclinação da curva em qualquer um de seus pontos, ou seja, pode-se dizer que se trata 
de uma fórmula para determinar as inclinações da curva f(x) = x² + 2 em seus infinitos pontos.
Aplicando a fórmula m = 2x, podemos determinar a inclinação em pontos específicos. 
Observe o gráfico da função f(x) = x² + 2 e das retas tangentes a ele pelos pontos (1,3) e (0,2). 
Para determinarmos a equação da reta, usamos a fórmula:
AtençãoAtenção
0 0 0 0- ( - ) ( ) - ( ) ( - )y y m x x ou f x f x m x x= = 
onde m é o coeficiente angular.
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
5
x
y
y = x² + 2
y = 2x + 1 (reta tangente)
(1,3)
y = 2 (reta tangente) 
Em (1,3), é m = 2.1 = 2.
Em (1,0), é m = 2.0 = 0.
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Exemplo (Equação da Reta Tangente)
Determine as equações das retas tangentes à curva f(x) = x² + 2, nos pontos (1,3) e (0,2).
Resolução:
Para determinarmos a equação da reta tangente à curva f(x) = x² + 2 pelos pontos (1,3) e (0,2), fa-
zemos:
)( 00 xxmyy −=− (1) (Fórmula da equação da reta)
Para o ponto (1,3)
13 00 == xey (2) (Dados do problema)
m = 2 (3)
(Coeficiente angular determinado 
anteriormente)
)1(23 −=− xy (Substituindo (2) e (3) em (1))
223 −=− xy (Aplicando a distributiva)
322 +−= xy (Resolvendo e simplificando)
12 += xy
(Equação da reta tangente ao gráfico da função 
f(x) pelo ponto (1,3))
Para o ponto (0,2)
02 00 == xey (4) (Dados do problema)
m = 0 (5) 
Coeficiente angular determinado 
anteriormente)
)0(02 −=− xy (Substituindo (4) e (5) em (1))
02 =−y (Aplicando a distributiva)
2=y
(Equação da reta tangente ao gráfico da função 
f(x) pelo ponto (0,2))
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36
Anteriormente, partimos da função f(x) = x² + 2 e utilizamos o processo de limites para deduzir 
outra função, m = 2x, que representa a inclinação do gráfico de f no ponto (x,f(x)). Essa função é cha-
mada derivada de f em x.
É importante saber que, a partir da definição de derivada, demonstram-se todas as “regras de deri-
vação” e as “fórmulas de derivação”, das quais apresentaremos algumas no próximo capítulo e no anexo 
“derivadas de funções elementares”, que usaremos para derivar as funções que serão apresentadas ao 
longo deste curso.
Exemplos
1. Verifique se a função f definida por f(x) = x2 + 3x é derivável em 2.
Resolução:
A função f é derivável no ponto a = 2 se existir o 
0
f(2 h) - f(2)üüü
x
f
xD →
+
=
D
. Por efeito de facilitar as notações, 
substituiremos Dx por h e passaremos a escrever: 
0
f(2 h) - f(2)üüü
h
f
h→
+
= .
 Resolvendo por partes, vamos fazer:
i) f(a + h) = (a + h)² + 3(a + h) = 
 f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h) = 
 f(2 + h) = 2² + 2.2.h + h² + 3.2 + 3h = 
 f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h =
 f(2 + h) = h² + 7h + 10
 ii) f(x) = x² + 3.x, então
 f(2) = 2² + 3.2
 f(2) = 4 + 6 =
 f(2) = 10 
 
2.4 A Derivada de uma Função
AtençãoAtenção
Definição:
A derivada de f em x é dada por 
x
xfxxfxf
x D
−D+
=
→D
)()(lim)(
0
'
desde que o limite exista. Uma função é diferencial em x se sua derivada existe em x. O processo de cálculo de derivada 
é chamado de diferenciação.
Notações: f ’(x), 
dy
dx
 , y’, D[x]y, ou [ ( )]
d f x
dx
Leitura: f linha de x, ou derivada da função f em relação a x.
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37
iii) Substituindo (i) e (ii) em 
0
f(2 h) - f(2)üüü
h
f
h→
+
= , vamos obter: 
2 2
0 0 0 0 0
f(2 h) - f(2) ( 7 10) (10) 7 ( 7)'(2) lim lim lim lim ( 7) 7limh h h h h
h h h h h hf h
h h h h→ → → → →
+ + + − + +
ℵℵℵ
Como f’(2) = 7, podemos afirmar que $ 
0
f(2 h) - f(2)üüü
h
f
h→
+
= e, portanto, essa função é derivável em a = 2.
2. Verifique se a função f definida por f(x) = 1 – 3x3 é derivável em a = 1.
Resolução:
A função f é derivável no ponto a = 1 se existir o 
0
f(1 h) - f(1)üüü
h
f
h→
+
= . Resolvendo por partes, vamos 
fazer:
i) f(1 + h) = 1- 3(a + h)³ = 
 f(1 + h) = 1 - 3(1 + h)³ = 
 f(1 + h) = 1 – 3(1³ + 3.1².h + 3.1.h²+ h³) = 
 f(1 + h) = 1 - 3(1 + 3h + 3h² + h³) =
 f(1 + h) = 1 - 3 - 9h - 9h² + 3h³ =
 f(1 + h) = -2 - 9h - 9h² - 3h³ 
 ii) f(x) = 1 - 3x³, então
 f(1) = 1 – 3.1³ 
 f(1) = 1 - 3 =
 f(1) = - 2
 
iii) Substituindo (i) e (ii) em 
0
f(1 h) - f(1)üüü
h
f
h→
+
= , vamos obter: 
2 3 2 3 2
0 0 0 0
f(1 h) - f(1) ( 2 9 9 3 ) ( 2) 9 9 3 3 ( 3 3 3 )'(1) lim lim lim lim 9
h h h h
h h h h h h h h hf
h h h h→ → → →
+ − − − − − − − − − − − −
= = = = = −
Como f’(1) = - 9, podemos afirmar que $ 
0
f(1 h) - f(1)üüü
h
f
h→
+
= e, portanto, essa função é derivável 
em a = 1. 
2.5 Derivabilidade e Continuidade
Teorema: Se f(x) é derivável em a, então f(x) é contínua em a.
Hipótese: f(x) é derivável em a
Tese: f(x) é contínua em a
Rascunho
Se uma função é derivável em a, então existe f’(a), tal que )(')()(lim
0
af
h
afhaf
h
=
−+
→
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38
Quando uma função é contínua em a, conforme estudamos no curso de Cálculo: Limites e continuidade, 
temos que üüü
x a
f x f a
→
= . Isso também pode ser reescrito como:
 0)()(lim)()(lim
00
=−+⇒=+
→→
afhafafhaf
hh
0.)()( =−+ h
h
afhaf
Demonstração
Por hipótese, h
h
afhafafhafmasaf
h
afhaf
h
⋅
−+
=−+=
−+
→
)()()()()(')()(lim
0
Pela propriedade de limite do produto, vem:
,0).('lim)()(lim)()(lim
000
afh
h
afhafafha
hhh
=⋅
−+
=−+
→→→
 ou seja:
),()(lim0)()(lim
00
afhaafha
hh
=+⇒=−+
→→
 isto é, f(x) é contínua em a.
Observação: A recíproca é falsa, isto é, nem toda função contínua em “a” é derivável em “a”.
Exemplos
Estude a continuidade e a derivabilidade das funções:
a) f(x) = 5x² + 3
Resolução:
i) Domínio de f é o conjunto dos números reais.
ii) Vamos verificar se a função f é derivável em R.
2 2
0 0
( ) ( ) 5( ) 3 (5 3)'( ) lim '( ) lim
h h
f x h f x x h xf x f x
h h→ →
+ − + + − +
= ⇒ =
2 2 2 2 2 2
0 0
5( 2 ) 3 5 3 5 10 5 3 5 3'( ) lim '( ) lim
h h
x xh h x x xh h xf x f x
h h→ →
+ + + − − + + + − −
⇒ = ⇒ =
2
0
10 5'( ) lim
h
xh hf x
h→
+
⇒ =
0
(10 5 )'( ) lim
h
h x hf x
h→
+
⇒ =
0
'( ) lim10 5 10
h
f x x h x
→
⇒ = + =
'( ) 10f x x⇒ =
 
zero 
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39
Como o domínio de f é o conjunto de todos os números reais e f’(x) = 10x existe se x for um número 
real qualquer, f é uma função derivável.
iii) Note também que 2 2lim(5 3) 5 3 ( )
x a
x a f a
→
+ = + = , para ∀a∈R, ou seja, essa função é contínua 
para qualquer x real.
Interpretação
O gráfico a seguir representa a função f definida por f(x) = 5x² + 3, e conforme foi estudado na dis-
ciplina de Cálculo: Limites e continuidade, observa-se tratar-se de um gráfico de uma função contínua em 
R. Observe, também, que em todos os pontos desse gráfico é possível traçar uma reta tangente e, como 
a inclinação da reta tangente à curva por um determinado ponto x = a fornece a derivada da função em 
x = a, pode-se afirmar que a função é derivável em todos os pontos de seu domínio.
Conclusão
ƒƒ f é contínua em todos os valores do domínio;
ƒƒ f é derivável em todos os valores do domínio.
b) f(x) = 13 +x
Resolução:
i) Domínio de f é o conjunto dos números reais.
ii) Vamos verificar se a função f é derivável em R.
h
xhxxf
h
xfhxfxf
hh
)1(1)(lim)(')()(lim)('
3
1
3
1
00
+−++
=⇒
−+
=
→→
h
xhxxf
h
11)(lim)('
3
1
3
1
0
−−++
=⇒
→ h
xhxxf
h
3
1
3
1
)(lim)('
0
−+
=⇒
→
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40
Racionalizando o numerador para obter um fator comum h no numerador e no denominador, va-
mos obter:
 
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
11
][
1)('
xxxxxxxx
xf =
++
=
++
=⇒
3 23
1)('
x
xf =⇒
Como o domínio de f é o conjunto de todos os números reais e 3 23
1)('
x
xf = existe se x pertencer 
ao R*, ou seja, for qualquer número real com exceção do zero, f não é derivável apenas em x = 0.
iii) Mas note que )(11lim 33 afax
ax
=+=+
→
, para ∀a∈R, ou seja, essa função é contínua para qual-
quer x real.
Interpretação
O gráfico a seguir representa a função f definida por 1)( 3 += xxf e trata-se de um gráfico de uma 
função contínua em R. Observe, também, que em todos os pontos desse gráfico, com exceção de x = 0, 
é possível traçar uma reta tangente e, como a inclinação da reta tangente à curva por um determinado 
ponto x = a fornece a derivada da função em x = a, pode-se afirmar que a função é derivável em todos os 
pontos de seu domínio com exceção do x = 0.
 
−2 −1 1 2 3 
1 
2 
3 
x 
y 
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41
Neste capítulo, estudamos alguns exemplos de taxa de variação média, sendo o mais conhecido: a 
velocidade. Vimos, ainda que a taxa de variação pode ser comparada com a inclinação de uma reta tan-
gente, ou seja, que geometricamente representa a inclinação da retas tangente e que para uma função y 
= f(x) em um determinado intervalo [a,b] é dado pelo quociente de Dy por Dx, ou se preferir, por [f(a+h) 
– f(a)]/h, com h ≠ 0. Um outro ponto importante aqui estudado foi sobre a taxa instantânea, em que foi 
observado que se trata de um estudo a ser feito em pontos estabelecidos, por exemplo, se a questão 
for sobre velocidade a velocidade instantânea é a velocidade do móvel em um ponto específico e que 
uma forma de se determinar a taxa instantânea é de cada vez mais nos aproximarmos de um número 
específicos e que isso nos levará a derivada de uma função. Uma das representações da derivada de uma 
função f definida for f(x) pode ser dada por f’(x). Também estudamos a equação de uma reta tangente e 
a definição de derivada.
Vamos agora avaliar a sua aprendizagem.
2.6 Resumo do Capítulo
2.7 Atividades Propostas
1. Dada a função f definida por f(x) = 4x – 2, determine uma equação da tangente ao gráfico de f 
no ponto (1,2). Verifique, então, seu resultado esboçando o gráfico de f e da tangente (Obser-
vação: use a definição de derivada).
2. Determine, usando a definição, a derivada da função f definida por f(x) = x , em x = 2.
3. Use a definição de derivada para mostrar que, se f(x) = -2x³+7x², então f’(x) = -6x² + 14x.
4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f(x) = x²- 4x + 4, no ponto (1, 1).
Veja que em x = 0, a reta tangente à curva forma um ângulo de 45º com o eixo Ox e como a tag 45º 
não existe, a derivada para esse ponto não existe.
Conclusão
ƒƒ f é contínua em todos os valores do domínio;
ƒƒ f é derivável em todos os valores do domínio com exceção do x = 0;
ƒƒ o gráfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x = 0.
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43
Prezado(a) aluno(a),
Como vimos no capítulo anterior, as derivadas são calculadas por processos de limites e isso é mui-
to trabalhoso. Para facilitar, podemos calcular as derivadas por meio de algumas regras, ou seja, fórmulas 
que nos são oferecidas em tabelas de derivadas. Mas como é que essas fórmulas são determinadas? To-
das essas fórmulas são demonstradas usando a definição da derivada. Ajudou? Claro que não, correto?
Este capítulo tem por objetivo demonstrar algumas regras de derivação, apresentar regras e fór-
mulas de derivação e resolver derivadas por meio dessas regras, ou seja, de trabalhar com técnicas de 
derivação. Vamos a elas, então?
ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO3 
3.1 Regra da Constante
Demonstração:
Seja f(x) = c,onde c = constante, ou seja, c ∈ R.
Pela definição de derivada, escrevemos que: 
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 (1)
Como a função é constante, então temos que f(x+h) = c e f(x) = c (2)
Substituindo (2) em (1), temos: 00lim0limlim)('
000
===
−
=
→→→ hhh hh
ccxf
Portanto, se f(x) = c, a f’(x) = 0.
AtençãoAtenção
A derivada da constante é zero. ( ) '( ) [ ] 0df x c f x c
dx
= ⇒ = =
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Exemplos
 
Derive as funções:
a) f(x) = 5
Resolução:
Como f(x) = 5 é uma função constante, temos que sua derivada é dada por f’(x) = 0.
b) f(x) = - 3 ⇒ f’(x) = 0. Isso também pode ser representado usando outra notação, veja: [ 3] 0d
dx
− =
c) 
1( ) '( ) 0
5
f x f x= ⇒ =
2.2 Regra da Potência
Demonstração:
Para n ∈ Z*.
Pela definição de derivada, escrevemos que: 
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 (1)
Como f(x) = xn, então temos que f(x+h) = (x + h)n e f(x) = xn (2)
Substituindo (2) em (1), temos: 
h
xhxxf
nn
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
Aplicando o desenvolvimento binomial, temos:
2
1 2
0
( 1) ...
2'( ) lim
n
n n n n
h
n n xüüü
f x
h
−
−
→
−
+ + + + −
= 
AtençãoAtenção
A derivada da função f(x) = xn é 1'( ) nf x nx −= 1üüü n n ndf x x f x x nx
dx
−= ⇒ = =
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45
2
1 2
0
( 1) ...
2'( ) lim
n
n n
h
n n xnx h h h
f x
h
−
−
→
−
+ + +
= (Simplificando xn e –xn)
2
1 1
0
( 1) ...
2
'( ) lim
n
n n
h
n n xh nx h h
f x
h
−
− −
→
 −
+ + + 
 = (Colocando “h” em evidência)
2
1 1
0
( 1)'( ) lim ...
2
n
n n
h
n n xf x nx h h
−
− −
→
 −
= + + + 
 
 (Simplificando o “h”).
1'( ) nf x nx −= (Resolvendo o limite para h → 0)
Portanto, se f(x) = xn, a 1'( ) nf x nx −= .
Exemplos
 
Derive as funções:
a) f(x) = x³
Resolução:
Observe que a função f(x) = x³ é uma função potência e, dessa forma, podemos derivá-la usando a 
regra apresentada.
2133 3)('3)(')( xxfxxfxxf =⇒== −⇒
b) f(x) = - x² 
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Demonstração:
Pela definição de derivada, temos que: 
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 (1)
Como a função é dada por “cf(x)”, então temos que 
f(x+h) = c.f(x + h) e f(x) = c.f(x) (2)
Substituindo (2) em (1), temos: 
h
xfchxfcxh
h
)(.)(.lim)('
0
−+
=
→
h
xfhxfcxh
h
)()(.lim)('
0
−+
=
→
 (Colocando o “c” em evidência)
h
xfhxfcxh
h
)()(lim.)('
0
−+
=
→
 (Pela propriedade do limite do produto da função pelo múltiplo constante)
)('.)(' xfcxh = (Pela definição de derivada)
Portanto, se h(x) = cf(x), a )('.)(' xfcxh = .
Exemplos
Derive as funções:
a) f(x) = 5x³
2.3 Múltiplo Constante
AtençãoAtenção
Se f é uma função diferencial de x e ‘c’ é um número real, então üüüd cf x cf x
dx
= , com ‘c’ constante.
üüüüüüü dh x cf x h x cf x c f x
dx
= ⇒ = =
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Resolução:
Observe que temos a função x³ sendo multiplicada pela constante 5. Então, pela regra, vamos ter:
f’(x) = 5. (x³)’ = 5.3x3-1 = 15x²
b) 5 5 5 1 4
1 1 1 5( ) '( ) [ ] .5
3 3 3 3
dg x x g x x x x
dx
−= − ⇒ = − = − = −
3.4 Regra da Soma e da Diferença
AtençãoAtenção
Se f e g são funções diferenciáveis de x então 
[ ( ) ( )] '( ) '( )d f x g x f x g x
dx
+ = + e [ ( ) ( )] '( ) '( )d f x g x f x g x
dx
− = −
( ) ( ) ( ) '( ) [ ( ) ( )] '( ) '( )dt x f x g x t x f x g x f x g x
dx
ℵℵℵ
 
Múltiplo 
Constante 
Derivada da 
função 
Derivada da 
potência 
Demonstração (a derivada da soma é a soma das derivadas):
Por hipótese e pela definição de derivada, temos que:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 e 
h
xghxgxg
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 (1)
Seja t(x) = f(x) + g(x), então t’(x) = [f(x) + g(x)]
Por definição, vamos ter que:
h
xthxtxt
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 (2)
Mas,
t(x + h) = f(x + h) + g(x + h) e t(x) = f(x) + g(x) (3)
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0
( ) ( ) [ ( ) ( )]'( ) lim
h
f x h g x h f x g xt x
h→
+ + + − +
= (Substituindo (3) em (2))
0
( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim
h
f x h g x h f x g xt x
h→
+ + + − −
= (Aplicando a distributiva)
0
( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim
h
f x h f x g x h g xt x
h→
+ − + + −
= (Reagrupando)
0 0
( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim
h h
f x h f x g x h g xt x
h h→ →
+ − + −
= +
t’(x) = f’(x) + g’(x)
Portanto, se t(x) = f(x) + g(x) a )(')(')(' xgxfxt += .
A regra da diferença é demonstrada de forma análoga.
( ) ( ) ( ) '( ) [ ( ) ( )] '( ) '( )dt x f x g x t x f x g x f x g x
dx
ℵℵℵ
Observação: As regras da soma e da diferença podem ser estendidas para a soma ou diferença de 
um número finito arbitrário de funções, desde que cada uma dessas funções seja derivável, ou seja, se t(x) 
= f(x) + g(x) – h(x) + m(x), então a t’(x) = f’(x) + g’(x) – h’(x) + m’(x).
Exemplos
Derive as funções:
a) f(x) = 3x³ + 5x² - 3x + 2
Resolução:
Observe que a função f(x) é a soma de outras funções. Como vimos na regra anterior, a derivada da 
(soma e diferença) é (a soma e a diferença) das derivadas, ou seja, 
se f(x) = 3x³ + 5x² - 3x + 2, então f’(x) = (3x³)’ + (5x²)’ – (3x)’ + (2)’.
Derivando cada uma dessas funções aplicando as regras anteriormente demonstradas:
f’(x) = 3.3x³-1 + 5.2x²-1 – 3 + 0 ⇒ f’(x) = 9x2 + 10x – 3 
b) 42
4
1
3
1)( 36 −+−= xxxxm
(Propriedade “limite da soma é igual à soma 
dos limites”)
(Em (1), pela hipótese ou pela definição de 
derivada)
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Resolução:
02.3.
4
1.6.
3
1)(' 25 −+−= xxxm 2
4
32)(' 25 +−=⇒ xxxm
Você sabe como é que a sentença anterior deve ser lida? Se não sabe terás a oportunidade de ler a 
seguir:
A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segun-
da função mais o produto da segunda função pela derivada da segunda função. 
Demonstração:
Por hipótese e pela definição de derivada, temos que:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 e 
h
xghxgxg
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
 (1)
Seja t(x) = f(x) . g(x), então t’(x) = [f’(x).g(x) + f(x).g’(x)]
Por definição, vamos ter que:
h
xthxtxt
h
)()(lim)('
0
−+
=
→
, (2) 
Mas,
t(x + h) = f(x + h).g(x + h) e t(x) = f(x).g(x) (3)
3.5 Regra do Produto
AtençãoAtenção
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então 
üüüüüüüüüd f x g x f x g x f x g x
dx
= +
( ) ( ). ( ) '( ) [ ( ). ( )] '( ) ( ) ( ) '( )dt x f x g x t x f x g x f x g x f x g x
dx
= ⇒ = = +
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50
0
( ). ( ) [ ( ). ( )]'( ) lim
h
f x h g x h f x g xt x
h→
+ + −
= (Substituindo (3) em (2))
0
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) [ ( ). ( )]'( ) lim
h
f x h g x h f x h g x f x h g x f x g xt x
h→
ℵℵℵ
= 
0
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )'( ) lim
h
f x h g x h f x h g x f x h g x f x g xt x
h→
ℵℵℵ
= (Reagrupando)
h
xfhxfxg
h
xghxghxfxt
hh
)()()(lim)()()(lim)('
00
−+
+
−+
+=