aula 3 SISTEMAS1-handout

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Sist. Lin. I
Sistemas
Lineares
Introdução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas Lineares – 1a Parte
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 40
Sist. Lin. I
Sistemas
Lineares
Introdução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 1o Exemplo
Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis exceto
pelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as de
material Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedas
pesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{
x + y = 100
10x + 20y = 1250
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 2o Exemplo
Problema: a combustão do propano produz dióxido de
carbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balancear
a equação da reação: aC3H8 + bO2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = c
balanço de H: 8a = 2d
balanço de O: 2b = 2c + d

3a +0b −1c +0d = 0
8a +0b +0c −2d = 0
0a +2b −2c −1d = 0
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2+bx + c
passando pelos pontos (0,1), (1,3), (2,4) e (3,9)?
(0,1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c
(1,3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c
(2,4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c
(3,9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c

0a +0b +1c = 1
1a +1b +1c = 3
4a +2b +1c = 4
9a +3b +1c = 9
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Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 4o Exemplo
Problema: o vetor (0,6,10) é combinação linear de (1,2,3),
(2,1,1) e (4,−1,−3)?
α(1,2,3) + β(2,1,1) + γ(4,−1,−3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)
= (α+ 2β + 4γ,2α+ β − γ,3α+ β − 3γ)
= (0,6,10)
1α +2β +4γ = 0
2α +1β −1γ = 6
3α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −1
3 1 −3
 αβ
γ
 =
 06
10

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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação
Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaem
na resolução de sistemas lineares. As técnicas para
resolvê-los nos acompanharão por todo o curso.
A resolução de sistemas lineares está no coração de
quase todos os softwares de computação científica.
Neste caso, os sistemas podem ter centenas de
milhões de incógnitas.
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistema m × n (m equações em n incógnitas)

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
matriz aumentada︷ ︸︸ ︷
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn︸ ︷︷ ︸
matriz de coeficientes
b1
b2
...
bm

︸ ︷︷ ︸
lado direito
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Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Matriz m × n (m linhas, n colunas)
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 m linhas
=

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 n colunas
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 1:{
1x +1y = 2
1x −1y = 0
{
1x +1y = 2
1x −1y = 0
[
1 1 2
1 −1 0
] [
1 1 2
1 −1 0
]
(1, 1)
(2, 0)
(0, 2)
Solução única. Conjunto-solução: {(1,1)}
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Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 2:{
1x +1y = 2
2x +2y = 2
{
1x +1y = 2
2x +2y = 2
[
1 1 2
2 2 2
] [
1 1 2
2 2 2
]
(2, 0)
(0, 2)
(1, 0)
(0, 1)
Sem solução. Conjunto-solução: { } = ∅
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Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 3:{
1x +1y = 2
2x +2y = 4
{
1x +1y = 2
2x +2y = 4
[
1 1 2
2 2 4
] [
1 1 2
2 2 4
]
(2, 0)
(0, 2)
Infinitas soluções.
Conjunto-solução: {(x , y) | x + y = 2} = {(t ,2− t) | t ∈ R}
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Conjunto-Solução
Um sistema linear de equações tem sempre:
ou uma única solução;
ou nenhuma solução;
ou infinitas soluções.
Compare com o caso não-linear:
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Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 4
0 0 1 −2
 
3x1 = 5
−2x2 = 4
x3 = −2
Conjunto-solução:
{(
5
3
,−2,−2
)}
Definição (matriz diagonal)
A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −5
0 0 2 −2
 
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −5
2x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1
−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas Equivalentes
Definição (sistemas equivalentes)
Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equivalentes se
têm o mesmo conjunto-solução.[
1 1 2
1 −1 0
]  1 2 31 −1 0
3 1 4

(2, 0)
(0, 2)
(1, 1)
(3, 0)
(
0,
3
2
)
(1, 1)
(
4
3
, 0
)
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Estratégia para Solução de Sistemas Lineares
Buscar sistema equivalente “fácil”:
na forma escalonada (“tipo” triangular) ou
na forma totalmente escalonada (“tipo” diagonal).
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Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[
l1 b1
l2 b2
]
∼
[
l2 b2
l1 b1
]
2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1
l2 b2
]
∼
[
l1 b1
αl2 αb2
]
3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1
l2 b2
]
∼
[
l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]
4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b1
0 0 · · ·0 0
]
∼ [ l1 b1 ]
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
3 13 4 16
 ∼
 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 7 −8 22

l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16
+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16
+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 7 −8 22
 ∼
 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 0 3 −3

l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25
+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 0 3 −3
 ∼
 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 0 1 −1

l3 ← 13 l3
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
 −1 −2 −4 20 −7 11 −25
0 0 1 −1
 ∼
 −1 −2 0 −20 −7 0 −14
0 0 1 −1

l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2
+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25
+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
 −1 −2 0 −20 −7 0 −14
0 0 1 −1
 ∼
 −1 −2 0 −20 1 0 2
0 0 1 −1

l2 ← −17 l2
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
 −1 −2 0 −20 1 0 2
0 0 1 −1
 ∼
 −1 0 0 20 1 0 2
0 0 1 −1

l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2
+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
 −1 0 0 20 1 0 2
0 0 1 −1
 ∼
 1 0 0 −20 1 0 2
0 0 1 −1

l1 ← −l1
x1 = −2
x2 = 2
x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2,2,−1)}
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo

1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)
0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)
1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 2
1 1 0 2
 l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3
l3 ← l3 − l1
 1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1


x1 = 1
x1 = x3
x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t ,1) | t ∈ R}
(eq. 1) ⇒ 1+ t + 1 = 3 ∀t ∈ R FALSO!!!
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
Mas o que deu errado?
operações fundamentais =⇒ sistemas equivalentes
outras operações 6=⇒ sistemas equivalentes
Isto pode ser sutil. Examine este exemplo até entendê-lo.
É fundamental ser sistemático!
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Plano de Ação para
a Solução de Sistemas Lineares
Para onde vamos?
Forma escalonada e forma totalmente escalonada
Como vamos?
Algoritmo de eliminação de Gauss
O que fazer quando chegarmos lá?
Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Eliminação de Gauss
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Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada se
o número de zeros no início de cada linha aumenta
estritamente de uma linha para outra e
não há linhas só de zeros.
 4 −7 0 −14 40 0 4 0 −1
0 0 0 −13 6
 X
 4 −7 0 −14 43 0 4 0 −1
0 0 0 −13 6
 ×
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Pivot
Definição (pivot)
São denominados pivots os primeiros elementos não nulos
de cada linha de uma matriz escalonada.
 4 −7 0 −14 40 0 5 0 −1
0 0 0 −13 6

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Equivalência
Eliminação de Gauss
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Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz escalonada está totalmente escalonada se
os seus pivots
são todos 1’s e
são os únicos elementos não-nulos de suas colunas.
 1 −7 0 0 40 0 1 0 −1
0 0 0 1 6
 X
 1 −7 2 0 40 0 1 0 −1
0 0 0 −1 6
 ×
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Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Eliminação de Gauss
Parte I – Forma Escalonada
Descarte linhas só de zeros.
p ← (no de linhas).
k ← 1.
Enquanto k < p, repita:
Considere apenas as linhas lk , lk+1, . . . , lp.
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.
Troque linhas para obter pivot não nulo.
Anule as entradas abaixo do pivot,
subtraindo de lk+1, lk+2, . . . , lp múltiplos de lk .
Descarte linhas só de zeros.
p ← (no de linhas).
k ← k + 1.
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Eliminação de Gauss
Parte II – Forma Totalmente Escalonada
Execute a Parte I do algoritmo.
Repita, para k = p,p − 1, . . . ,1:
Divida lk pelo seu pivot, tornando-o 1.
Anule as entradas acima do pivot,
subtraindo de l1, l2, . . . , lk−1 múltiplos de lk .
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Exemplo de Eliminação de Gauss

2 6 3 1 4
2 6 3 −2 10
−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14


2 6 3 1 4
2 6 3 −2 10
−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14


2 6 3 1 4
2 6 3 −2 10
−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14


2 6 3 1 4
0 0 0 −3 6
0 0 −1 2 −2
0 0 2 −3 2


2 6 3 1 4
0 0 0 −3 6
0 0 −1 2 −2
0 0 2 −3 2


2 6 3 1 4
0 0 0 −3 6
0 0 −1 2 −2
0 0 2 −3 2


2 6 3 1 4
0 0 0 −3 6
0 0 −1 2 −2
0 0 2 −3 2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 2 −3 2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 2 −3 2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 1 −2


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 0 0


2 6 3 1 4
0 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
0 0 0 0 0

 2 6 3 1 40 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
  2 6 3 1 40 0 −1 2 −2
0 0 0 −3 6
  2 6 3 1 40 0 −1 2 −2
0 0 0 1 −2
  2 6 3 1 40 0 −1 2 −2
0 0 0 1 −2
  2 6 3 0 60 0 −1 0 2
0 0 0 1 −2
  2 6 3 0 60 0 −1 0 2
0 0 0 1 −2
 2 6 3 0 60 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2
  2 6 3 0 60 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2
  2 6 0 0 120 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2
  2 6 0 0 120 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2
  1 3 0 0 60 0 1 0 −2
0 0 0 1 −2

Início da Parte I: escalonamento da matriz
Descarte linhas só de zeros.
p ← 4.
k ← 1.
Início do primeiro laço.
Considere apenas as linhas l1, l2, l3 e l4
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.
Troque linhas para obter pivot não nulo.
Anule as entradas abaixo do pivot ,
subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.
Descarte linhas só de zeros.
p ← 4
k ← 2
Considere apenas as linhas 2, 3 e 4
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.
Troque linhas para obter pivot não nulo.
Anule as entradas abaixo do pivot ,
subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.
Descarte linhas só de zeros.
p ← 4
k ← 3
Considere apenas as linhas 3 e 4
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.
Troque linhas para obter pivot não nulo.
Anule as entradas abaixo do pivot ,
subtraindo de l4 um múltiplo de l3.
Descarte linhas só de zeros.
Descarte linhas só de zeros.
p ← (no de linhas) p ← 3
k ← 4
Fim da Parte I: matriz já está escalonada.
Início da Parte II: escalonamento total
k ← 3
Divida l3 pelo seu pivot .
Anule as entradas acima do pivot ,
subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.
k ← 2
Divida l2 pelo seu pivot .
Anule as entradas acima do pivot ,
subtraindo de l1 múltiplos de l2.
k ← 1
Divida l1 pelo seu pivot .
Anule as entradas acima do pivot .
Fim da Parte II: a matriz está totalmente escalonada.
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Sist. Lin. I
Sistemas
Lineares
Introdução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Existência de Solução
Notação:
{
0 − zero − não-zero
1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma
? ? · · · ? ?
...
...
. . .
...
...
? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
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Sist. Lin. I
Sistemas
Lineares
Introdução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
 1 0 00 1 0
0 0 1

Exemplo (sistema inconsistente)
 1 −3 0 5 00 0 1 2 0
0 0 0 0 1

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Sistemas
Lineares
Introdução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma
1 0 · · · 0 ?
0 1 · · · 0 ?
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · 1 ?


x1 = ?
x2 = ?
...
...
xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
 1 0 0 −20 1 0 0
0 0 1 11

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 0 7
0 1 0 0 −4
0 0 1 0 −3
0 0 0 1 13

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Sistemas
Lineares
Introdução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonado
não se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 40 0 1 2 0 0
0 0 0 0 1 −2

Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{
x2 = r
x4 = s
O sistema pode ser reescrito:
1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s
1x5 = −2
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Lineares
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.

1x1 = 4+ 3r − 5s
1x3 = −2s
1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4+ 3r − 5s0 1 0 −2s
0 0 1 −2

Solução única: (4+ 3r − 5s, −2s, −2)
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
Sistema em x1, x3 e x5:
Reintroduzindo x2 e x4:
x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = r
x3 = −2 s
x4 = s
x5 = −2
x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 s
x3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 s
x5 = −2 +0 r +0 s
x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 s
x3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 s
x5 = −2 +0 r +0 s
Conjunto-solução:
{(4+ 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
ou ainda:
{(4,0,0,0,−2)+ r(3,1,0,0,0)+s(−5,0,−2,1,0) | r , s ∈ R}
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