Matriz Inversa, Nucleo, Imagem

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Transformações
Lineares
Revisão de Funções
Definição
Projeção, Rotação e
Reflexão
Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Domínio, Contradomínio e Imagem
Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)
Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:
YX
f (X )
X é o domínio;
Y é o contra-domínio e
{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,
denotada Im(f ) ou f (X ).
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Projeção, Rotação e
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Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
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Função Inversa
Inversa de TL
Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva
Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)
Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:
injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,
cada elemento do contra-domínio é atingido no
máximo uma vez.
sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento
do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.
bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada
elemento do contra-domínio é atingido exatamente
uma vez.
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Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
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Função Inversa
Inversa de TL
Funções – Exemplo 1
Exemplo (função injetiva)
f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).
f
R é o domínio
R2 é o contra-domínio
É injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = y
Não é sobrejetiva: (1,2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ R
A imagem de f é a reta y = x.
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Definição
Projeção, Rotação e
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Núcleo e Imagem
composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Funções – Exemplo 2
Exemplo (função sobrejetiva)
f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.
R2 é o domínio
R é o contra-domínio
Não é injetiva: f (1,0) = f (0,1)
É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do
contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y ,0))
tal que f (x) = f (y ,0) = y
A imagem de f é R
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Função Inversa
Inversa de TL
Definição de Transformação Linear
Definição (transformação linear)
T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:
T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).
para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.
Observação
Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial
e multiplicação por escalar.
Se T é linear,
T (0) = T (−0+ 0) = − T (0) + T (0) = 0
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Função Inversa
Inversa de TL
TL – Notação
Notação
Denotamos por L(U;V ) o conjunto de todas as
transformações lineares de U em V .
Observação
Veremos que L(U;V ), munido de operações adequadas, é
espaço vetorial.
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Função Inversa
Inversa de TL
TL – Exemplo 1
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)
é linear?
T (αx+ y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)
= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))
= α(x3, −x1) + (y3, −y1)
= αT (x) + T (y)
Sim.
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Função Inversa
Inversa de TL
TL – Exemplo 2
T : Rn → Rm
x 7→ Am×nx
é linear?
T (αx+ y) = A(αx+ y)
= αAx+ Ay
= αT (x) + T (y)
Sim.
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Função Inversa
Inversa de TL
TL – Exemplo 3
T : R3 → R2
(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)
é linear?
T (1,1,1) = (1,1)
T (2,2,2) = (2,4) 6= 2T (1,1,1)
Não.
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Função Inversa
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TL – Exemplo 4
Seja C1(R;R) o espaço das funções continuamente
diferenciáveis e C(R;R) o conjunto das funções contínuas.
A transformação derivada
D : C1(R;R) → C(R;R)
f 7→ D(f ) = f ′.
é linear?
D(αf+ g) = (αf+ g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)
Sim.
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Teorema
Teorema
Sejam T : U → V transformação linear e {u1,u2, . . . ,un}
base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . ,n, então
T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.
u =
∑n
i=1 αiui
T (u) = T
(∑n
i=1 αiui
)
=
∑n
i=1 αiT (ui)
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Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo
Exemplo
Seja T : R2 → R TL tal que T (1,1) = 2 e T (0,1) = 3.
Determine T(x,y).
(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1,1) + (y − x)(0,1)
T (x , y) = xT (1,1)+(y −x)T (0,1) = 2x +3(y −x) = 3y −x
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Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo: Rotação
A rotação em torno da origem é uma transformação linear.
uv
u+ v
uv R(v)
R(u)
R(v)
R
R
v u
u+ v
R(v)
R(u)
R(v)
R(u) + R(v)
v u
u+ v
R(u) + R(v)
R
u+ v
R(u+ v) = R(u) + R(v)
Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.
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Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo: Matriz de Rotação
R
([
x
y
])
= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)
cos θ
se
n
θ
θ
e1
R(e1)
− sen θ
cos θ
e2
R(e2)
θ
R
([
x
y
])
= x
[
cos θ
sin θ
]
+ y
[ − sin θ
cos θ
]
=
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
] [
x
y
]
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Função Inversa
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Núcleo e Imagem
Definição (núcleo, imagem)
O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos
vetoresdo domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.
Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}
A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos
vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum
vetor do domínio.
Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}
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Função Inversa
Inversa de TL
Núcleo e Imagem
Observação
Nuc(T ) é subespaço vetorial de U.
Im(T ) é subespaço vetorial de V .
Definição (nulidade, posto)
A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do
seu núcleo
ν(T ) = dim(Nuc(T ))
O posto de uma transformação linear T é a dimensão da
sua imagem
dim Im(T ) = dim(Im(T ))
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Função Inversa
Inversa de TL
Núcleo e Imagem
Exemplo
T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0)
T (x , y) = (0,0,0) ⇔ x + y = 0
Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉
Im(T ) = 〈(1,−2,0)〉
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matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Núcleo e Imagem
Lema
Seja T : U → V uma TL. Então:
T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0}
T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V )
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composição de
TLs/produto de
matrizes
Função Inversa
Inversa de TL
Núcleo e Imagem
Teorema (do Núcleo e Imagem)
Seja T : U → V uma TL. Então
dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).
Prova
Seja {u1, . . . ,uν} base de Nuc(T ) e
sejam v1, . . . ,vr tais que {u1, . . . ,uν ,v1, . . . ,vr}
seja base de U. Basta verificar que
{T (v1), . . . ,T (vr )} é base de Im(T ).
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Função Inversa
Inversa de TL
Espaço Vetorial das TLs
Definição (operações entre TLs)
Dados T ,S ∈ L(U;V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e a
sua multiplicação por escalar como:
T + S : U → V
u 7→ T (u) + S(u) e
αT : U → V
u 7→ αT (u) .
Lema (espaço vetorial das TLs)
L(U;V ) com as operações acima é um espaço vetorial.
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TLs/produto de
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Função Inversa
Inversa de TL
Composição de Funções
Definição (composição de funções)
Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se
g ◦ f : X → Z
x 7→ g(f (x))
f g
X Y Z
f g
X Y Z X Z
g ◦ f
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TLs/produto de
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Função Inversa
Inversa de TL
Composição de Funções
Propriedades da Composição
Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h
Não-comutatividade:
em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,
g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.
Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão
definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.
Exemplo em breve.
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composição de
TLs/produto de
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Função Inversa
Inversa de TL
Composição de TLs
Propriedades da Composição de TLs
No caso particular em que as funções são TLs, temos
algumas propriedades adicionais:
A composição de TLs é uma TL.
(T ◦ S)(αu+ v) = T (S(αu+ v)) = T (αS(u) + S(v))
= αT (S(u)) + T (S(v))
= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)
(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);
S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);
S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;
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Função Inversa
Inversa de TL
Exemplo de Composição de TLs
Exemplo
Considere TLs definidas em R2:
P projeção no eixo x: P(a,b) = (a,0);
R reflexão na reta y = x: R(a,b) = (b,a);
S reflexão no eixo y: S(a,b) = (−a,b).
PS(x , y) = P(−x , y) = (−x ,0)
SP(x , y) = S(x ,0) = (−x ,0). Logo PS = SP.
PR(x , y) = P(y , x) = (y ,0)
RP(x , y) = R(x ,0) = (0, x). Logo PR 6= RP
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composição de
TLs/produto de
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Função Inversa
Inversa de TL
Função Inversa
Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :
(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;
(b) injetividade garante a unicidade de tal x .
Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:
f−1 : Y → X
y 7→ x satisfazendo f (x) = y .
f
X Y
f−1
X Y
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TLs/produto de
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Função Inversa
Inversa de TL
Propriedades da Inversa
A inversa possui as seguintes propriedades:
f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY e
f−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .
De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,
conforme veremos mais adiante.
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Função Inversa
Inversa de TL
Exemplos de Função Inversa
Exemplo
A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3
√
x pois ( 3
√
y)3 = y e
3
√
x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.
Exemplo
A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) pois
cos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é
g(x) = 1/ cos(x).
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Função Inversa
Inversa de TL
Caracterização da Inversa
Lema
Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem
g,h : Y → X satisfazendo:
(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e
(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),
então f é bijetiva e g = h = f−1.
Corolário
Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .
Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.
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Função Inversa
Inversa de TL
Inversa da CompostaLema
Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f
também o é e (g ◦ f )−1 = f−1 ◦ g−1.
f g
X Y Z
f g
X Y Z
g ◦ f
f−1 g−1
X Y Z
f−1 ◦ g−1
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Função Inversa
Inversa de TL
Inversa de TL
Uma transformação linear é uma função e, como tal,
admite uma função inversa desde que seja bijetiva.
Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma
transformação linear importantes.
Lema (inversa de TL)
Se T : U → V é transformação linear invertível, então
T−1 também é linear;
U e V têm a mesma dimensão.
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