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Transformações
Lineares
Matriz
Definição (matriz)
Uma matriz Am×n (m linhas e n colunas) é um arranjo
retangular de mn elementos aij : A =
 a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
 .
Definição (transposta)
A transposta de Am×n é AT = Bn×m dada por bij = aji .
B =
 b11 · · · b1m... ...
bn1 · · · bnm
 = AT =
 a11 · · · am1... ...
a1n · · · amn
 .
Note que (AT )T = A.
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Transformações
Lineares
Produto Matriz-Vetor
Notação
Denotamos porMm×n o espaço das matrizes m × n.
Definição (produto matriz-vetor)
Seja A =
 ↑v1
↓
· · ·
↑
vn
↓
 e w = (w1, . . . ,wn).
Definimos Aw =
∑n
i=1wivi .
Lema (linearidade do produto matriz-vetor)
A(u+ v) = Au+ Av ∀u,v
A(ku) = k(Au) ∀k , ∀u
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Transformações
Lineares
TL Associada a Matriz
Definição (TL associada a uma matriz)
Dada A ∈Mm×n, definimos TA : Rn → Rm por TA(w) = Aw.
Pelo lema, TA é linear: TA ∈ L(Rn;Rm).
AssociaçãoMm×n ↔ L(Rn;Rm)
A associação A→ TA é bijeção deMm×n em L(Rn;Rm).
Injetividade: suponha TA = TB.
TA(ej) = TB(ej)⇒ Aej = Bej ⇒ aj = bj ∀j ⇒ A = B
Sobrejetividade: dada T , defina A = [T (e1) · · ·T (en)].
TA(ej) = Aej = [T (e1) · · ·T (en)]ej = T (ej) ∀j ⇒ TA = T
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Transformações
Lineares
Espaço Vetorial das Matrizes
Definição (Soma de Matrizes e Produto Escalar-Matriz)
A soma de matrizes e o produto escalar-matriz
são definidos entrada a entrada.
Com esta definição,Mm×n é espaço vetorial.
Propriedade
A associação A↔ TA é linear:
TA+B = TA + TB e TαA = αTA.
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Transformações
Lineares
Núcleo e Imagem
Definição (Núcleo e Imagem)
Definem-se núcleo e imagem de uma matriz A ∈Mm×n
como o núcleo e a imagem da transformação linear
correspondente, TA ∈ L(m;n):
Nuc(A) =
def
Nuc(TA)
Im(A) =
def
Im(TA)
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Transformações
Lineares
Núcleo
Cálculo do Núcleo [
A 0
]
Exemplo
[
A 0
]
=
 1 2 3 04 5 6 0
7 8 9 0
 ∼ [ 1 0 −1 0
0 1 2 0
]
Nuc(A) = 〈(1,−2,1)〉
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Transformações
Lineares
Imagem
Cálculo da Imagem
Seja BT uma forma escalonada de AT . Então
Im(B) = Im(A)
{b1,b2, . . . ,bp} é base de Im(A).
Exemplo
A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 , AT =
 1 4 72 5 8
3 6 9
 ∼ [ 1 4 7
0 −3 −6
]
{(1,4,7), (0,−3,−6)} é base de Im(A).
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Transformações
Lineares
Espaço-Linha
Observação
A imagem de uma matriz A é também chamada de
espaço-coluna de A.
Definição (Espaço-Linha)
O espaço-linha de A é o espaço-coluna de AT .
Exemplo
A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 ,∼ [ 1 2 3
0 −3 −6
]
{(1,2,3), (0,−3,−6)} é base de Im(AT ).
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Transformações
Lineares
Espaço-Linha
Lema
Para qualquer matriz A ∈Mm×n, a dimensão do
espaço-linha é igual à dimensão do espaço-coluna:
dim(Im(A)) = dim(Im(AT )).
Prova
Seja ρ o número de linhas da forma escalonada de A.
dim(Im(AT )) = ρ.
dim(Nuc(A)) = #(vár. livres) = n − ρ.
dim(Im(A)) = n − dim(Nuc(A)) = ρ.
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Transformações
Lineares
Matriz de uma Transformação
R
([
x
y
])
= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)
cos θ
se
n
θ
θ
e1
R(e1)
− sen θ
cos θ
e2
R(e2)
θ
R
([
x
y
])
= x
[
cos θ
sin θ
]
+ y
[ − sin θ
cos θ
]
=
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
] [
x
y
]
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Transformações
Lineares
Matriz de uma Transformação
Em geral, dada T ∈ L(Rn;Rm), temos
T (x) = T (x1, . . . , xn) = T
(∑n
j=1 xjej
)
=
∑n
j=1 xjT (ej)
=
[
T (e1) · · · T (en)
] x1...
xn
 = Ax ∀x
T = TA
Note que A ∈Mm×n.
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Transformações
Lineares
Produto de Matrizes
Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p, associamos TLs
TA ∈ L(Rn;Rm) e TB ∈ L(Rp;Rn).
Está bem definida a composição TA ◦ TB ∈ L(Rp;Rm).
Existe C ∈Mm×p associada a TA ◦ TB, TC = TA ◦ TB.
Definição (produto de matrizes)
Dadas A ∈Mm×n e B ∈Mn×p define-se o produto
C = AB
como a matriz C ∈Mm×p que satisfaz
TC = TA ◦ TB.
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Transformações
Lineares
Cálculo do Produto de Matrizes
Sejam A ∈Mm×n, B ∈Mn×p e C = AB ∈Mm×p.
A j-ésima coluna de C é o vetor cj dado por
cj = Cej = TC(ej) = (TA ◦ TB)(ej) = TA(TB(ej))
= TA(Bej) = TA(bj) = Abj
AB =
[
Ab1 · · · Abn
]
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Transformações
Lineares
Cálculo do Produto de Matrizes
Bp×m, Am×n, Cp×n = BA
= p m
m
n
n
p = p m
m
n
n
p = p m
m
n
n
p = p m
m
n
n
p = p m
m
n
n
p
colunas são CLs das colunas da 1a matriz
entradas são produtos escalares
de linhas da 1a matriz por colunas da 2a matriz linhas são
CLs das linhas da 2a matriz
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Transformações
Lineares
Propriedades do Produto de Matrizes
(αA)B = A(αB) = αAB,
(AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = AB + AC
(A+ B)C = AC + BC
(AB)T = BTAT
AB 6= BA,
AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0
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Transformações
Lineares
Inversa de uma Matriz
Definição (inversa de uma matriz)
Se a TL TA associada à matriz A é invertível,
então diz-se que A é invertível e define-se A−1
como a matriz associada à inversa de TA, isto é,
A−1 satisfaz
TA−1 = T
−
A 1.
Se A não é invertível, diz-se que A é singular.
Observação
Vimos que se T ∈ L(U;V ) é invertível, então
dim(U) = dim(V ). Isto implica que uma matriz invertível é
necessariamente quadrada.
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Transformações
Lineares
Cálculo da Inversa
Seja A ∈Mn×n invertível e seja B ∈Mn×n a sua inversa.
Segue da definição que TA ◦ TB = TB ◦ TA = I,
onde I ∈ L(Rn;Rn) é a transformação identidade,
I(x) = x ∀x ∈ Rn.
A matriz associada a I é a matriz I =
[
e1 · · · en
]
,
isto é, TI = I. Assim, B fica definida pela propriedade
AB = BA = I.
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Transformações
Lineares
Cálculo da Inversa de uma Matriz
Seja A ∈Mn×n e seja X ∈Mn×n a sua inversa.
AX = I ⇒ (AX )j = (I)j = ej ⇒ Axj = ej , j = 1, . . . ,n
A j-ésima coluna da matriz inversa é obtida pela solução de
um sistema com lado direito ej . Para o cálculo da matriz
inteira, é necessária a solução de n sistemas lineares com
mesma matriz de coefcientes e diferentes lados direitos.[
1 −2 1 0
1 1 0 1
]
∼
[
1 0 13
2
3
0 1 −13 13
]
⇒
⇒
[
1 −2
1 1
]−1
=
[ 1
3
2
3
−13 13
]
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Transformações
Lineares
Cálculo da Inversa
Dada A ∈Mn×n, seja E a sua forma totalmente
escalonada.
Seja B definida por[
A I
]
∼
[
E B
]
.
A é invertível se e somente se E = I.
Neste caso, A−1 = B.
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Transformações
Lineares
Matrizes e TLs
Já sabemos encontrar a matriz associada a T ∈ L(Rn;Rm).
É possível representar por uma matriz uma TL qualquer,
T ∈ L(U;V )?
A resposta é sim. Mas, assim como na representação de
vetores por meio de coordenadas, é necessária a escolha
de bases. A matriz representa uma TL com relação a duas
bases (uma para o domínio e outra para o contra-domínio)
da mesma forma que as coordenadas representamum
vetor com relação a uma base:
coordenadas
vetor
=
matriz
transf. linear
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Transformações
Lineares
Matrizes e TLs
U T−→ V
[ · ]β ↓ ↓ [ · ]γ
Rn −→
[T ]γ←β
Rm
[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β
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Transformações
Lineares
Matrizes e TLs
Sejam T ∈ L(U;V ), β = {u1, . . . ,un} base de] U e
γ = {v1, . . . ,vm} base de V .
Vimos que existe uma matriz A ∈Mm×n, denotada
A = [T ]γ←β, definida por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.
Equivalentemente, [T (uj)]γ = A[uj ]β , j = 1, . . . ,n.
Mas A[uj ]β = Aej = aj , j = 1, . . . ,n.
Portanto aj = [T (uj)]γ , j = 1, . . . ,n.
A j-ésima coluna da matriz que representa T com relação
às bases β e γ é o vetor de coordenadas na base γ da
imagem por T do j-ésimo vetor da base β.
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Transformações
Lineares
Matrizes e TLs
Teorema
Dadas T : U → V, β, γ, defina
[T ]γ←β =
[
[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ
]
.
Então vale
[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β ∀u ∈ U.
[ · ]γ←β : L(U;V ) → Rm×n
T 7→ [T ]γ←β
é bijeção.
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Transformações
Lineares
Exemplo
T : R2 → R3 linear
T (1,0) = (1,2,3), T (2,1) = (0,0,2)
β = {(1,0), (2,1)}, γ = {(1,2,3), (0,0,2), (0,1,0)}
ε2 = {(1,0), (0,1)}, ε3 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
[T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2 = ?
[T ]γ←β =
[
[T (1,0)]γ [T (2,1)]γ
]
=
 1 00 1
0 0

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Transformações
Lineares
Exemplo
T : R2 → R2,Tx =
[
2 1
1 2
]
x
[T ]ε =
[
2 1
1 2
]
Seja β = {u1,u2} = {(1,1), (1,−1)}. Então
T (u1) = (3,3) = 3(u1) ⇒ [T (u1)]β =
[
3 0
]T
T (u2) = (−1,1) = −(u2) ⇒ [T (u2)]β =
[
0 −1 ]T
[T ]β =
[
3 0
0 −1
]
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Transformações
Lineares
Mudança de Base
Quando a transformação em questão é a identidade,
I : U → U, ainda podemos escolher duas bases distintas,
β e γ, para o domínio e o contra-domínio (isto é, duas
bases distintas para U).
Neste caso, temos
[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ ∀u ∈ U.
Note que [I]γ←β é uma matriz que tranforma coordenadas
na base β em coordenadas na base γ. É a chamada matriz
mudança de base de β para γ.
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Transformações
Lineares
Matriz da Composição (Produto de Matrizes)
U VT U VT
Rn Rm
[ · ]β [ · ]γ
U VT
Rn Rm
[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
V
Rm
[ · ]γ
WS
Rp
[S]δ←γ
[ · ]δ
U VT
Rn Rm
[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
WS
Rp
[S]δ←γ
[ · ]δ
U VT
Rn Rm
[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
WS
Rp
[S]δ←γ
[ · ]δ
S ◦ T
U VT
Rn Rm
[T ]γ←β
[ · ]β [ · ]γ
WS
Rp
[S]δ←γ
[ · ]δ
S ◦ T
[S ◦ T ]δ←β
[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β
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Transformações
Lineares
Inversa da Matriz de Mudança de Base
Corolário
[I]β←γ = [I]−1γ←β
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	Transformações Lineares