aula 17 AUTO-DIAG-handout

Prévia do material em texto

Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Matriz bloco-triangular
Lema (determinante de matriz bloco-triangular)
Suponha que M =
[
A B
0 D
]
ou M =
[
A 0
C D
]
, com A e D
matrizes quadradas. Então det(M) = det(A)det(D).
Observação
Considere M =
[
A B
C D
]
, com A,B,C e D matrizes
quadradas. De forma geral,
det(M) 6= det(A)det(D)− det(B)det(C).
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Matriz bloco-triangular
Exemplo
Calcule os valores de λ tais que detM = 0.
M =

2− λ 1 3 −1 1
1 λ 2 1 −2
0 0 λ 1 1
0 0 1 λ 2
0 0 0 0 3+ λ
 . Definindo
M1 =
[
2− λ 1
1 λ
]
, M2 =
[
λ 1
1 λ
]
, M3 = 3+ λ,
M =
 M1 ∗ ∗0 M2 ∗
0 0 M3
. det(M) =
det(M1)det(M2)det(M3) = −(λ− 1)2(λ2 − 1)(3+ λ) = 0.
As raízes são 1,−1,−3.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Introdução
Quando v e Tv são paralelos?
Qual direção é preservada por T?
Exemplo
T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x , y) = (x ,−y).
Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x
T (1,0) = (1,0)
T (0,1) = −(0,1)
}
⇒ direções preservadas
T (1,1) = (1,−1)
T (2,3) = (2,−3)
}
⇒ direções não preservadas
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplos
Exemplo
T uma rotação de 90◦ =⇒ T (x , y) = (y ,−x).
Incluir Figura: rotação de 90 graus
Nenhuma direção é preservada!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Definição Autovalor e Autovetor
Definição
Seja T : V → V TL. Dizemos que
0 6= v ∈ V é autovetor associado ao autovalor λ
se Tv = λv.
Observação
λ pode ser zero, mas v não!
(Se v = 0, então Tv = λv ∀λ.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Definição Autoespaço
Se Tv = λv então Tv− λv = Tv− (λI)v = 0.
Logo (T − λI)v = 0.
Portanto v ∈ Nuc(T − λI).
Definição
O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).
Observação
autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Como calcular autovalores e autoespaços?
Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).
Mas como encontrar um autovalor λ?
Tv = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒
Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0
De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
Calcule os autovalores e autoespaços de
T (x , y) =
[
1 −1
−1 1
] [
x
y
]
.
1 det(A− λI) = det
[
(1− λ) −1
−1 (1− λ)
]
= (1− λ)2 − 1
= (λ− 0)(λ− 2).
2 Calculando autoespaço para λ = 0:
Resolvemos o sistema (A− 0I)x = 0.
3 Calculando autoespaço para λ = 2:
Resolvemos o sistema (A− 2I)x = 0.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Definição Polinômio Característico
Definição
p(λ) = det(T − λI) é um polinômio em λ, chamado
polinômio característico de T . O grau de p(λ) é igual à
dimensão do espaço.
Lema
O polinômio característico independe da base escolhida:
det([T ]β − λI) = det([T ]γ − λI)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Prova: polinômio independe da base
Prova
Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β.
Se P = [I]β←γ , então PAP
−1 = B. Assim,
det(B − λI) = det(PAP−1 − λI)
= det(PAP−1 − P(λI)P−1)
= det(P(A− λI)P−1)
= det(P)det(A− λI)det(P−1)
= det(P)det(P−1)det(A− λI)
= det(A− λI)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Resumo do Cálculo
Determinamos os zeros do polinômio det(T − λI) = 0
para achar autovalores;
Substituímos os autovalores na equação (T − λI)v = 0
para determinar os autovetores v .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
Calcule os autovetores de
T (x , y , z) =
 3 −1 01 1 0
1 0 −1
 xy
z
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
Calcular autovalores e autovetores de uma projeção e de
uma reflexão
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
Note que uma rotação não possui autovalores reais. Isto
indica que NENHUMA direção é preservada. (Exceto para
múltiplos de pi radianos.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
T : V → V, (V funções reais diferenciáveis) definida
por Tv = v ′.
Qual autovetor (chamada também de autofunção)
associadoao autovalor 3? Isto é, para qual função v,
v ′ = 3v?
v(t) = exp(3t) pois v ′(t) = 3 exp(3t), isto é, v ′ = 3v.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Multiplicidade
Teorema (Teorema Fundamental da Álgebra)
Um polinômio de grau n tem exatamente n raízes (não
necessariamente distintas) sobre o corpo dos complexos,
isto é, existem números complexos, λ1, . . . , λn, tais que
n∑
k=0
akλk = an(λ− λ1)(λ− λ2) · · · (λ− λn) ∀λ,
onde λk ’s são números complexos. Esta fatoração é única
(a menos da ordem).
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Multiplicidade
Agrupando-se termos repetidos, temos
n∑
k=0
akλk = an(λ− λ˜1)m1 · · · (λ− λ˜p)mp ∀λ,
onde λ˜1, . . . , λ˜p são raízes distintas e mk é a multiplicidade
da raiz λ˜k .
Definição (Multiplicidade (Algébrica))
Se λ1 é raiz de multiplicidade m1 do polinômio
característico de T , pTc , diz-se que λ1 é autovalor de
multiplicidade λ1 de T .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Definição
Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base β tal
que [T ]β é uma matriz diagonal.
Teorema
T : V → V é diagonalizável se, e somente se, V possui
uma base de autovetores de T .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Lema
Autovetores associados a autovalores distintos são
linearmente independentes, ou seja,
se 0 6= vk e Tvk = λkvk , k = 1, . . . ,p, com λk ’s distintos,
então {v1, . . . ,vp} é LI.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Prova
Vamos provar para três autovetores {v1,v2,v3} com três
autovalores (distintos) já ordenados por módulo:
|λ1| > |λ2| > |λ3|.
Se α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0, aplicando T obtemos:
T (α1v1 + α2v2 + α3v3) = T0 = 0.
α1Tv1 + α2Tv2 + α3Tv3 = α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0.
Aplicando T novamente: T (α1λ1v1 +α2λ2v2 +α3λ3v3) = 0.
α1(λ1)
2v1 + α2(λ2)2v2 + α3(λ3)2v3 = 0.
Aplicando T várias vezes:
α1(λ1)
nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)nv3 = 0.
Dividindo por (λ1)n:
α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Prova
α1v1 + α2(λ2/λ1)nv2 + α3(λ3/λ1)nv3 = 0.
Passando ao limite (n →∞), como |λ2/λ1| < 1, α1v1 = 0.
Logo α1 = 0. Voltando a equação
0(λ1)nv1 + α2(λ2)nv2 + α3(λ3)nv3 = 0, dividindo por (λ2)n:
α2v2 + α3(λ3/λ2)nv3 = 0.
Passando ao limite (n →∞), como |λ3/λ2| < 1, α2v2 = 0.
Logo α2 = 0.
Da equação 0v1 + 0v2 + α3v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,
o que implica que autovetores são LIs.
É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (veja
o livro para outra prova).
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Corolário
Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovalores
distintos então T é diagonalizável.
Para diagonalizar uma TL em dimensão n:
1 Calcular os autovalores
(raízes do polinômio caractertístico). Se n autovalores
distintos é diagonalizável.
2 Encontrar bases para autospaços
(resolver sistemas homogêneos)
3 Juntar os vetores de todas as bases: se forem
suficientes (n vetores LI’s), T é diagonalizável, caso
contrário, não.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Decomposição Espectral
Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal com
autovalores e P matriz com autovetores nas colunas,
AP = PD.
Prova: AP é uma matriz onde cada coluna é λivi . PD é
também uma matriz onde cada coluna é λivi .
Como autovetores formam base LI, P é invertível.
Assim A = PDP−1, chamada decomposição espectral de
A.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo de Matrizes Diagonalizáveis
Exemplo
A =
[ −2 2
0 2
]
. A =
 3 1 −20 7 4
0 0 2
. A =
 5 0 01 −4 6
2 0 2
.
A =

1 0 1 2
3 5 3 4
0 0 7 3
0 0 02
.
TODAS possuem no. autovalores distintos iguais a
dimensão da matriz.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
Encontre a decomposição espectral de
A =
 3 1 −2−2 0 4
0 0 2
.
Autovalores são 1 e 2. Temos que calcular autoespaços
para saber se é diagonalizável!
Base do autoespaço do 2: v1 = (2,0,1) e v2 = (−1,1,0).
Base do autoespaço do 1: w = (1,−2,0).
Três autovetores LI’s: É diagonalizável.
A = PDP−1 com P =
[
v1 v2 w
]
D =
 2 2
1
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
Ou, A = PDP−1 com P =
[
w v1 v2
]
D =
 1 2
2
.
Ou, A = PDP−1 com P =
[
v1 w v2
]
D =
 2 1
2
.
Ou, A = PDP−1 com P =
[
v2 w v1
]
D =
 2 1
2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
Encontre a decomposição espectral de
A =
 3 −1 01 1 0
1 0 −1
.
Autovalores são −1 e 2. Temos que calcular autoespaços
para saber se é diagonalizável!
Base do autoespaço do 2: (3,3,1). Base do autoespaço do
−1: (0,0,1).
Dois autovetores LI’s: Não é diagonalizável. Não possui
decomposiçãoespectral.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
Exemplo
T projeção ortogonal na reta r = 〈w〉. Determine
decomposição espectral.
Se v é perpendicular à reta r , Tv = 0 = 0v e Tw = 1w.
São autovalores 0 e 1 com autovetores associados w e v.
T = PDP−1 com P =
 ↑v
↓
↑
w
↓
 D = [ 0
1
]
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Teorema Espectral
Teorema
Se A = At (dizemos que a matriz A é simétrica) então existe
uma base ortogonal de autovetores que diagonaliza A.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Calculando potência de matrizes
Se A = PDP−1 é diagonalizável podemos calcular
facilmente Ak .
por exemplo A2 = (PDP−1)(PDP−1) =
PD(P−1P)DP−1 = PDDP−1 = PD2P−1.
calcular D2 é fácil: basta calcular o quadrado dos
elementos da diagonal.
outro exemplo A3 = (PDP−1)(PDP−1)(PDP−1) =
PD(P−1P)D(P−1P)DP−1 = PDDDP−1 = PD3P−1.
de forma geral, Ak = PDkP−1.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo de potência
Exemplo
Calcule A10 para A = 14
[
1 −3
−3 1
]
.
O autoespaço associado ao −1/2 é 〈(1,1)〉. O autoespaço
associado ao 1 é 〈(1,−1)〉.
Portanto, P =
[
1 1
1 −1
]
com D =
[ −1/2
1
]
.
Calculando a inversa de P determinamos que
P−1 = 12
[
1 1
1 −1
]
. Como D10 =
[
1/210
1
]
,calculando
o produto PD10P−1 obtemos que
A10 = 1211
[
210 + 1 1− 210
1− 210 210 + 1
]
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Raiz Quadrada de Matrizes
Podemos de forma similar calcular raiz quadrada de
matrizes diagonalizáveis.
Se A = PDP−1, definimos
√
A = P
√
DP−1, onde
√
D
significa tomar raiz dos elementos da diagonal.
(
√
A)2 = (P
√
DP−1)(P
√
DP−1) = P
√
D
√
DP−1 =
P(
√
D)2P−1 = PDP−1 = A.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
A = AT
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo de raíz quadrada
Exemplo
Calcule
√
A para A =
[ −6 −30
5 19
]
.
O autoespaço associado ao 9 é 〈(−2,1)〉. O autoespaço
associado ao 4 é 〈(−3,1)〉. Portanto, P =
[ −2 −3
1 1
]
com
D =
[
9
4
]
. Calculando a inversa de P determinamos
que P−1 =
[
1 3
−1 −2
]
. Como
√
D =
[
3
2
]
, calculando
o produto P
√
DP−1 =
√
A obtemos que
B =
√
A =
[
0 −6
1 5
]
.
Verifique diretamente que B2 = A.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 33
	Autovalores e Autovetores
	Determinante de Matriz bloco-triangular
	Motivando com Geometria
	Definição
	Calculando
	Diagonalização
	Teorema Espectral: A=AT
	Potência/Exponencial de Matriz