aulas Lógica

Prévia do material em texto

1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
6 
 
 
7 
 
 
8 
 
 
9 
 
 
10 
 
 
11 
 
 
12 
 
 
13 
 
 
14 
 
 
15 
 
 
16 
 
 
17 
 
 
18 
 
 
19 
 
 
 
20 
 
 
 
Você sabe o que é tautologia? 
 
21 
 
 
 
 
 
22 
 
Uma proposição cujo valor lógico é a falsidade (F) é representada por se p então q, no caso em que p é 
verdadeira e q é falsa e, nos demais casos, a verdade (V). 
 
Uma proposição cujo valor lógico é a verdade (V) é representada por “p se e somente se q”, quando p e q são 
ambas verdadeiras ou ambas falsas e, nos demais casos, a falsidade (F). 
 
 
23 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Agora chegou o momento mais simples. O que é a proposição composta chamada de contingência? 
 
Que tal você tentar? Começaremos a próxima aula apresentando essas duas tabelas que, com certeza, 
coincidirá com a sua! E, logo depois, trataremos da implicação lógica. Até breve! 
 
 
 
25 
 
 
 
Estamos de volta com as duas tabelas da última aula. Veja: 
Na tabela abaixo temos uma contingência, pois a última coluna é constituída de valores lógicos V e F, isto é, não 
é nem uma tautologia, nem uma contradição. 
 
Vamos à proposição abaixo: 
 
26 
 
 
Você já deve ter percebido que tudo fica mais simples quando você constrói seu próprio conhecimento, não? 
Nós estamos, apenas, ajudando você caminhar em direção ao sucesso. 
IMPLICAÇÃO LÓGICA 
Uma proposição P (p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q (p,q,r,...), se Q (p,q,r,......) 
é verdadeira (V) todas as vezes que P (p,q,r,.....) é verdadeira (V). 
Vamos construir, em uma mesma tabela, as proposições p q, p q, p q. 
Observe que destacamos em negrito, na primeira linha da tabela, os primeiros elementos das colunas 3, 4 e 5. 
Claro que nós temos o objetivo de reforçar o fato de que a proposição p q só é verdadeira na primeira linha e 
que as outras duas proposições "p q" e "p q" acompanham o valor lógico, ou seja, também são 
verdadeiras. Isso significa que a primeira proposição implica cada uma as outras duas. 
 
Podemos escrever, da seguinte forma, o que foi mencionado na tela anterior: 
 
27 
 
 
As mesmas Tabelas Verdade também demonstram as importantes Regras de Inferência: 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
Leia com atenção as principais regras de implicação. 
 
29 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
Olá! Depois de uma pequena pausa, estamos de volta na certeza de que você, a cada aula, constrói seu 
conhecimento com mais entusiasmo e facilidade. Voltemos, então, aos dois exercícios da aula passada. 
 
 
31 
 
 
 
Pronto! Acreditamos que esse é o momento de superarmos mais uma etapa. Então, agora vamos definir 
EQUIVALÊNCIA LÓGICA. 
 
Mas, atenção para não confundir a Implicação Lógica com a Equivalência Lógica. 
Uma proposição P(p,q,r,....) é logicamente equivalente ou simplesmente equivalente a uma proposição 
Q(p,q,r,.....) se as Tabelas Verdade de ambas as proposições são rigorosamente iguais. 
 
Utilizaremos, para indicar tal fato, a notação P(p,q,r,....) Q(p,q,r,.....). Então, você já concluiu que, se as duas 
proposições forem ambas tautológicas ou ambas contradições, elas são equivalentes. 
 
Você, cada vez mais, domina os conteúdos e isso nos motiva ainda mais, a continuar nessa jornada solidária em 
busca do saber. 
 
32 
 
 
Exemplo 1: Regra da dupla negação: as proposições ~ ~p e p são equivalentes. Para demonstrar tal fato, basta 
mostrarmos que ambas as proposições apresentam a mesma Tabela Verdade. Logo: 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
Já estamos nos aproximando do término desta aula. Rápido, não? Mas, antes, vejamos mais uma importante 
Equivalência Lógica. 
 
 
Exemplo 6: Na tabela abaixo, mostramos que a bicondicional e a conjunção são logicamente equivalentes. 
Assim, chegamos ao término de mais uma etapa no nosso processo de aquisição de conhecimento. Porém, logo 
estaremos juntos novamente. Você deve estar se perguntando: “E meus exercícios?” Evidentemente que não 
nos esquecemos de você, em nenhum momento, dessa jornada. Deixaremos os exercícios propostos e, na 
próxima aula, faremos os comentários sobre os mesmos. Então, vamos lá! 
Para a próxima aula: demonstre por Tabelas Verdades as seguintes equivalências: 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
Olá! Estamos de volta. Vamos corrigir os exercícios que ficaram da última aula. 
 
 
Mais uma vez, mostraremos que as Tabelas Verdade são idênticas. 
 
37 
 
 
Temos certeza de que você fez corretamente o seu dever de casa e, mais do que isso, podemos sentir que seu 
trabalho está rendendo dividendos. 
 
Tenha confiança no que está aprendendo e no seu futuro. 
Iniciaremos, neste momento, uma breve abordagem dos conceitos de Tautologia e Equivalência Lógica. Para 
isso, enunciaremos um teorema e deixaremos a demonstração para que você pense um pouco. 
 
Logo, podemos depreender que toda equivalência lógica corresponde a uma bicondicional tautológica e vice-
versa. 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
 
Acreditamos que já está na hora de organizar as idéias. Olhando a tabela, podemos notar duas equivalências. 
 
Você deve estar ansioso para verificar se está entendendo esta aula, certo? Então, a melhor maneira é propor 
um exercício para que você possa se autoavaliar. Vamos lá? Confiamos em você! 
 
Determine. 
 
Observe a resolução: 
 
40 
 
 
Resolveu as questões com facilidade? Esperamos que sim. Para que você possa se aperfeiçoar, cada vez mais, 
proporemos uma série de exercícios. 
Devemos, sempre, buscar algo mais e, portanto, proporemos uma nova série de exercícios. 
 
Determine: 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
Agora, vamos dar uma pausa para propor os exercícios pelos quais começaremos nosso próximo encontro. 
 
 
 
 
43 
 
 
 
Introdução 
 
A álgebra booleana utiliza variáveis e constantes formando um conjunto discreto e finito. Os valores das 
variáveis e constantes podem assumir somente dois valores: Sim/não, verdade/falso ou 1/0. 
 
 
44 
 
 
 
 
 
45 
 
 
O operador AND aplicado em A e B é representado pelo símbolo A·B.O resultado da aplicação desse operador 
sobre variáveis booleanas é igual a 1 somente se todas as variáveis forem iguais a 1. Caso contrário, o resultado 
é 0. O operador AND é conhecido como produto lógico. 
 
O operador OR aplicado em A e B é representado pelo símbolo A+B. O resultado da aplicação desse operador 
sobre variáveis booleanas é igual a 1 se pelo menos uma das variáveis for igual a 1. Caso contrário, o resultado é 
0. O operador OR é conhecido como soma lógica. 
 
46 
 
 
Na lógica Booleana, o 0 (zero) representa falso, enquanto o 1 (um) representa verdadeiro. Assim, podemos 
construir tabelas verdades utilizando os dígitos 0 e 1. 
Veja o exemplo: 
 
Noções iniciais de Portas Lógicas 
 
Para se trabalhar com os valores 0 e 1, V e F e torná-los algo que possa ser aplicado, precisamos utilizar as 
chamadas Portas Lógicas. 
Noções iniciais de Portas Lógicas 
 
Imagine que uma porta lógica é uma máquina que possui entradas e saídas. Os bits entram, são processados de 
acordo com a função da máquina em questãoe saem em forma de resultado. 
 
47 
 
 
Noções iniciais de Portas Lógicas 
 
A porta lógica NOT está associada ao operador NOT. Ela é como inversor, porque inverte o bit de entrada ou, 
ainda, se o bit de entrada for um, o bit de saída será zero e vice-versa. 
 
Noções iniciais de Portas Lógicas 
 
A porta lógica AND está associada ao operador AND. Ela possui dois bits de entrada e um de saída. Para que o 
bit de saída seja verdadeiro (valor 1), ambos os bits de entrada devem ser verdadeiros. 
 
48 
 
 
Noções iniciais de Portas Lógicas 
 
A porta lógica OR está associada ao operador OR e pretende indicar escolha. A porta OR possui dois bits de 
entrada e um de saída. Para que o bit de saída tenha o valor um (verdadeiro), pelo menos um dos bits de 
entrada precisa ser verdadeiro. 
 
 
 
49 
 
 
 
 
Nosso principal objetivo é a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é 
a CONCLUSÂO e os demais, as premissas. 
Olá! Estamos de volta para recomeçar nosso trabalho. Conforme combinamos iniciaremos essa aula pela 
correção dos dois exercícios que ficaram. 
Então, vamos retomá-los. Primeiramente demonstraremos a propriedade associativa da disjunção. Veja: 
 
50 
 
 
 
 
Um argumento é uma afirmação, isto é, tem um valor veritativo. 
 
51 
 
 
 
Chegou a hora de organizarmos os nossos pensamentos. Observe o exemplo. Mostraremos que é válido o 
seguinte argumento: 
 
Mostraremos que o seguinte argumento é um sofisma. 
 
 
Um princípio fundamental do raciocínio lógico afirma que: 
“Se p implica q e q implica r, então, p implica r”, isto é, o argumento seguinte é válido: 
 
52 
 
 
Mostraremos que o seguinte argumento é um sofisma. 
 
Que tal mais um exercício? Boa ideia, não? 
Determinaremos a validade do seguinte argumento. 
 
 
Então, teremos a seguinte Tabela Verdade: 
 
53 
 
 
Chegamos ao final de mais um de nossos encontros. Você deve estar se perguntando pelos exercícios. Claro que 
não nos esquecemos e retomaremos o próximo encontro com eles. 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
Como de costume, primeiramente, resolveremos os exercícios deixados na aula anterior. Em seguida, 
trataremos do nosso assunto atual: 
 
Olá! Estamos de volta. Aproveitamos para retornarmos ao final da última aula. 
 
Podemos resolver os dois exercícios construindo a Tabela Verdade. 
 
55 
 
 
 
 
Uma sentença aberta se torna uma proposição quando inserimos um nome na lacuna. Por exemplo: 
 
56 
 
 
Para isso, é necessário considerar um universo U que é o conjunto onde os elementos serão escolhidos para 
transformar a sentença aberta em proposição. 
 
Numa sentença aberta, a vaga pode ser substituída por uma letra representativa de um elemento qualquer do 
universo, que denominamos variável. 
 
Observe que não podemos classificar a sentença em verdadeira ou falsa. Sabe por quê? Porque depende do 
valor escolhido para a variável Y no universo estipulado U. Quando esse valor de Y é escolhido , podemos 
classificar a sentença em falsa ou verdadeira. Veja um exemplo: 
 
 
57 
 
 
 
Podemos, ainda, considerar uma proposição aberta como uma pergunta. 
 
“Qual o valor ou os valores da variável que tornam a sentença aberta uma proposição verdadeira? 
 
Considere as sentenças abertas em Z. 
 
58 
 
 
 
 
 
Podemos chamar de conjunto solução de uma sentença aberta p (x) em um conjunto U. 
 
O conjunto de todos os elementos pertencentes ao universo que tornam a sentença p(x) em proposição 
verdadeira. 
 
59 
 
Vamos arrumar nossas ideias. Determinaremos, neste exemplo, o conjunto-solução em N (conjunto dos 
números naturais) de cada um das sentenças abertas seguintes. 
 
 
 
Estamos chegando ao fim de mais uma das nossas aulas, mas antes deixaremos alguns exercícios para você 
praticar. 
 
 
60 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Eventualmente, precisamos quantificar sentenças abertas. Dessa forma, nesta aula, faremos um breve estudo 
sobre os quantificadores e aprenderemos a negar uma proposição com os mesmos. 
 
61 
 
Olá! Estamos de volta para mais um dos nossos encontros. Temos certeza de que você está aproveitando o 
máximo. 
 
A construção do conhecimento em forma de parceria e com responsabilidade tem sido satisfatória e, por isso, 
acreditamos que estamos de parabéns. Nossa satisfação está diretamente vinculada ao seu sucesso! 
Voltemos ao final do nosso último encontro. 
 
Determinar o conjunto-solução em Z (conjunto dos números inteiros) de cada uma das sentenças abertas 
seguintes. 
 
 
 
 
62 
 
 
Vamos, agora, iniciar nossa aula de Quantificadores. Você está pronto? Claro que sim. Então, vamos lá! 
 
 
 
 
 
 
63 
 
 
 
 
 
Claro que os quantificadores podem ser precedidos do símbolo de negação. Por exemplo, no universo H dos 
seres humanos, as expressões: 
 
 
64 
 
 
Exemplo 1: 
 
A negação da proposição: “Todo morador do condomínio é boa pessoa” é a proposição. 
 
 
 
65 
 
Exemplo 2: 
 
A negação da proposição: “Existe pelo menos um aluno da turma que está reprovado” é a proposição: 
 
Exemplo 2: 
 
A negação da proposição: “Existe pelo menos um aluno da turma que está reprovado” é a proposição. 
 
 
Vamos dar uma olhada no que vem a ser um contraexemplo. 
 
Em lógica, sempre que desejamos mostrar que algo nem sempre é verdade, basta apresentar um exemplo em 
que o fato não acontece. 
 
 
66 
 
Vamos apresentar alguns exemplos: 
 
Vamos clarear nossas idéias! 
 
Sendo R o conjunto dos números reais, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes 
proposições: 
 
 
 
 
 
 
67