Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Primeira prova de Calculo II 06/10/2016 Name: 1. Determine a a´rea delimitada pelo gra´fico das equac¸o˜es 2y2 = x+ 4 e y2 = x. Resoluc¸a˜o: A regia˜o esta´ esboc¸ada abaixo. Os pontos de intersec¸a˜o sa˜o (4, 2) e (4− 2). Deste modo a a´rea podera´ ser calculada pela integral ∫ 2 −2[y 2 − (2y2 − 4)dy] que e´ igual a 32/3. 2. Escreva a integral que representa o volume do so´lido de revoluc¸a˜o formado quando a regia˜o y = x2 e y = x+ 2 em torno da reta x = 3. Resoluc¸a˜o: Os pontos de intersec¸a˜o sa˜o (−1, 1) e (2, 4). Deste modo, utilizando por exemplo o me´todo das cascas cil´ındricas o volume sera´ dado por ∫ 2 −1 2pi(3− x)(x+ 2− x2)dx. 3. Determine a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva x = 1/3(y2 + 2)3/2, 1 < y < 2. Resoluc¸a˜o: A a´rea sera´ dada pela integral ∫ 2 1 2piy √ 1 + (dxdy ) 2dy = ∫ 2 1 2piy √ 1 + y4 + y2dy = ∫ 2 1 2piy √ (y2 + 1)2dy =∫ 2 1 2pi(y3 + y)dy = 21pi/2. 4. Calcule a integral ∫ 0 −1 e1/x x3 dx. Resoluc¸a˜o: Integrando por partes com v = 1/x e u′ = e 1/x x2 obtemos: ∫ 0 −1 e1/x x3 dx = − e 1/x x |0−1−∫ 0 −1 e1/x x2 dx=− e 1/x x |0−1+ e1/x|0−1 = e1/x(1 − 1/x)|0−1 = lim t→0− e1/t(1 − 1/t) − 2e−1. Mas lim t→0− e1/t = 0 e lim t→0− (1−1/t) = −∞. Enta˜o reescrevendo lim t→0− e1/t(1−1/t) = lim t→0− (1−1/t) e−1/t e usando L’hopital obtemos: lim t→0− (1−1/t) e−1/t = limt→0− 1/t2 e−1/t t2 = lim t→0− e1/t = 0. Portanto:∫ 0 −1 e1/x x3 dx = −2/e.
Compartilhar