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1ª Prova Resolvida Cálculo II - Prof. Geraldo Ferreira - UFOP

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Primeira prova de Calculo II 06/10/2016
Name:
1. Determine a a´rea delimitada pelo gra´fico das equac¸o˜es 2y2 = x+ 4 e y2 = x.
Resoluc¸a˜o: A regia˜o esta´ esboc¸ada abaixo. Os pontos de intersec¸a˜o sa˜o (4, 2) e (4− 2). Deste modo
a a´rea podera´ ser calculada pela integral
∫ 2
−2[y
2 − (2y2 − 4)dy] que e´ igual a 32/3.
2. Escreva a integral que representa o volume do so´lido de revoluc¸a˜o formado quando a regia˜o y = x2 e
y = x+ 2 em torno da reta x = 3.
Resoluc¸a˜o: Os pontos de intersec¸a˜o sa˜o (−1, 1) e (2, 4). Deste modo, utilizando por exemplo o
me´todo das cascas cil´ındricas o volume sera´ dado por
∫ 2
−1 2pi(3− x)(x+ 2− x2)dx.
3. Determine a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva x = 1/3(y2 + 2)3/2, 1 < y < 2.
Resoluc¸a˜o: A a´rea sera´ dada pela integral
∫ 2
1
2piy
√
1 + (dxdy )
2dy =
∫ 2
1
2piy
√
1 + y4 + y2dy =
∫ 2
1
2piy
√
(y2 + 1)2dy =∫ 2
1
2pi(y3 + y)dy = 21pi/2.
4. Calcule a integral
∫ 0
−1
e1/x
x3 dx.
Resoluc¸a˜o: Integrando por partes com v = 1/x e u′ = e
1/x
x2 obtemos:
∫ 0
−1
e1/x
x3 dx = − e
1/x
x |0−1−∫ 0
−1
e1/x
x2 dx=− e
1/x
x |0−1+ e1/x|0−1 = e1/x(1 − 1/x)|0−1 = lim
t→0−
e1/t(1 − 1/t) − 2e−1. Mas lim
t→0−
e1/t = 0 e
lim
t→0−
(1−1/t) = −∞. Enta˜o reescrevendo lim
t→0−
e1/t(1−1/t) = lim
t→0−
(1−1/t)
e−1/t e usando L’hopital obtemos:
lim
t→0−
(1−1/t)
e−1/t = limt→0−
1/t2
e−1/t
t2
= lim
t→0−
e1/t = 0. Portanto:∫ 0
−1
e1/x
x3 dx = −2/e.

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