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Cálculo II Professor: Armando Peixoto A Integral Indefinida Definição: uma função F (maiúscula) é chamada uma antiderivada ou uma primitiva de uma função f (minúscula) em um intervalo I , se ( ) ( ),F x f x x I . O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação à variável x, que denotaremos por ( )f x dx . A grafia é o símbolo de uma integral (que tem o formato de uma letra S alongada). A função f é o integrando de uma integral, x é a variável de integração e dx é o elemento de integração (elemento infinitesimal – a diferencial que serve para identificar a variável de integração). Simbolicamente podemos escrever: ( ) ( )f x dx F x C , se ( ) ( ), ( )F x f x x D f . A constante C é a constante de integração ou constante arbitrária. A expressão acima deve ser lida como “a integral indefinida de f em relação à x é ( )F x C ”. Pela definição acima, uma vez determinada uma primitiva F de uma função f, as outras primitivas diferem dela por uma constante. Exemplo: podemos garantir que a função 3 2( ) 4 5F x x x é uma primitiva da função 2( ) 12 2f x x x , pois a derivada de F que é dada por 2( ) 12 2 dF F x x x dx é igual à função f. Considere, agora, a função 3 2( ) 4 17G x x x , então podemos dizer que G também é uma primitiva de f, pois 2( ) 12 2G x x x . Ademais, qualquer função cuja expressão é dada por 3 24x x C , onde C , é uma primitiva de f. Proposição 1: se F e G são duas primitivas da função f, então a diferença entre elas é uma constante. Proposição 2: se F é uma primitiva qualquer de f em um intervalo I , então a primitiva mais geral de f em I é dada por ( )F x C , C . Propriedades: P1) A derivada da integral de uma função é a própria função: ( ) ( )d f x dx f x dx . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d df x dx F x C F x F x f x dx dx dx ou ainda ( ) ( )d f x dx f x dx . P2) A constante multiplicativa pode ser retirada do integrando: ( ) ( )k f x dx k f x dx . P3) A integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais: ( ) ( ) ( ) ( )c f x k g x dx c f x dx k g x dx . Caro leitor, lembre-se que no Ensino Básico a subtração é a operação inversa da adição, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Da mesma forma, temos que a radiciação é a operação inversa da potenciação, e o logaritmo nada mais é que a operação inversa da exponencial. Exemplos: a) 27 –15 = 12, pois 12+15=27 b) 81 ÷ 3 = 27, pois 27x3=81 c) 33 8 2, pois 2 8 d) 5 2log 32 5, pois 2 32 Como pode ser visto pelos exemplos acima, a Matemática necessita das operações inversas! Vamos estudar agora mais uma operação inversa, chamada de integral indefinida. Ela é a operação inversa da derivada. Assim como o símbolo é utilizado para radiciação, o símbolo para a integral indefinida é ∫. Exemplo 1: a) 22x dx x , pois 2( ) 2x x . Quer dizer, a função 2( )F x x é uma primitiva da função ( ) 2f x x . b) cos( ) sen( )x dx x , pois sen( ) cos( )x x . c) 2 3 2(3x 6x 4) x 3 4dx x x , pois 3 2 23 4 3 6 4x x x x x . Exemplo 2: use o conceito de primitiva para verificar que as seguintes integrais indefinidas estão corretas, ou seja, derive o 2º membro para ver que ele coincide com o integrando. (a) 2 3 2(6x 4x 5) 2 2 5dx x x x C (b) 3 2(x 1) 3 x xxe dx e x C (c) sen(2 ) sen(3 ) (cos(2 ) cos(3 )) 2 3 x x x x dx C (d) 1 2 ( ) 2ln( ) 2 dx x x C xx Exemplo 3: use o conceito de primitiva para verificar se as seguintes integrais indefinidas estão corretas, ou seja, derive o 2º membro para ver se ele é igual ao integrando. (a) 4 3 2 3 2(x 3x 2 ) 4 x x dx x x C (b) 2 2 2 5 5 ( ) 2 x x ee dx C xx (c) (cos(5 ) 3) sen(5 ) 3x dx x x C (d) cos( ) sen( ) cos( )x x dx x x x C Exemplo 4: calcule as integrais indefinidas a seguir. (a) ( 1)x dx (b) 3x dx (c) 5(3 2 4)xx e dx (d) xdx Tabela de Integrais Indefinidas Básicas 1) dx x C 2) 1 , onde 1 1 n n xx dx C n n 3) ln dx x C x 4) , onde 0 1 ln x x aa dx C a a 5) x xe dx e C 6) sen cosx dx x C 7) cos senx dx x C 8) 2sec tgx dx x C 9) 2cosec cot gx dx x C 10) tg ln cosx dx x C 11) sec ln sec tgx dx x x C 12) cot g ln senx dx x C 13) sec tg secx x dx x C 14) cosec cot g cosecx x dx x C 15) 2 arctg 1 dx x C x 16) 2 2 1 arctg dx x C a aa x 17) 2 arc sen 1 dx x C x 18) 2 2 1 ln 2 dx x a C a x ax a 19) 2 2 arcsen dx x C aa x 20) 2 2 2 2 ln dx x x a C x a 21) 2 2 2 2 2 arcsen 2 2 x a x a x dx a x C a 22) 2 2 2 2 2 2 2ln 2 2 x a a x dx a x x a x C 23) 2 2 2 2 2 2 2ln 2 2 x a x a dx x a x x a C Exercícios: Calcule as seguintes integrais indefinidas: 1) 2 3 1 2 x dx xx 2) 3 2 2( )a bx x dx 3) 3 cos3 sen 3 x dx x 4) ( 1)( 1)x x x dx 5) com 2 n dx n x 6) tg 2 2 cos x dx x 7) 2 2 (arcsen ) 1 x dx x 8) 1 12 tg(2 )x x dx 9) senx xe e dx 10) 3 2 x x dx x 11) 3 4 2( 1)x x dx 12) 3 2 3xdx 13) 2 1 2 x dx x x 14) 2( )x x x dx 15) 3 1 1 x dx x 16) 4 41 3 x x e dx e 17) 2 cos2 sen2 x x dx x x 18) 3tg xdx 19) sen2 cos2 cos2 x x dx x 20) 2 1 cos sen x dx x 21) 2 4 x x e dx e 22) 3sen cosx xdx 23) 3 xx e dx 24) ln(ln )x dx x 25) cosxe xdx 26) 5 cos4xe xdx 27) 2 senx xdx 28) 3sen cos x dx x 29) ( 3 1)cos5x xdx 30) 15 x dx 31) 2cosx xdx 32) 5 cos sen x dx x 33) 21 xdx x 34) cos(ln )x dx x 35) 3sen xdx 36) sen cosxe xdx 37) 2 8 20 dx x x 38) 2 2 2 15 x dx x x 39) 22 3 3 1 x x dx x Aplicações das Integrais Indefinidas 40) Sabendo-se que o Radium (Ra) se decompõe naturalmente em proporção direta à quantidade presente, e leva 250 anos para decompor 10% da quantidade inicial de 10mg. Quantos anos levarão para decompor a metade da quantidade inicial? 41) O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa taxa proporcional à quantidade presente. Se 100mg deste material são reduzidos a 82,04mg em uma semana, determine (a) a expressão que modela este problema para a quantidade presente num instante t, (b) e o tempo necessário (em dias) para a massa decair à metade do seu valor original. 42) Num tanque existem 100 litros de água que contém 0,7 kg de sal dissolvidos. A água fresca (pura) entra no tanque à razão de 2 l/min, e a mistura, que permanece uniforme após agitada, sai à razão de 3 l/min. Quantos quilos de sal existem no tanque após 1 h? 43) A lei de arrefecimento de Isaac Newton estabelece que a taxa segundo a qual decresce a temperatura de um corpo que está resfriando e a taxa segundo a qual cresce a de um corpo que está aquecendo são proporcionais à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Use este resultado para modelar o seguinte problema: um copo de água a uma temperatura de 95°C está colocado numa sala com temperatura constante de 21°C. Quantos minutos levarão para a água atingir uma temperatura de 51°C se ela resfria desde o momento inicial para 85°C em um minuto. Aproxime o resultado final com apenas duas casas decimais. 44) Aplicação da lei do resfriamento de Newton: se um corpo está no ar a uma temperatura de 35°C eo corpo esfria de 120°C para 60°C em 40 min, determine a temperatura do corpo depois de 100 min. 45) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1h observam- se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4h, 3000 núcleos. Determine (a) uma expressão para calcular o número de núcleos presentes na cultura em um tempo arbitrário t, e (b) o número de núcleos inicialmente existentes na cultura. 46) Um grupo de Biólogos, através de uma pesquisa, estima-se que a taxa de crescimento do número de certa espécie de tartaruga cresce a uma taxa dada pela expressão 2( ) ( ) 6 6 4 dQ Q t t t t dt daqui a t anos pelos próximos 40 anos. Sabendo-se que no momento há 1000 tartarugas, determine o número de tartarugas daqui a 20 e 30 anos. 47) A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas é dada por: 2 100 10 ( ) 5000 1 dp dt t p t calculadoras/semana. Sabendo-se que na 1ª semana a Alabama Instruments Company fabricou 10000 calculadoras, então determine a produção da 7ª semana. 48) Determinar uma primitiva F(x) da função 2 3( )f x x x , de tal forma a satisfazer a condição (1) 1F . 49) Podemos analisar a passagem de corrente elétrica (i) em função do tempo (t) em um circuito RL através da seguinte função primitiva: 1( ) ( ( ) ) R R L L t t L i i t e E t e dt C . Esta função representa geometricamente uma família de curvas em 2 , em que C é uma constante arbitrária. Determine a corrente elétrica, em ampères (A), quando 5t s , sabendo-se que o circuito RL contém um resistor com uma resistência de R = 4 ohms ( ), um indutor com uma indutância de L = 2 henrys (H), uma força eletromotriz dada pela função ( )E t t e o valor inicial (0) 0i . 50) Resolva as seguintes integrais indefinidas: a) 3 1 4 x x dx x b) 1 3(2 3) xx e dx c) sen( ) cos( ) ln(cos( ))x x x dx d) 2 ln( ) 4 ln ( ) x dx x x
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