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Cálculo Integral 1º roteiro de estudo

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Cálculo II 
Professor: Armando Peixoto 
 
A Integral Indefinida 
Definição: uma função 
F
 (maiúscula) é chamada uma antiderivada ou uma primitiva de uma função 
f
(minúscula) em um intervalo 
I 
, se 
( ) ( ),F x f x x I    
. 
O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida de f em relação à variável x, que denotaremos por 
( )f x dx
. A grafia 

é o símbolo de uma integral (que tem o formato de uma letra S alongada). A função f é o 
integrando de uma integral, x é a variável de integração e dx é o elemento de integração (elemento infinitesimal – a 
diferencial que serve para identificar a variável de integração). Simbolicamente podemos escrever: 
( ) ( )f x dx F x C 
, se 
( ) ( ), ( )F x f x x D f   
. 
 A constante C é a constante de integração ou constante arbitrária. A expressão acima deve ser lida como “a 
integral indefinida de f em relação à x é 
( )F x C
”. 
Pela definição acima, uma vez determinada uma primitiva F de uma função f, as outras primitivas diferem dela 
por uma constante. 
Exemplo: podemos garantir que a função 
3 2( ) 4 5F x x x  
 é uma primitiva da função 
2( ) 12 2f x x x 
, 
pois a derivada de F que é dada por 
2( ) 12 2
dF
F x x x
dx
   
 é igual à função f. Considere, agora, a função 
3 2( ) 4 17G x x x  
, então podemos dizer que G também é uma primitiva de f, pois 
2( ) 12 2G x x x  
. Ademais, 
qualquer função cuja expressão é dada por 
3 24x x C 
, onde 
C
, é uma primitiva de f. 
 
Proposição 1: se F e G são duas primitivas da função f, então a diferença entre elas é uma constante. 
 
Proposição 2: se F é uma primitiva qualquer de f em um intervalo 
I 
, então a primitiva mais geral de f em 
I 
 é dada por 
( )F x C
, 
C
. 
 
Propriedades: 
P1) A derivada da integral de uma função é a própria função: 
 ( ) ( )d f x dx f x
dx

. 
   ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d df x dx F x C F x F x f x
dx dx dx
    
 ou ainda 
 ( ) ( )d f x dx f x dx
. 
 
P2) A constante multiplicativa pode ser retirada do integrando: 
( ) ( )k f x dx k f x dx   
. 
P3) A integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais: 
 ( ) ( ) ( ) ( )c f x k g x dx c f x dx k g x dx        
. 
 
Caro leitor, lembre-se que no Ensino Básico a subtração é a operação inversa da adição, assim como a divisão 
é a operação inversa da multiplicação. Da mesma forma, temos que a radiciação é a operação inversa da potenciação, 
e o logaritmo nada mais é que a operação inversa da exponencial. 
Exemplos: 
a) 27 –15 = 12, pois 12+15=27 b) 81 ÷ 3 = 27, pois 27x3=81 
c) 
33 8 2, pois 2 8 
 d) 
5
2log 32 5, pois 2 32 
 
 
Como pode ser visto pelos exemplos acima, a Matemática necessita das operações inversas! 
 
Vamos estudar agora mais uma operação inversa, chamada de integral indefinida. Ela é a operação inversa 
da derivada. Assim como o símbolo é utilizado para radiciação, o símbolo para a integral indefinida é ∫. 
 
Exemplo 1: 
a) 
22x dx x
, pois 
2( ) 2x x 
. Quer dizer, a função 
2( )F x x
 é uma primitiva da função 
( ) 2f x x
. 
b) 
cos( ) sen( )x dx x
, pois 
 sen( ) cos( )x x 
. 
c) 
2 3 2(3x 6x 4) x 3 4dx x x    
, pois 
 3 2 23 4 3 6 4x x x x x    
. 
 
Exemplo 2: use o conceito de primitiva para verificar que as seguintes integrais indefinidas estão corretas, ou seja, 
derive o 2º membro para ver que ele coincide com o integrando. 
(a) 
2 3 2(6x 4x 5) 2 2 5dx x x x C     
 (b) 3
2(x 1) 
3
x xxe dx e x C     
 
(c) 
sen(2 ) sen(3 )
(cos(2 ) cos(3 ))
2 3
x x
x x dx C   
 (d) 
1 2
( ) 2ln( )
2
dx x x C
xx
   
 
Exemplo 3: use o conceito de primitiva para verificar se as seguintes integrais indefinidas estão corretas, ou seja, 
derive o 2º membro para ver se ele é igual ao integrando. 
(a) 4
3 2 3 2(x 3x 2 ) 
4
x
x dx x x C     
 (b) 2
2
2
5 5
( )
2
x
x ee dx C
xx
   
 
(c) 
(cos(5 ) 3) sen(5 ) 3x dx x x C   
 (d) 
cos( ) sen( ) cos( )x x dx x x x C  
 
Exemplo 4: calcule as integrais indefinidas a seguir. 
(a) 
( 1)x dx
 (b) 
3x dx
 
(c) 
5(3 2 4)xx e dx 
 
(d) xdx 
 
 
Tabela de Integrais Indefinidas Básicas 
 
1) 
dx x C 
 
2) 1
, onde 1
1
n
n xx dx C n
n

   

 
3) 
ln
dx
x C
x
 
 4) 
 , onde 0 1
ln
x
x aa dx C a
a
   
 
5) 
x xe dx e C 
 6) 
sen cosx dx x C  
 
7) 
cos senx dx x C 
 8) 
2sec tgx dx x C 
 
9) 
2cosec cot gx dx x C  
 10) 
tg ln cosx dx x C  
 
11) 
sec ln sec tgx dx x x C  
 12) 
cot g ln senx dx x C 
 
13) 
sec tg secx x dx x C  
 14) 
cosec cot g cosecx x dx x C   
 
15) 
2
arctg
1
dx
x C
x
 


 16) 
2 2
1
arctg
dx x
C
a aa x
 


 
17) 
2
arc sen
1
dx
x C
x
 


 18) 
2 2
1
ln
2
dx x a
C
a x ax a

 


 
19) 
2 2
arcsen
dx x
C
aa x
 


 20) 
2 2
2 2
ln
dx
x x a C
x a
   


 
21) 2
2 2 2 2 arcsen
2 2
x a x
a x dx a x C
a
 
     
 

 
22) 2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x a
a x dx a x x a x C      
 
23) 2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C      
 
 
Exercícios: 
 
Calcule as seguintes integrais indefinidas: 
 
1) 
2
3
1 2
x dx
xx
 
  
 

 2) 
3 2 2( )a bx x dx
 3) 
3
cos3
sen 3
x
dx
x

 
4) 
( 1)( 1)x x x dx  
 5) 
 com 2
n
dx
n
x

 6) tg
2
2
cos
x
dx
x

 
7) 2
2
(arcsen )
1
x
dx
x

 8) 
1 12 tg(2 )x x dx 
 9) 
senx xe e dx
 
10) 3
2
x x
dx
x


 11) 
3 4 2( 1)x x dx
 12) 
3 2 3xdx
 
13) 
2
1
2
x
dx
x x



 14) 
2( )x x x dx
 15) 3 1
1
x
dx
x


 
16) 4
41 3
x
x
e
dx
e

 17) 
2
cos2
sen2
x x
dx
x x



 18) 
3tg xdx
 
19) 
sen2 cos2
cos2
x x
dx
x


 20) 
2
1 cos
sen
x
dx
x


 21) 2
4
x
x
e
dx
e

 
22) 
3sen cosx xdx
 23) 
3 xx e dx
 24) 
ln(ln )x
dx
x
 
25) 
cosxe xdx
 26) 
5 cos4xe xdx
 27) 
2 senx xdx
 
28) 3sen
cos
x
dx
x

 29) 
( 3 1)cos5x xdx 
 30) 
15 x dx
 
31) 
2cosx xdx
 32) 
5
cos
sen
x
dx
x

 33) 
21
xdx
x

 
34) 
cos(ln )x
dx
x
 35) 
3sen xdx
 
36) 
sen cosxe xdx
 
 
37) 
2 8 20
dx
x x 

 38) 2
2 2 15
x
dx
x x 

 39) 22 3 3
1
x x
dx
x
 

 
 
 
Aplicações das Integrais Indefinidas 
 
40) Sabendo-se que o Radium (Ra) se decompõe naturalmente em proporção direta à quantidade presente, e leva 250 
anos para decompor 10% da quantidade inicial de 10mg. Quantos anos levarão para decompor a metade da 
quantidade inicial? 
 
41) O isótopo radioativo tório 234 desintegra-se numa taxa proporcional à quantidade presente. Se 100mg deste 
material são reduzidos a 82,04mg em uma semana, determine (a) a expressão que modela este problema para a 
quantidade presente num instante t, (b) e o tempo necessário (em dias) para a massa decair à metade do seu valor 
original. 
 
42) Num tanque existem 100 litros de água que contém 0,7 kg de sal dissolvidos. A água fresca (pura) entra no tanque 
à razão de 2 l/min, e a mistura, que permanece uniforme após agitada, sai à razão de 3 l/min. Quantos quilos de sal 
existem no tanque após 1 h? 
 
43) A lei de arrefecimento de Isaac Newton estabelece que a taxa segundo a qual decresce a temperatura de um corpo 
que está resfriando e a taxa segundo a qual cresce a de um corpo que está aquecendo são proporcionais à 
diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Use este resultado para modelar o 
seguinte problema: um copo de água a uma temperatura de 95°C está colocado numa sala com temperatura 
constante de 21°C. Quantos minutos levarão para a água atingir uma temperatura de 51°C se ela resfria desde o 
momento inicial para 85°C em um minuto. Aproxime o resultado final com apenas duas casas decimais. 
 
44) Aplicação da lei do resfriamento de Newton: se um corpo está no ar a uma temperatura de 35°C eo corpo esfria de 
120°C para 60°C em 40 min, determine a temperatura do corpo depois de 100 min. 
 
45) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 1h observam-
se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4h, 3000 núcleos. Determine (a) uma expressão para calcular o 
número de núcleos presentes na cultura em um tempo arbitrário t, e (b) o número de núcleos inicialmente 
existentes na cultura. 
 
46) Um grupo de Biólogos, através de uma pesquisa, estima-se que a taxa de crescimento do número de certa espécie 
de tartaruga cresce a uma taxa dada pela expressão 
2( ) ( ) 6 6 4
dQ
Q t t t t
dt
    
 daqui a t anos pelos próximos 40 
anos. Sabendo-se que no momento há 1000 tartarugas, determine o número de tartarugas daqui a 20 e 30 anos. 
 
47) A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de 
produção dessas calculadoras após t semanas é dada por: 
 
2
100
10
( ) 5000 1
dp
dt t
p t

 
    
 
calculadoras/semana. 
Sabendo-se que na 1ª semana a Alabama Instruments Company fabricou 10000 calculadoras, então determine a 
produção da 7ª semana. 
 
 
48) Determinar uma primitiva F(x) da função 
2 3( )f x x x 
, de tal forma a satisfazer a condição 
(1) 1F 
. 
 
49) Podemos analisar a passagem de corrente elétrica (i) em função do tempo (t) em um circuito RL através da 
seguinte função primitiva: 
1( ) ( ( ) )
R R
L L
t t
L
i i t e E t e dt C

   
. Esta função representa geometricamente uma 
família de curvas em 2 , em que C é uma constante arbitrária. Determine a corrente elétrica, em ampères (A), 
quando 
5t s
, sabendo-se que o circuito RL contém um resistor com uma resistência de R = 4 ohms (

), um 
indutor com uma indutância de L = 2 henrys (H), uma força eletromotriz dada pela função 
( )E t t
 e o valor inicial 
(0) 0i 
. 
 
50) Resolva as seguintes integrais indefinidas: 
a) 3 1
4
x x
dx
x
 

 b) 
1 3(2 3) xx e dx
 c) 
sen( ) cos( ) ln(cos( ))x x x dx 
 d) 
2
ln( )
4 ln ( )
x
dx
x x


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