Lista de exercícios de álgebra linear

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Lista de Exerc´ıcio
1. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespac¸os:
(a) W1 = {x, y, z} ∈ R3;x− 2y = 0}
(b) W2 =
{(
a b
c d
)
∈M2(R); a + c = 0 e d = 0
}
(c) W3 = {A ∈M2(R);At − A = 0}
(d) W4 = {x + yt + zt2 + wt3 ∈ P3(R); y = z e x = 0}
2. Quais dos subconjuntos abaixo de P4(R) sa˜o linearmente independentes?
(a) {1, x, x2, 1 + 2x + x2}
(b) {2x, x2 + 1, x + 1, x2 − 1}
(c) {x4 + x− 1, x3 − x + 1, x2 − 1}
3. Dado o subespac¸o V = {(x, y, z) ∈ R3;x+2y+z = 0} encontre um subespac¸o
W tal que R3 = V ⊕W.
4. Determinar m para que o conjunto {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3)} de vetores
do R3 seja LI.
5. Encontre uma base para W = {p ∈ P3(R); p”(1) = 0}.
6. Ache uma base do R3 contida em {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 0, 1), (0, 1, 1)}.
7. Sejam
W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0}
e
W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x− y − z + t = 0}
subespac¸os de R4.
(a) Determine W1 ∩W2.
(b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
(c) Determine W1 + W2.
(d) W1 + W2 e´ soma direta? Justifique.
(e) W1 + W2 = R4?
8. Ache a natriz de mudanc¸a da base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)} para a
base canoˆnica do R3.
1
9. Quais das aplicac¸o˜es a seguir sa˜o lineares?
(a) T1 : R3 → R2 dada por T1(x, y, z) = (x2, y).
(b) T2 : R3 → R2 dada por T2(x, y, z) = (z, x + y).
(c) T3 : R2 →M2(R) dada por T3(x, y) =
(
x + 2y 0
1 y
)
.
(d) T4 : P3(R)→M2(R) dada por T4(xt3+yt2+zt+w) =
(
x + y y
−z z + w
)
.
(e) T5 : Pn(R) → Pn(R) dada por T5(p) = p′, sendo p′ a derivada do
polinoˆmio p.
10. Seja T : R2 → R2 uma transformac¸a˜o linear para a qual sabemos que
T (1, 1) = (2, 3) e T (0, 1) = (1, 2).
(a) Determine T (3,−2).
(b) Determine T (a, b).
11. Determine a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e
T (0,−2) = (0, 1, 0).
12. Seja A =
(
1 2
0 1
)
e T : M2(R) → M2(R) dada por T (X) = AX − XA.
Encontre o nu´cleo e a imagem de T.
13. Seja T : R3 → R3 uma transformac¸a˜o linear dada por
T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
(a) Encontre uma base para o nu´cleo de T.
(b) Encontre uma base para a imagem de T.
14. Seja T : R3 → R2 a transformac¸a˜o linear dada por
T (x, y, z) = (x + y, 2x− y + z).
Determine uma base para Ker(T ) e uma base para Im(T ).
15. Determinar uma aplicac¸a˜o linear T : R3 → R4 tal que
Im(T ) = [(1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)].
2
Respostas
1. (a) W1 =
[
(1, 1
2
, 0], (0, 0, 1)
]
.
(b) W2 =
[( −1 0
1 0
)
,
(
0 1
0 0
)]
.
(c) W3 =
[(
1 0
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)]
.
(d) W4 = [t + t
2, t3].
2. (a) Na˜o
(b) Na˜o
(c) Sim
3.
4. m 6= 0
5. {x3 − 3x2 − 3x + 5} e´ uma base de W.
6.
7. (Boldrini) 4.8 questa˜o 25
8. (M)CB =
 1 0 0−1 1 0
0 0 1
3

9. As transformac¸o˜es dos itens b, d e e sa˜o lineares e as transformac¸o˜es dos itens
a e c na˜o sa˜o lineares.
10. (a) (1,-19)
(b) (a+b,-5a+2b)
11. T (x, y) = (3x, 5x−y
2
, x)
12. Ker(T ) =
[(
1 0
0 1
)
,
(
0 1
0 0
)]
e
Im(T ) =
[(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
0 0
)]
.
13. Uma base de Ker(T ) e´ {(1, 1, 0)}. Uma base de Im(T ) e´ {(1, 0,−1), (0, 1, 0)}.
3
14. Ker(T ) = [(−1, 1, 3)]. Portanto, {(−1, 1, 3)} e´ uma base de Ker(T ). Como
Im(T ) = R2, qualquer base de R2 e´ base para Im(T ). Em particular temos
que {(1, 2), (0, 1)} e´ uma base de Im(T ).
15. Tomando T (1, 0, 0) = (0, 0, 0, 0), T (0, 1, 0) = (1, 1, 2, 1) e T (0, 0, 1) = (2, 1, 0, 1),
temos que T (x, y, z) = (y + 2z, y + z, 2y, y + z).
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