Matrizes - Apostila com exercícios

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1
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
 
 
1 MATRIZES 
 
HISTÓRICO 
 
O pai das matrizes foi Cayley que, em 1850 divulgou esse nome e iniciou a 
demonstrar sua utilidade. Elas surgiram para a resolução de Sistemas Lineares. Mas foi só há 
pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da 
sombra dos determinantes. No entanto, o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a 
Lagrange em 1790. 
O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy que as chamavam de 
tabelas. O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Sylvester ainda via as 
matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter 
vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. 
 
Definição: Chamamos de Matriz, a uma tabela organizada em linhas e colunas, denotada por 
mxnij )a(A = , onde o par de índices "ij" , representam a posição de cada elemento ija 
dentro da matriz, sendo que o índice "i" indica a qual linha pertence o elemento e "j" a 
qual coluna. O par de índices "mxn", representam o tamanho da matriz, sendo que o 
índice "m" indica a quantidade de linhas da matriz e "n" a quantidade de colunas. Toda 
matriz pode ser representada, genericamente, por: 














=
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A 
 
Indicaremos por )(M mxn ℜ o conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e com 
elementos reais. 
• Se m = n, a matriz será chamada de matriz quadrada de ordem n e representada por )(M n ℜ ou 
simplesmente nM . Matriz quadrada é aquela que tem a mesma quantidade de linhas e colunas. 
• Se m ≠ n, a matriz será chamada de matriz retangular de ordem mxn e representada por 
)(M mxn ℜ ou simplesmente mxnM . 
 2
• Se m = n = 1, a matriz representa um único elemento, ou seja, ( ) 11111x1 aaM == . Assim, todo 
número real pode ser representado por umas matriz de ordem 1x1. 
 
Exemplo (1): Escrever a matriz 3x2ij )a(A = tal que 





<−
=
>+
=
jise,ji2
jise,i
jise,j2i
a jij 
Solução: A matriz 3x2ij )a(A = é representada por: 





=
232221
131211
aaa
aaa
A . Então: 
11ia 1j11 === ; 42ia
2j
22 === , pois i = j 
0212ji2a12 =−⋅=−= ; 1312ji2a13 −=−⋅=−= ; 1322ji2a 23 =−⋅=−= , pois i < j 
3112j2ia 21 =⋅+=+= 
Portanto: 




 −
=
143
101
A 
 
1.1 Matrizes Especiais 
• Matriz Nula: é a matriz mxnO , na qual todos os seus elementos são nulos, ou seja: 












=
0...00
............
0...00
0...00
A 
• Matriz Linha: é toda matriz de ordem 1xn, ou seja: ( )n11211 a...aaA = . 
• Matriz Coluna: é toda matriz de ordem mx1, ou seja: 














=
1m
21
11
a
...
a
a
A 
• Matriz Quadrada: é toda matriz de ordem nxn, ou seja: 














=
nn2n1n
n22221
n11211
nxn
a...aa
............
a...aa
a...aa
A . Os 
elementos onde i = j formam o que chamamos de diagonal principal. 
 
• Matriz Triangular: é uma matriz quadrada, e pode apresentar dois casos; 
 3
a) Triangular Inferior: é tal que jise0a ij <= ⇒ 














=
nn2n1n
2221
11
nxn
a...aa
............
0...aa
0...0a
A 
b) Triangular Superior: é tal que jise0a ij >= ⇒ 














=
nn
n222
n11211
nxn
a...00
............
a...a0
a...aa
A 
• Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada, na qual cada 



≠
=ℜ∈∀
= jise,0
jise,x
a ij ⇒ 














=
nn
22
11
nxn
a...00
............
0...a0
0...0a
A 
• Matriz Identidade: é uma matriz quadrada, denotada por nId , na qual cada 



≠
=
= jise,0
jise,1
a ij ⇒ 












=
1...00
............
0...10
0...01
A nxn 
• Matriz Transposta: Dada uma matriz mxnij )a(A = , então sua transposta é uma matriz 
nxmji
t )a(A = . É a matriz tal que jiij aa = . Assim, dada uma matriz A, para obter sua 
transposta trocamos as linhas com as respectivas colunas. 
• Matriz Simétrica: é uma matriz An, quadrada, tal que At = A. 
• Matriz Anti-Simétrica: é uma matriz quadrada tal que At = -A. 
 
1.2 Operações com Matrizes 
 
• Igualdade: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: 
jei,baBA ijij ∀=⇔= 
• Adição: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: 
mxnijij )ba(BA +=+ . 
 4
Propriedades da adição: Sejam mxnijmxnijmxnij )c(Ce)b(B,)a(A === . Então são válidas as 
seguintes propriedades: 
a) Comutativa: A + B = B + A 
b) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
c) Elemento Neutro: ∀A∈Mmxn, ∃O∈Mmxn (matriz nula de ordem mxn) tal que A+O=O+A=A. 
d) Elemento Oposto: ∀A∈Mmxn, ∃(-A)∈Mmxn (matriz oposta de ordem mxn) tal que 
A + (-A) = (-A) + A = O. 
• Subtração: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == , duas matrizes de mesma ordem. Então: 
mxnijij )ba(BA −=− . 
OBS: A subtração não possui nenhuma propriedade. Vamos interpretar a subtração da seguinte 
forma: )B(ABA −+=− , ou seja, a subtração é a adição com a matriz oposta de B, 
nestas condições, as propriedades são as mesmas da adição. 
• Produto por escalar: Sejam mxnij )a(A = e ℜ∈α∀ . Então: mxnij )a(A ⋅α=⋅α . 
Propriedades: Sejam mxnijmxnij )b(Be)a(A == e ℜ∈βα∀ e . 
a) A)()A()A( αβ=βα=αβ 
b) BA)BA( α+α=+α 
c) AAA)( β+α=β+α 
d) AA1 =⋅ 
• Multiplicação: Sejam pxqjkmxnij )b(Be)a(A == . O produto da matriz A por B, indicado por 
BA ⋅ , só é possível de n = p, e a nova matriz terá ordem mxq, representada por mxqik )c(C = , 
sendo que : ∑
=
⋅=
n
1j
jkijik bac , para i=1,2,...,m e k=1,2,...,q. 
OBS: Para haver o produto entre as matrizes pxqmxn BeA , é necessário que o número de 
colunas da matriz à esquerda seja igual ao número de linhas da matriz à direita e, a 
ordem da matriz produto é o número de linhas da matriz à esquerda pelo número de 
colunas da matriz à direita, ou seja: 
 
 
 
 
 
Propriedades: Sejam A, B e C, matrizes tais que o produto entre elas sejam possíveis. Então: 
mxq 
A
 m x n ⋅ B p x q 
n=p 
 5
a) Não vale a comutativa: ABBA ⋅≠⋅ 
b) Associativa: C)BA()CB(A ⋅⋅=⋅⋅ 
c) Distributiva: 



⋅+⋅=⋅+
⋅+⋅=+⋅
CBCAC)BA(:direitaà
CABA)CB(A:esquerdaà
 
d) Elemento Neutro: Seja mxnij )a(A = . O elemento neutro é a matriz identidade de ordem m 
( mId ) ou ordem n ( nId ), pois: AIdA n =⋅ e AAId m =⋅ . 
 
Exemplo (2): Sejam 




 −
=
10
12
A , 





−−
=
312
105
B e 




 −
=
01
84
C . Determine se possível: 
a) CA2 + d) CB ⋅ 
b) BA ⋅ e) B)C3A( ⋅− 
c) CB + f) 2A 
Solução: a) 




 −
=





++
−−+
=




 −
+




 −
=+
11
96
0110
8142
01
84
10
12
2CA2 
b) 





−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅
−⋅−+⋅−⋅−+⋅⋅−+⋅
=





−−
⋅




 −
=⋅ )3(110)1(1002150
)3()1(12)1()1(022)1(52
312
105
10
12
BA ⇒ 






−−
=⋅
312
518
BA 
c) Não é possível pois, B e C não têm a mesma ordem. 
d) Não é possível pois, o número de colunas da matriz 3x2B não é igual ao número de 
linhas da matriz 2x2C . 
e) 





−−
⋅





−
−
=





−−
⋅










 −
−




 −
=⋅−
312
105
13
2310
312
105
01
84
3
10
12
B)C3A( ⇒ 






−−−
−−−
=⋅−
6113
79234
B)C3A( 
f) 




 −
=




 −
⋅




 −
=⋅=
10
34
10
12
10
12
AAA 2 
 
1.3 Matriz Inversível 
 
Definição: Uma matriz quadrada de ordem n se diz inversível, se , e somente se, existe uma matriz 
quadrada B de ordem n, de modo que nIdABBA =⋅=⋅ . Essa matriz B, caso exista, é 
única e chamada de inversa de A, denotada por 1A − . 
 6
 
1.3.1 Determinação da inversa 
1º Método - Por Definição 
Aplicando a definição, onde 1A − será escrita genericamente, vamos encontrar um 
sistema linear. Se o sistema for possível e determinado (apenas uma solução),então existe a inversa. 
Se o sistema for impossível, então não existe a inversa. 
Exemplo(3): Sejam 





=
42
31
A e 










=
112
123
021
B . Determine a inversa pela definição, se houver. 
Solução: Seja 





=
−
dc
ba
A 1 . Por definição 2
1 IdAA =⋅ − . Então: 





=





⋅





10
01
dc
ba
42
31
 ⇒ 






=





++
++
10
01
d4b2c4a2
d3bc3a
 ⇒ 



=+
=+
0c4a2
1c3a
 e 



=+
=+
1d4b2
0d3b
 . Resolvendo os sistemas 
lineares teremos 






−
−
=
−
2
1
2
3
1
1
2
A . 
Seja 










=
−
ihg
fed
cba
B 1 . Então, 3
1 IdBB =⋅ − ⇒ 










=










⋅










100
010
001
ihg
fed
cba
112
123
021
 ⇒ 





=++
=++
=+
0gda2
0gd2a3
1d2a
 e 





=++
=++
=+
0heb2
1he2b3
0e2b
 e 





=++
=++
=+
1ifc2
0if2c3
0f2c
 
Resolvendo os três sistemas lineares teremos: 










−
−
−−
=
−
431
111
221
B 1 
 
2º Método - Por Operações Elementares 
 
Podemos aplicar operações nas filas (linhas ou colunas) de uma matriz, sem alterar suas 
propriedades. Estas operações, chamadas de operações elementares são as seguintes: 
a) Permutar duas filas paralelas; 
b) Multiplicar uma fila por um escalar α , ℜ∈α∀ , com 0≠α ; 
c) Somar a uma fila uma outra fila paralela multiplicada por α , ℜ∈α∀ , com 0≠α ; 
 
 7
O método das operações elementares consiste no seguinte: do lado esquerdo escrevemos 
a matriz A e do lado direito a matriz identidade de mesma ordem da A. Através de operações 
elementares transformamos a matriz A na matriz identidade. As mesmas operações que aplicamos 
na matriz A, devemos aplicar na matriz identidade que está do lado direito. No final do processo o 
que resulta do lado esquerdo é a matriz identidade e do lado direito a matriz inversa 1A − . 
 
Exemplo (4): Sejam 





=
42
31
A e 










=
112
123
021
B . Determine sua inversa, por operações 
elementares, se houver. 
Solução: 





−−
−
 →





−−
 →




 ++−
12*20
2*01
12*20
01*31
10*42
01*31 23LLLL2 122321
 








−
−
 →
−
2
1
2
3L
1*10
2*01221
 ⇒ 







−
−
=
−
2
1
2
3
1
1
2
A 
 
 →










−−
−−










−
+−
+−
→
24
121
31
LLL3
LL2 102*130
013*140
001*021
100*112
010*123
001*021
 
→
+
+










−
−− →










−−
−−
23
3
32
LL
L4
4
3
4
1
4
1
4
1
4
3
4
1LL3
4
1
4
3
4
1
1*00
0*10
001*021
102*130
0*10
001*021
 










−
−
−−
 →










−
−
+−
431*100
111*010
221*001
431*100
111*010
001*021
12 LL2
 ⇒ 










−
−
−−
=
−
431
111
221
B 1 
 
OBS: No exemplo acima, por exemplo, 21 LL2 +− significa: menos duas vezes a linha 1 somada a 
linha 2. Note que, nesta passagem, quem sofreu alteração foi a linha 2, que a ela foi soma a 
linha 1 multiplicada por -2. Se ao aplicarmos operações elementares em uma matriz e ela 
apresentar uma ou mais filas nulas, então a matriz não admite inversa. 
 
 
 8
2 DETERMINANTES 
 
HISTÓRICO 
 
Os primeiros estudos sobre determinantes datam provavelmente do século 111 a.C. 
Mas foi só em 1683 que o japonês Seki Kowa usou a idéia de determinante em seus trabalhos 
sobre sistemas lineares. 
O uso do determinante no Ocidente começou 10 anos depois num trabalho de 
Leibniz, ligado também a sistemas lineares. O francês Étienne Bézout (1730-1783), 
sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um 
determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonte (1735-1796), a primeira 
abordagem da teoria dos determinantes. 
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de 
Cauchy sobre o assunto. Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos 
determinantes foi o alemão Carl Jacobi (1804-1851). Deve-se a ele a forma simples como essa 
teoria se apresenta até hoje. 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de determinante da matriz A, denotado por 
det(A), ao número real obtido através de operações realizadas com os elementos da 
matriz, conforme os métodos apresentados abaixo. 
 
2.1 Regra de Sarrus 
A regra de Sarrus se aplica a determinantes de 2ª e 3ª ordem com segue: 
• Determinante de 2ª ordem: Seja 





=
2221
1211
aa
aa
A ⇒ 
2221
1211
aa
aa)Adet( = ⇒ 
)aa()aa()Adet( 21122211 ⋅−⋅= . 
• Determinante de 3ª ordem: Seja 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A ⇒ 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
)Adet( = ⇒ 
)aaaaaaaaa()aaaaaaaaa()Adet( 122133322311312213133221312312332211 ++−++= 
 
Regra prática: 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
)Adet( = 
 
 
 
Exemplo (5): Resolver os determinantes usando a regra de Sarrus: 
)aaaaaaaaa( 133221312312332211 +++)aaaaaaaaa( 122133322311312213 ++−
 9
a) 
24
23−
 b) 
243
231
021
−
− 
Solução: a) 1486)42()23(
24
23
−=−−=⋅−⋅−=
−
 
b) )]1(22)4(21330[)]4()1(0322231[
243
231
021
−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅−−⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅=
−
− = 
301218)480()0126( =+=−−−++= 
 
2.2 Regra de Laplace 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada nxnij )a(A = , de ordem 2n ≥ , chamamos de cofator do 
elemento aij, e indicado por Aij, ao seguinte número: ij
ji
ij D)1(A ⋅−= + , onde Dij é o 
determinante de ordem menor, formado pelos elementos restantes, quando retiramos a 
linha e a coluna as quais pertence o elemento aij. 
 
Exemplo (6): Determine o cofator dos elementos a23 e a31 da matriz 










−
−
=
133
011
212
A . 
Solução: 9)36(1
33
12)1(D)1(A 5233223 −=+⋅−=
−
⋅−=⋅−=
+
 
2)20(1
01
21)1(D)1(A 4311331 =+⋅+=
−
−
⋅−=⋅−=
+
 
 
Teorema de Laplace: Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . O determinante 
da matriz A é a somatória dos elementos aij pelos seus respectivos cofatores 
Aij, em relação a qualquer linha ou coluna da matriz A, ou seja, se 














=
nn2n1n
n22221
n11211
nxn
a...aa
............
a...aa
a...aa
A , então, em relação a primeira linha, temos 
que: n1n112121111 Aa...AaAa)Adet( +++= . 
 
 10 
OBS: Podemos aplicar o Teorema de Laplace a qualquer linha ou coluna da matriz A, de 
preferência aquela que tiver a maior quantidade de zeros, pois evita cálculos. O Teorema de 
Laplace é uma regra geral, ele se aplica a determinantes de qualquer ordem. 
 
Exemplo (7): Resolver o determinante 
243
231
021
)Adet(
−
−= usando o Teorema de Laplace. 
Solução: Vamos aplicar o teorema de Laplace para os elementos da coluna 3: 
333323231313 AaAaAa)Adet( ++= 
31
21)1(2
43
21)1(2
43
31)1(0)Adet( 333231
−
−⋅+
−
−⋅+
−
−
−⋅=
+++
 
301020)5(2)10(2)Adet( =+=⋅+−⋅−= 
 
 
2.3 Regra de Chió 
Seja nxnij )a(A = , uma matriz quadrada com ordem 2n ≥ . No determinante da matriz 
A, identificar um elemento 1a ij = . Retirar a linha e a coluna as quais pertence o elemento 1a ij = . 
Restará um determinante de ordem menor, do qual devemos retirar de cada elemento ija , o produto 
dos elementos referentes a linha e a coluna que foram retiradas. Este determinante deverá ser 
multiplicado por ji)1( +− , onde i e j são os índices do elemento 1a ij = . 
Por exemplo, suponhamos que 1a11 = . Se a matriz 
















=
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A , 
então 
1nn1nn1n133n1n122n
31n1n3311333311232
21n1n2211323211222
11
aaa...aaaaaa
............
aaa...aaaaaa
aaa...aaaaaa
)1()Adet(
⋅−⋅−⋅−
⋅−⋅−⋅−
⋅−⋅−⋅−
⋅−=
+
 
 
Exemplo (8): Resolver o determinante 
243
231
021
)Adet(
−
−= usando o a regra de Chió. 
Solução: Vamos aplicar a regra de Chió para o elemento 1a11 = : 
 11 
)210(25
210
25
302324
)1(02)1(23)1()Adet( 11 ⋅−−⋅=
−
=
⋅−⋅−−
−⋅⋅−−⋅−
⋅−=
+
 ⇒ 30)Adet( = 
 
2.4 Propriedades dos determinantes• 0)Adet( = , se possui uma fila (linha ou coluna) nula; se duas filas paralelas são iguais; se duas 
filas paralelas são proporcionais (múltiplas) ou se uma das filas é combinação linear da demais. 
• Determinante da matriz triangular (e também a matriz diagonal) é o produto dos elementos da 
diagonal principal. 
• Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um escalar, ℜ∈α∀ , o determinante ficará 
multiplicado por α. 
• Se permutarmos duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante ficará multiplicado por -1. 
• Se numa matriz A adicionarmos a uma fila uma outra paralela, multiplicada por um escalar, 
ℜ∈α∀ , o determinante são se altera. 
• Se 
nn2nn
n2222
n1121
nn2n1n
n22221
n11211
nn2nn1n
n222221
n112111
a...ax
............
a...ax
a...ax
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...axa
............
a...axa
a...axa
)Adet( +=
+
+
+
= 
• )Adet()Adet( t = 
• )Adet(
1)Adet( 1 =− 
• )Bdet()Adet()BAdet( ⋅=⋅ 
 
2.5 Matriz Inversa através da Matriz Adjunta 
 
Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Cofatora 
da matriz A, denotada por Cof(A), a matriz constituída dos cofatores de cada elemento 
aij. (veja a definição de cofator no item 2.2) 
 
Definição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ , chamamos de Matriz Adjunta, 
denotada por Adj(A), a transposta da matriz cofatora, ou seja, t))A(Cof()A(Adj = . 
 
 12 
Proposição: Seja nxnij )a(A = uma matriz quadrada de ordem 2n ≥ . Então, a matriz inversa da 
matriz A é determinada por: )A(Adj)Adet(
1A 1 ⋅=− , com 0)Adet( ≠ . 
 
Exemplo (9): Seja e 










=
112
123
021
B . Determine sua inversa, através da matriz adjunta, se houver. 
Solução: Como 01)Bdet( ≠−= , então a matriz B admite inversa. 










−−
−
−−
=


















−−−
−−−
−−−
=
+++
+++
+++
412
312
111
23
21)1(
13
01)1(
12
02)1(
12
21)1(
12
01)1(
11
02)1(
12
23)1(
12
13)1(
11
12)1(
)B(Cof
332313
322212
312111
 
( )










−−
−−
−
==
431
111
221
)B(Cof)B(Adj t ⇒ 










−−
−−
−
−
=⋅=
−
431
111
221
1
1)B(Adj)Bdet(
1B 1 










−
−
−−
=
−
431
111
221
B 1 
 
 
3 SISTEMAS LINEARES 
 
HISTÓRICO 
Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações 
lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial 
por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes 
escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram 
descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular coeficientes por 
meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento encontram-se nos Nove 
capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.C. 
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como 
polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior 
matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas 
lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). 
 
Definição: Considere uma equação da seguinte forma: bxa...xaxa nn2211 =+++ , 
ℜ∈∀ n21 a,...,a,a , chamados de coeficientes; ℜ∈∀b , chamado de termo 
 13 
independente e n21 x,...,x,x são variáveis reais, com expoente igual a 1, chamadas de 
incógnitas . Uma equação desse tipo é chamada de equação linear a n incógnitas. 
 
Definição: Seja uma equação linear bxa...xaxa nn2211 =+++ . Chama-se solução dessa 
equação, uma seqüência de n números reais (n-úpla) n21 ,...,, ααα , tal que: 
ba...aa nn2211 =α++α+α é uma igualdade verdadeira. 
 
Definição: Chama-se de sistema linear, denotado por Smxn, a um conjunto formado por duas ou 
mais equações lineares nas mesmas variáveis reais n21 x,...,x,x . O par de índices mxn 
é chamado de ordem do sistema indicando m equações e n incógnitas. Genericamente 
representado por: 







=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
mxn
bxa...xaxa
....................................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
:S 
 
Definição: Chama-se solução de um sistema linear S, uma n-úpla n21 ,...,, ααα de números reais, 
que satisfaz, ao mesmo tempo, todas as equações do sistema S. 
 
3.1 Classificação dos Sistemas Lineares 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): admite apenas uma única solução 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): admite infinitas soluções 
• Sistema Impossível (SI): não admite solução. 
 
3.2 Métodos de Resolução de Sistemas Lineares 
Algumas operações elementares podem ser aplicadas nas equações de um sistema 
linear, sem que isso altere sua solução, obtendo, assim, um sistema equivalente ao primeiro. Estas 
operações são as seguintes: 
i) Permutar uma ou mais equações; 
ii) Multiplicar uma ou mais equações por escalares reais diferentes de zero; 
iii) A uma equação, adicionar uma outra multiplicada por um escalar diferente de zero. 
 
• Método da Substituição: consiste em "isolar" uma das variáveis de qualquer equação e substituí-
la nas demais, abaixando a ordem do sistema. Repetir o processo até obtermos uma única 
equação dependendo apenas de uma só variável. 
 14 
 
Exemplo (10): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição 





=++−
=+−
−=−+
8z5yx
9z3yx2
3zy2x
:S 
Solução: Note que o sistema S tem ordem 3x3. Vamos isolar a variável x da primeira equação e 
substituí-la nas demais: 3zy2x −+−= (*). Então:



=++−+−−
=+−−+−
8z5y)3zy2(
9z3y)3zy2(2
 ⇒ 



=+
=+−
′
5z4y3
15z5y5
S . Agora temos um sistema S′ equivalente de ordem 2x2. Vamos isolar a 
variável y na primeira equação e substituí-la na segunda: 3zy −= (**). Então: 
2z5z4)3z(3 =⇒=+− . Fazendo 2z = em (**) obtemos 1y −= . Fazendo 2z = e 
1y −= em (*) obtemos 1x = . Portanto o sistema S é SPD, pois admite uma única 
solução }2z,1y,1x{ =−== . 
 
OBS: Se ao aplicarmos o método da substituição ou o método do escalonamento (veremos a seguir) 
na resolução de um sistema linear e, aparecerem uma ou mais equações do tipo 
0x0...x0x0 n21 =+++ , isso significa que elas eram combinação linear das demais e dever 
ser retiradas do sistema. Caso apareçam equações do tipo α=+++ n21 x0...x0x0 , com 
0≠α , estas serão igualdades falsas, indicando que o sistema é SI e não tem solução. 
 
Exemplo (11): Resolver o sistema linear aplicando o método da substituição 





=−+
=+−
=+−
0z3yx
1z2yx
2zyx3
:S 
Solução: Isolando a variável y na primeira equação e substituindo nas demais teremos: 
2zx3y −+= (*) ⇒ 



=−−++
=+−+−
0z3)2zx3(x
1z2)2zx3(x
 ⇒ 



=−
−=+−
′
2z2x4
1zx2
:S 
Isolando a variável z na primeira equação e substituindo na segunda: 1x2z −= (**) ⇒ 
0x02)1x2(2x4 =⇒=−− , ou seja, esta equação é combinação linear das outras. 
Portanto o sistema está resolvido e ele é SPI e sua solução geral é dada por: substitua (**) 
em (*) e teremos 3x5y −= . 
Solução Geral: { }ℜ∈∀−=−= x,1x2z;3x5y . 
 
 15 
• Método do Escalonamento: Dado um sistema linear 







=+++
=+++
=+++
mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
mxn
bxa...xaxa
....................................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
:S 
através de operações elementares aplicadas em suas equações, obtemos o seguinte sistema 
equivalente, chamado de sistema escalonado: 








β=α
β=α++α
β=α++α+α
β=α++α+α+α
′
mnmn
3nn3333
2nn2323222
1nn1313212111
x
......................................................................
x...x
x...xx
x...xxx
:S 
com o objetivo de que a última equação dependa somente da incógnita xn, determinando, assim, 
o seu valor e depois o valor das demais incógnitas. Note que, se associarmos ao sistema 
escalonado S′ , uma matriz dos coeficientes, teremos uma matriz triangular superior na formaescalonada, ou seja: 
















α
αα
ααα
αααα
mn
n333
n22322
n1131211
...000
...............
...00
...0
...
 
 
Exemplo (12): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento 





=++−
=+−
−=−+
8z5yx
9z3yx2
3zy2x
:S 
Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e dos termos 
independentes. Então: 










−−
−−
→










−
−−
→










−
−
−−
−+−
+
5430
3110
3121
5430
15550
3121
8511
9312
3121
25
1
21
31
LLL2
LL
 










−−
−−
→
+−
14700
3110
3121
32 LL3
. Note que a matriz está escalonada e, portanto, podemos voltar 
ao sistema escalonado. Assim: 





=
−=−
−=−+
′
14z7
3zy
3zy2x
:S . Da última equação temos que 2z = . 
Substituindo na segunda equação teremos 1y −= . Com os valores de y e z, substituímos 
 16 
na primeira equação e teremos 1x = . Portanto, o sistema S é SPD, pois admite uma 
única solução }2z,1y,1x{ =−== . 
 
Exemplo (13): Resolver o sistema aplicando o método do escalonamento 





=++
−=++−
=−+
8zy4x
3z2yx
5zy3x2
:S 
Solução: Para facilitar a escrita, podemos trabalhar com a matriz dos coeficientes e do termo 
independente trocando a primeira equação com a segunda. Então: 










−
−−
→










−
−−
→










−
−−
+−+
+
6000
1350
3211
5350
1350
3211
8141
5132
3211
3221
31
LL1LL2
LL
. Note que a matriz 
está escalonada e apresenta a última equação 6z0y0x0 =++ , o que é uma falsidade, 
indicando que o sistema é SI e, portanto, não tem solução. 
 
3.3 Sistema Linear Homogêneo 
É o sistema linear em que todos os termos independentes das equações são nulos, ou 
seja: 







=+++
=+++
=+++
0xa...xaxa
....................................................
0xa...xaxa
0xa...xaxa
:H
nmn22m11m
nn2222121
nn1212111
mxn . 
Uma particularidade dos sistemas homogêneos é que eles são sempre possíveis (SPD ou 
SPI). Note que, um sistema homogêneo sempre admite a solução trivial (0,0,...,0). Assim, sua 
classificação se reduz a: 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): só admite a solução trivial 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): além da solução trivial admite outras infinitas. 
 
Exemplo (14): Resolver os sistemas homogêneos aplicando o método indicado: 
a) 





=++
=−+
=−+
0zy3x3
0z2yx2
0z3y2x
:H , método da substituição 
b) 





=+
=−−
=++
0y3x4
0z2yx2
0zy2x
:H , método do escalonamento 
 17 
Solução: a) Da primeira equação temos que z3y2x +−= (*). Substituindo nas outras duas, 
teremos: 



=+++−
=−++−
0zy3)z3y2(3
0z2y)z3y2(2
 ⇒ 



=+−
=+−
′
0z10y3
0z4y3
:H . 
Da primeira equação vem que z4y3 −=− (**). Substituindo na segunda, teremos: 
0z0z60z10z4 =⇒=⇒=+− . Fazendo 0z = em (**), temos que 0y = . Fazendo 
0ze0y == em (*), temos que 0x = . Portanto, o sistema é SPD e a solução é a 
trivial }0z,0y,0x{ === . 
b) Vamos trabalhar com a matriz dos coeficientes, uma vez que não é necessário trabalhar 
com a coluna dos termos independentes, pois são todos nulos. Então: 










−−→










−−
−−→










−−
+−+−
+−
000
450
121
450
450
121
034
212
121
3221
1
LL1LL2
3LL4
. A matriz já está 
escalonada. Retirando a linha nula e voltando ao sistema equivalente, teremos: 



=−−
=++
′
0z4y5
0zy2x
:H . Da segunda equação, temos: zy 5
4
−= . Substituindo na primeira 
equação, teremos: ( ) zx0zz2x 5354 =⇒=+−+ . Portanto, o sistema é SPI e sua 
solução geral é { }ℜ∈∀−== z,zy,zx 5453 . Note que, para 0z = , teremos x = y = 0, 
ou seja, a solução trivial, mas não é a única, existem outras infinitas soluções. 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1) Sejam 





−
=
10
21
A , 





−
−
=
121
430
B e 





−
=
012
111
C . Determine a matriz X tal que 
)C3B(AC2X 2 −=+ . Resp: 





−−
−−−
=
167
185
X 
2) Determine a matriz inversa, se houver. 
a) 





−
−
=
46
12
A Resp (a): 





−
−
=
−
13
2
A 2
1
1
 
b) 










−−
−=
301
232
312
B Resp (b): 










−−
−−
−
=
−
413
1038
1139
B 1 
 18 
3) Sejam 





=





=
11
32
Be
14
23
A . Determine: 
a) [ ] 1t)BA(det −⋅ Resp (a): 
5
1
 
b) Mostre que [ ] )Bdet()Adet( 1)BA(det 1t ⋅=⋅ − 
4) Sejam 





=





−
=





−−
=
23
61
De
12
20
C,
21
73
A . Sabendo que 1ADACBA −⋅⋅=+⋅ , 
determine det(B). Resp: 172)Bdet( −= 
5) Classificar e resolver os sistemas lineares; 
a) 





=+−
=++
−=+−
1z5yx7
4z2y2x
7zy3x2
 Resp (a): SPD e { }2z;3y;2x −=== 
b) 





=−+
=−+−
=++
7z4y19x
1z2y5x
2zy2x2
 Resp (b): SPI e 





 ℜ∈∀−=
−
−
= z,
3
4y12
ze
3
5y9
x 
c) 





=++−
=+−
−=++
5z4y14x
0z4y2x3
2z4y6x
 Resp (c): SI, não tem solução