Álgebra Linear - Sistema de Equações Linear - Prof Carlos Alexandre Mello

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Álgebra Linear
Sistemas de Equações Lineares
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• Forma 1 de resolução: Suponha o sistema:
x1 + 4x2 + 3x3 = 1 (1) 1 4 3 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4 (2) 2 5 4 4
x1 – 3x2 – 2x3 = 5 (3) 1 -3 -2 5
(I)
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Ou…
x1 – 3x2 – 2x3 = 5 (3) 1 -3 -2 5
Objetivo: Encontrar o 
valor de x1, x2 e x3 que 
satisfazem as três 
equações ao mesmo 
tempo.
Ou seja….
x1 = A
x2 = B
x3 = C
1 0 0 A
0 1 0 B
0 0 1 C
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Sistemas e Matrizes
• Um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
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com aij, 1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n, números reais (ou complexos).
• Uma solução para esse sistema é a n-upla de números (x1, x2, 
..., xn) que satisfaça simultaneamente as m equações.
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
… …. … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
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Sistemas e Matrizes
• O sistema anterior pode ser escrito na forma matricial como:
a11 a12… a1n
a12 a22… a2n
… ...
a a … a
x1
x2
…
b1
b2
…
. =
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ou A.x = B, onde
am1 am2… amn xn bm
a11 a12… a1n
a12 a22… a2n
… ...
am1 am2… amn
x1
x2
…
xn
b1
b2
…
bm
A = x = B = 
Matriz dos
coeficientes
Matriz das
incógnitas
Matriz dos
termos
indepen-
dentes
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Sistemas e Matrizes
• Outra matriz é a chamada matriz ampliada do sistema:
a11 a12… a1n
a12 a22… a2n
… ...
b1
b2
…
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… ...
am1 am2… amn
…
bm
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Operações Elementares
• São três as operações elementares sobre as linhas de uma 
matriz
� 1) Permuta da i-ésima e j-ésima linhas (Li↔ Lj)
• Exemplo: L2↔ L3
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1 0
4 -1
-3 4
→
1 0
-3 4
4 -1
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Operações Elementares
• São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz
� 2) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (Li→ kLi)
• Exemplo: L2→ -3L2
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1 0
4 -1
-3 4
→
1 0
-12 3
-3 4
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Operações Elementares
• São três as operações elementares sobre as linhas de uma 
matriz
� 3) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-
ésima linha (Li→ Li + k.Lj)
• Exemplo: L3→ L3 + 2.L1
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• Exemplo: L3→ L3 + 2.L1
1 0
4 -1
-3 4
→
1 0
4 -1
-1 4
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• É importante observarmos que usamos apenas 
operações de multiplicação e adição e permuta de 
linhas
• Assim, todo o processo é reversível
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• Assim, todo o processo é reversível
• Os sistemas criados ao longo do processo são ditos 
equivalentes
� Ou seja, a solução para qualquer um deles é solução para o 
outro
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• Permuta de colunas é possível MAS com cuidado!!!! 
Lembrem que lidamos com um sistema de 
equações! Ou seja:
x + 4x + 3x = 1 4x + x + 3x = 1
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x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 – 3x2 – 2x3 = 5
É equivalente a
4x2 + x1 + 3x3 = 1
5x2 + 2x1 + 4x3 = 4
-3x2 + x1 – 2x3 = 5
Ok, mas…
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• Permuta de colunas é possível MAS com cuidado!!!! 
Lembrem que lidamos com um sistema de 
equações! Ou seja:
x + 4x + 3x = 1 x + 4x + 3x = 1
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x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 – 3x2 – 2x3 = 5
NÃO
é equivalente a
x1 + 4x2 + 3x3 = 1
4x1 + 5x2 + 4x3 = 2
5x1 – 3x2 – 2x3 = 1
ERRADO!!!!
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Forma Escada
• Definição: Uma matriz mxn é linha reduzida à forma escada 
se:
� 1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1
� 2) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma 
linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero
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linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero
� 3) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, 
daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo)
� 4) Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento 
não nulo da linha i ocorre na coluna ki, então
• k1 < k2 < .... < kr
� Essa condição impõe a forma escada à matriz
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Forma Escada
• Exemplo 1:
0 1 -3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
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0 0 0 0 0
É forma escada.
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Forma Escada
• Contra-exemplo 1:
1 0 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0
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0 0 1 0
Não é forma escada pois a segunda
condição não é satisfeita: a terceira
coluna possui o primeiro elemento
não nulo da terceira linha, logo todos
os outros elementos da coluna 
deveriam ser zero.
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Forma Escada
• Contra-exemplo 2:
0 2 1
1 0 -3
0 0 0
Não é forma escada pois a primeira
e a quarta condições não são
satisfeitas:
1) O primeiro elemento não nulo de
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0 0 0 1) O primeiro elemento não nulo de
uma linha não nula não é 1 (zero)
2) O primeiro elemento não-nulo da
segunda linha deveria estar em uma
posição maior do que a do primeiro
elemento não-nulo da linha anterior.
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Forma Escada
• Contra-exemplo 3:
0 1 -3 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 -1 2
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Não é forma escada pois a primeira e a terceira condições 
não são satisfeitas:
1) Tem uma linha nula ocorrendo acima de uma linha não 
nula.
2) O primeiro elemento de uma linha não-nula não é 1 (-1)
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Forma Escada
• Teorema: Toda matriz Amxn é linha equivalente a uma 
única matriz-linha reduzida à forma escada.
• Definição: Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz-
linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. 
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linha reduzida à forma escada linha equivalente a A. 
O posto de A, denotado por p, é o número de linhas 
não-nulas de B. A nulidade de A é o número n – p.
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Forma Escada
• Exemplo: Achar o posto e a nulidade de A:
1 2 1 0
-1 0 3 5
1 -2 1 1
A = 
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1 -2 1 1
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Forma Escada
• Exemplo: Forma escada de A:
1 2 1 0
-1 0 3 5
1 -2 1 1
1 2 1 0
0 2 4 5
1 -2 1 1
L2=L1 + L2
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1 -2 1 1 1 -2 1 1
1 2 1 0
0 2 4 5
0 -4 0 1
L3 = -1.L1 + L3
1 2 1 0
0 1 2 5/2
0 -4 0 1
L2 = L2/2
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Forma Escada
• Exemplo: Forma escada de A:
1 2 1 0
0 1 2 5/2
0 -4 0 1
1 0 -3 -5
0 1 2 5/2
0 -4 0 1
L1 = -2.L2 + L1
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0 -4 0 1 0 -4 0 1
1 0 -3-5
0 1 2 5/2
0 0 8 11
L3 = 4.L2 + L3
1 0 -3 -5
0 1 2 5/2
0 0 1 11/8
L3 = L3/8
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Forma Escada
• Exemplo: Forma escada de A:
1 0 -3 -5
0 1 2 5/2
0 0 1 11/8
L2 = -2.L3 + L2
1 0 -3 -5
0 1 0 -1/4
0 0 1 11/8
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0 0 1 11/8
L1 = 3.L3 + L1
0 0 1 11/8
1 0 0 -7/8
0 1 0 -1/4
0 0 1 11/8
O posto de A é 3 e a
nulidade é 4 – 3 = 1
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Forma Escada
• Semelhante à resolução de um sistema de equações
� Ou seja, dado o sistema:
x1 + 2x2 + x3 = 0
-x + 0x + 3x = 4
1 2 1 0
-1 0 3 5
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� A solução é: 
-x1 + 0x2 + 3x3 = 4
x1 – 2x2 + x3 = 1
-1 0 3 5
1 -2 1 1
x1 = -7/8
x2 = -1/4
x3 = 11/8
1 0 0 -7/8
0 1 0 -1/4
0 0 1 11/8
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• Exemplo 2: Achar o posto e a nulidade de B: 
2 -1 3
1 4 2
1 -5 1B = 
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1 -5 1
4 16 8
B = 
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• Exemplo 2: Forma escada de B: 
2 -1 3
1 4 2
1 -5 1
L2↔ L1
1 4 2
2 -1 3
1 -5 1
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1 -5 1
4 16 8
1 -5 1
4 16 8
1 4 2
0 -9 -1
1 -5 1
4 16 8
L2= -1.L1 + L3
1 4 2
0 -9 -1
0 -9 -1
4 16 8
L2= -2.L1 + L2
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Forma Escada
• Exemplo 2: Forma escada de B: 
L4 = -4.L1 + L4
1 4 2
0 -9 -1
0 -9 -1
1 4 2
0 -9 -1
0 -9 -1
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L1= -4.L2 + L1
4 16 8 L2= L2 /-9 0 0 0
1 4 2
0 1 1/9
0 -9 -1
0 0 0
1 0 14/9
0 1 1/9
0 -9 -1
0 0 0
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Forma Escada
• Exemplo 2: Forma escada de B: 
L3 = 9.L2 + L3
1 0 14/9
0 1 1/9
0 -9 -1
1 0 14/9
0 1 1/9
0 0 0
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0 0 0 0 0 0
O posto de B é 2 e a nulidade é 3 – 2 = 1
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Soluções
• Se tivermos um sistema de uma equação e uma 
incógnita ax = b, teremos 3 possibilidades:
� a ≠ 0: neste caso, a equação tem uma única solução
• x = b/a
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x = b/a
� a = 0 e b = 0: temos 0x = 0 o que significa que qualquer 
número real é solução da equação
� a = 0 e b ≠ 0: temos 0x = b o que significa que não existe 
solução para essa equação
• Vamos analisar o que acontece com sistemas de duas 
equações e duas incógnitas...
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Soluções
• Exemplo 1:
� Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada
2x1 + x2 = 5
x1 - 3x2 = 6
2 1 5
1 -3 6
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� Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada
2 1 5
1 -3 6
L1 = L1 / 2
1 1/2 5/2
0 -7/2 7/2
L2 = (-2/7).L2
1 1/2 5/2
0 1 -1
L2 = -1.L1 + L2
L1 = (-½).L2 + L1
1 0 3
0 1 -1
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Soluções
• Exemplo 1 (cont.):
� Assim, o sistema dado tem uma única solução com x = 3 
2x1 + x2 = 5
x1 - 3x2 = 6
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� Assim, o sistema dado tem uma única solução com x1 = 3 
e x2 = -1
� O posto da matriz de coeficientes reduzidos e o da matriz 
ampliada é 2
1 0 3
0 1 -1
1 0
0 1
Matriz de coeficientes reduzidos Matriz ampliada
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Soluções
• Exemplo 2:
� Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada
2x1 + x2 = 5
6x1 +3x2 = 15
2 1 5
6 3 15
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� Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada
� Assim, a segunda equação pode ser ignorada, pois não 
estabelece condição sobre x1 ou x2
L1 = L1 / 2
1 1/2 5/2
0 0 0
L2 = -6.L1 + L22 1 5
6 3 15
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Soluções
• Exemplo 2 (cont.):
� Assim, para resolver o sistema, consideramos a primeira 
equação:
• 2x1 + x2 = 5
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• 2x1 + x2 = 5
� e, por exemplo, assumimos que x2 = t
� Dessa forma:
• x1 = (5 – t)/2
� Para qualquer valor de t dentro dos reais
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Soluções
• Exemplo 3:
� Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada
2x1 + x2 = 5
6x1 + 3x2 =10 
2 1 5
6 3 10
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� Precisamos agora passar a matriz reduzida à forma escada
L1 = L1 / 2
L2 = L2/(-5)
L2 = -6.L1 + L22 1 5
6 3 10
1 1/2 5/2
0 0 -5
1 1/2 5/2
0 0 1 L1 = (-5/2).L2 + L1
1 1/2 0
0 0 1
Sistemas de Equações Lineares
Soluções
• Exemplo 3 (cont.):
� No caso, tornamos o sistema equivalente a:
x1 + ½x2 = 0
0x1 + 0x2 = 1
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� Não existe nenhum valor de x1 e x2 que satisfaça a segunda 
equação, assim, o sistema não tem solução
� O posto da matriz de coeficientes reduzidos é 1 e o da 
matriz ampliada é 2
1 2
1 ½ 0
0 0 1
1 ½
0 0
Matriz de coeficientes reduzidos Matriz ampliada
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Soluções – Caso Geral
• Consideremos um sistema de m equações lineares 
com n incógnitas x1, x2, ..., xn
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
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• cujos coeficientes aij e termos constantes bi são 
números reais
• Este sistema poderá ter:
a12x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
… …. … …
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
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Soluções – Caso Geral
• i) Uma única solução
� Sistema possível (compatível) e determinado
• ii) Infinitas soluções
� Sistema possível (compatível) e indeterminado
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� Sistema possível (compatível) e indeterminado
• iii) Nenhuma solução
� Sistema impossível (incompatível)
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Soluções – Caso Geral
• Teorema:
� i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite 
solução se, e somente se, o posto da matriz ampliada é 
igual ao posto da matriz dos coeficientes
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� ii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p = n –
número de incógnitas, então a solução será única
� iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, então 
podemos escolher n – p incógnitas, as outras p incógnitas 
serão dadas em função dessas
• O grau de liberdade do sistema é n - p
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Soluções – Caso Geral
• Seja:
� pc = Posto da matriz dos coeficientes
� pa = Posto da matriz ampliada
� Se pc = pa, chamaremos de p
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� Se pc = pa, chamaremos de p
� m e n são as dimensões da matriz de coeficientes
• m equações com n incógnitas
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 1:
1 0 0 3
0 1 0 -2
0 0 1 2
pc = pa = 3
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0 0 1 2
m = 3, n = 3 e p = 3
Logo, o sistema admite uma única solução.
Ok, porquea matriz corresponde ao sistema:
x = 3
y = -2
z = 2
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 2:
1 0 7 -10
0 1 5 -6 pc = pa = 2
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m = 2, n = 3 e p = 2
Logo, o sistema tem grau de liberdade 1.
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 3:
1 0 7 -10
0 1 5 -6
0 0 0 2
pc = 2, pa = 3
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0 0 0 2
m = 3, n = 3
Logo, o sistema é impossível e não tem solução.
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 4:
1 0 -10 -2 -10
0 1 7 1 4
0 0 0 0 0
pc = pa = 2
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0 0 0 0 0
m = 3, n = 4 e p = 2.
Temos dois graus de liberdade.
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 5: Vamos resolver o sistema
x + 2y + z + t = 0
x + 3y – z + 2t = 0
1 2 1 1 0
1 3 -1 2 0
L = -1.L + L
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1 2 1 1 0
0 1 -2 1 0
L2 = -1.L1 + L2
1 0 5 -1 0
0 1 -2 1 0
L1 = -2.L2 + L1
Sistemas de Equações Lineares
Soluções – Caso Geral
• Exemplo 5 (cont.):
� Assim, o sistema tem duas variáveis livres (grau de 
liberdade 2)
• z e t
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• z e t
� Logo, se fixarmos os valores de z e t teremos:
• x = -5z + t
• y = 2z - t
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 6: Vamos resolver o sistema
x + 3y + z = 0
2x + 6y + 2z = 0
-x – 3y – z = 0
1 3 1 0
2 6 2 0
-1 -3 -1 0
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L2 = -2.L1 + L2
L3 = L1 + L3
1 3 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 6 (cont.):
� Novamente, o sistema tem duas variáveis livres (grau de 
liberdade 2)
• y e z
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• y e z
� Logo, se fixarmos os valores de y e z teremos:
• x = -3y - z
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Soluções – Caso Geral
• Exemplo 7: Vamos resolver o sistema
x + 2y + z + t = 1
x + 3y – z + 2t = 3
1 2 1 1 1
1 3 -1 2 3
L = -1.L + L
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1 2 1 1 1
0 1 -2 1 2
L2 = -1.L1 + L2
1 0 5 -1 -3
0 1 -2 1 2
L1 = -2.L2 + L1
Sistemas de Equações Lineares
Soluções – Caso Geral
• Exemplo 7 (cont.):
� Novamente, duas variáveis livres (grau de liberdade 2)
• z e t
� Logo, se fixarmos os valores de z e t teremos:
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� Logo, se fixarmos os valores de z e t teremos:
• x = -5z + t - 3
• y = 2z – t + 2
Exercícios Sugeridos
• 10 a 16
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A Seguir…
• Determinantes e Matriz Inversa
LINE
AR--
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ÁLGE
BRA-
LINE