Trabalho Final: Professor Fernando Mecânica dos Fluídos 2016/2

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TRABALHO PRÁTICO DA DISCIPLINA DE MECÂNICA DE FLUIDOS A
KLAUS JÜRGEN FOLZ
EDUARDO LAMB LAUTERT
RESUMO: Trabalho final da disciplina de Mecânica dos Fluidos A que consiste na modelagem de um sistema de refrigeração utilizando água como fluido de trabalho. O sistema é baseado em um trocador de calor, uma bomba e quatro refrigeradores. O objetivo da modelagem é estabelecer os valores para os diâmetros das tubulações do sistema e especificar a bomba necessária para que o sistema funcione, para esse objetivo é necessário calcular as perdas de carga nos diversos trechos do sistema. Além disso, é desejável que os valores encontrados para os diâmetros e a bomba necessária se traduzam no menor valor possível para o projeto. 
PALAVRAS-CHAVE: refrigeração, custos, otimização
	
	ENG 03352
Mecânica dos Fluidos A
Porto Alegre, 20 de junho de 2016
INTRODUÇÃO
Este documento tem como objetivo apresentar os métodos utilizados na modelagem de um sistema de refrigeração do qual se deseja determinar os valores para os diâmetros das tubulações e o valor para a potência da bomba necessária para que o projeto funcione. O sistema é constituído por um trocador de calor, , uma bomba responsável por garantir circulação da água através do sistema fechado e um conjunto de quatro refrigeradores que também possuem as suas características técnicas, como o número de cotovelos e o comprimento da tubulação interna. 
O sistema possui uma tubulação principal na qual a bomba está instalada e essa tubulação principal é dividida em quatro linhas separadas que levam até os quatro refrigeradores. As características para o sistema de tubulações principais, como o comprimento da tubulação, número de cotovelos e os tipos de cotovelos, diferença das cotas de altura, são conhecidas com exceção do diâmetro da tubulação. Para as quatro linhas de tubulações ligadas a cada um dos refrigeradores também são conhecidas as características principais com exceção do valor para o diâmetro de cada linha.
Além dessas especificações uma vazão para o sistema também é estabelecida previamente. Com base nessas informações, a modelagem do sistema tem como objetivo identificar as funções matemáticas que relacionam as perdas de carga que ocorrem através do sistema com os diâmetros desconhecidos. Assim é possível, utilizando as funções relativas ao custo da bomba em função da sua potência e do custo da tubulação em função do seu diâmetro, encontrar os valores para os diâmetros de cada tubulação de modo que, primeiro, os valores referentes às vazões de cada uma das linhas ligadas aos refrigeradores sejam o mais próximos entre si possível e, segundo, o preço relativo à compra da tubulação seja o menor possível também.
A partir da modelagem da perda de carga nas tubulações do sistema também é possível especificar a potência da bomba necessária para compensar essa perda de carga, e como o objetivo é o menor custo para a bomba também o projeto todo se traduz em determinar os maiores diâmetros possíveis para o sistema, já que a perda de carga, e consequentemente o preço da bomba necessária para o projeto, é inversamente proporcional ao diâmetro das tubulações, de modo que o preço da bomba necessária seja o menor possível, porém também é desejável que os diâmetros sejam os menores possíveis já que o custo relativo às tubulações é diretamente proporcional aos seus diâmetros.
Sendo assim é necessária uma otimização que leve em conta as duas funções de custo, buscando os valores para os diâmetros das tubulações que equilibrem as vazões para as linhas secundárias ligadas aos refrigeradores, e que gerem o melhor valor possível para os custos relativos à bomba e às tubulações do sistema.
METODOLOGIA
Para a modelagem do problema o sistema foi dividido em vários trechos e para cada um desses trechos foram modeladas as equações necessárias para o cálculo da perda de carga. Para a modelagem o escoamento da água foi considerado como turbulento e para que o fator de atrito utilizado nos cálculos das perdas de carga maiores e localizado pudesse ser equacionado com o restante da modelagem a fórmula de Colebrook [1], onde o fator de atrito é implícito. As equações de forma geral são:
 (1)
 
 (2)
 (3)
 (4)
 (5)
 (6)
 
 (7)
 (8)
	Na Eq. 1 	são as perdas de carga distribuídas e as perdas de carga localizadas, respectivamente, e esses valores são calculados pelas Eq. 4, Eq. 5 e Eq. 6 onde é o fator de atrito, é o comprimento da tubulação, é a velocidade média do fluido e é o comprimento equivalente de tubulação que representa a perda de carga em acidentes como cotovelos. Como o escoamento é turbulento = 1.
Para a divisão dos trechos foi seguida a ideia de se estabelecer a diferença de pressão da entrada da bomba para a saída. Para isso a equação para a perda de carga Eq. (1) foi aplicada para as seguintes seções:
- Pontos s e 2: o ponto s é o ponto de saída da bomba e o ponto 2 é o ponto antes da divisão da tubulação principal nas tubulações que levam aos refrigeradores.
- Pontos 2 e 3: o ponto 3 é o ponto logo após a conexão das tubulações provenientes dos refrigeradores, para esse trecho é feita a divisão das quatro linhas A, B,C e D, levando em consideração que a diferença de pressão é igual para cada uma das quatro linhas.
- Pontos 3 e 1: o ponto 1 é o ponto de entrada da bomba e faz parte desse trecho o trocador de calor principal do sistema.
	Sendo assim para cada um dos trechos foram descritas ar relações para o cálculo das diferenças de pressão de acordo com as especificações do projeto, deve se esclarecer que não foram consideradas as perdas de carga por expansões nja tubulação quando o diâmetro dos tubos varia. Os refrigeradores das linhas A, B,C e D têm as mesmas características, portanto o cálculo da perda de carga relacionada a eles foi feito uma única vez. Também foi utilizado o fato de que as diferenças de pressão para todas as quatro linhas dos refrigeradores devem ser iguais já que estão ligadas todas aos mesmos pontos do sistema.
	Para o cálculo dos custos do projeto, é levado em consideração somente o custo relativo à tubulação e à bomba necessária. O custo da tubulação é uma função diretamente proporcional ao diâmetro necessário e o preço da bomba é diretamente proporcional à perda de carga que ela deve compensar, sendo assim as duas funções dadas são:
 (9)
 (10)
	Aonde é o custo em reais relativo á bomba utilizada, que depende da potência , em watts, necessária e é o custo em reais por metro de tubulação e é o diâmetro da tubulação necessária.
	Assim, para todos os trechos e mais as funções de custo o problema foi modelado com um conjunto de 47 equações e 47 incógnitas e com a utilização do software de resolução de sistemas de equações não lineares EES foi possível determinar um conjunto de valores para os diâmetros do sistema que fazem o valor do projeto atingir um valor consideravelmente baixo. A tabela abaixo apresenta os valores calculados para os diâmetros. No apêndice é apresentado o código que foi utilizado para resolver o sistema gerado.
	Tabela 1. Apresentação dos valores calculados para os diâmetros
	Trecho
	Linha A
	Linha B
	Linha C
	Linha D
	1 até 2
	3 até 1
	Diâmetro (In)
	3/4
	3/4
	3/4
	3/4
	3/4
	5/2
 
CONCLUSÂO
	A partir de alguns valores iniciais para os diâmetrosfoi possível identificar os valores que faziam o sistema convergir, a depois de algumas tentativas o valor referente à potência da bomba foi calculado em um valor baixo de 4994 Watts, o equivalente a 6,697 Hp e com os valores calculados para os diâmetros o custo total incluindo a bomba necessária foi calculado em R$ 12.379.
REFERÊNCIAS
Colebrook, C. F., “Turbulent Flow in Pipes, with Particular Reference to the Transition Region between the Smooth and
Rough Pipe Laws,” Journal of the Institution of Civil Engineers, London, 11, 1938_39, pp. 133_156.
APÊNDICE
g=9,81
d_p=0,0209
d_31=0,0779
d_a=0,0209
d_b=0,0209
d_c=0,0209
d_d=0,0209
"Dados da água"
rho_h2o=1000
nu_h2o=1,51*10^(-6)
"Rugosidade"
e=0,0015*10^(-3)
"Vazão"
Q=10^(-2)/3
Q_2=Q/4
"Refrigerador"
d_r=0,0158
R_er=V_r*d_r/nu_h2o
1/sqrt(f_r)=-2*ln(e/(d_r*3,7)+2,51/(R_er*sqrt(f_r)))/ln(10)
V_r=4*Q_2/(3,14*d_r^2)
"Perda no Refrigerador"
h_r=f_r*10*V_r^2/d_r+f_r*10*80*V_r^2
"Linha 1-2"
v_p=4*Q/(pi*d_p^2)
R_ep=v_p*d_p/nu_h2o
1/sqrt(f_p)=-2*ln(e/(d_p*3,7)+2,51/(R_ep*sqrt(f_p)))/ln(10)
"Delta P entre s e 2"
P_s2=rho_h2o*(f_p*15*v_p^2/(d_p*2)+4*60*f_p*v_p^2/2-g*30)
"Linha 3-1"
v_31=4*Q/(pi*d_31^2)
R_e31=v_31*d_31/nu_h2o
1/sqrt(f_31)=-2*ln(e/(d_31*3,7)+2,51/(R_e31*sqrt(f_31)))/ln(10)
P_31=rho_h2o*(f_31*25*v_31^2/(d_31*2)+4*60*f_31*v_31^2/2+g*30+30*v_31^2/2)
"Linha A"
R_ea=v_a*d_a/nu_h2o
1/sqrt(f_a)=-2*ln(e/(d_a*3,7)+2,51/(R_ea*sqrt(f_a)))/ln(10)
V_a=4*Q_a/(3,14*d_a^2)
P_23=rho_h2o*(f_a*90*v_a^2/(d_a*2)+15*60*f_a*v_a^2/2+6*3*f_a*v_a^2/2+h_r)
"Linha B"
R_eb=v_b*d_b/nu_h2o
1/sqrt(f_b)=-2*ln(e/(d_b*3,7)+2,51/(R_eb*sqrt(f_b)))/ln(10)
V_b=4*Q_b/(3,14*d_b^2)
P_23=rho_h2o*(f_b*76*v_b^2/(d_b*2)+10*60*f_b*v_b^2/2+5*3*f_b*v_b^2/2+h_r)
"LInha C"
R_ec=v_c*d_c/nu_h2o
1/sqrt(f_c)=-2*ln(e/(d_c*3,7)+2,51/(R_ec*sqrt(f_c)))/ln(10)
V_c=4*Q_c/(3,14*d_c^2)
P_23=rho_h2o*(f_c*60*v_c^2/(d_c*2)+8*60*f_c*v_c^2/2+3*3*f_c*v_c^2/2+h_r)
"Linha D"
R_ed=v_d*d_d/nu_h2o
1/sqrt(f_d)=-2*ln(e/(d_d*3,7)+2,51/(R_ed*sqrt(f_d)))/ln(10)
V_d=4*Q_d/(3,14*d_d^2)
P_23=rho_h2o*(f_d*45*v_d^2/(d_d*2)+6*60*f_d*v_d^2/2+3*3*f_d*v_d^2/2+h_r)
"Vazão Total"
Q=Q_a+Q_b+Q_c+Q_d
"Potência da Bomba"
W_b=P_s1*Q
P_s1=P_s2+P_23+P_31
"R$ da bomba em Watt"
c=1,18*W_b+600
"R$ dos dutos total"
c_d=(669,3*d_p+4)*40+(669,3*d_a+4)*90+(669,3*d_b+4)*76+(669,3*d_c+4)*60+(669,3*d_d+4)*45+(669,3*d_r+4)*20
"Custo Total"
Custo_total=c+c_d