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CAPÍTULO II – Aula III Prof. Alan Gusmão (2)

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ESTATÍSTICA 
 AULA 2: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
ESTATÍSTICA 
Estrutura de Conteúdo 
Apresentar as medidas de tendência central: 
 
• Média; 
• Moda; 
• Mediana. 
Conceitos Básicos de Distribuição de frequência 
ESTATÍSTICA 
Dados Brutos - Normalmente, na prática, os dados originais de uma série estatística não se 
encontram prontos para análise, por estarem desorganizados. Por essa razão, costuma-se chamá-los 
de dados brutos. 
 
Rol - É a lista ordenada dos dados de uma série estatística. Essa ordenação pode ser crescente ou 
decrescente. 
 
Elementos de uma distribuição de frequência 
 
• (X máx.)  maior valor observado da variável de 
frequências; 
• (X mín.)  menor valor observado da variável de 
frequências; 
• Amplitude (A)  é a diferença entre o maior e o 
menor valor observado da variável. 
ESTATÍSTICA 
Conceitos Básicos de Distribuição de frequência 
Intervalo de classe (h) - é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. 
Limites de classe - os limites de uma classe são os valores extremos. O limite mínimo de uma 
classe é denominado Limite Inferior e o limite máximo de Limite Superior. 
Ponto médio de classe (Xi) - o ponto médio de uma classe é o valor representativo da classe. 
Para se obter o ponto médio de uma classe, basta somar os limites superior e inferior da classe 
e dividir por 2. 
Média Aritmética 
Simples  a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definida por: 
 _ 
 X = X1 + X2 + ....... + Xn / N 
 
Exemplo: 
 {1, 1, 3, 4, 4} 
 _ 
 X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 / 5 = 13 / 5 = 2,6 
ESTATÍSTICA 
• Existem dois tipos de Média mais utilizados: aritmética Simples e aritmética Ponderada. 
 
• A Média aritmética Simples, chamada normalmente apenas de “Média Aritmética”, é a mais utilizada no nosso dia a dia. 
 
• Consiste na soma dos valores coletados e divididos pela quantidade de fatores considerados. 
 
 
Média Aritmética 
ESTATÍSTICA 
 Exemplos de utilização da média aritmética no cotidiano: 
 
• Média das notas escolares. 
 
• Média de gols num campeonato de futebol. 
 
• Média de público nos jogos dos campeonatos. 
 
• Média da idades dos alunos da turma. 
 
• Renda Per Capita de um país (total da renda de um país dividido pelo 
número total de seus habitantes). 
Média Aritmética 
ESTATÍSTICA 
 Questão sobre média aritmética (ENADE): 
Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no 
gráfico a seguir. 
 Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual 
foi a porcentagem de alunos aprovados? 
 (A) 18% 
 (B) 21% 
 (C) 36% 
 (D) 50% 
 (E) 72% 
 
 
20 
16 
12 
8 
4 
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 
N
ú
m
er
o
 d
e 
al
u
n
o
s 
Médias 
Média Aritmética 
ESTATÍSTICA 
 Analisando o gráfico verificamos: 4 alunos com média 4; 10 alunos com 
média 5; 18 alunos com média 6; 16 alunos com média 7 e 2 alunos com 
média 8; num total de 50 alunos. 
 Portanto, 38 alunos possuem média igual ou maior que 6. 
 Calculando a porcentagem dos aprovados através do método da regra de 
três, temos: 
 
 
 
 
 
 Resposta: E 
 
 
 
%72
50
%10036
%________36
%100_______50

x
X
Xalunos
alunos
ESTATÍSTICA 
 
Média Ponderada 
• A Média Aritmética Ponderada, chamada simplesmente por : 
 “Média Ponderada”, é calculada atribuindo-se pesos aos valores coletados 
(Ponderação é sinônimo de peso). 
 
• Também é utilizada em cálculo de notas, normalmente em provas de 
concursos onde determinadas disciplinas tem maior importância que outras 
para certas áreas. 
 
• A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, ..., xn, com pesos p1, 
p2, p3, ..., pn, respectivamente, é dada pela fórmula: 
 
n
nn
pppp
pxpxpxpx
x



...
...
321
332211
ESTATÍSTICA 
 
Média Ponderada 
 Questão com Média Aritmética Ponderada: 
• (Matemática Aplicada – Gelson Iezzi e Outros) Em um dia de pesca nos rios do 
Pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes capturada de 
cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado de Cuiabá. 
Qual o preço médio por quilo? 
 
 
 
 
 
 
• Neste caso o fator ponderação (peso) é a quantidade, em quilos de peixe 
pescado de cada espécie. 
Tipo de Peixe Peixe pescado (kg) Preço por quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
reaisx 65,4
34
158
34
545054
61018
9x65x103x18






ESTATÍSTICA 
Média aritmética para dados agrupados em classes 
Seja Xi, o ponto médio da i-ésima classe, então: 
 _ 
 X =  Xi fi /  fi 
 
Exemplo: 
Em uma turma com 30 alunos, tivemos a seguinte distribuição de frequência: 
 
CLASSE Fi Xi Xi.Fi 
0 |--- 2 3 1 3 
2 |--- 4 6 3 18 
4 |--- 6 10 5 50 
6 |--- 8 6 7 42 
8 |---|10 5 9 45 
  30 158 
 _ 
 X =  Xi fi /  fi = 158 / 30 = 5,27 
i) A media aritmetica sempre existe e e unica; 
 
ii) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, a media do 
conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante; 
 
 iii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c , a media 
do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante; 
 
iv) A soma algébrica dos desvios tomados em relação a media e nula; 
 
v) A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação a media aritmética e um valor mínimo. 
 
Ex para casa: Vamos verificar essas propriedades através de exemplos. 
Consideremos a sequencia de dados (2,4,6,8,10,10,12,12), calculemos sua media e verifiquemos as 
propriedades acima: 
12 
Propriedades da media aritmética 
ESTATÍSTICA 
Moda 
Pode-se definir como o valor mais frequente, quando comparada sua frequência com a dos 
valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, 
pode não ser única. 
 
Exemplos: 
X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 
 moda = 6 – valor mais frequente – unimodal 
 
Y = 2, 3, 4, 5, 6 
 não tem moda – amodal 
 
Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9 
 tem duas modas 4 e 8 – bimodal 
 
 ESTATÍSTICA 
A idade mais comum é representada pela classe 40 / - / 41 anos, que corresponde a 
moda, ou classe com maior freqüência. 
 
Em situações específicas o pesquisar pode desejar calcular um ponto específico para 
a moda. Podem ser empregados 3 procedimentos distintos para obtenção da moda: 
as formulas de Czuber, King ou Pearson. 
 
Pela Fórmula de Czuber: 
 
 
 
Sendo: 
l limite inferior da classe modal 
d1 diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe anterior; 
d2  diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe 
posterior; 
h  amplitude da classe modal; 
Fórmula para dados agrupados: 
Idade (em 
anos) 
Freqüência 
35 ou 
menos 
230 
36 / - / 37 427 
38 / - / 39 983 
40 / - / 41 1790 
42/ - / 43 1427 
44 ou mais 143 
SOMA 5.000 
h
dd
d
lMo .
21
1


 ESTATÍSTICA 
 A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do 
atributo salário mensal medido em quantidade de salários 
mínimos para uma amostra de 100 funcionários da empresa X. Os 
dois próximos itens referem-se a essa tabela. Note que a coluna 
Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários 
mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da frequência 
acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações 
coincidentes com os extremos das classes.Assinale a opção que 
corresponde ao salário modal no conceito de Czuber. 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 
Fórmula para dados agrupados: 
Idade (em 
anos) 
Freqüência 
4 / - / 8 20 
8 / - / 12 40 
12 / - / 16 20 
16/ - / 20 18 
20 /-/ 24 2 
SOMA 100 
h
dd
d
lMo .
21
1


É o valor que ocupa a posição central de uma 
distribuição. 
 
Se tivermos uma amostra simples como; 1, 3, 5, 9 e 10, a 
mediana é o número 5. 
 
Se a amostra for do tamanho par, como por exemplo; 1, 
3, 5, 7, 9 e 10, a mediana será a média dos dois termos 
centrais (5 + 7) / 2 = 6 
Mediana 
ESTATÍSTICA 
 ESTATÍSTICA 
Neste caso, para poder calcular a mediana é necessário que os valores da variável estejam dispostos 
em uma tabela de freqüência. A mediana será o valor da variável para a qual 50% da freqüência total 
fica situada acima dela e os outros 50% abaixo. 
 
Pela Fórmula: 
 
 
 
Sendo: 
l limite inferior da classe mediana 
Emd freqüência total dividida por 2; 
Fant  freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana; 
Fmd freqüência da classe mediana 
h  amplitude da classe; 
Fórmula para dados agrupados: 
h
f
FE
lMd
md
antmd .


 ESTATÍSTICA 
 
 
 
Dados agrupados: 
h
f
FE
lMd
md
antmd .


CONTEÚDO DA PRÓXIMA AULA 
Entender a aplicação das separatrizes: 
 
- mediana; 
- quartil; 
- decil; 
- percentil. 
 
Compreender os Índices de Person.

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