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ESTATÍSTICA AULA 2: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ESTATÍSTICA Estrutura de Conteúdo Apresentar as medidas de tendência central: • Média; • Moda; • Mediana. Conceitos Básicos de Distribuição de frequência ESTATÍSTICA Dados Brutos - Normalmente, na prática, os dados originais de uma série estatística não se encontram prontos para análise, por estarem desorganizados. Por essa razão, costuma-se chamá-los de dados brutos. Rol - É a lista ordenada dos dados de uma série estatística. Essa ordenação pode ser crescente ou decrescente. Elementos de uma distribuição de frequência • (X máx.) maior valor observado da variável de frequências; • (X mín.) menor valor observado da variável de frequências; • Amplitude (A) é a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável. ESTATÍSTICA Conceitos Básicos de Distribuição de frequência Intervalo de classe (h) - é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. Limites de classe - os limites de uma classe são os valores extremos. O limite mínimo de uma classe é denominado Limite Inferior e o limite máximo de Limite Superior. Ponto médio de classe (Xi) - o ponto médio de uma classe é o valor representativo da classe. Para se obter o ponto médio de uma classe, basta somar os limites superior e inferior da classe e dividir por 2. Média Aritmética Simples a média aritmética, ou média, de um conjunto de N números X1, X2, ...., Xn é definida por: _ X = X1 + X2 + ....... + Xn / N Exemplo: {1, 1, 3, 4, 4} _ X = 1 + 1+ 3 + 4 + 4 / 5 = 13 / 5 = 2,6 ESTATÍSTICA • Existem dois tipos de Média mais utilizados: aritmética Simples e aritmética Ponderada. • A Média aritmética Simples, chamada normalmente apenas de “Média Aritmética”, é a mais utilizada no nosso dia a dia. • Consiste na soma dos valores coletados e divididos pela quantidade de fatores considerados. Média Aritmética ESTATÍSTICA Exemplos de utilização da média aritmética no cotidiano: • Média das notas escolares. • Média de gols num campeonato de futebol. • Média de público nos jogos dos campeonatos. • Média da idades dos alunos da turma. • Renda Per Capita de um país (total da renda de um país dividido pelo número total de seus habitantes). Média Aritmética ESTATÍSTICA Questão sobre média aritmética (ENADE): Considere que as médias finais dos alunos de um curso foram representadas no gráfico a seguir. Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados? (A) 18% (B) 21% (C) 36% (D) 50% (E) 72% 20 16 12 8 4 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 N ú m er o d e al u n o s Médias Média Aritmética ESTATÍSTICA Analisando o gráfico verificamos: 4 alunos com média 4; 10 alunos com média 5; 18 alunos com média 6; 16 alunos com média 7 e 2 alunos com média 8; num total de 50 alunos. Portanto, 38 alunos possuem média igual ou maior que 6. Calculando a porcentagem dos aprovados através do método da regra de três, temos: Resposta: E %72 50 %10036 %________36 %100_______50 x X Xalunos alunos ESTATÍSTICA Média Ponderada • A Média Aritmética Ponderada, chamada simplesmente por : “Média Ponderada”, é calculada atribuindo-se pesos aos valores coletados (Ponderação é sinônimo de peso). • Também é utilizada em cálculo de notas, normalmente em provas de concursos onde determinadas disciplinas tem maior importância que outras para certas áreas. • A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, ..., xn, com pesos p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, é dada pela fórmula: n nn pppp pxpxpxpx x ... ... 321 332211 ESTATÍSTICA Média Ponderada Questão com Média Aritmética Ponderada: • (Matemática Aplicada – Gelson Iezzi e Outros) Em um dia de pesca nos rios do Pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado de Cuiabá. Qual o preço médio por quilo? • Neste caso o fator ponderação (peso) é a quantidade, em quilos de peixe pescado de cada espécie. Tipo de Peixe Peixe pescado (kg) Preço por quilo Peixe A 18 R$ 3,00 Peixe B 10 R$ 5,00 Peixe C 6 R$ 9,00 reaisx 65,4 34 158 34 545054 61018 9x65x103x18 ESTATÍSTICA Média aritmética para dados agrupados em classes Seja Xi, o ponto médio da i-ésima classe, então: _ X = Xi fi / fi Exemplo: Em uma turma com 30 alunos, tivemos a seguinte distribuição de frequência: CLASSE Fi Xi Xi.Fi 0 |--- 2 3 1 3 2 |--- 4 6 3 18 4 |--- 6 10 5 50 6 |--- 8 6 7 42 8 |---|10 5 9 45 30 158 _ X = Xi fi / fi = 158 / 30 = 5,27 i) A media aritmetica sempre existe e e unica; ii) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma variável, a media do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante; iii) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante c , a media do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante; iv) A soma algébrica dos desvios tomados em relação a media e nula; v) A soma dos quadrados dos desvios tomados em relação a media aritmética e um valor mínimo. Ex para casa: Vamos verificar essas propriedades através de exemplos. Consideremos a sequencia de dados (2,4,6,8,10,10,12,12), calculemos sua media e verifiquemos as propriedades acima: 12 Propriedades da media aritmética ESTATÍSTICA Moda Pode-se definir como o valor mais frequente, quando comparada sua frequência com a dos valores contíguos de um conjunto ordenado. A moda pode não existir e, mesmo que exista, pode não ser única. Exemplos: X = 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8 moda = 6 – valor mais frequente – unimodal Y = 2, 3, 4, 5, 6 não tem moda – amodal Z = 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 8, 9 tem duas modas 4 e 8 – bimodal ESTATÍSTICA A idade mais comum é representada pela classe 40 / - / 41 anos, que corresponde a moda, ou classe com maior freqüência. Em situações específicas o pesquisar pode desejar calcular um ponto específico para a moda. Podem ser empregados 3 procedimentos distintos para obtenção da moda: as formulas de Czuber, King ou Pearson. Pela Fórmula de Czuber: Sendo: l limite inferior da classe modal d1 diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe anterior; d2 diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe posterior; h amplitude da classe modal; Fórmula para dados agrupados: Idade (em anos) Freqüência 35 ou menos 230 36 / - / 37 427 38 / - / 39 983 40 / - / 41 1790 42/ - / 43 1427 44 ou mais 143 SOMA 5.000 h dd d lMo . 21 1 ESTATÍSTICA A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências do atributo salário mensal medido em quantidade de salários mínimos para uma amostra de 100 funcionários da empresa X. Os dois próximos itens referem-se a essa tabela. Note que a coluna Classes refere-se a classes salariais em quantidades de salários mínimos e que a coluna P refere-se ao percentual da frequência acumulada relativo ao total da amostra. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.Assinale a opção que corresponde ao salário modal no conceito de Czuber. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 Fórmula para dados agrupados: Idade (em anos) Freqüência 4 / - / 8 20 8 / - / 12 40 12 / - / 16 20 16/ - / 20 18 20 /-/ 24 2 SOMA 100 h dd d lMo . 21 1 É o valor que ocupa a posição central de uma distribuição. Se tivermos uma amostra simples como; 1, 3, 5, 9 e 10, a mediana é o número 5. Se a amostra for do tamanho par, como por exemplo; 1, 3, 5, 7, 9 e 10, a mediana será a média dos dois termos centrais (5 + 7) / 2 = 6 Mediana ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA Neste caso, para poder calcular a mediana é necessário que os valores da variável estejam dispostos em uma tabela de freqüência. A mediana será o valor da variável para a qual 50% da freqüência total fica situada acima dela e os outros 50% abaixo. Pela Fórmula: Sendo: l limite inferior da classe mediana Emd freqüência total dividida por 2; Fant freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana; Fmd freqüência da classe mediana h amplitude da classe; Fórmula para dados agrupados: h f FE lMd md antmd . ESTATÍSTICA Dados agrupados: h f FE lMd md antmd . CONTEÚDO DA PRÓXIMA AULA Entender a aplicação das separatrizes: - mediana; - quartil; - decil; - percentil. Compreender os Índices de Person.
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