Álgebra Linear: Subespaços, Dependência Linear e Propriedades

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GAAL- lista 5
6 de Outubro de 2014
1. Quais dos seguintes conjuntos de R3 sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x3 = x1 + x2.
b) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x
2
3 = x
2
1 − x2.
c) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x1 ≥ 0
d) O conjunto de vetores (a, b, c) tais que b = a+ c+ 1.
e) O conjunto de vetores da forma (a, 0, 0.)
f) O conjunto de vetores (x1, x2, x3) tais que x
2
1 = x
2
2.
2. Determine o valor de a tal que os vetores v1 = (0,−2, 2), v2 = (1, 3,−1) e v3 = (a,−1, 5)
sejam linearmente dependentes (L.D.).
3. Usando v1, v2 e v3 do item anterior, verifique se v4 = (−4, 6,−13, 4) esta´ no espac¸o gerado
por v1, v2, v3 e caso esteja escreva v4 como combinac¸a˜o linear de v1, v2 e v3.
4. Mostre que os vetores v1 = (−1, 1, 0,−3), v2 = (−3, 3, 2,−1), v3 = (0, 1, 0, 0) e v4 =
(0, 0, 0, 1) sa˜o linearmente independentes (L.I.).
5. Verifique se os vetores v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3,−2, 5, 0), v3 = (−1, 0, 3, 1) sa˜o L.I. ou L.D.
6. Considere os vetores v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3,−1, 5, 2) e v3 = (−1, 0, 2, 1). Escreva, se for
poss´ıvel, cada um dos vetores (2, 3,−7, 3) e (1, 1, 1, 1) como combinac¸a˜o linear dos vetores
v1, v2 e v3.
7. Determine os valores de λ para os quais
a) Os vetores v1 = (1 − λ, 0, 2), v2 = (2, 1 − λ, 1) e v3 = (3, 0, 2 − λ) sa˜o linearmente
dependentes.
b) Os vetores v1 = (3, 1, 0) e v2 = (λ
2 + 2, 2, 0) sa˜o linearmente dependentes.
b) Os vetores v1 = (λ,−12 ,−12), v2 = (−12 , λ,−12) e v3 = (−12 ,−12 , λ) sa˜o linearmente
dependentes.
8. Mostre que os vetores v1 = (−1,−1, 2, 1, 0), v2 = (1, 1, 1, 1, 3) e v3 = (1, 0,−1, 1, 2) sa˜o
linearmente independentes. Encontre os valores de a, b ∈ R tal que v4 = (1,−1, 3, a, b)
esteja no espac¸o gerado por v1, v2 e v3 . Neste caso, encontre λ1, λ2 e λ3 tal que v4 =
λ1v1 + λ2v2 + λ3v3.
9. Encontre um conjunto de geradores para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo AX = 0,
onde A =
 1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1
 .
10. Diga se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Se os vetores v1, v2 e v3 sa˜o vetores de Rn linearmente independentes, enta˜o w1 = v1+v2,
w2 = v1 + v3 e w3 = v2 + v3 sa˜o L.I.
(b) Se A uma matriz n× n, as colunas de A sa˜o L.I se e somente se, det(A) 6= 0.
(c) O plano x+ y + 2z + 2 = 0 e´ um subespac¸o de R3. Justifique sua
(d) A reta y = 2x e´ um subespac¸o de R2
(e) A unia˜o de dois subespac¸os de um espac¸o vetorial V e´ tambe´m um subespac¸o de V
(f) Se o conjunto gerado pelo conjunto S1 e´ igual ao conjunto gerado por S2 enta˜o os
S1 = S2.
(g) Qualquer conjunto com um u´nico vetor e´ L.I.
(h) O conjunto de matrizes 2 × 2 com determinante igual a zero forma um sub-espac¸o
vetorial de R4.
(i) O conjunto de matrizes 3 × 3 triangulares superiores formam um sub-espac¸o vetorial
de R9
(j) Dada a matriz A =
(
3 2
7 1
)
, o conjunto de vetores X = (x, y) tal que XAX t = 0
formam um espac¸o vetorial.
(k) Dada a matriz A =
(
3 2
7 1
)
, o conjunto de matrizes X =
(
x y
z w
)
tal que AXAt = 0
formam um espac¸o vetorial.
11. Um conjunto de vetores e´ dito ortonormal se os vetores sa˜o ortogonais dois a dois e a norma
de cada um dos vetores do conjunto e´ 1. Para que valores de a e b o conjunto de vetores
u = ( 1√
2
, 0, 1√
2
) e v = (a, 0, b) sa˜o ortonormais.