Autovalores e Autovetores de Matrizes

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GAAL- lista 7
3 de Novembro de 2014
Dada A uma matriz quadrada n × n, definimos o polinoˆmio caracter´ıstico de A, como o
polinoˆmio PA(λ) = det(A − λI). Este polinoˆmio tem grau n e suas ra´ızes sa˜o chamados os
valores pro´prios da matriz A. Se a e´ um valor pro´prio de A, uma soluc¸a˜o na˜o nula do sistema
(A− aI)X = 0 e´ chamado de vetor pro´prio associado ao autovalor a.
1. Determine o polinoˆmio carater´ıstico, autovalores e autovetores das seguintes matrizes
A =
(
5 −2
−2 8
)
B =
(
1 −2
−2 4
)
2. Determine os autovalores das matrizes
1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2


1 5 0 −3 7
0 2 3 −2 4
0 0 −4 3 −8
0 0 0 3 7
0 0 0 0 8

3. Determine o polinoˆmio caracter´ıstico das matrizes

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
14 −2 15 9


0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
4 2 −5 9 7

Como pode ser generalizado o resultado anterior?
4. Determine o polinoˆmio caracter´ıstico de cada uma das seguintes matrizes
A =

2 −1 0 0
−1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 2
 B =

2 −1 0 0
−1 1 0 0
1 0 1 1
0 1 1 2
 C =

2 −1 1 0
−1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 1 2

5. Dada a matriz
A =
0 0 −21 2 1
1 0 3

Determine
(a) Polinoˆmio Caracter´ıstico.
(b) Os treˆs autovalores λ1, λ2 e λ3
(c) Os treˆs autovetores associados a λ1, λ2 e λ3 e com normal 1.
(d) Considere a matrizB que tem como colunas os autovalores encontrados no item anterior
e calcule Bt e B−1. Qual e´ a relac¸a˜o entre estas duas matrizes?
(e) Calcule B−1AB.
6. Resolva o mesmo problema anterior com a matriz B =
 4 −2 −2−2 4 2
−2 2 4

7. Dada a matriz A =
 4 2 32 1 2
−1 −2 0
, determine uma matriz M tal que a matriz M−1AM
seja uma matriz diagonal