Aula 5 - Métodos de Análise

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Prof. Francisco A. Scannavino Jr. 
Aula 5 
Métodos de Análise 
1. Revisão 
• A Lei de Ohm estabelece que a tensão U em um resistor é 
diretamente proporcional à corrente I que flui através do resistor; 
• A Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK): a soma das correntes que 
entram em um nó é igual a soma das correntes que saem do nó. 
• A Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK): a soma algébrica de todas 
as tensões em um caminho fechado (ou loop) é zero; 
• Um ramo representa um único elemento, tal como uma fonte de 
tensão ou um resistor; 
• Um nó é o ponto de conexão entre dois ou mais ramos; 
• Um loop é qualquer caminho fechado em um circuito. 
2. Análise Nodal 
• Análise nodal ou método da tensão de nó é baseada na aplicação 
sistemática da Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK); 
• Adicionalmente, fornece um procedimento geral para a análise de 
circuitos usando as tensões de nó como variáveis do circuito; 
• A escolha das tensões de nós, no lugar das tensões dos elementos, 
como variáveis dos circuitos é conveniente e reduz o número de 
equações que devem ser resolvidas simultaneamente; 
• Primeiramente, a explicação será dada com circuitos que possuam 
somente fontes de corre; 
2. Análise Nodal 
• Passos para determinar as tensões dos nós: 
1) Selecione um nó como referência. Designe as tensões v1, v2, ... , vn-1; 
• (a) e (c) potencial de 
terra; 
• (b) terra de chassi. 
2. Análise Nodal 
• Passos para determinar as tensões dos nós: 
2) Aplique a LCK para cada um dos n-1 nós (excluindo o nó de 
referência). Utilize a Lei de Ohm para expressar a corrente do ramo 
em termos da tensão do nó; 
Nó 1: 
 
I1 = I2 + i1 + i2 (1) 
 
Nó 2: 
 
I2 + i2 = i3 (2) 
 
 
A corrente flui do potencial mais alto para o 
potencial mais baixo em um resistor: 
 
𝑖 = 
𝑣𝑎𝑙𝑡𝑜 − 𝑣𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
𝑅
 
 
2. Análise Nodal 
• Passos para determinar as tensões dos nós: 
Aplicando a Lei de Ohm, temos: 
 
 
𝑖1 =
𝑣1−0
𝑅1
 𝑜𝑢 𝑖1 = 𝐺1 . 𝑣1 
 
𝑖2 =
𝑣1 − 𝑣2
𝑅2
 𝑜𝑢 𝑖2 = 𝐺2 . 𝑣1 − 𝑣2 
 
𝑖3 =
𝑣2 − 0
𝑅3
 𝑜𝑢 𝑖3 = 𝐺3 . 𝑣2 
2. Análise Nodal 
• Passos para determinar as tensões dos nós: 
Substituindo as equações obtidas na Lei de Ohm nas equações das 
tensões nos nós, temos: 
 
𝐼1 = 𝐼2 +
𝑣1
𝑅1
+
𝑣1 − 𝑣2
𝑅2
 
 
𝐼2 +
𝑣1 − 𝑣2
𝑅2
= 
𝑣2
𝑅3
 
 
Em termos das condutâncias, temos: 
 
𝐼1 = 𝐼2 + 𝐺1. 𝑣1 + 𝐺2 . 𝑣1 − 𝑣2 
 
𝐼2 + 𝐺2 𝑣1 − 𝑣2 = 𝐺3 . 𝑣2 
2. Análise Nodal 
• Passos para determinar as tensões dos nós: 
3) Resolva as equações simultâneas para obter as tensões 
desconhecidas dos nós. 
Isolando v1 e v2: 
𝐺1 + 𝐺2 . 𝑣1 − 𝐺2. 𝑣2 = 𝐼1 − 𝐼2 
 
−𝐺2. 𝑣1 + 𝐺2 + 𝐺3 . 𝑣2 = 𝐼2 
 
Representando na forma matricial, temos: 
 
𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2
−𝐺2 𝐺2 + 𝐺3
 .
𝑣1
𝑣2
=
𝐼1 − 𝐼2
𝐼2
 
2. Análise Nodal 
• Exemplo: 
1) Calcule as tensões dos nós do circuito abaixo pela análise nodal. 
3. Análise Nodal com Fontes de Tensão 
• A análise nodal com fontes de tensão possui 2 casos: 
Caso 1: 
• Se a fonte de tensão estiver conectada entre o nó de referência e 
um outro nó, podemos simplesmente ajustar a tensão do nó para 
ser igual a tensão da fonte de alimentação. 
𝑣1 = 10 𝑉 
3. Análise Nodal com Fontes de Tensão 
• A análise nodal com fontes de tensão possui 2 casos: 
Caso 2: 
• Se a fonte de tensão (dependente ou independente) estiver 
conectada entre dois nós que não sejam de referência, os dois nós 
formam um nó generalizado ou um supernó. 
𝑖1 + 𝑖4 = 𝑖2 + 𝑖3 
 
ou 
 
𝑣1 − 𝑣2
2
+
𝑣1 − 𝑣3
4
=
𝑣2 − 0
8
+
𝑣3 − 0
6
 (1) 
3. Análise Nodal com Fontes de Tensão 
• A análise nodal com fontes de tensão possui 2 casos: 
Caso 2: 
• A segunda equação é obtida através da aplicação da LTK ao 
supernó: 
−𝑣2 + 5 + 𝑣3 = 0 
 
∴ 𝑣2 −𝑣3 = 5 (2) 
3. Análise Nodal com Fontes de Tensão 
• Observe as seguintes propriedades de um supernó: 
1. A fonte de tensão dentro de um supernó fornece uma equação de 
restrição que deve ser resolvida para as tensões nodais; 
2. Um supernó não possui tensão por ele próprio, independente do 
restante do circuito; 
3. Um supernó necessita tanto aplicação da LCK quanto da LTK. 
4. Análise de Malha 
• Enquanto a análise nodal aplica a LKC para determinar as tensões 
nos nós, a análise de malha aplica a LKT para determinar as 
correntes de malha; 
• Malha é um loop que não contém nenhum outro loop interno; 
• Na figura, os caminhos abefa e bcdeb são malhas, mas o caminho 
abcdefa não é uma malha. 
4. Análise de Malha 
• Passos para determinação das correntes de malha: 
1) Designe as corrente de malha i1, i2, ... , in para as n malhas; 
2) Aplique a LTK a cada uma as n malhas. Utilize a Lei de Ohm para 
expressar as tensões em termos das correntes de malha; 
3) Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as 
correntes de malha. 
4. Análise de Malha 
• Malha 1- Aplicando LTK: 
 
−𝑉1 + 𝑅1. 𝑖1 + 𝑅3. 𝑖1 − 𝑖2 = 0 
 
ou 
 
𝑅1 + 𝑅3 . 𝑖1 − 𝑅3. 𝑖2 = 𝑉1 1 
4. Análise de Malha 
• Malha 2 - Aplicando LTK: 
 
𝑅2. 𝑖2 + 𝑉2 + 𝑅3. 𝑖2 − 𝑖1 = 0 
 
ou 
 
−𝑅3. 𝑖1 + 𝑅2 + 𝑅3 . 𝑖2 = −𝑉2 (2) 
4. Análise de Malha 
• Colocando as equações (1) e (2) na forma matricial, temos: 
 
 
𝑅1 + 𝑅2 −𝑅3
−𝑅3 𝑅2 + 𝑅3
 .
𝑖1
𝑖2
=
𝑉1
𝑉2
 
 
4. Análise de Malha 
• Exemplo: 
2) Para o circuito abaixo, calcule as correntes dos ramos I1, I2 e I3 
utilizando a análise de malha. 
5. Análise de Malha com Fontes de Corrente 
• A aplicação da análise de malha em circuitos que possuem fontes 
de corrente pode parecer complicada, mas na realidade, é muito 
mais fácil do que nos casos anteriores; 
• A presença de uma fonte de corrente reduz o número de equações; 
5. Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Caso 1: 
• Quando a fonte de corrente existe apenas em uma malha: 
considere o circuito da figura como exemplo. 
• Estabelecemos i2 = -5 A e escrevemos a equação da malha para a 
outra malha da forma usual. 
5. Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Caso 1: 
−10 + 4. 𝑖1 + 6. 𝑖1 − 𝑖2 = 0 → 𝑖1 = −2 𝐴 
5. Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Caso 2: Quando a fonte de corrente existe entre duas malhas. 
Considere o circuito da figura como exemplo. Criamos uma 
supermalha excluindo a fonte de corrente e os elementos associados 
em série com ela, como mostrado na figura (b): 
Uma supermalha origina-se quando duas malhas possuem uma fonte 
de corrente (dependente ou independente) em comum. 
5. Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Caso 2: Aplicando LTK à supermalha, teremos: 
−20 + 6. 𝑖1 + 10. 𝑖2 + 4. 𝑖2 = 0 
 
ou 
 
6. 𝑖1 + 14. 𝑖2 = 20 (1) 
5. Análise de Malha com Fontes de Corrente 
Caso 2: Aplicando LCK ao nó do ramo no qual as duas malhas se 
interceptam. Aplicando a LCK ao nó 0 da figura (a), teremos: 
𝑖2 = 𝑖1 + 6 (2) 
 
Resolvendo as equações (1) e (2), temos: 
 
𝑖1 = −3,2 𝐴, 𝑖2 = 2,8 𝐴