vetores

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CAPÍTULO 4
Vetores e Espaços Vetoriais
*
*Introdução*
A geometria foi desenvolvida pelos gregos a mais de 2000 anos. Em
contraste, a álgebra, como uma estrutura lógica, tem sido desenvolvida
mais recentemente, principalmente nos últimos 100 anos. Sua formulação é
surpreendentemente simples. Descobriu-se que essencialmente toda
geometria pode ser desenvolvida em linguagem algébrica. Em vez de
combinar pontos e retas na maneira geométrica usual, nós realizamos
operações algébricas em certos objetos denominados /vetores/. Na
verdade, o estudo dos vetores pode ser desenvolvido sistematicamente a
partir de uns poucos axiomas semelhantes aos axiomas para números. Os
teoremas da geometria tornam-se teoremas da álgebra vetorial, com ênfase
nas equações, identidades e desigualdades em lugar de ênfase nos
conceitos geométricos tais como congruência, semelhança e intersecção de
linhas. A álgebra linear é na verdade o fundamento de grande parte da
matemática moderna.
 
**
*O que são vetores? *
São segmentos orientados, isto é com direção comprimento ou módulo.
Quando escrevemos , dizemos que v é um vetor determinado pelo segmento
orientado AB de origem em A e extremidade B.
Exemplo: Imagine uma força atuando sobre um corpo. Você conseguirá
precisá-la determinando sua intensidade e direção. Força é um exemplo
típico de grandeza que será representada por um vetor. Outros exemplos
são velocidade e deslocamento.
 
 
Vetores com a mesma direção são denominados colineares (vetores são
colineares se pertencerem a mesma reta ou a retas paralelas) e vetores
pertencentes ao mesmo plano são chamados coplanares.
 
**
*Vetores no R^2 :*
O conjunto R^2 = {(x,y)/ x,y Î R} é chamado plano cartesiano ou espaço
vetorial bidimensional, e é interpretado geometricamente como sendo o
plano cartesiano xOy. É formado por um par de retas ortogonais, com
orientação.
 
 
 Em nosso estudo consideraremos os vetores representados por segmentos
orientados com a origem na origem do sistema (O), chamados vetores no
plano. Assim, cada vetor do plano é determinado pelo ponto extremo do
segmento. Portanto, o ponto P(x,y) indica o vetor e escreve-se:
 
v(x,y)
v = (x,y)
ou
v = (notação matricial)
onde: x e y são as coordenadas do ponto P.
 * A origem do sistema O(0,0) é um vetor que tem os pontos inicial e
 final coincidentes e é denominado vetor nulo.
 * O oposto de um vetor é outro vetor que tem o mesmo comprimento,
 mas direção oposta. Em termos de coordenadas, se v = (a,b), então
 o seu vetor oposto x = (-a,-b) e denotamos w = -v.
 
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* Operações com vetores no plano*
 1. *Multiplicação de um vetor por um número
 *
 Multiplicar um vetor v por um número k >0 é considerar um novo
 vetor w = kv, que possui a mesma direção de v e tem como
 comprimento k vezes o comprimento de v. Se k<0, o vetor w = kv
 será igual ao oposto do vetor |k|.v. Se k=0, w = kv será o vetor nulo.
 Observe que a multiplicação de vetor por um número corresponde à
 multiplicação da matriz coluna ou linha por esse número. Por
 exemplo: v = (2,-5), w=3v = (6,-15).
 _
 Interpretação geométrica:
 _
 2. *Adição de dois vetores
 *
 Para introduzir a soma de vetores, vamos voltar ao exemplo de força
atuando num corpo. Uma força que atua num ponto pode ser representada
por um vetor, de comprimento igual a intensidade da força, com a mesma
direçao em que a força atua. (Estamos supondo que a origem do sistema de
coordenadas está no ponto onde a força atua).
 Suponhamos agora que temos duas forças F_1 e F_2 atuando no mesmo
 objeto. Podemos representar o resultado destas duas forças por uma
 única força R? Em outras palavras, o que é a "soma" de duas forças?
 A experiência mostra que a força resultante é representada pelo
 vetor diagonal do paralelogramo construído a partir dos vetores F_1
 e F_2 . Chamamos a força resultante de soma de F_1 e F_2 e denotamos
 por R = F_1 +F_2 . Agora pensemos em termos de coordenadas. Se F_1 =
 (a,b) e F_2 = (c,d), quais são as coordenadas de R? O vetor soma
 será R = (a+c, b+d). Observe que somar vetores corresponde
 simplesmente a somar as matrizes que os representam. As operações
 entre vetores herdam, portanto, todas as propriedades das operações
 correspondentes para matrizes.
Podemos ainda observar que a soma de um vetor v = (a,b) com seu oposto w
= -v = (-a, -b) é o vetor nulo. Isto é, v+w = v + (-v) = (a-a, b-b) = (0,0)
**
* *
*Exercícios de fixação *
1-O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores e , sendo M e N
pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Completar
convenientemente:
 1. + =
 2. +=
 3. -=
 4. +=
 5. + =
 6. -=
 
2-Determinar o vetor w na igualdade , sendo dados u = (3,-1) e v = (-2,4).
Resp.:
3-Encontrar os números a e b tais que:
w = au + bv, sendo u = (1,2), v = (4,-2) e w = (-1,8)
Resp;: a = 3 e b = -1
**
* *
*Vetores no R^3 :*
O conjunto R^3 = {(x,y,z)/ x,y,z Î R} é chamado geometricamente de
espaço vetorial cartesiano tridimensional Oxyz e é formado por três
retas orientadas, perpendiculares duas a duas, e, cada ponto P do
espaço, estará identificado com a terna de números reais (x,y,z) que dá
suas coordenadas.
 
 
 Da mesma forma como fizemos no plano, consideraremos vetores
representados por segmentos orientados com a origem na origem do
sistema. Nessas condições, cada vetor do espaço é determinado pelo ponto
extremo do segmento. Assim, o ponto P(x,y,z) individualiza o vetor e
escreve-se:
v (x,y,z)
v = (x,y,z)
v = (notação matricial)
onde: x, y e z são as coordenadas do ponto P.
 
**
*Operações com vetores no espaço*
A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um número (escalar)
também são definidos da mesma forma que no plano.
Se u = (x_1 , x_2 , x_3 ) e v = (y_1 , y_2 , y_3 ),
u + v = (x_1 +y_1 , x_2 +y_2 , x_3 +y_3 )
e ku = (kx_1 , kx_2 , kx_3 )
Por exemplo, se u = ( 2, -3, 5) e v = (1, 2, 0), u+v = ( 3, -1, 5) e 2u
= (4, -6, 10).
Como já observamos no caso do plano, estas operações correspondem
exatamente às respectivas operações das matrizes-linha que representam
os vetores e gozam de uma série de propriedades decorrentes daquelas
relativas às operações com números reais.
**
* *
*Propriedades*
 1. (u+v) + w = u + (v+w)
 2. u+v = v+u
 3. Existe 0 Î V tal que u + 0 = u (0 é chamado vetor nulo)
 4. Existe –u Î V tal que u + (-u) = 0
 5. a (u+v) = au + av
 6. (a_b)v = av + bv
 7. (ab)v = a(bv)
 8. 1 u = u
 
Estas propriedades servirão para caracterizar certos conjuntos que,
apesar de terem natureza diferente dos vetores no espaço, "comportam-se"
como eles. Estes conjuntos receberão o nome de /espaços vetoriais/.
 
**
*Exercício de fixação *
1-Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u = (-2,-1,1),
v=(3,0,-1) e w = (-2,2,2), verificar se existem os números a_1 , a_2 e
a_3 , tais que w = a_1.AB + a_2 u + a_3 v.
_Resp.: a_1 =3, a_2 =1 e a_3 = -1
_ 
_2- Dados os vetores u = (4,a,-1) e v = (a,2,3) e os pontos A(4,-1,2) e
B(3,2,-1), determinar o valor de a tal que
_u.(v+BA) = 5
_Resp.: a = 7/3
_*
 
Módulo de um vetor
*
_* *Módulo de um vetor v = (x,y,z), representado por , é o número real
não negativo
_
_ou, em coordenadas:
_
_Exemplo:
_Se v = (2,1,-2), então
_
_**
_* *
_*Ângulo entre dois vetores*
_Se u¹ 0, v¹ 0 e se q é o ângulo dos vetores u e v, então:
_
_**
_*Exercícios de Fixação*
_* *Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2)
_Resp.: 45°
_ 
_Mostrar que os vetores u = (-2,3,-2) e v = (-1,2,4) são ortogonais.
_ 
_**
_*O que é um espaço vetorial?*
_Espaço vetorial: é um conjunto de objetos chamados /vetores/,
independentemente de sua natureza. Pode parecer estranho, mas chamamos
de vetores: os próprios vetores anteriormente definidos, polinômios,
matrizes e números. A justificativa está no fato das operações de adição
e multiplicação por escalar, realizadas com esses elementos de natureza
tão distinta se comportarem de forma idêntica, segundo as propriedades
citadas acima, como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores
no R^2 e R^3 .
_Portanto:
 * _os conjuntos R, R^2 , R^3 , ...., R^n de vetores, são espaços
 vetoriais
 * _o conjunto M(m,n) das matrizes m x n é um espaço vetorial
 * _o conjunto P_n = {a_o + a_1 x + a_2 x + .... + a_n x} dos
 polinômios é um espaço vetorial.
_Então: espaço vetorial é um conjunto de /vetores/ que juntamente com as
operações usuais de adição e multiplicação satisfazem os oito axiomas
citados acima).
_ 
_**
_*Combinação Linear*
_Vamos comentar, agora, uma das características mais importantes de um
espaço vetorial, que é a obtenção de novos vetores a partir de vetores
dados.
_Sejam os vetores v_1 ,v_2 ,.....,v_n do espaço vetorial V e os
escalares a_1 ,a_2 ,.....,a_n . Qualquer vetor v Î V da forma:
_v = a_1 v_1 + a_2 v_2 +......+a_n v_n
_é uma combinação linear dos vetores v_1 ,v_2 ,....,v_n .
_Exemplo:
_Consideremos no R^3 , os seguintes vetores: v_1 =(1,-3,2) e v_2 =(2,4,-1).
_Escrever o vetor v = (-4, -18, 7) como combinação linear dos vetores
v_1 e v_2 .
_Solução:
_Pretende-se que:
_v = a_1 v_1 + a_2 v_2
_sendo a_1 e a_2 escalares a determinar. Então, devemos Ter:
_(-4, -18, 7) = (a_1 , -3a_1 , 2a_1 ) + (2a_2 , 4a_2 , -1a_2 )
_Usando a propriedade da soma de dois vetores:
_(-4, -18, 7) = (a_1 +2a_2 , -3a_1 +4a_2 , 2a_1 -1a_2 )
_Pela condição de igualdade:
_
_cuja solução é: a
_a_1 = 2 e a_2 = -3
_Portanto:
_v = 2v_1 - 3v_2
_ 
_**
_*Exercícios de fixação *
_1-Mostrar que o vetor v = (4, 3, -6) não é combinação linear dos
vetores v_1 e v_2
_2-Determinar o valor de k para que o vetor u = (-1, k, -7) seja
combinação linear de v_1 e v_2 .
_3-Determinar a condição para x,y e z de modo que (x,y,z) seja
combinação linear dos vetores v_1 e v_2 .
_4-Mostrar que o vetor v = (3,4) Î R^2 pode ser escrito de infinitas
maneiras como combinação linear dos vetores: v_1 =(1,0), v_2 = (0,1) e
v_3 = (2,-1).
_**
_* *
_*Dependência e Independência Linear*
_Seja o espaço vetorial V e o conjunto A = {v_1 , v_2 ,.....,v_n } Ì V.
_Consideremos a equação:
_a_1 v_1 + a_2 v_2 +......+a_n v_n = 0 (1)
_Sabemos que esta equação tem pelo menos uma solução que é a solução
trivial, isto é: a_1 = a_2 = .......=a_n = 0.
_O conjunto A ou os vetores v_1 , v_2 ,.....v_n são linearmente
independentes (LI), se:
 * _a equação (1) admitir somente a solução trivial. Se existirem a_i
 ¹ 0, o conjunto A ou os vetores são ditos linearmente dependentes
 (LD) ou
 * _pelo menos um dos vetores não for combinação linear de outros
 dois ou mais vetores.
_**
_* *
_*Interpretação Geométrica da dependência linear de vetores no R^2 e R^3 *
_ 
_ 
_ 
_
_{v_1 ,v_2 ,v_3 } são LD (os vetores estão representados no mesmo plano)
_ 
_
_{v_1 ,v_2 ,v_3 } são LI
_ 
_Exemplo: No espaço vetorial R^3 , os vetores v_1 =(2,-1,3), v_2
=(-1,0,-2) e v_3 =(2,-3,1) formam um conjunto L.D., pois,a_1 = 2, a_2 =
4 e a_3 = -1 e também a solução trivial, são soluções para a equação a_1
v_1 +a_2 v_2 +a_3 v_3 = 0.
_**
_* *
_*Exercícios de fixação *
_1-Mostrar que no espaço vetorial R^3 , o conjunto {e_1 ,e_2 ,e_3 }, tal
que e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0) e e_3 = (0,0,1) é L.I.
_2-No espaço vetorial M(2,2), o conjunto A é L.I. ou L.D.?
_
_3-Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos:
_a)
_b) {(2,-1),(1,3)}Ì R^2
_c){(-1,-2,0,3),(2,-1,0,0),(1,0,0,0)} Ì R^4
_4-Determinar o valor de k para que o conjunto
_{(1,0,-1), (1,1,0), (k,1,-1)} seja L.I.
_ 
_*
Base e Dimensão:
*
_*BASE de um espaço vetorial*
_Agora, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial
V, um conjunto finito de vetores, tais que qualquer outro vetor de V
seja uma combinação linear deles. Se pudermos encontrar tais vetores,
teremos os alicerces de nosso espaço vetorial. Denominaremos um conjunto
de vetores desse tipo de base.
_Um conjunto B = {v_1 , v_2 , ....,v_n } Ì V é uma base do espaço
vetorial V se:
 1. _B é LI
 2. _B gera V
_O ítem I foi visto anteriormente e deve satisfazer a seguinte condição:
_A equação: a_1 v_1 + a_2 v_2 + .... a_n v_n = 0 deve ter somente a
solução trivial.
_Para satisfazer o ítem II, a condição é a seguinte:
_Qualquer v = (x,y,...,n) Î R^n deve ser combinação linear dos vetores
de B.
_Exemplo:
_Provar que B = {(1,1),(-1,0)} é base de R^2 .
_I) B é LI:
_a_1 v_1 + a_2 v_2 = 0
_a_1 (1,1) + a_2 (-1,0) = 0
_Somando:
_a_1 – a_2 = 0
_a_1 = 0
_Resolvendo o sistema: a_1 = a_2 = 0
_II) B gera o R^2 :
_(x,y) = a_1 v_1 +_ a_2 v_2
_(x,y) = a_1 (1,1) + a_2 (-1,0)
_(x,y) = a_1 – a_2 , a_1
_a_1 – a_2 = x
_a_1 = y
_logo:
_a_1 = y
_a_2 = y – x
_Voltando a combinação linear:
_(x,y) = y(1,1) + (y-x)(-1,0)
_verificando a igualdade, os vetores de B geram o R^2 .
_**
_*OBSERVAÇÃO:*
_Os vetores:
_{(1,0), (0,1)} é a base canônica de R^2
_{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} é a base canônica de R^3
_{(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1} é a base canônica de R^4
_é a base canônica de M(2,2), etc.
_ 
_**
_*DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL*
_Seja V um espaço vetorial.
_Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se
dimV= n
_Se V não possui base, dim V = 0
_Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é
infinita e anota-se do, V = ¥ .
_Exemplo: dim R^2 = 2, pois toda base do R^2 tem dois vetores.
_dim M(m,n) = m x n
_ 
_**
_*Exercícios de fixação *
 1. _Sejam os vetores v_1 = (1,2,3), v_2 = (0,1,2) e v_3 = (0,0,1),
 mostrar que o conjunto B = {v_1 ,v_2 ,v_3 } é uma base do R^3 .
 2. _Verificar se os vetores v_1 = (1,-2,1), v_2 = (0,1,2) e v_3 =
 (1,-3,-1) são L.I. ou L.D..