Problemas Propostos Mecânica dos Solos- UNICV

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Universidade de Coimbra Departamento de Engenharia Civil 
Faculdade de Ciências e Tecnologia Laboratório de Geotecnia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Solos I 
 
 
- aulas Teórico - Práticas 2008/2009 - 
 
Problemas Propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil IFS 1/3
 
ÍNDICES FÍSICOS DOS SOLOS 
1. Relacione: 
a) o índice de vazios (e) com a porosidade (n); 
b) o índice de vazios (e) com o peso volúmico das partículas sólidas (γs), o peso volúmico 
(γ) e o teor em água (w); 
c) o grau de saturação (S) com o teor em água (w), o índice de vazios (e) e a densidade 
das partículas sólidas (G); 
d) o peso volúmico seco (γd) com o peso volúmico das partículas sólidas (γs) e o índice de 
vazios (e); 
e) o peso volúmico saturado (γsat) com o peso volúmico seco (γd), o peso volúmico da 
água (γ w) e a porosidade (n); 
f) o peso volúmico submerso (γ’) com o peso volúmico saturado (γ sat) e o peso volúmico 
da água (γ w). 
 
2. Prove que: 
S W
S S
S eV 1 wa ) V b ) c ) 
1 e 1 e 1 e
γ γγ γ γ + × ×+= = × =+ + + 
 
3. No seu estado natural, a massa de uma amostra de areia, que ocupava um volume de 
1,13*10-3 m3 (determinado pelo método da garrafa de areia), é de 2282 g. Depois de seca 
a mesma amostra tem uma massa de 2009 g. Admitindo que a densidade das partículas 
sólidas (determinada laboratorialmente, utilizando o picnómetro) é de 2,68, determine os 
seguintes índices físicos da areia: 
 a) peso volúmico (γ); 
 b) teor em água (w); 
 c) índice de vazios (e); 
 d) porosidade (n); 
 e) grau de saturação (S); 
 f) peso volúmico quando seca (γd); 
 g) peso volúmico quando saturada (γsat); 
 h) peso volúmico submerso (γ´). 
4. Os valores limites do índice de vazios de uma areia são iguais a 0,30 (emin) e 0,96 (emax). 
Sabendo que o peso volúmico das partículas sólidas (γs) é igual a 26 kN/m3, calcule entre 
que valores pode variar o seu peso volúmico seco (γd), o seu peso volúmico saturado (γsat) 
e qual o valor máximo do teor em água (w). 
5. Uma argila mole tem as seguintes características: teor em água (w) igual a 105 %, peso 
volúmico (γ) igual a 14,5 kN/m3 e densidade das partículas sólidas (G) de 2,66. 
Determine o valor dos restantes índices físicos. 
6. A densidade das partículas sólidas (G) de uma argila dura vale 2,61, o seu peso 
volúmico (γ) é de 20,5 kN/m3 e o seu teor em água (w) é igual a 22 %. Calcule os 
restantes índices físicos. 
 
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7. O teor em água de um solo saturado é de 21%. Admitindo que o seu peso volúmico seco 
(γd) é de 16,5 kN/m3, determine: 
 a) o peso volúmico saturado (γsat); 
 b) o índice de vazios (e); 
 c) a densidade das partículas sólidas (G); 
 d) o peso volúmico do solo (γ) correspondente a um grau de saturação (S) de 50%. 
8. As massas natural e seca de uma amostra de solo são, respectivamente, 465 g e 405,76 g. 
Em laboratório determinou-se que a densidade das partículas sólidas é de 2,68. 
Admitindo que o índice de vazios em estado natural tem o valor de 0,63, determine: 
 a) o peso volúmico do solo (γ); 
 b) o peso volúmico do solo quando seco (γd); 
 c) o peso de água por metro cúbico de solo que é necessário adicionar para originar a sua 
saturação. 
9. Uma camada de areia com 3 m de espessura tem peso volúmico seco igual a 16,2 kN/m3, 
teor em água de 14 % e o peso volúmico das suas partículas sólidas é de 26,1 kN/m3. 
a) Determine os seus índice de vazios e grau de saturação. 
b) Admitindo a incompressibilidade das partículas sólidas e deformações laterais nulas, 
determine o assentamento que se verificava caso o índice de vazios se reduzisse por 
compactação para 0,54 (para a resolução desta alínea, considere uma coluna de areia com 
1 m2 de secção transversal). 
10. Na construção de um aterro com perfil trapezoidal (altura = 3,0 m; base maior = 26,0 m e 
base menor = 14,0 m) e 100,0 m de comprimento está prevista a utilização de terras de 
empréstimo com peso volúmico no local da jazida de 17,2 kN/m3 e teor em água de 10 %. 
De acordo com o caderno de encargos, o aterro será executado por camadas de 25 cm de 
espessura (antes da compactação), devendo as terras serem humidificadas até atingirem 
um teor em água de 17 %. Após a compactação o peso volúmico do solo deverá atingir os 
20,0 kN/m3. 
Calcule o volume de terras a tomar de empréstimo e a quantidade de água que deverá ser 
adicionada para que as condições impostas no caderno de encargos possam ser satisfeitas. 
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ANEXO 
1. O solo enquanto material polifásico 
 
 
Representação do solo num estado natural 
 
Representação esquemática do solo 
2. Principais índices físicos dos solos 
Grandeza 
 
Designação 
 
Tipo de 
Relação 
Definição 
 
Unidades 
(S.I.) 
Observações 
 
Índice de vazios e Volumes 
s
v
V
V Adimensional 
Porosidade n ” V
Vv ” Expressa em % 
Grau de saturação S ” 
v
w
V
V ” Expresso em % 
Teor em 
água 
w Pesos 
s
w
W
W ” ” 
Peso volúmico do 
solo 
γ Pesos/volumes VW kN/m3 γsat - solo saturado γd - solo seco 
Peso volúmico das 
partículas sólidas 
γs ” 
s
s
V
W ” Em geral vale 
25 a 27 kN/m3 
Peso volúmico da 
água 
γw ” 
w
w
V
W ” = 9,81 kN/m
3 
≈ 10 kN/m3 
Peso volúmico 
submerso 
γ' ou γsub ” V
W s' ” 
Densidade das 
partículas sólidas 
G ” 
w
s γ
γ
 Adimensional 
Em geral vale 
2,55 a 2,75 
 
Wg
Ww
Ws
W
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IDENTIFICAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE SOLOS 
1. Para a identificação e a classificação de 4 solos (A, B, C e D) realizaram-se ensaios 
laboratoriais que incluíram análises granulométricas (peneiração e sedimentação), a 
determinação dos limites de consistência ou de Atterberg e a determinação dos principais 
índices físicos. 
A peneiração forneceu os resultados abaixo indicados. 
Percentagem de passados Número do 
Peneiro Solo A Solo B Solo C Solo D 
3/4 90 – – – 
3/8 56 – 100 – 
4 47 – 95 – 
10 44 – 83 – 
20 40 95 74 – 
40 – 80 63 – 
60 29 10 54 – 
80 – 3 – – 
140 – – 42 – 
200 4 1 37 91 
Do ensaio de sedimentação do solo C resultou que 31 % das partículas eram menores que 
0,05 mm, 22 % menores que 0,025 mm, 20 % menores que 0,012 mm e 6 % menores que 
0,002 mm. 
Do ensaio de sedimentação do solo D concluiu-se que 78 % das partículas eram menores 
que 0,04 mm, 61 % menores que 0,02 mm e 40 % menores que 0,002 mm. 
Em relação à determinação dos limites de Atterberg ou de consistência, verificou-se que: 
i) o solo C é não plástico; 
ii) o índice de plasticidade (IP) da fracção fina do solo C é igual a 3,5 %; 
iii) o solo D é plástico e inorgânico (ver folha em anexo, que contém os resultados 
obtidos nos ensaios efectuados sobre amostras não secas previamente). 
Relativamente aos principais índices físicos, os resultados obtidos foram: 
Solo A Solo B Solo C Solo D 
G =2,70 G =2,68 G =2,63 G =2,60 
w =15% w =0 % w =7 % w =40 % 
γ =18,1 kN/m3 γ =17,6 kN/m3 γ =18,4 kN/m3 γ =16,9 kN/m3 
a) Trace as curvas granulométricas dos quatro solos. 
b) Classifique granulometricamente os solos B, C e D. 
c) Para os três primeiros solos, determine os valores dodiâmetro efectivo, do coeficiente 
de uniformidade e do coeficiente de curvatura. Em relação à extensão da granulometria 
ou graduação das partículas, diga como podia classificar estes solos. 
d) Explique como pôde ser verificado que o solo D é inorgânico. 
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e) Determine os limites de Atterberg ou de consistência (wL, wP, IP) do solo D. 
f) De acordo com a classificação unificada (ASTM D2487 - 85), como classificaria os 
quatro solos estudados? 
g) Na construção de um aterro para uma autoestrada, qual dos quatro solos anteriores lhe 
parece ser o mais apropriado para ser utilizado? Justifique. 
h) Na construção de uma barragem de terra, que função poderia desempenhar o solo D? 
i) Calcule os índices de vazios naturais ou de ocorrência dos quatro solos. 
j) Atendendo aos valores dos índices de vazios encontrados na alínea anterior e às curvas 
granulométricas, diga, justificando, qual dos dois solos, B ou C, deverá ser mais 
compressível. 
k) Determine a actividade da fracção argilosa presente no solo D. Poderá esta fracção 
argilosa ser da família das montmorilonites? Justifique. 
l) Em termos de expectativa, que será de esperar da compressibilidade do solo D? 
Justifique. 
2. Alguns parâmetros físicos e de identificação de dois solos arenosos estão expostos no 
seguinte quadro: 
Solos w ( % ) G γ ( kN/m3 ) % cascalho D10 CU CC emax emin 
A 12,0 2,65 21,0 0 0,20 3,0 0,75 1,00 0,40 
B 15,0 2,60 19,0 15 0,10 14,1 1,50 0,85 0,18 
a) Justificando, trace qualitativamente as curvas granulométricas dos dois solos. 
b) Em termos de compressibilidade e de permeabilidade, compare os dois solos. 
c) Na construção de um aterro que se pretende resistente, qual dos dois solos deveria em 
princípio utilizar? Justifique. 
3. Na Figura 1 representa-se um maciço terroso constituído por três camadas sobrejacentes a 
um maciço rochoso granítico. O nível freático coincide com a superfície do terreno. O 
Quadro 1 contêm elementos quanto à origem e alguns parâmetros físicos dos solos e na 
Figura 2 ilustra-se as respectivas curvas granulométricas. Justificando cuidadosamente, 
responda às questões que se seguem. 
A
B
C
Maciço Granítico
0,0 m
-8,0 m
-18,0 m
Variável
 
Figura 1 
 
Quadro 1 
Solo Origem 
γdmin 
(kN/m3)
γdmax 
(kN/m3) 
e G 
1 Residual (*) (*) 0,55 2,61 
2 Sedimentar 13,5 21,5 0,31 2,60 
3 Sedimentar 13,0 18,4 0,90 2,60 
(*) Grandezas que não se determinam neste tipo de 
solos 
 
 
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Figura 2 
a) Determine a compacidade relativa dos solos 2 e 3. 
b) Justificando, estabeleça a correspondência entre os solos 1, 2 e 3 do quadro e as 
camadas A, B e C da Figura 1. 
c) Sabendo que o solo residual se pode classificar granulometricamente como areia 
siltosa, estabeleça a correspondência entre os solos 1, 2 e 3 do Quadro 1 e as curvas 
granulométricas I, II e III da Figura 2. Justifique. 
d) Determine o teor em água natural do solo residual. 
4. Considere os dois seguintes solos inorgânicos: 
 Solo A Solo B 
% Areia 20 % 3 % 
% Silte 51 % 35 % 
% Argila 29 % 62 % 
wL 75 % 130 % 
wP 30 % 35 % 
w 65 % 28 % 
S 100 % 95 % 
γ s (kN/m3) 26,0 26,0 
a) Determine os índices de vazios de ocorrência de cada um dos solos. Comente os 
resultados. 
b) Calcule o peso volúmico dos dois solos. 
c) Serão do mesmo tipo as fracções argilosas presentes nos dois solos? Justifique. 
d) Algum dos solos apresenta elevada propensão para ser expansivo? Justifique. 
e) Compare os dois solos no que se relaciona com a consistência e a compressibilidade. 
f) Classifique granulometricamente os dois solos. 
g) Classifique os dois solos de acordo com a classificação unificada (ASTM D2487-85). 
h) Se os solos contivessem alguma matéria orgânica, o que seria de esperar do valor dos 
seus índices de plasticidade? Justifique. 
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5. Na Figura 3 estão representadas 4 curvas granulométricas. 
 
Figura 3 
a) Determine os coeficientes de uniformidade e de curvatura para os solos B e C. 
b) Qual dos dois solos anteriores terá um menor índice de vazios mínimo? Justifique. 
c) Sabendo que os limites de consistência determinados para os solos A e D foram de 
(wL=45 %; wP=20 %) e (wL=75 %; wP=25 %), respectivamente, tente identificar o tipo de 
fracção argilosa presente em cada um deles. 
d) Sabendo que os teores em água dos dois solos A e D são de 25 % e 70 %, 
respectivamente, refira as expectativas, em termos comparativos, em relação à 
compressibilidade e à resistência dos dois solos. Justifique. 
e) Estime, aproximadamente, o índice de vazios natural do solo D. 
6. A Figura 4 ilustra em corte o maciço terroso num local onde se pretende construir uma 
auto-estrada. Na zona em causa ocorre a transição entre uma parte da plataforma assente 
em aterro e outra em obra de arte. Como mostra a figura, as fundações da obra de arte 
serão por estacas cuja ponta ficará alojada no estrato inferior (D), constituído por solo de 
elevada resistência e muito baixa deformabilidade. 
 O quadro inclui características físicas e de identificação dos solos constituintes dos quatro 
estratos da figura (não necessariamente indicados pela mesma ordem). Admita que todos 
os solos se encontram saturados. 
 
Solo % areia % silte % argila γS (kN/m3) e emax emin wL (%) wP (%) 
1 89 11 - 26,1 0,55 0,87 0,25 - - 
2 100 - - 26,0 0,91 0,97 0,40 - - 
3 20 65 15 26,0 0,35 - - 22 16 
4 2 30 68 25,9 1,90 - - 80 30 
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Figura 4 
 
a) Calcule o peso volúmico e o teor em água do solo 1. 
b) Determine a compacidade relativa do solo 2. 
c) Descreva cada um dos solos do quadro sob o ponto de vista da Engenharia Civil. 
d) Estabeleça a correspondência entre os solos 1 a 4 do quadro e os estratos A a D da 
Figura 4. Para responder a esta questão considere a seguinte informação complementar: 
os dois solos de características granulares (não plásticos) não estão em camadas 
adjacentes. 
e) Ordene os solos por ordem crescente de permeabilidade. 
f) Poderão ocorrer assentamentos diferenciais significativos entre a plataforma assente no 
aterro e a outra em obra de arte? 
g) Falando agora do aterro propriamente dito, se para ele pudesse empregar solos como 
os do quadro, qual deles escolheria? Que cilindro compactador recomendaria para o 
compactar? 
h) Para o solo escolhido, o teor em água que se deve utilizar na compactação deverá, em 
princípio, ser elevado ou baixo? Justifique. 
 
 
 
7. Para a caracterização de um maciço sobre o qual se pretende construir um grande 
pavilhão industrial, efectuou-se uma sondagem que detectou a presença de cinco estratos 
terrosos sobrejacentes ao maciço rochoso. 
Dois dos solos constituintes desses estratos são de natureza granular: i) areia grossa 
uniforme solta; ii) areia siltosa muito compacta. Os outros três, são solos finos: i) argila 
ou silte pouco plástico de consistência média; ii) argila plástica mole a muito mole; iii) 
argila muito plástica e rija. 
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 Na Figura 5 inclui-se os resultados dos ensaios para a determinação dos limites de 
consistência dos cinco solos, bem comoo valor do teor em água natural de três deles. 
 
Figura 5 
 
a) Justificando, estabeleça a sequência estratigráfica do maciço. 
b) Para o solo fino mais plástico, estime a percentagem de fracção argilosa presente, 
sabendo que se trata de ilite (A = 0,9). 
c) Se, efectuada a análise granulométrica do solo, se verificar que a percentagem da 
fracção argilosa é menor que a calculada na alínea anterior, que poderá isso significar? 
d) Dos dois solos de características granulares presentes no maciço, qual deles será o 
mais permeável? E o mais compressível? Justifique. 
 
 
 
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ANEXO 
1. Limites de consistência do solo D (Exercício 1) 
Limite de Liquidez 
Cápsula (n.º) 1 2 3 4 
Amostra hum. + cápsula (g) 26,10 21,25 21,19 22,23 
Amostra seca + cápsula (g) 22,10 18,74 18,82 19,45 
Peso da cápsula (g) 13,28 13,06 13,23 12,75 
Peso da água (g) 
Amostra seca (g) 
Teor de humidade (%) 
N.º de golpes 13 17 26 28 
 
 
Diagrama 
10035
N.º de golpes
w
(%)
10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90
 
 
 
Limite de Plasticidade 
Cápsula (n.º) 5 6 7 8 
Amostra hum. + cápsula (g) 17,44 17,96 17,18 17,23 
Amostra seca + cápsula (g) 16,56 16,94 16,36 16,36 
Peso da cápsula (g) 13,05 13,18 13,01 12,95 
Peso da água (g) 
Amostra seca (g) 
Teor de humidade (%) 
Teor de humidade médio (%) 
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2. Curva granulométrica 
 
 
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3. Triângulo de Feret 
 
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4. Classificação Unificada 
Classificação de solos (ASTM D 2487-85) 
Classificação do Solo 
Critérios para designação dos símbolos e nome dos grupos utilizando ensaios de laboratório (a) 
Símbolo 
do Grupo 
Nome do Grupo 
(b) 
U CC 4 e 1 C 3≥ ≤ ≤ (e) GW Cascalho bem 
graduado (f) Cascalhos limpos (c) 
 
Menos de 5% de finos 
U CC 4 e/ou 1 C 3< > > (e) GP Cascalho mal 
graduado (f) 
Finos classificados como 
ML ou MH 
GM Cascalho siltoso 
(f), (g), (h) 
Cascalho 
 
 
Mais de 50% da 
fracção grossa 
retida no peneiro 
n.º4 
Cascalhos com finos (c) 
 
Mais de 12% de finos Finos classificados como 
CL ou CH 
GC Cascalho argiloso 
(f), (g), (h) 
U CC 6 e 1 C 3≥ ≤ ≤ (e) SW Areia bem 
graduada (i) Areias limpas (d) 
Menos de 5% de finos 
U CC 6 e/ou 1 C 3< > > (e) SP Areia mal 
graduada (i) 
Finos classificados como 
ML ou MH 
SM Areia siltosa 
(g), (h), (i) 
SOLOS GROSSOS 
 
 
 
 
 
Mais de 50% retido 
no peneiro n.º 200 
Areias 
 
50% ou mais da 
fracção grossa 
passa no 
peneiro n.º4 
Areias com finos (d) 
Mais de 12% de finos Finos classificados como 
CL ou CH 
SC Areia argilosa 
(g), (h), (i) 
IP 7> e situa-se na linha A 
ou acima desta (j) 
CL Argila magra 
(k), (l), (m) 
Inorgânico 
IP 4< ou situa-se abaixo 
da linha A (j) 
ML Silte (k), (l), (m) 
Siltes e Argilas 
 
 
Lw 50%< 
Orgânico L
L
w (seco em estufa) 0,75
w (sem secagem)
< OL 
Argila orgânica 
(k), (l), (m), (n) 
Silte orgânico 
(k), (l), (m), (o) 
IP situa-se na linha A ou 
acima desta 
CH Argila gorda 
(k), (l), (m) 
Inorgânico 
IP situa-se abaixo da linha 
A 
MH Silte elástico 
(k), (l), (m) 
SOLOS FINOS 
 
 
 
 
50% ou mais 
passado no peneiro 
n.º 200 Siltes e Argilas 
 
 
Lw 50%≥ 
Orgânico L
L
w (seco em estufa) 0,75
w (sem secagem)
< OH 
Argila orgânica 
(k), (l), (m), (p) 
Silte orgânico 
(k), (l), (m), (q) 
Solos altamente orgânicos, principalmente matéria orgânica, cor escura e odor orgânico Pt Turfa 
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Classificação de solos (ASTM D 2487-85) – Continuação 
 
a) Baseado no material passado no peneiro 3” (75mm) 
b) Se a amostra virgem tiver blocos e/ou calhaus junte “com blocos e/ou calhaus” ao nome do grupo 
c) Cascalho com 5% a 12% de finos preciso de dois símbolos: 
GW – GM : Cascalho bem graduado com silte 
GW – GC : Cascalho bem graduado com areia 
GP – GM : Cascalho mal graduado com silte 
GP – GC : Cascalho mal graduado com areia 
d) Areia com 5% a 12% de finos preciso de dois símbolos: 
SW – SM : Areia bem graduada com silte 
SW – SC : Areia bem graduada com argila 
SP – SM : Areia mal graduada com silte 
SP – SC : Areia mal graduada com argila 
e) U 60 10C D D= 
 ( ) ( )2C 30 10 60C D D D= × 
f) Se o solo contém 15%≥ de areia, junte “com areia” ao nome do grupo 
g) Se os finos se classificam como CL – ML, use dois símbolos: GC-GM, SC-SM 
h) Se os finos são orgânicos, junte “com finos orgânicos” ao nome do grupo 
i) Se o solo contém 15%≥ de cascalho, junte “com cascalho” ao nome do grupo 
j) Se os limites de Atterberg se situam na zona sombreada da carta de plasticidade, o solo é um CL – ML, argila siltosa 
k) Se o solo contém 15 a 30% retido no peneiro n.º 200, junte “com areia” ou “com cascalho” conforme o predominante 
l) Se o solo contém 30%≥ retido no peneiro n.º 200, predominantemente arenoso, junte “arenoso” ao nome do grupo 
m) Se o solo contém 30%≥ retido no peneiro n.º 200, predominantemente cascalho, junte “cascalhento” ao nome do 
grupo 
n) IP 4≥ e situa-se na linha A ou acima desta 
o) IP 4< ou situa-se abaixo da linha A 
p) IP situa-se na linha A ou acima desta 
q) IP situa-se abaixo da linha A 
 
Carta de Plasticidade de Casagrande 
 
Nota: Os resultados que conduzam a pontos acima da linha “U” são provavelmente irrealistas pelo que os 
correspondentes ensaios deverão ser repetidos cuidadosamente 
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Classificação de solos (ASTM D 2487-85) – Continuação 
 
PROPRIEDADES IMPORTANTES 
SÍMBOLO 
DE 
GRUPO PERMEABILIDADE 
QUANDO COMPACTADO 
RESISTÊNCIA AO CORTE 
QUANDO COMPACTADO E 
SATURADO 
COMPRESSIBILIDADE 
QUANDO COMPACTADO 
E SATURADO 
TRABALHABILIDADE 
COMO MATERIAL DE 
CONSTRUÇÃO 
GW Permeável Excelente Desprezável Excelente 
GP Muito Permeável Boa Desprezável Boa 
GM Semipermeável a impermeável Boa Desprezável Boa 
GC Impermeável Boa a razoável Muito baixa Boa 
SW Permeável Excelente Desprezável Excelente 
SP Permeável Boa Muito baixa Razoável 
SM Semipermeável a impermeável Boa Baixa Razoável 
SC Impermeável Boa a razoável Baixa Boa 
ML Semipermeável a impermeável Razoável Média Razoável 
CL Impermeável Razoável Média Boa a razoável 
OL Semipermeável a impermeável Fraca Média Razoável 
MH Semipermeável a impermeável Razoável a fraca Alta Fraca 
CH Impermeável Fraca Alta Fraca 
OH Impermeável Fraca Alta Fraca 
Pt – – – – 
 
 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
 
Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil ETMT 1/6
 
ESTADO DE TENSÃO EM MACIÇOS TERROSOS 
1. A Figura 1 representa um corte interpretativo de um maciço onde se realizou uma 
campanha de prospecção e caracterizaçãogeotécnica. 
 
Figura 1 
a) Defina o estado de tensão efectiva no ponto M, situado a meio da camada de argila. 
b) Desenhe diagramas anotados, mostrando a variação com a profundidade das tensões 
totais, neutras e efectivas (verticais e horizontais). 
c) Recalcule as tensões efectivas no ponto M, admitindo que o nível freático se encontra 
no topo da camada de argila. Fisicamente, procure justificar por que razão as tensões 
efectivas tendem a crescer com a descida do nível freático. 
2. Considere o corte geológico representado na Figura 2. 
 
Figura 2 
a) Desenhe os diagramas anotados da tensão vertical efectiva e da tensão total horizontal. 
b) Se o nível freático for rebaixado 2,0 m, a compressibilidade do estrato argiloso 
aumenta ou diminui? E a resistência ao corte? Justifique. 
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3. Considere uma carga concentrada de 500 kN aplicada á superfície de um terreno 
horizontal, o qual pode ser assimilado a um meio semi-indefinido, elástico, homogéneo e 
isotrópico. 
Admitindo para valor do coeficiente de Poisson 0,3, determine os acréscimos das tensões 
verticais (Δσz) e das tensões normais horizontais nas direcções radial (Δσr) e tangencial 
(Δσθ) induzidos pela aplicação daquela carga, nos pontos situados em alinhamentos 
verticais afastados de 0 e 2 m do ponto de aplicação e às profundidades de 2 e 5 m. 
4. De acordo com o esquematizado na Figura 3, duas cargas verticais lineares e uniformes 
são aplicadas à superfície de um terreno. Admitindo que o terreno pode ser assimilado a 
um meio semi-indefinido, elástico, homogéneo e isotrópico, calcule o acréscimo de 
tensão vertical no ponto A. 
 
Figura 3 
5. Um edifício, cuja planta de fundação se representa na Figura 4, vai ser construído sobre 
um maciço constituído por uma areia lodosa (γ = 18 kN/m 3). 
Admitindo que a sua construção irá originar um acréscimo de tensão vertical na 
superfície de 120 kPa, determine, para os pontos situados nas verticais dos pontos A, B e 
C e á profundidade de 4 m, as tensões verticais após a construção. 
 
Figura 4 
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6. Na Figura 5 representa-se a planta de fundação de um edifício num maciço elástico, 
isotrópico e homogéneo. 
Admitindo que a sua construção originará um acréscimo de tensão vertical de 150 kPa, 
determine, para os pontos do maciço localizados na vertical do ponto A e às 
profundidades de 4, 8, 12 e 16 m, os acréscimos da tensão vertical resultantes da 
aplicação daquela tensão na superfície do terreno. 
 
Figura 5 
7. Um aterro de grande desenvolvimento longitudinal e largura de 20 m é construído sobre 
um terreno seco, cujas características são indicadas na Figura 6. 
Admitindo que o efeito do aterro pode ser assimilado a uma sobrecarga uniforme de 100 
kPa e que o maciço pode ser assimilado a um meio semi-infinito, elástico, isotrópico e 
homogéneo, calcule: 
a) As tensões actuantes em facetas horizontais nos pontos P e Q, antes e após a 
construção do aterro. 
b) Os acréscimos das tensões nas facetas verticais no ponto Q associados à construção do 
aterro. 
 
Figura 6 
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ANEXO 
1. Acréscimo de tensão para uma carga pontual segundo Boussinesq 
3
z 5
3Qz
2 R
σ = π 
2
r 2 3
Q 3r z (1 2 )R
2 R R R z
⎡ ⎤− − υσ = − +⎢ ⎥π +⎣ ⎦
 
2
(1 2 )Q z R
2 R R R zθ
− υ ⎡ ⎤σ = − −⎢ ⎥π +⎣ ⎦ 
2
rz 5
3Qrz
2 R
τ = π 
v – Coeficiente de Poisson 
Problema de Boussinesq: tensões num meio elástico, isotrópico, homogéneo e semi-indefinido 
 induzidas por uma carga vertical concentrada na superfície. 
2. Acréscimo de tensão para uma carga pontual linear segundo Flamant 
2 3
x z4 4
2Q x z 2Q z ; 
R R
σ = σ =π π 
2
y xz2 4
2Q z 2Q xz ; 
R R
υσ = τ =π π 
v – Coeficiente de Poisson 
Problema de Flamant: tensões num meio elástico, isotrópico, homogéneo e semi-indefinido 
 carregado à superfície por uma carga vertical, linear e uniforme. 
 
 
 
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3. Acréscimo de tensão sob uma carga rectangular 
z 1q Kσ = × 
( ) 1x 2 2q K 1 2 K⎡ ⎤σ = × − − ×υ ×⎣ ⎦ 
( ) 1y 2 2q L 1 2 L⎡ ⎤σ = × − − ×υ ×⎣ ⎦ 
Valores de K1 
Z / L 
B / L 
0 0,1 0,2 1 / 3 0,4 0,5 2 / 3 1 1,5 2 2,5 3 5 10 ∞ 
0,0 0,000 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 
0,2 0,000 0,137 0,204 0,234 0,240 0,244 0,247 0,249 0,249 0,249 0,249 0,249 0,249 0,249 0,249 
0,4 0,000 0,076 0,136 0,187 0,202 0,218 0,231 0,240 0,243 0,244 0,244 0,244 0,244 0,244 0,244 
0,5 0,000 0,061 0,113 0,164 0,181 0,200 0,218 0,232 0,238 0,239 0,240 0,240 0,240 0,240 0,240 
0,6 0,000 0,051 0,096 0,143 0,161 0,182 0,204 0,223 0,231 0,233 0,234 0,234 0,234 0,234 0,234 
0,8 0,000 0,037 0,071 0,111 0,127 0,148 0,173 0,200 0,214 0,218 0,219 0,220 0,220 0,220 0,220 
1,0 0,000 0,028 0,055 0,087 0,101 0,120 0,145 0,175 0,194 0,200 0,202 0,203 0,204 0,205 0,205 
1,2 0,000 0,022 0,043 0,069 0,081 0,098 0,121 0,152 0,173 0,182 0,185 0,187 0,189 0,189 0,189 
1,4 0,000 0,018 0,035 0,056 0,066 0,080 0,101 0,131 0,154 0,164 0,169 0,171 0,174 0,174 0,174 
1,5 0,000 0,016 0,031 0,051 0,060 0,073 0,092 0,121 0,145 0,156 0,161 0,164 0,166 0,167 0,167 
1,6 0,000 0,014 0,028 0,046 0,055 0,067 0,085 0,112 0,136 0,148 0,154 0,157 0,160 0,160 0,160 
1,8 0,000 0,012 0,024 0,039 0,046 0,056 0,072 0,097 0,121 0,133 0,140 0,143 0,147 0,148 0,148 
2,0 0,000 0,010 0,020 0,033 0,039 0,048 0,061 0,084 0,107 0,120 0,127 0,131 0,136 0,137 0,137 
2,5 0,000 0,007 0,013 0,022 0,027 0,033 0,043 0,060 0,080 0,093 0,101 0,106 0,114 0,115 0,115 
3,0 0,000 0,005 0,010 0,016 0,019 0,024 0,031 0,045 0,061 0,073 0,081 0,087 0,096 0,099 0,099 
4,0 0,000 0,003 0,006 0,009 0,011 0,014 0,019 0,027 0,038 0,048 0,055 0,060 0,071 0,076 0,076 
5,0 0,000 0,002 0,004 0,006 0,007 0,009 0,012 0,018 0,026 0,033 0,039 0,043 0,055 0,061 0,062 
10 0,000 0,000 0,001 0,002 0,002 0,002 0,003 0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 0,020 0,028 0,032 
15 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,010 0,016 0,021 
20 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,003 0,004 0,006 0,010 0,016 
50 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,001 0,002 0,006 
(Giroud, 1970) 
4. Acréscimo de tensão sob o centro de uma carga circular 
 
( )
3 2
x 2
1q 1 q K
1 a / z
⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥σ = × − = ×⎨ ⎬⎢ ⎥+⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦
 
( ) ( )( ) ( )
3
r 1 2 3 22 2 2 2
2 1 zq z1 2
2 a z a z
θ
⎡ ⎤× + υ ×⎢ ⎥σ = σ = × + ×υ − +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
 
Valores de K 
z / a K 
0,0 1,000 
0,4 0,949 
0,8 0,756 
1,2 0,547 
1,6 0,390 
2,0 0,285 
2,4 0,214 
2,8 0,165 
3,2 0,130 
3,6 0,106 
4,0 0,087 
4,4 0,073 
4,8 0,062 
5,2 0,053 
5,6 0,046 
6,0 0,040 
6,4 0,036 
6,8 0,032 
7,2 0,028 
7,6 0,024 
8,0 0,022 
8,4 0,021 
8,8 0,019 
9,2 0,018 
9,6 0,016 
10 0,015 
11 0,011 
12 0,009 
z 
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ETMT 6/6 Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil
 
 
5. Acréscimo de tensão sob uma carga de dimensão infinita 
 
 
 
( )z q sin cos 2⎡ ⎤σ = × α + α× α + ×δ⎣ ⎦π 
 
( )x q sin cos 2⎡ ⎤σ = × α − α× α + ×δ⎣ ⎦π
 
y
2 q×σ = ×υ×απ 
 
( )xz q sin sin 2τ = × α× α + ×δπ 
 
1âng. de com a verticalβ = σ 
 
(ângulosem radianos) 
 
 
 
x/b z/b σz/q σx/q τzx/q β τmax/q σ1/q σ3/q 
0,0 0 1,0000 1,0000 0 0 0 1,0000 1,0000 
 0,5 0,9594 0,4498 0 0 0,2548 0,9594 0,4498 
 1,0 0,8183 0,1817 0 0 0,3183 0,8183 0,1817 
 1,5 0,6678 0,0803 0 0 0,2937 0,6678 0,0803 
 2,0 0,5508 0,0410 0 0 0,2546 0,5508 0,0410 
 2,5 0,4617 0,0228 0 0 0,2195 0,4617 0,0228 
 3,0 0,3954 0,0138 0 0 0,1908 0,3954 0,0138 
 3,5 0,3457 0,0091 0 0 0,1683 0,3457 0,0091 
 4,0 0,3050 0,0061 0 0 0,1499 0,3050 0,0061 
0,5 0 1,0000 1,0000 0 0 0 1,0000 1,0000 
 0,25 0,9787 0,6214 0,0522 8º35’ 0,1871 0,9871 0,6129 
 0,5 0,9028 0,3920 0,1274 13º17’ 0,2848 0,9323 0,3629 
 1,0 0,7352 0,1863 0,1590 14º52’ 0,3158 0,7763 0,1446 
 1,5 0,6078 0,0994 0,1275 13º18’ 0,2847 0,6370 0,0677 
 2,0 0,5107 0,0542 0,0959 11º25’ 0,2470 0,5298 0,0357 
 2,5 0,4372 0,0334 0,0721 9º49’ 0,2143 0,4693 0,0206 
1,0 0,25 0,4996 0,4208 0,3134 41º25’ 0,3158 0,7760 0,1444 
 0,5 0,4969 0,3472 0,2996 37º59’ 0,3088 0,7308 0,1133 
 1,0 0,4797 0,2250 0,2546 31º43’ 0,2847 0,6371 0,0677 
 1,5 0,4480 0,1424 0,2037 26º34’ 0,2546 0,5498 0,0406 
 2,0 0,4095 0,0908 0,1592 22º30’ 0,2251 0,4751 0,0249 
 2,5 0,3701 0,0595 0,1243 19º20’ 0,1989 0,4137 0,0159 
1,5 0,25 0,0177 0,2079 0,0606 73º47’ 0,1128 0,2281 0,0025 
 0,5 0,892 0,2850 0,1466 61º50’ 0,1765 0,3636 0,0106 
 1,0 0,2488 0,2137 0,2101 47º23’ 0,2115 0,4428 0,0198 
 1,5 0,2704 0,1807 0,2022 38º44’ 0,2071 0,4327 0,0184 
 2,0 0,2876 0,1268 0,1754 32º41’ 0,1928 0,4007 0,0143 
 2,5 0,2851 0,0892 0,1469 28º09’ 0,1765 0,3637 0,0106 
2,0 0,25 0,0027 0,0987 0,0164 80º35’ 0,0507 0,1014 0,0002 
 0,5 0,0194 0,1714 0,0552 71º59’ 0,0940 0,1893 0,0014 
 1,0 0,0776 0,2021 0,1305 58º17’ 0,1424 0,2834 0,0052 
 1,5 0,1458 0,1847 0,1568 48º32’ 0,1578 0,3232 0,0074 
 2,0 0,1847 0,1456 0,1567 41º27’ 0,1579 0,3232 0,0073 
 2,5 0,2045 0,1256 0,1442 36º02’ 0,1515 0,3094 0,0064 
2,5 0,5 0,0068 0,1104 0,0254 76º43’ 0,0569 0,1141 0,0003 
 1,0 0,0357 0,1615 0,0739 65º12’ 0,0970 0,1957 0,0016 
 1,5 0,0771 0,1645 0,1096 55º52’ 0,1180 0,2388 0,0028 
 2,0 0,1139 0,1447 0,1258 48º31’ 0,1265 0,2556 0,0036 
 2,5 0,1409 0,1205 0,1266 42º45’ 0,1269 0,2575 0,0036 
3 0,5 0,0026 0,0741 0,0137 79º25’ 0,0379 0,0758 0,0001 
 1,0 0,0171 0,1221 0,0449 69º42’ 0,0690 0,1384 0,0005 
 1,5 0,0427 0,1388 0,0757 61º15’ 0,0895 0,1803 0,0012 
 2,0 0,0705 0,1341 0,0954 54º12’ 0,1006 0,2029 0,0018 
 2,5 0,0952 0,1196 0,1036 48º20’ 0,1054 0,2128 0,0020 
 3,0 0,1139 0,1019 0,1057 43º22’ 0,1058 0,2137 0,0020 
 
 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
 
Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil PPU 1/4
 
PERMEABILIDADE E PERCOLAÇÃO UNIDIMENSIONAL 
1. No ensaio representado na Figura 1 há um fluxo de água sob uma carga constante através 
dos solos 1 e 2 de propriedades hidráulicas diferentes. 
a) Para os pontos A, B, C e D determine a carga hidráulica total, a altura piezométrica, a 
tensão neutra, a tensão total vertical e a tensão efectiva vertical. 
b) Para os solos 1 e 2 determine os gradientes hidráulicos, as velocidade de percolação, 
os caudais e as forças de percolação. 
c) Se a permeabilidade do solo 1 fosse muito menor (3 a 4 ordens de grandeza, por 
exemplo) que a do solo 2, como é que se distribuiriam as perdas de carga nos dois solos? 
 
 
 
 
Características dos solos: 
 
Solo 1 
3
1
3
1
20 kN/m
k 10 m/s−
γ =
= 
 
Solo 2 
3
2
3
2
20 kN/m
k 4 10 m/s−
γ =
= × 
Figura 1 
2. Como se mostra na Figura 2, duas areias (A e B) foram ensaiadas num permeâmetro de 
secção quadrada de duas maneiras diferentes. Na primeira montagem, as areias foram 
dispostas uma sobre a outra. Na segunda montagem, as areias foram colocadas uma ao 
lado da outra. Sabendo que kA = 4 x 10-4 m/s e kB = 10-4 m/s, calcule para as duas 
situações: 
 a) o caudal percolado; 
 b) o coeficiente de permeabilidade equivalente a um único material. 
 
 
Figura 2 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
 
 
 PPU 2/4 Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
3. Calcule o caudal recolhido na válvula de saída do esquema hidráulico representado na 
Figura 3, supondo que a pressão indicada no manómetro é de 20 kPa e que o raio dos 
tubos verticais é de 0,1 m. Considere γw=10 kN/m3, kA=2,0×10-7 m/s, kB=3,4×10-5 m/s e 
kC=2,2×10-7 m/s. 
 
 
Figura 3 
4. Na Figura 4 representa-se um maciço terroso onde se regista um escoamento permanente 
ascensional devido a uma pressão artesiana. 
 
 
Figura 4 
a) Determine as tensões totais, neutras e efectivas em facetas horizontais localizadas nos 
pontos A, B, C, D e E. 
b) Comente a evolução em profundidade das tensões efectivas. 
c) Para que cota de água no tubo piezométrico poderá haver instabilidade hidráulica? 
 
 
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5. Num determinado maciço terroso estratificado existe uma percolação ascensional. 
 
Figura 5 
Tal como indica a Figura 5, foi colocado um piezómetro no ponto M para se poder 
avaliar os gradientes hidráulicos a que estão sujeitos os estratos. Atendendo à informação 
disponibilizada na figura, determine: 
a) a altura a que a água subiria num tubo piezométrico instalado no topo do estrato de 
areia densa; 
b) o caudal percolado, por unidade de área; 
c) a tensão vertical efectiva no ponto P. 
6. A Figura 6 representa uma parte de um maciço, adjacente a uma obra hidráulica, onde 
ocorre um escoamento ascendente. Indica-se na figura as cotas atingidas pela água em 3 
piezómetros localizados em outros tantos pontos: A no interior do estrato de cascalho; B 
no mesmo estrato mas imediatamente abaixo do topo; C no estrato de areia fina 
imediatamente acima do topo do estrato de silte arenoso. 
 
Figura 6 
a) Determine o coeficiente de permeabilidade do estrato de areia fina. 
b) Trace os diagramas que representam a evolução das tensões totais e efectivas verticais 
e das pressões neutras entre as cotas 0,0 e –9,0. 
c) Qual o caudal percolado por metro quadrado do maciço? 
d) Caracterize, em grandeza, direcção e sentido, a força de percolação num ponto 
localizado à cota –6,0. 
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7. Uma escavação de grandes dimensões foi feita num estrato de argila dura saturada 
sobrejacente a um estrato de areia. Qual deve ser a altura mínima de água no interior da 
escavação para que não existam problemas de instabilidade hidráulica no seu fundo. 
 
Figura 7 
8. Num permeâmetro de carga constante, com a diferença entre os níveis de entrada e saída 
de água igual a 15 cm, verifica-se que em 3 minutos o volume de água percolado através 
de uma amostra cilíndrica de areia com 15 cm de altura e 5 cm de diâmetro é de 196 cm3. 
Qual o coeficiente de permeabilidade do solo? 
9. Pretende-se determinar o coeficiente de permeabilidade de uma argila num permeâmetro 
de carga variável em que o diâmetro da secção transversal do tubo de carga é de 1,7 mm e 
a altura e o diâmetro da secção transversal da amostra a ensaiar são de 2,54 cm e de 6,35 
cm, respectivamente. 
Os resultados obtidos no ensaio foram os seguintes: 
altura da água inicial = 32 cm 
altura da água final = 30 cm 
tempo decorrido = 395 s 
Calcule o coeficiente de permeabilidade da argila. 
10. Foi feito um ensaio de bombagem num estrato de silte arenoso que se estende até a um 
estrato impermeável situado a 15 m de profundidade. O nível freático coincide com a 
superfície do terreno. Poços de observação foram colocados a 3,0 e 7,5 m de distância do 
poço de bombagem. Supondo que nos poços de observação o nívelda água estacionou a 
1,5 m e 0,35 m da superfície, respectivamente, e que o caudal de descarga é de 3,8 l/s, 
determine o coeficiente de permeabilidade do estrato de silte arenoso. 
11. Realizou-se um ensaio de campo para determinar o coeficiente de permeabilidade de um 
estrato de areia existente entre um estrato superior de argila praticamente impermeável e 
um estrato inferior de rocha impermeável. O estrato de argila tem uma espessura de 8 m e 
o de areia de 4 m. O nível freático está 2 m abaixo da superfície do terreno. Depois de se 
terem estabelecido as condições de equilíbrio, o caudal bombado do poço principal era de 
25,5 m3/hora e os níveis de água em dois poços de observação abertos a 10 e 50 m do 
poço principal eram de 3,5 e 2,63 m abaixo da superfície do terreno, respectivamente. 
Determine a permeabilidade da areia, deduzindo as expressões de que necessitar. 
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PERCOLAÇÃO BIDIMENSIONAL 
1. Na Figura 1 ilustra-se uma rede de fluxo de água, fluxo originado por uma diferença de 
carga hidráulica existente entre montante e jusante de uma cortina impermeável com 
100m de comprimento. 
a) Calcule o caudal escoado por dia. 
b) Calcule a tensão efectiva vertical no ponto A. 
c) No ponto B, determine o gradiente hidráulico, a velocidade de percolação e a força de 
percolação. 
d) Avalie as condições de estabilidade em relação à erosão interna e ao levantamento 
hidráulico. 
 
Figura 1 
2. Considere a Figura 2, onde se representa a rede correspondente a uma percolação sob uma 
cortina de estacas prancha. 
 
Figura 2 
a) Qual é a altura, acima do topo da camada impermeável, que a água atingirá em tubos 
piezométricos colocados em A, B, C e D? 
b) Calcule o caudal percolado por cada metro de desenvolvimento da cortina. 
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3. A Figura 3 diz respeito a uma rede de percolação permanente sob uma barragem de betão 
com 60 m de desenvolvimento construída sobre um maciço isotrópico e homogéneo com 
coeficiente de permeabilidade k=2×10-6 m/s. 
a) Determine o caudal percolado por dia sob a barragem. 
b) Caracterize, em grandeza, direcção e sentido, a força de percolação no ponto M. 
c) Determine a pressão neutra no ponto A. 
d) Verifique as condições de segurança em relação ao levantamento hidráulico a jusante 
da cortina. 
 
Figura 3 
4. A Figura 4 representa a escavação necessária para executar as fundações de uma estrutura 
abaixo do nível freático. Admitindo um desenvolvimento de 50 m para a escavação e 
atendendo à rede de percolação representada na mesma figura, pretende-se: 
a) o caudal a bombar diariamente do interior da escavação; 
b) as tensões neutra e efectiva vertical no ponto P, e respectiva comparação com as 
correspondentes tensões existentes antes do início da escavação; 
c) verificar se há perigo de ocorrência de piping no tubo de fluxo tracejado. 
 
 
Figura 4 
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5. Considere a barragem de terra com um desenvolvimento de 50 m representada na Figura 
5, em que o solo da fundação tem as seguintes características: γsat = 20 kN/m3; e (índice 
de vazios) = 1,0; k =10-7 m/s. 
a) Sabendo que a diferença entre as tensões verticais efectivas nos pontos X e Y é de 
40 kPa, calcule a cota do nível de água a montante. 
b) Calcule o caudal percolado por dia. 
c) Estime a altura a que sobe a água num piezómetro colocada no ponto P. 
d) Estime o valor da velocidade real de percolação no ponto Q. 
e) Verifique as condições de segurança em relação ao piping. 
 
Figura 5 
6. A Figura 6 representa em corte uma cortina suposta impermeável e a correspondente rede 
de percolação. Sabendo que o caudal escoado por metro de cortina é de 1,6 litros/seg. e 
que a tensão vertical efectiva no ponto X é de 108 kPa, determine: 
a) a altura de água Y; 
b) o coeficiente de permeabilidade do solo. 
 
Figura 6 
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7. Atendendo à Figura 7 e considerando que: 
– a percolação no solo 1 pode ser considerada unidimensional e uniforme 
– toda a água que se infiltra entra por AA´ 
– tensão vertical efectiva em A é igual a 17 kPa 
– k1= 10-6 m/s e γ1sat=20 kN/m3 
– k2=2.k1 e γ2sat=21 kN/m3 
determine: 
a) a altura de água ΔH; 
b) o caudal percolado, por metro de cortina e dia; 
c) as tensões verticais total, neutra e efectiva no ponto B. 
d) Baixando o nível de água à direita da cortina, a tensão vertical efectiva em A aumenta 
ou diminui? Justifique. 
 
Figura 7 
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COMPRESSIBILIDADE E CONSOLIDAÇÃO 
1. Sobre o maciço representado na Figura 1 vai ser construído um aterro (γat.=22 kN/m3) 
com uma altura de 8 m e que ocupará uma área de aproximadamente 10 hectares. 
 
Figura 1 
a) Trace os diagramas, mostrando a variação com a profundidade, das tensões verticais 
total, neutra e efectiva, antes da construção do aterro. 
b) Trace os mesmos diagramas após a construção do aterro: 
i) a curto prazo (t = 0+); 
ii) a longo prazo (t = ∞). 
c) Que diferenças se verificavam se a área ocupada pelo aterro fosse muito menor? 
d) Suponha que, muito tempo após a construção do aterro, se verifica uma subida do 
nível freático até à superfície do terreno. Trace os diagramas de tensões neutras e 
verticais efectivas na camada de argila a curto e a longo prazo. 
2. Para a determinação das características de compressibilidade e de consolidação da 
camada argilosa representada na Figura 1, uma amostra colhida à profundidade de 8 m e 
com 19 mm de altura foi submetida a um ensaio de consolidação unidimensional (ensaio 
edométrico) que forneceu os seguintes resultados: 
assentamento 
(mm) 
0,25 0,4286 0,6055 0,7826 1,0929 2,2023 3,3121 4,4230 
tensão 
efectiva (kPa) 10 20 40 80 160 320 640 1280 
a) Sabendo que a densidade das partículas sólidas da argila é de 2,6 e que, no fim do 
ensaio, o teor em água da amostra era de 38,85 %, trace as curvas: 
i) e - σ´ 
ii) mv - σ´; 
iii) e - log σ´. 
b) Calcule a tensão de pré-consolidação. 
c) Calcule os valores dos índices de compressibilidade (Cc) e de recompressibilidade 
(Cr). 
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3. Considerando os resultados do ensaio edométrico realizado, estime o assentamento total 
previsível devido à consolidação primária do estrato de argila induzida pela construção 
do aterro (Figura 1). 
4. Num ensaio de consolidação unidimensional (ensaio edométrico) efectuado sobre uma 
amostra de argila obtiveram-se para um dado escalão de carga os seguintes resultados: 
Tempo (min.) Δh (mm) 
0,167 0,150 
0,250 0,170 
0,500 0,218 
1 0,281 
2 0,368 
4 0,483 
8 0,608 
15 0,704 
30 0,772 
60 0,815 
120 0,847 
240 0,874 
480 0,899 
1440 0,926 
Admitindo uma espessura média da amostra durante a consolidação de 18,8 mm, estime o 
valor do coeficiente de consolidação (cv). 
5. Admita que a camada de argila de 6 m de espessura, de onde foi retirada a amostra 
referida no problema anterior, é submetida a um incremento de carga uniformemente 
distribuído ao longo da sua espessura de 60 kPa. 
a) Determine, supondoo estrato drenado nos dois sentidos: 
i) o tempo que a consolidação demora a processar-se; 
ii) o grau de consolidação médio ao fim de 1 ano de carregamento; 
iii) o excesso da pressão neutra (ue) ao longo da espessura da camada, 215 dias após 
o carregamento. 
b) No caso da camada de argila ter apenas um fronteira drenante, qual o tempo necessário 
à dissipação completa do excesso da pressão neutra. 
c) Supondo que o coeficiente de permeabilidade da argila é de 2x10-10 m/s, estime o 
assentamento final originado pelo carregamento referido. 
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6. Considere o maciço terroso representado na Figura 2, onde se construiu rapidamente um 
aterro de grandes dimensões que provocou um acréscimo uniforme de 110 kPa da tensão 
vertical. 
a) Estime o tempo que demorou a processar-se o assentamento. 
b) Sabendo que o assentamento por consolidação da camada argilosa 10 meses após a 
construção foi de 11 cm, estime o valor do seu índice de compressibilidade (Cc). 
c) Mostre a evolução da tensão vertical efectiva ao longo da camada argilosa, 25 meses 
depois de concluída a construção do aterro. 
d) Do assentamento total devido à consolidação da camada argilosa, distinga a parcela 
elástica da plástica. 
 
Figura 2 
7. A Figura 3 representa o perfil de um terreno estratificado. Num dado momento (t0) o 
nível freático, inicialmente coincidente com a superfície do terreno, foi rebaixado de 3 
m, ficando a areia acima deste seca. 
 Figura 3 Figura 4 
a) De acordo com os resultados do ensaio edométrico efectuado sobre uma amostra 
colhida à profundidade de 7 m, Figura 4, calcule o assentamento devido à consolidação 
primária do estrato argiloso que se deverá registar meio ano após o referido abaixamento 
(t1=t0+1/2ano). 
b) Trace os diagramas das tensões verticais, total e efectiva, no interior do estrato de 
argila correspondentes ao instante t1. 
c) Estime o valor do coeficiente de permeabilidade do estrato argiloso. 
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8. Na Figura 5 representa-se um maciço terroso estratificado, constituído por dois estratos 
de areia e um de argila normalmente consolidada, onde se pretende assentar uma 
fundação circular de diâmetro 2 m. 
a) Supondo o estrato argiloso confinado, determine: 
i) o assentamento por consolidação primária da argila no centro da fundação; 
ii) o tempo que este assentamento demora a processar-se. 
b) Nas condições reais, o assentamento por consolidação primária da argila e o tempo que 
este demora a processar-se serão menores ou maiores do que os calculados na alínea 
anterior? Porquê? 
Nota: resolva a alínea i) dividindo a camada de argila em três subcamadas. 
 
Figura 5 
9. Considere o maciço estratificado representado na Figura 6, assim como os resultados de 
um ensaio edométrico efectuado sobre uma amostra recolhida no ponto M1 da camada de 
argila 1 e que se pode considerar representativo de todo o estrato. Sobre o maciço é 
construído um aterro de grandes dimensões com 2,5 m de altura e peso volúmico de 
20 kN/m3. 
 
Figura 6 
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a) Sabendo que o assentamento total à superfície, devido à consolidação primária, é de 
12 cm, determine: 
i) a variação da espessura de cada uma das camadas de argila (despreze a 
compressibilidade do solo arenoso); 
ii) o índice de compressibilidade da argila 2. 
b) Supondo que num dado instante a altura piezométrica no ponto M2 é de 8,5 m, calcule 
nesse mesmo instante: 
i) a altura piezométrica no ponto M1; 
ii) o assentamento já verificado. 
10. O atravessamento rodoviário do maciço representado na Figura 7 implica a construção de 
um aterro de grandes dimensões em planta, com 6 metros de altura, utilizando um solo 
que, após compactação, apresentará um peso volúmico de 20 kN/m3. 
 
Figura 7 
a) A que altura acima da posição do nível freático, h, subirá a água no tubo piezométrico, 
imediatamente após a construção do aterro? Que hipóteses admitiu para responder? 
b) Sabendo que, 6 meses após a construção do aterro, a água sobe no tubo piezométrico 
até a uma altura acima da posição do nível freático, h, de 7,2 m, e que o assentamento 
medido à superfície é de 6,75 cm, estime os seguintes parâmetros do solo argiloso: 
i) o coeficiente de consolidação (se não resolver, admita o seguinte valor: 5 m2/ano); 
ii) o índice de compressibilidade (se não resolver, admita o seguinte valor: 0,25); 
iii) o coeficiente de permeabilidade. 
c) Comente a seguinte afirmação: “O valor do índice de compressibilidade estimado na 
alínea anterior é inferior ao real”. 
d) Estime o tempo que o assentamento total demora a processar-se. 
 
 
 
 
 
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11. Um aterro destinado a uma estrada assenta num estrato de argila compressível de 9m de 
espessura (mv = 2,05 x 10-4 m2/kN e cv = 1,87 m2/ano), sob o qual existe rocha 
impermeável. As tensões normais verticais médias existentes no estrato de argila antes e 
depois da construção do aterro são, respectivamente: 
σ’V0 = 56 kN/m2 e σ’VF = 158 kN/m2 
 Pretende-se executar o pavimento 10 meses após a construção do aterro (admitindo que é 
construído instantaneamente). 
 
 a) Sabendo que depois de executado o pavimento apenas são toleráveis assentamentos 
máximos de 2,5 cm, verifique a necessidade de execução de drenos verticais. 
 b) Caso afirmativo, dimensione uma malha de drenos de areia com 38 cm de diâmetro a 
utilizar. Considere: 
i) ch = cv 
ii) ch = 2 cv 
 
12. Sobre a superfície do terreno, cujo corte se mostra na Figura 8, executou-se em Janeiro de 
1996 um aterro de grandes dimensões. Imediatamente antes da construção do aterro foi 
registado no ponto A uma altura piezométrica de 4,50 m. Em Janeiro de 1997, por efeito 
da consolidação da camada de argila, foi registado um assentamento médio da superfície 
do aterro de 8,6 cm. Nesta mesma data verificou-se que a altura piezométrica no ponto A 
era de 8,05 m. 
 
Figura 8 
 a) Calcule a que profundidade está localizado o nível freático. 
 b) Calcule o assentamento total por consolidação primária na camada de argila. 
 c) O estrato subjacente à camada de argila funciona como fronteira drenante ou 
impermeável? Justifique. 
 d) Estime o valor do coeficiente de consolidação do estrato argiloso. 
 e) Se em Janeiro de 1996, simultaneamente com a execução do aterro, tivesse sido 
instalada uma rede triangular de drenos verticais afastados de 2,30 m e com rw = 0,08 m, 
atravessando toda a espessura da camada argilosa, qual seria o valor do assentamento por 
consolidação desta camada em Janeiro de 1997? Considere ch = cv. 
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13. Um aterro vai ser construído sobre um maciço constituído por um estrato arenoso, um 
estrato argiloso e um estrato de rocha impermeável, conforme se esquematiza na Figura 
9. Pretende-se realizar o pavimento de uma estrada sobre o aterro 10 meses após o início 
dos trabalhos. Depois da construção da estrada o assentamento máximo permitido é de 
2,5 cm. 
 Admitindo uma rede quadrangular de drenos de areia de diâmetro 0,40 m afastados de 4,0 
m, calcule a altura necessária do aterro provisório a executar. 
 
 Notas: 
1) considereque o acréscimo de carga transmitido pelo aterro é uniforme em 
profundidade 
2) considere, para efeitos de cálculo, que o aterro é construído instantaneamente. 
 
 
Figura 9 
 
 
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ANEXO 
1. Consolidação vertical 
 
 
 
 
Grau de consolidação médio, ŪZ % Factor tempo, T T 
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 
ŪZ % 
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 
0,004 7,14 6,49 0,98 0,80 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 
0,008 10,09 8,62 1,95 1,60 5 0,0020 0,0030 0,0208 0,0250 
0,012 12,36 10,59 2,92 2,40 10 0,0078 0,0111 0,0427 0,0500 
0,020 15,96 13,67 4,81 4,00 15 0,0177 0,0238 0,0659 0,0753 
0,028 18,88 16,38 6,67 5,60 20 0,0314 0,0405 0,0904 0,1020 
0,036 21,40 18,76 8,50 7,20 25 0,0491 0,0608 0,1170 0,1280 
0,048 24,72 21,96 11,17 9,60 30 0,0707 0,0847 0,1450 0,1570 
0,060 27,64 24,81 13,76 11,99 35 0,0962 0,1120 0,1750 0,1870 
0,072 30,28 27,43 16,28 14,36 40 0,1260 0,1430 0,2070 0,2200 
0,083 32,51 29,67 18,52 16,51 45 0,1590 0,1770 0,2420 0,2550 
0,100 35,68 32,88 21,87 19,77 50 0,1970 0,2150 0,2810 0,2940 
0,125 39,89 36,54 26,54 24,42 55 0,2390 0,2570 0,3240 0,3360 
0,150 43,70 41,12 30,93 28,86 60 0,2860 0,3050 0,3710 0,3840 
0,175 47,18 44,73 35,07 33,06 65 0,3420 0,3590 0,4250 0,4380 
0,200 50,41 48,09 38,95 37,04 70 0,4030 0,4220 0,4880 0,5010 
0,250 56,22 54,17 46,03 44,32 75 0,4770 0,4950 0,5620 0,5750 
0,300 61,32 59,50 52,30 50,78 80 0,5670 0,5860 0,652 0,6650 
0,350 65,82 64,21 57,83 56,49 85 0,6840 0,7020 0,7690 0,7820 
0,400 69,79 68,36 62,73 61,54 90 0,8480 0,8670 0,9330 0,9460 
0,500 76,60 76,28 70,88 69,95 95 1,1290 1,1480 1,2140 1,2270 
0,600 81,56 80,69 77,25 76,52 100 ∞ ∞ ∞ ∞ 
0,700 85,59 84,91 82,22 81,65 
0,800 88,74 88,21 86,11 85,66 
0,900 91,20 90.79 89,15 88,80 
1,000 93,13 92,80 91,52 91,25 
1,500 98,00 97,90 97,53 97,45 
2,000 99,42 99,39 99,28 99,26 
 
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2. Consolidação radial 
_ 
Ur – grau de consolidação médio por consolidação radial (%) 
 
2R
tcT hr = 
wr
Rn = ( ) ( ))(1)(11)( tUtUtU zr −×−−= 
 
)(
2
1 nF
T
r
r
eU
−
−= )1ln(
2
)(
rr U
nFT −−= 2
2
2
2
4
13)ln(
1
)(
n
nn
n
nnF −−−= 
 
Raio de influência de um dreno (s – afastamento entre drenos): 
 
Malha quadrada: R = 0,564 s Malha triangular: R = 0,525 s 
 
 n 
Tr 
1,5 2 3 4 5 7 10 15 20 30 40 60 100 
0,004 8,42 3,32 1,55 1,07 0,85 0,64 0,51 0,41 0,35 0,30 0,27 0,24 0,21 
0,008 16,13 6,54 3,07 2,13 1,69 1,28 1,01 0,81 0,71 0,60 0,54 0,48 0,41 
0,012 23,19 9,64 4,56 3,17 2,53 1,91 1,51 1,21 1,06 0,90 0,81 0,71 0,62 
0,02 35,58 15,55 7,49 5,23 4,18 3,17 2,50 2,01 1,76 1,50 1,35 1,19 1,03 
0,028 45,98 21,07 10,33 7,25 5,80 4,41 3,49 2,80 2,45 2,09 1,89 1,66 1,44 
0,036 54,69 26,23 13,08 9,22 7,40 5,63 4,46 3,59 3,14 2,68 2,42 2,13 1,85 
0,048 65,20 33,34 17,05 12,10 9,74 7,44 5,90 4,75 4,17 3,55 3,21 2,83 2,46 
0,06 73,27 39,77 20,83 14,89 12,03 9,21 7,32 5,91 5,18 4,42 4,00 3,52 3,06 
0,072 79,47 45,58 24,45 17,59 14,25 10,95 8,72 7,04 6,19 5,28 4,78 4,21 3,67 
0,086 84,91 51,65 28,45 20,63 16,78 12,94 10,32 8,36 7,35 6,27 5,68 5,01 4,36 
0,1 88,91 57,04 32,25 23,56 19,23 14,88 11,90 9,65 8,49 7,26 6,57 5,80 5,05 
0,125 93,60 65,22 38,53 28,53 23,43 18,24 14,65 11,91 10,50 8,99 8,15 7,20 6,28 
0,15 96,31 71,85 44,23 33,17 27,41 21,47 17,31 14,12 12,46 10,68 9,70 8,58 7,49 
0,175 97,87 77,21 49,40 37,51 31,18 24,57 19,89 16,27 14,38 12,35 11,22 9,93 8,68 
0,2 98,77 81,55 54,10 41,57 34,76 27,54 22,39 18,37 16,26 13,98 12,72 11,27 9,85 
0,25 99,59 87,91 62,22 48,92 41,37 33,15 27,15 22,40 19,90 17,16 15,63 13,88 12,16 
0,3 99,86 92,07 68,90 55,34 47,31 38,32 31,62 26,24 23,37 20,23 18,45 16,42 14,41 
0,35 99,95 94,80 74,40 60,95 52,64 43,10 35,82 29,89 26,70 23,17 21,18 18,88 16,60 
0,4 99,98 96,59 78,93 65,86 57,44 47,50 39,76 33,36 29,88 26,01 23,81 21,27 18,74 
0,5 100,00 98,54 85,72 73,91 65,62 55,31 46,93 39,79 35,83 31,38 28,82 25,84 22,85 
0,6 100,00 99,37 90,33 80,05 72,23 61,96 53,25 45,60 41,28 36,36 33,50 30,14 26,75 
0,7 100,00 99,73 93,45 84,75 77,57 67,62 58,81 50,85 46,27 40,98 37,87 34,19 30,45 
0,8 100,00 99,88 95,56 88,35 81,89 72,44 63,71 55,59 50,83 45,26 41,96 38,01 33,96 
0,9 100,00 99,95 96,99 91,09 85,37 76,54 68,03 59,87 55,01 49,23 45,77 41,61 37,30 
1 100,00 99,98 97,96 93,19 88,18 80,03 71,84 63,74 58,83 52,92 49,34 45,00 40,47 
1,25 100,00 100,00 99,23 96,52 93,07 86,65 79,48 71,87 67,02 61,00 57,26 52,63 47,71 
1,5 100,00 100,00 99,71 98,22 95,94 91,08 85,05 78,17 73,58 67,69 63,94 59,21 54,07 
1,75 100,00 100,00 99,89 99,09 97,62 94,03 89,11 83,06 78,84 73,24 69,58 64,87 59,66 
2 100,00 100,00 99,96 99,54 98,60 96,01 92,07 86,86 83,05 77,83 74,33 69,75 64,56 
2,5 100,00 100,00 99,99 99,88 99,52 98,22 95,79 92,09 89,12 84,79 81,73 77,56 72,66 
3 100,00 100,00 100,00 99,97 99,83 99,20 97,77 95,23 93,02 89,56 87,00 83,36 78,91 
3,5 100,00 100,00 100,00 99,99 99,94 99,64 98,81 97,13 95,52 92,84 90,74 87,66 83,72 
4 100,00 100,00 100,00 100,00 99,98 99,84 99,37 98,27 97,13 95,09 93,41 90,85 87,44 
5 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 99,82 99,37 98,82 97,69 96,66 94,97 92,52 
6 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,99 99,95 99,77 99,51 98,91 98,31 97,23 95,55 
7 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,99 99,92 99,80 99,49 99,14 98,48 97,35 
8 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,97 99,92 99,76 99,57 99,16 98,42 
9 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,99 99,97 99,89 99,78 99,54 99,06 
10 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 99,99 99,95 99,89 99,75 99,44 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil RC 1/4
 
RESISTÊNCIA AO CORTE 
1. Sobre um solo arenoso compacto pretende-se construir um edifício. Visando a 
determinação da capacidade de suporte do solo foi realizado um ensaio de corte directo 
com o solo seco. A caixa de corte utilizada no ensaio tem secção quadrada, com 10 cm de 
lado e 5 cm de altura. Foram analisados 3 provetes, tendo-se obtido os resultados 
apresentados na Figura 1: 
Δl (mm)
Δl (mm)
T (N)
Δh (mm)
N = 1 KN
N = 1 KN
N = 2 KN
N = 2 KN
N = 4 KN
N = 4 KN
2,
0
2,
5
3,
0
20
,0
20
,0
690
815
410
1360
2720
-1,5
-2,8
-5,3
1620
Figura 1 
 em que: 
T – Força tangencial N – Força normal 
Δl = Deslocamento horizontal Δh – Deslocamento vertical 
a) Trace os gráficos τ-εh e εv-εh; 
b) Em função do comportamento exibido, diga se este solo se comporta como um solo 
denso ou solto? Justifique. 
c) Determine os parâmetros de resistência ao corte correspondentes ao: 
i) estado de pico; 
ii) estado residual. 
d) Trace o círculo de Mohr que define o estado de tensão na rotura para os três ensaios na 
situação de pico. 
e) Determine as tensões principais e a sua direcção com a vertical, no momento da rotura. 
f) Calcule e represente a envolvente de rotura no sistema de eixos s’-t. 
 
2. Sobre um maciço, que se sabe constituído por uma areia relativamente solta, pretende-se 
construir um aterro de dimensão longitudinal considerada infinita (Figura 2): 
 
 a) Defina, no plano de Mohr e no plano s-t, o estado de tensão em repouso nos pontos A, 
B e C. 
b) Esboce, nos mesmos planos, a evolução do estado de tensão experimentada nos pontos 
A, B e C associada à construção dos dois primeiros metros de aterro. Admita para peso 
volúmico do material de aterro um valor de 20 kN/m3. 
c) Pretendendo efectuara análise da estabilidade da fundação do aterro, efectuaram-se 
ensaios de corte directo sobre quatro provetes de areia preparados em laboratório com o 
mesmo índice de vazios de ocorrência. Os resultados obtidos foram os seguintes: 
Tensão Normal (kN/m2) 50 100 200 300 
Tensão de Corte Máxima (kN/m2) 33 59 122 177 
Determine os valores dos parâmetros de resistência ao corte da fundação do aterro. 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
 
RC 2/4 Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil
 
d) Trace a envolvente de rotura no plano s-t. 
e) Relacione os valores das tensões principais para que seja atingida a rotura por corte em 
qualquer ponto do solo de fundação do aterro. 
f) Calcule a altura do aterro para a qual acontece a rotura por corte no ponto A. 
g) Verifique a impossibilidade de ocorrer rotura por corte num ponto situado sobre o eixo 
de simetria a uma profundidade de 1 m (ponto D). 
 
 
Figura 2 
 
3. A Figura 3 (a e b) mostra alguns resultados de ensaios de compressão triaxial realizados 
sobre 3 amostras indeformadas de um solo residual do granito. As amostras foram 
inicialmente consolidadas isotropicamente (σ3c = 100, 200 e 400 kPa) e depois levadas à 
rotura em condições drenadas, aumentando a tensão axial e mantendo constante a tensão 
radial. 
 a) Determine os parâmetros de resistência ao corte do solo (pico e última). Comente os 
resultados obtidos. 
b) Admitindo para o solo um comportamento elástico linear até 50% da tensão de rotura, 
determine, para a tensão de confinamento de 400 kPa, os parâmetros elásticos. 
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 2 4 6 8 10 12 14
Extensão Axial (%)
( σ 1
 - 
σ 3)
 k
Pa
σ3 = 200 kPa
σ3 = 100 kPa
σ3 = 400 kPa
 
Figura 3 a) 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil RC 3/4
 
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 2 4 6 8 10 12 14
Extensão Axial (%)
dV
 / 
V 
(%
)
σ3 = 400 kPa
 
Figura 3 b) 
4. O parâmetro de resistência ao corte de uma areia grossa é: φ’ = 30º. Três amostras deste 
solo, consolidadas anisotropicamente (σ3c = 100 kPa e σ1c = 200 kPa), foram levadas à 
rotura da seguinte maneira: i) aumentando a tensão axial e mantendo constante a tensão 
radial; ii) mantendo a tensão axial e diminuindo a tensão radial; iii) mantendo constante a 
tensão média (s) e diminuindo a tensão radial. 
 a) Para os três ensaios, trace a evolução até à rotura, no plano de Mohr e no plano s-t, do 
estado de tensão nas amostras. 
b) Dê exemplos de obras geotécnicas onde a evolução do estado de tensão seja 
semelhante com a simulada nos ensaios descritos. 
5. Considere um depósito arenoso sobre o qual foi construído um aterro com as 
características indicadas na Figura 4. Determine a altura que o nível freático poderá subir, 
acima do ponto P, sem que ocorra rotura ao corte no referido ponto. 
 
 
Figura 4 
Mecânica dos Solos I Aulas Teórico - Práticas 
 
RC 4/4 Universidade de Coimbra - Laboratório de Geotecnia do Departamento de Engenharia Civil
 
ANEXO 
Acréscimo de tensão sob uma carga de dimensão infinita 
 
 
 
 
( )z q sin cos 2⎡ ⎤σ = × α + α× α + ×δ⎣ ⎦π 
 
( )x q sin cos 2⎡ ⎤σ = × α − α× α + ×δ⎣ ⎦π 
y
2 q×σ = ×υ×απ 
 
( )xz q sin sin 2τ = × α× α + ×δπ 
 
1âng. de com a verticalβ = σ 
 
(ângulos em radianos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
x/b z/b σz/q σx/q τzx/q β τmax/q σ1/q σ3/q 
0,0 0 1,0000 1,0000 0 0 0 1,0000 1,0000 
 0,5 0,9594 0,4498 0 0 0,2548 0,9594 0,4498 
 1,0 0,8183 0,1817 0 0 0,3183 0,8183 0,1817 
 1,5 0,6678 0,0803 0 0 0,2937 0,6678 0,0803 
 2,0 0,5508 0,0410 0 0 0,2546 0,5508 0,0410 
 2,5 0,4617 0,0228 0 0 0,2195 0,4617 0,0228 
 3,0 0,3954 0,0138 0 0 0,1908 0,3954 0,0138 
 3,5 0,3457 0,0091 0 0 0,1683 0,3457 0,0091 
 4,0 0,3050 0,0061 0 0 0,1499 0,3050 0,0061 
0,5 0 1,0000 1,0000 0 0 0 1,0000 1,0000 
 0,25 0,9787 0,6214 0,0522 8º35’ 0,1871 0,9871 0,6129 
 0,5 0,9028 0,3920 0,1274 13º17’ 0,2848 0,9323 0,3629 
 1,0 0,7352 0,1863 0,1590 14º52’ 0,3158 0,7763 0,1446 
 1,5 0,6078 0,0994 0,1275 13º18’ 0,2847 0,6370 0,0677 
 2,0 0,5107 0,0542 0,0959 11º25’ 0,2470 0,5298 0,0357 
 2,5 0,4372 0,0334 0,0721 9º49’ 0,2143 0,4693 0,0206 
1,0 0,25 0,4996 0,4208 0,3134 41º25’ 0,3158 0,7760 0,1444 
 0,5 0,4969 0,3472 0,2996 37º59’ 0,3088 0,7308 0,1133 
 1,0 0,4797 0,2250 0,2546 31º43’ 0,2847 0,6371 0,0677 
 1,5 0,4480 0,1424 0,2037 26º34’ 0,2546 0,5498 0,0406 
 2,0 0,4095 0,0908 0,1592 22º30’ 0,2251 0,4751 0,0249 
 2,5 0,3701 0,0595 0,1243 19º20’ 0,1989 0,4137 0,0159 
1,5 0,25 0,0177 0,2079 0,0606 73º47’ 0,1128 0,2281 0,0025 
 0,5 0,892 0,2850 0,1466 61º50’ 0,1765 0,3636 0,0106 
 1,0 0,2488 0,2137 0,2101 47º23’ 0,2115 0,4428 0,0198 
 1,5 0,2704 0,1807 0,2022 38º44’ 0,2071 0,4327 0,0184 
 2,0 0,2876 0,1268 0,1754 32º41’ 0,1928 0,4007 0,0143 
 2,5 0,2851 0,0892 0,1469 28º09’ 0,1765 0,3637 0,0106 
2,0 0,25 0,0027 0,0987 0,0164 80º35’ 0,0507 0,1014 0,0002 
 0,5 0,0194 0,1714 0,0552 71º59’ 0,0940 0,1893 0,0014 
 1,0 0,0776 0,2021 0,1305 58º17’ 0,1424 0,2834 0,0052 
 1,5 0,1458 0,1847 0,1568 48º32’ 0,1578 0,3232 0,0074 
 2,0 0,1847 0,1456 0,1567 41º27’ 0,1579 0,3232 0,0073 
 2,5 0,2045 0,1256 0,1442 36º02’ 0,1515 0,3094 0,0064 
2,5 0,5 0,0068 0,1104 0,0254 76º43’ 0,0569 0,1141 0,0003 
 1,0 0,0357 0,1615 0,0739 65º12’ 0,0970 0,1957 0,0016 
 1,5 0,0771 0,1645 0,1096 55º52’ 0,1180 0,2388 0,0028 
 2,0 0,1139 0,1447 0,1258 48º31’ 0,1265 0,2556 0,0036 
 2,5 0,1409 0,1205 0,1266 42º45’ 0,1269 0,2575 0,0036 
3 0,5 0,0026 0,0741 0,0137 79º25’ 0,0379 0,0758 0,0001 
 1,0 0,0171 0,1221 0,0449 69º42’ 0,0690 0,1384 0,0005 
 1,5 0,0427 0,1388 0,0757 61º15’ 0,0895 0,1803 0,0012 
 2,0 0,0705 0,1341 0,0954 54º12’ 0,1006 0,2029 0,0018 
 2,5 0,0952 0,1196 0,1036 48º20’ 0,1054 0,2128 0,0020 
 3,0 0,1139 0,1019 0,1057 43º22’ 0,1058 0,2137 0,0020 
 
 
 
	Capas MSI - 2008-09 1
	03 - Problemas Propostos MSI - 2008-09
	05 - Problemas Propostos MSI - 2007-08.pdf
	05 - Problemas Propostos MSI - 2007-08.pdf
	Capas MSI - 2007-08.pdf
	1 - Índices Físicos de Solos - 2007-08.pdf
	2 - Ident. e Classificação de Solos - 2007-08.pdf
	3 - Estado de Tensão - 2007-08.pdf
	4 - Percolação Unidimensional - 2007-08.pdf
	5 - Percolação Bidimensional - 2007-08.pdf
	6 - Compressibilidade e Consolidação - 2007-08.pdf
	7 - Resistencia ao Corte - 2007-08.pdf
	1 - Indices Fisicos de Solos - 2007-08.pdf
	05 - Problemas Propostos MSI - 2007-08.pdf
	Capas MSI - 2007-08.pdf
	1 - Índices Físicos de Solos - 2007-08.pdf
	2 - Ident. e Classificação de Solos - 2007-08.pdf
	3 - Estado de Tensão - 2007-08.pdf
	4 - Percolação Unidimensional - 2007-08.pdf
	5 - Percolação Bidimensional - 2007-08.pdf
	6 - Compressibilidade e Consolidação - 2007-08.pdf
	7 - Resistencia ao Corte - 2007-08.pdf
	3 - Estado de Tensao - 2007-08.pdf
	05 - Problemas Propostos MSI - 2007-08.pdf
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	1 - Índices Físicos de Solos - 2007-08.pdf
	2 - Ident. e Classificação de Solos - 2007-08.pdf
	3 - Estado de Tensão - 2007-08.pdf
	4 - Percolação Unidimensional - 2007-08.pdf
	5 - Percolação Bidimensional - 2007-08.pdf
	6 - Compressibilidade e Consolidação - 2007-08.pdf
	7 - Resistencia ao Corte - 2007-08.pdf
	1 - Indices Fisicos de Solos - 2007-08.pdf
	05 - Problemas Propostos MSI - 2007-08.pdf
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	1 - Índices Físicos de Solos - 2007-08.pdf
	2 - Ident. e Classificação de Solos - 2007-08.pdf
	3 - Estado de Tensão - 2007-08.pdf
	4 - Percolação Unidimensional - 2007-08.pdf
	5 - Percolação Bidimensional - 2007-08.pdf
	6 - Compressibilidade e Consolidação - 2007-08.pdf
	7 - Resistencia ao Corte - 2007-08.pdf