06 Permeabilidade e Percolacao 2009 10 Parte III 1

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Permeabilidade e Percolação
Objectivos da aula
� Ilustrar o uso de redes de percolação de malha
equidimensional para obter o caudal e a carga
hidráulica num escoamento bidimensional;
� Mostrar como usar redes de percolação para o
estudo de escoamentos 2-D em maciços com
anisotropia de permeabilidade;
� Identificar os principais mecanismos de
instabilidade hidráulica.
2
Introdução
� Redes de percolação de malha equidimensional
são boa solução para estudo de percolação 2-D.
� Os maciços tendem a exibir anisotropia de
permeabilidade=> o estudo do escoamento não
deve ignorar tal evidência.
� Os escoamentos bidimensionais podem também
estar associados a fenómenos de instabilidade
hidráulica, cujos efeitos são potencial/ desastrosos.
Redes de percolação equidimensionais
� Para caracterizar um escoamento bidimensional,
as redes de percolação constituídas por elementos
equidimensionais são muito eficientes;
� Elementos equidimensionais são aqueles cujas
dimensões na direcção do escoamento e na
direcção perpendicular ao mesmo são idênticas
(os elementos não têm de ser quadrados!).
3
� Exemplo de uma rede de percolação constituída
por elementos ≈ equidimensionais:
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
a32
b32
a37
b37
a7, 10 b7, 10
1 2 3 4 5
6
7
8
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIIIIX
X
XI
XII
XIII
� O caudal total é dado
pela soma do caudal que
passa em cada tubo de
fluxo (1, 2, 3…Nf)
� Ver também as
quedas de potencial
(I, II, III, IV, …Ne)-
nº igual em cada
tubo de fluxo
4
� Aplicando a lei de Darcy ao escoamento nos 2
elementos identificados (2 e 7) no tubo de fluxo 3,
cujo caudal tem de ser igual (∆Q3=∆Q3el.2=∆Q3el.7):
e se os elementos forem equidimensionais:
i.e., é igual a perda de carga hidráulica entre
quaisquer equipotenciais consecutivas (1≤i≤Ne)!
11 37
37
7
32
32
2
3 ×
∆
=×
∆
=∆ b
a
hkb
a
hkQ
ihhh ∆=∆=∆ 72
� Se aplicarmos também a lei de Darcy ao
escoamento no elemento 10 do tubo de fluxo 7:
e tendo em conta que ∆hi (perda de carga
hidráulica entre equipotenciais consecutivas ou
relativa a uma queda de potencial) é constante:
i.e., o caudal é igual em cada tubo de fluxo (1≤j≤Nf)
.).(1 1010,7
10,7
10
7 equidelhkb
a
hkQ ∆≈×∆=∆
j
fluxotfluxotfluxot QQhkhkhkQ ∆=∆=∆=∆=∆=∆ 77.103.73.23
5
� Em resumo, a perda de carga (∆h) relativa a
cada queda de potencial é constante e igual a:
onde:
- ∆htotal é a perda de carga hidráulica total no
escoamento, medida entre a entrada e a saída;
- Ne é o número de quedas de potencial da rede de
percolação.
e
total
N
hh ∆=∆
� O caudal total que atravessa o maciço por metro
linear (p.m.l.) de desenvolvimento:
onde:
- Nf- nº. de tubos de fluxo da rede de percolação.
Nota-
� Com estes elementos é possível caracterizar na
totalidade qualquer escoamento 2D!
e
f
total
e
total
fif
pml
total N
N
hk
N
hkNQNQ ∆=∆=∆=
.).( escoamdesenvolvLLQQ pmltotaltotal ⊥−×=
6
� Ex. 1 das Folhas T-P de Perm. e Percolação 2-D
Considere o escoamento
da figura determinado
por uma cortina
impermeável com
100 m de comprimento.
Exercício de Aplicação
� Ex. 1 das Folhas T-P de Permeabilidade e
Percolação 2-D:
a) Calcule o caudal escoado por dia;
b) Calcule a tensão efectiva vertical no ponto A;
c) No ponto B, determine o gradiente hidráulico, a
velocidade de percolação e as forças de
percolação por unidade de volume (que
aconteceria se o ponto B se situasse na zona de
saída de água do maciço junto à cortina?)
7
Maciços c/ anisotropia de permeabilidade
� Até aqui têm sido considerados escoamentos
bidimensionais através de maciços com isotropia
de permeabilidade;
� Os maciços naturais, porém, exibem frequente/
anisotropia de permeabilidade significativa.
� A anisotropia dos maciços resulta da anisotropia
de permeabilidade do solo e da estratificação.
Considere-se um maciço homogéneo c/ anisotropia
de permeabilidade do solo…
� Nestes casos, a lei de Darcy permite escrever:
representando kx e kz os coef. de permeabilidade
nas direcções horizontal e vertical, respectiva/ (kh e
kv ). Recorde-se que, em geral kh > kv ...







−=
−=
z
h
v
x
h
v
z
x
δ
δ
δ
δ
z
x
k
k
8
� Substituindo as novas expressões na equação
que resulta da incompressibilidade das partículas
sólidas e da água:
ou ainda
desde que
0
z
h
 
x
hk 0
z
v
 
x
v
2
2
2
2
x
zx
=+=>=+
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
zk
0
z
h
 
x
h
 0
z
h
 
xk
h
 2
2
2
T
2
2
2
2
x
2
=+=>=+





 δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
zk
x
z
k
k
xx = T
� Logo, o problema de percolação bidimensional
em maciços com anisotropia de permeabilidade
resolve-se transformando a escala horizontal do
problema, multiplicando as dimensões reais por:
Por ex., num maciço em que a permeabilidade
horizontal exceda em 4 vezes a vertical, a escala
horizontal deve ser alterada de forma a que:
x
z
k
k
2
1
.4
1
... vv
h
v
vh EscEsck
kEscEsc ===
9
� Prova-se facilmente que:
- o caudal é calculado pela expressão usual,
substituindo k por:
- a carga hidráulica e as tensões no solo calculam-
se sem qualquer alteração;
- no cálculo do gradiente hidráulico devem ser
usadas as dimensões reais (=> ter em conta a
modificação da escala segundo x!)
hveq kkk =
� Alternativa: utilizar programas de cálculo
numérico capazes de resolver qualquer problema
de percolação 2-D, incluindo:
- definição da linha de saturação;
- maciços constituídos por um só solo, mas com
anisotropia de permeabilidade;
- escoamentos 2-D em solos c/ permeabilidades
variáveis (barragens de terra zonadas, maciços
estratificados, etc…)
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Fenómenos de Instabilidade Hidráulica
� Como se sugeriu antes, a existência de forças de
percolação aproximada/ verticais e ascendentes
pode reduzir perigosamente ou mesmo anular as
tensões efectivas no maciço;
� A fim de evitar os chamados fenómenos de
instabilidade hidráulica, 2 verificações têm de ser
conduzidas na zona onde as forças de percolação
são ≈ verticais e ascendentes.
� Exercício: onde se situa a zona problemática
relativa à instabilidade hidráulica nestes casos?
- zonas passíveis de
instabilidade hidráulica
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� Recorde-se que, no caso 1-D da percolação
vertical e ascendente, o gradiente hidráulico, dito
crítico, para o qual as tensões efectivas se
anulam, num maciço homogéneo totalmente
submerso, é dado por:
� No caso 2-D, uma das verificações centra-se na
análise dos efeitos das forças de percolação sobre
as partículas individuais de solo; a outra sobre uma
massa de solo potencialmente instável;
w
criti γ
γ '
=
Erosão interna (“piping”)
� A erosão interna é um fenómeno progressivo que:
- se inicia com o arrasto de partículas do solo junto
à fronteira de saída de água do maciço;
- propaga-se para zonas mais profundas do maciço,
criando canais que degradam a resistência e rigidez
global do maciço (sse ocorrer primeiro na saída).
� O controle e verificação da erosão interna são
feitos na zona da saída de água do maciço!
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� Factor de segurança relativo ao “piping”:
Notas:
1- Lmin na saída é a menor distância entre as 2
equipotenciais mais próximas da saída (em geral,
junto à superfície impermeável de jusante!);
2- O factor de segurança exigido é geral/ alto (2~4)
saída
e
total
w
saída
w
saída
crit
piping
LN
h
L
hi
iFS
minmin
max
''
∆
=∆==
γ
γ
γ
γ
Levantamento hidráulico (“heave”)
� O levantamento hidráulico caracteriza-se por:
- afectar a massa de solo na zona de jusante onde o
escoamento é mais próximo da vertical;
- causar uma rotura frágilde um bloco de solo
devido aos efeitos das forças de percolação.
� A verificação da segurança é feita para um bloco
tipo com base ao nível da profundidade enterrada,
d, da “cortina” de jusante e metade da largura (d/2).
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� Factor de segurança relativo ao “heave”:
Notas:
1- existem várias formas práticas de calcular imed
no bloco (entre pontos médios da base e topo,…);
2- O factor de segurança exigido é geral/ alto (2~4)
=
+
=
percolação
AcimaNF
bloco
AbaixoNF
bloco
heave F
PPFS )('
Vi
VV
VJ
VV
wmed
AcimaNF
bloco
AbaixoNF
bloco
med
AcimaNF
bloco
AbaixoNF
bloco
γ
γγγγ )(')(' +
=
+
=
� Ex. 1 das Folhas T-P de Perm. e Percolação 2-D
(cont.)
Considere o escoamento
da figura determinado
por uma cortina
impermeável com
100 m de comprimento.
Exercício de Aplicação
14
� Ex. 1 das Folhas T-P de Permeabilidade e
Percolação 2-D:
d) Avalie as condições de estabilidade em relação
à erosão interna e ao levantamento hidráulico
(Nota- repare-se na geometria do bloco
representado na figura para a verificação da
segurança relativa/ ao levantamento hidráulico
Objectivos da aula
� Mostrar como verificar a segurança relativa/ aos
diferentes mecanismos de instabilidade hidráulica;
� Enumerar formas de aumentar a segurança
relativa/ à instabilidade hidráulica;
� Ilustrar o uso de filtros e o seu dimensionamento;
� Fornecer breves noções sobre fenómenos
capilares.
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Introdução
� Face ao carácter catastrófico dos fenómenos de
instabilidade hidráulica, a sua análise é essencial!
� Se a segurança não estiver devida/ garantida,
devem ser previstos meios adicionais para
aumentar a segurança relativa/ a tais fenómenos.
� Os filtros podem ter grande importância em
controlar os escoamentos em meios porosos.
� A capilaridade explica alguns fenóm. geotécnicos
Fenómenos de Instabilidade Hidráulica
� Onde as forças de percolação são aproximada/
verticais e ascendentes podem ocorrer fenómenos
de instabilidade hidráulica, os quais podem
assumir duas formas distintas (aula anterior):
- erosão interna (“piping”);
- levantamento hidráulico (“heave”).
� O factor de segurança avalia a segurança…
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� Factor de segurança relativo ao “piping”:
Notas:
1- Lmin na saída é a menor distância entre as 2
equipotenciais mais próximas da saída (em geral,
junto à superfície impermeável de jusante!);
2- O factor de segurança exigido é geral/ alto (2~4)
saída
e
total
w
saída
w
saída
crit
piping
LN
h
L
hi
iFS
minmin
max
''
∆
=∆==
γ
γ
γ
γ
� Factor de segurança relativo ao “heave”:
Notas:
1- existem várias formas práticas de calcular imed
no bloco (entre pontos médios da base e topo,…);
2- O factor de segurança exigido é geral/ alto (2~4)
=
+
=
percolação
AcimaNF
bloco
AbaixoNF
bloco
heave F
PPFS )('
Vi
VV
VJ
VV
wmed
AcimaNF
bloco
AbaixoNF
bloco
med
AcimaNF
bloco
AbaixoNF
bloco
γ
γγγγ )(')(' +
=
+
=
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� Ex. 1 das Folhas T-P de Perm. e Percolação 2-D
(cont.)
Considere o escoamento
da figura determinado
por uma cortina
impermeável com
100 m de comprimento.
Exercício de Aplicação
� Ex. 1 das Folhas T-P de Permeabilidade e
Percolação 2-D:
d) Avalie as condições de estabilidade em relação
à erosão interna e ao levantamento hidráulico
(Nota- repare-se na geometria do bloco
representado na figura para a verificação da
segurança relativa/ ao levantamento hidráulico)
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Métodos p/ aumentar FSpiping e FSheave
� Existem essencial/ duas formas fundamentais de
aumentar o factor de segurança relativa/ aos
fenómenos de instabilidade hidráulica:
- alterar a forma do escoamento no maciço,
reduzindo as forças de percolação na saída;
- inibir a ocorrência do fenómeno em causa
actuando localmente na zona de saída de água.
� Alteração da forma do escoamento (rede de
percolação tem de ser alterada!)=> aumentar
caminho de percolação. Numa barragem, p.ex.:
- criar ou aumentar cortinas na base da fundação;
- pôr tapete impermeável sobre maciço a montante
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� Numa escavação por exemplo:
- aumentar a profundidade enterrada da cortina
(note as implicações sobre a
rede de percolação!)
� Esta técnica é eficaz relativa/ aos 2 fenómenos!
� Actuar na zona de saída de água a jusante (aqui
a rede de percolação não é alterada… se o fosse,
agravaria as forças de percolação!):
- colocar solo sobre zona de saída de água para
limitar ocorrência de instabilidade hidráulica. Ex:
20
� Esta solução funciona sempre bem relativa/ ao
levantamento hidráulico: para levantar o bloco, é
preciso levantar o que está acima dele!
� Mas para esta solução funcionar relativa/ ao
“piping”, é necessário que o solo a colocar seja
dimensionado segundo as exigências de um filtro.
Só deste modo este material pode impedir o
arrastamento das partículas da superfície do
maciço!
Uso e Dimensionamento de Filtros
� Os filtros são dispositivos que pretendem evitar o
arrastamento de partículas de solo pela água.
� Os filtros naturais (p/ oposição aos geotêxteis)
são materiais granulares com granulometria:
- suficiente/ fina p/ evitar arrasto do solo a proteger
- suficiente/ grossa p/ ter permeabilidade elevada e
garantir que a rede de percolação não é alterada!
(senão criamos gradientes hidráulicos na zona!)
21
� O dimensionamento do filtro é em geral feito com
base nas granulometrias do filtro (D) e do solo (d):
Relações aconselhadas (Bureau of Reclam., EUA):
15
15
15
50
50
50 d
D
;
d
D
== RR
Graduação do filtro R50 R15
Uniforme (CU<4) 5 a 10 qualquer
Não uniforme, part. arredondadas 12 a 58 12 a 40
Não uniforme, part. angulosas 9 a 30 6 a 18
Nota- Curvas granulométricas de solo e filtro ≈paralelas
� Em barragens é frequente usar filtros (espessura
mínima de 2,5~4 m- razões funcionais), nomeada/
em barragens zonadas:
os quais devem obedecer a (ICOLD, 1994)
Solo da barragem a proteger Critério Observ.
Argilas e siltes finos (%<#200:>85%) D15≤ 9d85 D15≥ 0,2 mm
Argilas e siltes (%<#200:40-85%*) D15= 0,7 mm *%<#4
Areias e cascalhos (%<#200: ≤15%) D15≤ 4d85 -
Solos de transição (%<#200:15-40%) D15≤ … *%<#4
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Noções sobre Fenómenos Capilares
� A superfície de um líquido no interior de um tubo
comporta-se como uma membrana elástica devido
aos efeitos da tensão superficial.
� A tensão superficial resulta do facto de as
moléculas de água à superfície sofrerem atracções
diferentes consoante a sua localização (devido ao
diferente nº de moléculas à sua volta!)
� A tensão superficial manifesta-se p.ex. pela
capilaridade. Uma vez que não há mov. de 1 para
2, a altura de ascensão capilar (hc) é tal que:
ou seja, a pressão da água no interior de um tubo
capilar é inferior à pressão atmosférica (sucção!).
1
2
PHR
h
c
wc
cwwc
ww
hu
hhhh
hzhzhh
γ×−=
=>−==>+=+
=>+=+=>=
2
22
221121
00
23
� A altura de ascensão capilar (hc) é obtida pelo
equilíbrio entre o peso da coluna de líquido e as
forças T resultantes da tensão superficial (com
direcção tangente ao menisco):
i.e, a altura de ascensão capilar é maior em tubos
finos e varia c/ caract. do fluido e material do tubo.
)(cos2
cos2 2
Jurindelei
r
Th
hrrT
w
c
wc
θ
γ
γpiθpi
==>
=>=
1
2
PHR
h c
u
p
a
TT
θ θ
2r
� Os fenómenos de capilaridade em solos são
mais complexos pois a dimensão dos canais varia!
Como a altura de ascensão capilar depende do
diâmetro do tubo, esta varia no solo entre valores
máximo e mínimo:
Solo seco
Solo parcialmente
saturado
Solo saturado
Solo submerso
N.F.
hc
min
h
c
ma x
V
v
Ar
Água
24
� A altura de capilaridade depende da variação
anterior do NF (subida ou descida) massobretudo
do tipo de solo (dimensão das suas partículas e
canalículos!). Exemplos indicativos:
Tipo de solo hc (cm)
Cascalhos ≈ 0
Areias 10 a 100
Siltes 100 a 1000
Argilas > 1000
� O facto de a água retida acima do NF implicar a
existência de pressões neutras negativas (sucção)-
q/ crescem c/ secagem- origina outros fenómenos:
- o aumento da tensão efectiva acima do NF;
- o desenvolvimento de ligações aparentes entre
as partículas de solo, o que explica o acentuado
crescimento da resistência dos solos acima do NF.
Exemplo: a chamada coesão aparente das areias,
que desaparece se a areia for submersa!