Lista 2

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2ª Lista de Exercícios – Espaços Vetoriais - MTM 5245 – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
1. Determine o valor de k ∈� para que (1, 2, ) [(3,0, 2,), (2, 1, 5)]k− ∈ − − − . 
 
2. Sob que condições 2 2[ 2,2 2]at bt c t t+ + ∈ + − ? 
 
3. Sejam ( ) ( ) ( )1 1,2,3 , 0, 1,1 , 2,3,7W = −   e ( ) ( ) ( )2 1,3,2 , 2,2,8 , 2, 3, 7W = − − −   . 
Verifique que 1 2W W= . 
4. Determine o subespaço de 2 2( )M × � gerado por 1
1 2
1 0
v
− 
=  
 
 e 2
2 1
1 1
v
 
=  
− − 
. 
 
5. Calcule 1 2W W+ , 1 2W W∩ , 1 2dim( )W W+ e 1 2dim( )W W∩ . 
a) { }41 ( ,0,0, )W x t= ∈� e { }42 ( , ,0,0)W x y= ∈� . 
b) 1 2 2
0 ( )
0
a
W M
d ×
  
= ∈  
  
� e 2 2 2 ( )0
a b
W M
c
×
  
= ∈  
  
� . 
c) { }1 ( ); Tn nW A M A A×= ∈ =� e { }2 ( ); Tn nW A M A A×= ∈ = −� . 
 
6. Considere os vetores 21 2 1p x x= − + , 2 2p x= + e 
2
3 2p x x= − pertencentes a 2P . 
a) Escreva o vetor 25 5 7p x x= − + como combinação linear de 1 2 3, e p p p . 
b) Determine uma condição sobre , e a b c para que o vetor 2q ax bx c= + + seja 
combinação linear de 2 3 e p p . 
 
7. Encontre uma base e calcule a dimensão de 
( ) ( ) ( ) 41, 2,5, 3 , 2,3,1, 4 , 3,8, 3, 5W = − − − − − ⊆   � . A partir da base escolhida para 
W , obtenha uma base para 4� . 
 
8. Qual a dimensão de 2� visto como espaço vetorial sobre � ? E sobre � ? Apresente 
uma base em cada caso. 
 
9. a) Verifique se { ( ); ' ( ) 0}W f f x= ∈ ℑ >� é subespaço de ( )ℑ � . 
b) Sejam 1 { ( );W f f= ∈ ℑ � é par} e 2 { ( );W f f= ∈ ℑ � é ímpar}. Calcule a 
dimensão de 1 2W W∩ . 
 
10. Sejam { }(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0)β = e { }' (1,1,1), (1,1,0),(1,0,0)β = bases de 3� . Se 
]
3
2
1
v β
 
 
=  
 
 
, utilize a matriz mudança de base [ ]
'
I ββ para obter ] 'v β . 
 
11. Calcule as coordenadas de ( , )v x y= em relação as bases { }(1,1),(1, 1)β = − e 
{ }' (1,1),(2,1)β = . Encontre as matrizes mudança de base.