Lista Gravitacão Universal - Leis de Kepler e Gravitação

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I. LISTA DE EXERCI´CIO DE GRAVITAC¸A˜O
1 - A que distaˆncia da Terra deve estar uma sonda espacial ao longo da reta que nosso planeta
ao Sol para que a atrac¸a˜o gravitacional do Sol seja igual a` atrac¸a˜o da Terra?
2 - a) Quanto pesaria um objeto na superf´ıcie da Lua, se o mesmo pesa 100N na superf´ıcie da
Terra?
b) A quantos raios terrestres este mesmo objeto deve estar do centro da Terra para ter o mesmo
peso que na superf´ıcie da Lua?
3 - Qual deve ser a distaˆncia entre uma part´ıcula de 5,2Kg e uma part´ıcula de 2,4Kg para que
a atrac¸a˜o gravitacional entre elas tenha um mo´dulo de 2.3× 10−12N?
4 - Dois sate´lites de um planeta teˆm per´ıodo de revoluc¸a˜o 32 dias e 256 dias, respectivamente.
Se o raio da orbita do primeiro sate´lite vale 1 unidade, enta˜o o raio da o´rbita do segundo sera´:
5 - O ano terrestre e´, por definic¸a˜o, o tempo de que a terra precisa para fazer, no seu movimento
circular, uma volta completa em torno do Sol. Imagine um planeta P, descrevendo, tambe´m uma
o´rbita circular, em torno do Sol em um tempo igual a 8 (oito) anos terrestres. Considerando rST
a distaˆncia do centro do Sol ao centro da Terra e rSP a distaˆncia entre o centro do Sol e o centro
do planeta P, a raza˜o entre rSP /rST e´ igual a:
6 - Um corpo celeste percorre uma o´rbita em torno do Sol, cuja distaˆncia me´dia ao Sol e´ 16
vezes maior do que a distaˆncia me´dia Terra-Sol. Qual e´ o intervalo de tempo, em anos terrestres,
necessa´rio para este corpo percorrer uma volta completa em torno do Sol?
7 - Suponha que em um universo arbitra´rio qualquer, a lei da gravitac¸a˜o universal seja descrita
por
~F = −GMm√
r
rˆ. (1)
a) Encontre a Energia Potencial gravitacional associada a tal lei.
b) Dada a massa da terra MT e o raio da terra rT , encontre o valor da acelerac¸a˜o da gravidade
na superf´ıcie da terra para a lei acima descrita
8 - Em 1968, a nave espacial Apolo 18 foi colocada numa o´rbita circular em torno da Lua, a
uma altitude de 113km acima da superf´ıcie. O per´ıodo observado dessa o´rbita foi de 1h e 59min.
Sabendo que o raio da Lua e´ de 1.738km, utilize estes dados para calcular a massa da Lua.
9 - Para uma part´ıcula em o´rbita circular em torno de um centro de forc¸a gravitacional, demon-
stre que:
a) A energia total de uma part´ıcula e´ a metade da energia potencial associada a` o´rbita.
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b) A velocidade da part´ıcula e´ inversamente proporcional a` ra´ız quadrada do raio da o´rbita.
10 - Considere um sate´lite em o´rbita circular pro´xima da superf´ıcie de um planeta de raio Rp,
onde a acelerac¸a˜o da gravidade vale gp.
a) Calcule a velocidade de escape do sate´lite partindo desta o´brita.
b) Aplique o resultado a` Terra, desprezando os efeitos da atmosfera.
11 - Supondo que a atrac¸a˜o gravitacional da nossa gala´xia, de massa total Mg e raio Rg, atua
como se toda a massa estivesse concentrada no seu centro, e comparando a o´rbita circular de uma
estrela situada na beirada da gala´xia, de velocidade vg, com a o´rbita da Terra em torno do Sol, de
raio R, mostre que
Mg
Ms
=
(Rgv
2
g)
Rv2
, (2)
onde Ms e´ a massa do sol e v e´ a velocidade orbital da Terra em torno do Sol. Sabendo que a
velocidade orbital do sistema solar em torno do centro da gala´xia e´ de aproximadamente 200km/s
e que a distaˆncia dele ao centro e´ de aproximadamente (3/5)Rg,
a) Estime vg
b) Estime Mg/Ms sabendo que Rg ≈ 5× 104 anos-luz
12 - Em 1795, Pierre-Simon de Laplace antecipou a existeˆncia de buracos negros, afirmando:
“Uma estrela luminosa da mesma densidade que a Terra, cujo diaˆmetro fosse 250 vezes maior que
o do Sol, na˜o permitiria, em consequeˆncia de sua atrac¸a˜o, que seus raios luminosos nos atingissem;
e´ poss´ıvel, portanto, que os maiores corpos luminosos existeˆntes no universo sejam invis´ıveis para
no´s.” Em este racioc´ınio na˜o-relativ´ıstico na˜o se justifique, deduza o resultado de Laplace. Para
isto, calcule a velocidade de escape a partir de uma estrela hipote´tica de mesma densidade que a
Terra em func¸a˜o de seu diaˆmetro e ache o valor cr´ıtico do diaˆmetro.
13 - Considere um sistema de treˆs part´ıculas de mesma massa M, ocupando os ve´rtices de um
triaˆngulo equila´tero de lado d. Calcule a forc¸a gravitacional que atua em cada part´ıcula e no
baricentro do triaˆngulo.
14 - Calcule a atrac¸a˜o gravitacional entre duas esferas ideˆnticas de chumbo de raio igual a 50cm,
encostadas uma na outra. A densidade do chumbo e´ de 11, 3g/cm3.
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