Convergencia e Problemas - Aula 08

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Escola	
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  e	
  Tecnologia	
  
Resolução	
  de	
  Equações:	
  
Convergência	
  e	
  problemas	
  
ECT1303	
  –	
  Computação	
  Numérica	
  
•  Manter	
  o	
  telefone	
  celular	
  sempre	
  
desligado/silencioso	
  quando	
  esAver	
  em	
  
sala	
  de	
  aula;	
  
•  Nunca	
  atender	
  o	
  celular	
  na	
  sala	
  de	
  aula.	
  
Comparação	
  dos	
  métodos	
  
Ordem	
  de	
  convergência	
  
•  Convergência	
   significa	
   que	
   o	
   método,	
   após	
   um	
   determinado	
  
número	
  de	
  iterações,	
  leva	
  os	
  valores	
  de	
  esAmaAvas	
  sucessivas	
  para	
  
um	
  determinado	
  valor	
  (que	
  pode	
  ser	
  diferente	
  do	
  valor	
  desejado!).	
  
•  Ordem	
  de	
  convergência:	
  “velocidade”	
  com	
  que	
  o	
  método	
  converge	
  
para	
  um	
  determinado	
  valor	
  exato	
  procurado.	
  
Ordem	
  de	
  convergência	
  
•  Interpretação	
  da	
  ordem	
  de	
  convergência:	
  algoritmos	
  de	
  
1ª	
  ordem.	
  
Após	
  “muitas”	
  iterações,	
  o	
  erro	
  verdadeiro	
  da	
  iteração	
  
atual	
  é	
  proporcional	
  ao	
  erro	
  verdadeiro	
  da	
  iteração	
  
anterior.	
  
Ordem	
  de	
  convergência	
  
•  Como	
  esAmar	
  a	
  ordem	
  de	
  convergência:	
  
Ordem	
  de	
  convergência	
  
Exemplo:	
  
	
   -­‐	
   EsAme	
   a	
   ordem	
   de	
   convergência	
   do	
   Método	
   de	
   Newton	
  
usando	
  o	
  exemplo	
  das	
  aulas	
  anteriores.	
  A	
  solução	
  correta	
  com	
  
15	
  algarismos	
  é	
  JA = 0,122399453612344	
(chute	
  inicial:	
  J0	
  =	
  0,6)	
	
J3	
	
0,122706687813199	
	
J4	
	
	
0,122399939183680	
	
J5	
	
	
0, 122399453613563	
	
J6	
	
	
0,122399453612344 = JA	
C	
  =	
  1,999	
  
Usando	
  as	
  esAmaAvas	
  J3,	
  J4,	
  J5	
  
Ordem	
  de	
  convergência	
  
•  De	
  fato,	
  é	
  possível	
  mostrar	
  que:	
  
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
•  Raízes	
  próximas	
  a	
  pontos	
  de	
  inflexão	
  
f(x)	
x	
x1	
 x0	
 x2	
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
•  Buscas	
  perto	
  de	
  pontos	
  de	
  mínimos	
  ou	
  máximos	
  locais	
  
f(x)	
x	
x1	
x0	
 x2	
 x3	
x4	
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
•  Chute	
  inicial	
  longe	
  da	
  raiz	
  
f(x)	
x	
x1	
 x0	
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
•  Derivada	
  igual	
  a	
  zero	
  
f(x)	
x	
x1	
x0	
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
•  Derivada	
  próxima	
  de	
  zero	
  
f(x) = x10 - 1	
x	
x0	
 0,5	
  
x1	
	
  
51.65	
  
x2	
	
  
46.48	
  
x3	
 41.83	
  
x4	
	
  
37.65	
  
x5	
	
  
33.89	
  
x6	
	
  
30.50	
  
x7	
	
  
27.45	
  
x8	
	
  
24.70	
  
x9	
	
  
22.23	
  
x10	
	
  
20.01	
  
x27	
 3.337	
  
x28	
	
  
3.003	
  
x36	
 1.299	
  
x37	
	
  
1.178	
  
x39	
	
  
1.023	
  
x40	
	
  
1.002	
  
x41	
	
  
1.000023	
  
x42	
	
  
1.0000000025	
  
x43	
	
  
1	
  
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
•  Derivada	
  próxima	
  de	
  zero	
  
x0	
 0,5	
  
x1	
	
  
51.65	
  
x2	
	
  
46.48	
  
x3	
 41.83	
  
x4	
	
  
37.65	
  
x5	
	
  
33.89	
  
x6	
	
  
30.50	
  
x7	
	
  
27.45	
  
x8	
	
  
24.70	
  
x9	
	
  
22.23	
  
x10	
	
  
20.01	
  
Problemas	
  com	
  o	
  método	
  de	
  Newton	
  
•  Derivada	
  próxima	
  de	
  zero	
  
x0	
 0,5	
  
x1	
	
  
51.65	
  
x2	
	
  
46.48	
  
x3	
 41.83	
  
x4	
	
  
37.65	
  
x5	
	
  
33.89	
  
x6	
	
  
30.50	
  
x7	
	
  
27.45	
  
x8	
	
  
24.70	
  
x9	
	
  
22.23	
  
x10	
	
  
20.01	
  
Exemplo	
  do	
  comportamento	
  de	
  Circuito	
  RLC	
  
•  Saída	
  de	
  circuito	
  RLC	
  
f(t)	
t	
Máximo	
  local	
  
f’(t) ≈ 0	
Chute	
  longe	
  da	
  raiz	
  
Exercício	
  
V 
R 
h 
No	
  projeto	
  do	
  tanque	
  esférico	
  da	
  figura	
  abaixo	
  de	
  raio	
  R=3m,	
  
deseja-­‐se	
  saber	
  a	
  profundidade	
  da	
  água	
  h	
  para	
  que	
  o	
  tanque	
  
armazene	
  30m3	
  de	
  água.	
  UAlizando	
  este	
  exemplo,	
  encontre	
  a	
  
ordem	
  de	
  convergência	
  do	
  método	
  da	
  bisseção,	
  newton	
  e	
  
secante.	
  
Estudo	
  Extra-­‐Classe	
  
Livro	
  Neide	
  Franco:	
  
• 	
  Leitura:	
  Seções	
  3.4	
  e	
  3.5.	
  
• 	
  Exercícios:	
  3.9	
  a	
  3.13.	
  	
  
• 	
  Exercícios	
  complementares:	
  3.34	
  ao	
  3.39	
  e	
  3.40.	
  
•  	
   Problemas	
   aplicados	
   a	
   Projetos	
   do	
   Capítulo	
   3:	
   todos	
   os	
  
exercícios	
   que	
   envolvam	
   os	
   métodos	
   de	
   Newton	
   e	
   da	
  
Secante.	
  	
  	
  
	
  
Livro	
  Chapra:	
  
• 	
  Leitura:	
  Capítulo	
  6,	
  seções	
  6.2	
  e	
  6.3.	
  
• 	
  Exercícios:	
  6.2	
  a	
  6.15	
  que	
  envolvam	
  os	
  métodos	
  de	
  Newton	
  
e	
  da	
  Secante.