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EA_IndutanciaMuta_trafosideias_Prof.ValdemirPraxedes_2013.2

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Indutores Acoplados e 
Transformadores Ideais 
Professor: Valdemir Praxedes Silva Neto 
 
Disciplina: Eletricidade Aplicada 
 
2013.2 
Escola de Ciência e Tecnologia 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
Indutância Mútua: 
 O Fluxo magnético é produzido pela passagem de 
corrente elétrica (contínua ou variante no tempo) – fluxo é 
proporcional à corrente. 
 
 Campo magnético variável induz tensão no indutor, 
proporcional à variação temporal do fluxo: 
 
 
 
 onde L é a indutância própria do indutor. 
 
 
 
dt
tdi
Ltv LL 
Indutância Mútua: 
 Consideremos agora que o fluxo produzido por um bobina 
(indutor) atravesse uma outra bobina. 
 A variação temporal do fluxo da primeira bobina induzirá 
uma tensão na segunda bobina . 
 
 
 
 
 
 
 Podemos mostrar que M12=M21= M. (indutância mútua) 
 
 
 
 
 
 
 
 
dt
tdi
Mtv 1212   
 
dt
tdi
Mtv 2121 
Indutância Mútua: 
 Coeficiente de acoplamento: K 
 
 
 
 0< k <1. 
 
 A polaridade da tensão induzida devido à indutância 
mútua depende da combinação dos fluxos magnéticos 
produzidos pelas bobinas. 
 
21LL
M
k 
Indutância Mútua: 
 Considerando agora duas bobinas com auto-indutâncias L1 e 
L2 que estão próximas. A bobina 1 tem N1 voltas e a bobina 2 
tem N2 voltas. Assumimos que a bobina 2 não transporta 
corrente. 
 
 
 
 
 
 O fluxo magnético φ1 originário na bobina 1 tem dois 
componentes: o componente φ11 percorre somente a bobina 1 
e o componente φ12 percorre ambas as bobinas. Portanto: 
12111  
Indutância Mútua: 
 Apesar das duas bobinas estarem fisicamente separadas, 
elas estão magneticamente acopladas. Como o fluxo total 
φ1 percorre a bobina 1, a tensão induzida na bobina 1: 
 
 
 
 
 Somente o fluxo φ12 percorre a bobina 2, logo a tensão 
induzida na bobina 2: 
 
 
dt
td
Ntv 111


 
 
dt
td
Ntv 1222


Indutância Mútua: 
 Novamente, como os fluxos são causados pela corrente i1 
fluindo na bobina 1: 
 
 
 
 onde é a autoindutância do transformador. Sendo 
assim: 
 
 
 
 M21 é a indutância mútua da bobina 2 com respeito a 
bobina 1. O índice 21 indica que a indutância relaciona a 
tensão induzida na bobina 2 à corrente na bobina 1. 
 
   
dt
tdi
di
td
Ntv 1
1
1
11


 
     
dt
tdi
M
dt
tdi
di
td
Ntv ii 121
1
1
12
22 

 
1
1
1
di
td
NL


Indutância Mútua: 
 Supondo agora que a corrente i2 flui na bobina 2, enquanto 
a bobina 1 não transporta corrente. 
 
 
 
 
 Como o fluxo total φ2 percorre a bobina 2, a tensão 
induzida na bobina 2: 
 
 
 
 onde L2 é a auto-indutância da bobina 2. 
22212  
Indutância Mútua: 
 Da mesma maneira: 
 
 
 
 M12 é a indutância mútua da bobina 1 com respeito a 
bobina 2. O índice 12 indica que a indutância relaciona a 
tensão induzida na bobina 1 à corrente na bobina 2. Assim, 
a tensão mútua em circuito aberto (ou tensão induzida) 
sobre a bobina 1 é: 
 
 
 
Indutância Mútua: 
 Veremos que: M12=M21=M. 
 
 M é a indutância mútua entre duas bobinas. É medida em 
henrys (H). 
 
 Note que o acoplamento mútuo existe somente se as 
bobinas estiverem próximas e os circuitos forem 
alimentados por fontes variantes no tempo. 
 
 Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir 
uma tensão sobre um indutor vizinho, medida em henrys 
(H). 
Indutância Mútua: 
 Convenção do ponto para a análise de circuitos: 
 A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos 
construtivos. 
 A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os 
aspectos construtivos em circuitos. 
 Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de 
cada um dos indutores acoplados magneticamente. 
 Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo 
terminal marcado com o ponto. 
Indutância Mútua: 
 Convenção do ponto para a análise de circuitos: 
 A polaridade da indutância mútua depende dos aspectos 
construtivos. 
 A convenção de pontos eliminada a necessidade de descrever os 
aspectos construtivos em circuitos. 
 Um ponto é colocado no circuito em um dos terminais de 
cada um dos indutores acoplados magneticamente. 
 Indica a direção do fluxo magnético se a corrente entra pelo 
terminal marcado com o ponto. 
Indutância Mútua: 
 Usamos pontos para indicar no circuito a forma de 
combinação (soma ou subtração) dos fluxos entre duas 
bobinas acopladas. 
 
 
 
 
 
 
 Uma corrente entrando pelo terminal positivo na bobina 
induz uma tensão de circuito aberto com referência 
positiva no terminal pontuado da outra bobina 
Indutância Mútua: 
Indutância Mútua: 
* A convenção de pontos, para indutores conectados em 
série, pontos se somando, a indutância total será: 
* Para indutores conectados em série, com pontos 
opostos, a indutância total será: 
Indutância Mútua: 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 Com sinais senoidais, ficamos com: 
16 
Análise de Circuitos Envolvendo Indutâncias 
Mútuas 
17 
Análise de Circuitos Envolvendo Indutâncias 
Mútuas 
18 
 As equações acima podem ser resolvidas da maneira 
usual para encontrar as correntes. 
 
 Note que assumiremos sempre que a indutância mútua 
e a posição dos pontos são fornecidas. 
Tranasformador Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformador Linear: núcleo das bobinas é 
feito de material que permite relação linear 
entre a corrente da bobina e o fluxo 
produzido. 19 
Tranasformador Linear 
 Impedância de Entrada: 
 
 Equações de Malha: 
 
 
 onde: 
 Usando as equações acima, chegamos a : 
 
 
 
 Obs: A impedância de entrada depende da posição dos 
pontos no indutor. 
 
20 
Tranasformador Ideal 
 É um transformador em que k=1. 
 Indutância é proporcional ao quadrado 
donúmero de espiras N. 
 
21 
 
 
dt
td
Ntv

11 
 
 
dt
td
Ntv

22 
Tranasformador Ideal 
 Fazendo v1/v2 temos: 
 
 
 
 Classificação dos transformadores, em função 
da relação de transformação. 
 a > 1 Transformador é abaixador de tensão 
 a< 1 Transformador é elevador de tensão 
 a = 1 Isolador 
 
22 
 
 
a
N
N
tv
tv

2
1
2
1
Tranasformador Ideal 
 
 
 
 Do circuito anterior, pode-se verificar as seguintes 
relações: 
23 
Exemplo: 
24 
 1) Um transformador ideal com N1 = 500 espiras e N2 = 
250 espiras alimenta uma carga resistiva de 10Ω. O 
primário do transformador é alimentado por uma fonte 
v1(t) = 282,8 cos(377t) V. Determine: 
a)A tensão no secundário 
b)A corrente na carga 
c)A corrente no primário 
d)A potência aparente fornecida ao primário 
e)A potência aparente consumida pela carga

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