Fentran P1 PUC-Rio

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Formulação Integral - Equações 
de Conservação 
 Equação de Conservação de Massa (continuidade) 
 Equação de Conservação de Quantidade de Movimento 
 Linear (2a Lei de Newton) 
 Equação de Energia (1a Lei da termodinâmica) 
 Instalações hidráulicas 
 Perda de carga 
 Fator de atrito 
 
 
2 
Teorema de Transporte de Reynolds 
 Nomenclatura: se F = grandeza extensiva então f = F / m = grandeza 
intensiva (por unidade de massa) 
 d  = volume infinitesimal 
 d m = massa infinitesimal, então pela definição de r temos: d m = r d 
 d F = grandeza no volume infinitesimal então d F = f d m = f r d  
 Permite transformar as equações p/ sistemas (massa 
fixa) em eqs. p/ volumes de controle (volume fixo) 
 
dm = r d 
sistema 
 
dm = r d 
SC 
VC 
V2 
V1 
Taxa de variação de 
uma propriedade 
extensiva F de um 
sistema 
Taxa de variação da 
propriedade extensiva 
F dentro do VC 
Taxa líquida de 
escoamento da 
propriedade extensiva 
F saindo pela SC 
= + 
3 
d m=r dA L= =r dA Vn dt 
 Taxa líquida de escoamento da propriedade extensiva F 
saindo pela SC. 
Para um dA na SC: 
 
Taxa líquida da grandeza F saindo na SC 
 
 
dm = r d 
SC 
VC 
V2 
V1 
 Taxa de variação da propriedade extensiva F dentro do VC: 
 

=


=F


VCVCVC
d
t
dm
t
d
t
rff
 
SC
AdnV

rf  

=
F
SCVCsistema
dAnVd
ttd
d rfrf
SCSC
SCSCSC
dAdA
dAdAdA
dAnVdtLdA
dtddtdmdtd
)()/.(
)/()/()/(

==
===F
rfrf
rff
V

V

Vn 
Vn 
Vn 
TTR 
4 
Formulação Integral - Equação de 
Conservação de Massa 
 Sistema: 
 
0. =
sistema
td
md
cteémassaasistemaPara
 
dm = r d 
sistema 
 Então, para Volume de controle, usando o TTR: 
Variação com o tempo da vazão líquida de massa saindo 
da massa no volume de controle através da superfície de controle 
 = 
SCVC
AdnVd
t
0
rr

grandeza extensiva (F )= massa = m 
grandeza intensiva (f )= m/m = 1 
5 
Conservação de Massa 
Observações 
 =
SCVC
AdnVd
t
0
rr
    dAemmássicavazãomddAVn == r
VCmd
VC
= r
Se escoamento entra, Vn < 0 
 
Se escoamento sai, Vn > 0 
q 
n

V

 ==
SCSCSC
AdVAdVAdnV nrqrr cos
SCnasaindomassadelíqvazãoAdV
SC
n =r nemprojetadaVVn =
6 
       
entradasaída
saídaentrada
AVAVAdVAdVAdnV
SC
 rrrrr =

















= 
Particularizando: Considere um VC com 1 entrada e 1 saída: 
Se o escoamento é uniforme (velocidade constante na seção) e  à área: na 
entrada cos q = - 1 e na saída cos q = +1, então: 
 ==
saídaAentradaAsaídaAentradaASC
AdVAdVAdnVAdnVAdnV qrqrrrr coscos 
      saientra
saientra
VCtt
mmAVAVmd
VC


=== rrr 
Então: 
    0= entradasaídat AVAVd
VC
 rrr
7 
Particularizando: Regime Permanente (RP) ou  /  t=0 
 
 
 NÃO OCORREM VARIAÇÕES NO TEMPO 
Então: 
 =
SC
AdnV 0

r
OBS: no caso de RP, e VC com 1 
entrada e 1 saída: 
ctemou =
se mm  =
 = se mm 
0== t
m
t
VC
VC
d 


 r
Logo: 
8 
Conservação de Massa, outras particularizações: 
Para fluido Incompressível r = cte, 
então: 
 
 
 =
SCVC
AdnVd
t
0



Para fluido Incompressível (r = cte) 
e regime permanente, temos: 
 =
SC
AdnV 0

r
m
AV
 ==.
=
Vazão volumétrica 
 =
SCVC
AdnVd
t
0
rr
OBS: 
(Eq. Original) 
9 
 1. Considere o escoamento em regime permanente de 
água através do dispositivo mostrado na figura. As 
áreas são: A1= 185 cm
2; A2=462cm
2; A3=A4=370cm
2. A 
vazão em massa saindo através da seção (3) é 
m3=56,5 kg/s. A vazão em volume entrando pela seção 
(4) é de 4=0,028 m
3/s. Na seção (1) a velocidade é 
uniforme e igual a 
 Se a propriedades forem consideradas uniformes 
através de todas as entradas e saídas de fluxo, 
determine a velocidade do escoamento na seção (2). 
30 
60 
(3) 
(4) 
(2) 
(1) 
x 
y 
 Exercícios 
 
smîV /31 =
Resposta: V2 = 0,58 m/s saindo do VC 
10 
 2. Um tanque com volume de 0,05 m3 contem ar a pressão absoluta de 800kPa e 
temperatura de 15oC. Em t=0, o ar escapa do tanque através de uma válvula com 
uma área de escoamento de 65 mm2. O ar que passa pela válvula tem uma 
velocidade de 300 m/s e massa específica de 6 kg/m3. As propriedades no resto do 
tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante de tempo. Determine a 
taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque, em t=0. 
Resposta: - 2,35 kg/(m3.s) 
11 
3) Água escoa num tubo com diâmetro de 2 m. A velocidade dentro 
do tubo é dada por 
 
Determine: a) A vazão volumétrica de água entrando no tubo; b) A velocidade 
média no tubo menor com diâmetro de 20 cm. Considere regime permanente. 
Obs: velocidade média é definida como a vazão volumétrica dividida pela área. 
smiRrV /)/(
 221 =
r
Resposta: (a) 1,57 m3/s, (b) 50 m/s 
Formulação Integral - Equação de 
Conservação da Quantidade de 
Movimento (2ª. Lei de Newton) 
Na formulação integral, vamos usar mais uma vez o teorema de transporte de 
Reynolds. Lembrando: 
Propriedade extensiva 
 
 
Propriedade intensiva 
F m
F
=f   

=
F
VC SCsist
dAnVd
tdt
d rfrf
Conservação de Quantidade de Movimento Linear 
V
Vm


=
=F
f
   

=
VC SCsist
dAnVVdV
tdt
Vmd 

rr)(
Taxa de variação da quantidade de movimento 
no volume de controle 
Taxa de transporte de quantidade 
de movimento através da 
superfície de controle 
Pela segunda Lei de Newton: 
= F
dt
Vmd
sist


)(
   

=
VC SC
dAnVVdV
t
F
 rr
 
 



=



=



=

 
 
z
VC SC
yyy
VC SC
xxx
F
dAnVvdv
t
F
dAnVvdv
t
F
rr
rr
Então, temos:  = SB FFF

Exemplos: 
Resposta: a força horizontal que suporta a placa (equilibra a placa) é 
2.250 N, no sentido da direita para a esquerda 
Resposta: a força horizontal que suporta o cotovelo é 
1360 N, no sentido negativo de x, e a força vertical 
que suporta o cotovelo é 640 N, no sentido negativo 
de y 
16 
( Aj = 0,10 m
2) 
Resposta: M = 238,5 kg 
M 
q 
M(0)=0 kg 
M(40)=238,5 kg 
M(90)=1019,4 kg 
M(180)=2038,7 kg 
17 
Resposta: componente horizontal da força na junta = 
668,4 N no sentido da direita para a esquerda, 
corresponde à força horizontal que sustenta o bocal, ou 
seja, a junta no flange está sob tração.