Calculo 3 p1 16.2

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MAT1163-G1.2016.2
(1) Considere as func¸o˜es:
f(x, y) = ln(x2 + y2), (x, y) 6= (0, 0),
T (r, θ) = (r cos(θ), rsen(θ)), r > 0.
(a) (1.8) Calcule a aproximac¸a˜o afim de f no ponto
(
1√
2
, 1√
2
)
.
(b) (1.2) Verifique a seguinte igualdade:
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
= 0,
onde a notac¸a˜o ∂
2f
∂x2 (resp.
∂2f
∂y2 ) representa a segunda derivada parcial
de f relativa a` varia´vel x (resp. y):
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
.
(c) (0.7) Justifique se a seguinte igualdade e´ verdadeira ou na˜o:
∂2(f ◦ T )
∂r2
+
∂2(f ◦ T )
∂θ2
= 0
(2) Seja D o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (0,−1) e ( 23 ,− 13). Calcule a integral
dupla: ∫∫
D
3pi
2
cos
(
pi
2
· 2x+ y
x− y
)
dxdy.
Dica:
(a) (1.6) Procure uma mudanc¸a de varia´veis linear para D e descreva o
domı´nio que corresponde a D nas novas varia´veis.
(b) (0.5) Calcule o Jacobiano da mudanc¸a de varia´veis.
(c) (1.2) Aplique a fo´rmula de integrac¸a˜o sob mudanc¸a de varia´veis.
(3) Seja E a regia˜o do quadrante (x, y, z) ∈ R3, x ≥ 0, z ≤ 0 limitada pelas
superf´ıcies:
z = x2 − 3 + y2,
z2 =
1
2
(
x2 + y2
)
.
(a) (1.5) Fac¸a um esboc¸o de E.
(b) (1.5) Calcule o volume de E.
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