UNIDADE 3 - Aula 2 - Medidas de Associação para Variáveis Categorizados Ordinais γ de Goodman e Kruskal

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UNIDADE 3 – ASSOCIAÇÃO E CORRELAÇÃO 
1. Medidas de Associação para Variáveis 
Categorizados Ordinais: 
γ de Goodman e Kruskal 
3.1 DADOS ORDINAIS CATEGORIZADOS 
 Muitas vezes, as categorias de uma variável qualitativa formam uma 
ordenação (crescente ou decrescente). 
 
 Isso ocorre, por exemplo, nos dois seguintes itens de um questionário 
(em ambos os itens as categorias estão numa ordem crescente): 
 
 a) Qual seu nível de instrução? 
( ) Nenhum ( ) Fundamental ( ) Médio ( ) Superior 
 
 b) Qual a sua opinião sobre o novo projeto? 
( ) Totalmente contrário 
( ) Contrário 
( ) Indiferente 
( ) Favorável 
( ) Completamente Favorável 
 
3.1 DADOS ORDINAIS CATEGORIZADOS 
 Ao estudarmos a associação entre duas variáveis 
ordinais, podemos não só ter interesse no grau de 
associação, mas também no seu sentido (positiva ou 
negativa). 
 
 Preferimos, nesse contexto, usar o termo correlação no 
lugar de associação. 
 
 Dizemos que existe correlação positiva quando, na 
medida em que o nível de uma variável aumenta, 
cresce a chance de ocorrer níveis mais elevados na 
outra variável. 
 
 Correlação negativa ocorre quando, ao aumentar o 
nível de uma variável, diminui a chance de ocorrer 
níveis mais elevados na outra variável. 
3.1 DADOS ORDINAIS CATEGORIZADOS 
 O coeficiente de correlação que apresentaremos 
aqui se baseia nos conceitos de concordância e 
discordância. 
 
 Dizemos que dois indivíduos são concordantes se 
eles se posicionam em posições concordantes nas 
duas variáveis. 
 
 São discordantes, se eles trocam de posição ao 
mudar de variável. 
3.1 DADOS ORDINAIS CATEGORIZADOS 
 Veja a seguinte situação: 
 João é alto e pesado; 
 Maria é baixa e leve. 
 
 Podemos dizer que João e Maria formam um par 
concordante, pois, ao mudar de João para Maria, 
ambas as variáveis mudam para níveis inferiores: 
 Estatura: Alta → Baixa; 
 Peso: Pesado → Leve. 
 
 E de Maria para João, ambas as variáveis mudam 
para níveis superiores: 
 Estatura: Baixa → Alta; 
 Peso: Leve → Pesado. 
 
 
3.1 DADOS ORDINAIS CATEGORIZADOS 
 Já na situação seguinte, temos um par discordante: 
 Pedro é baixo e pesado; 
 José é alto e leve. 
 
 Ao mudar de Pedro para José, a estatura aumenta, 
enquanto o peso diminui: 
 Estatura: Baixa → Alta; 
 Peso: Pesado → Leve. 
 
 De José para Pedro, a estatura diminui e o peso 
aumenta: 
 Estatura: Alta → Baixa; 
 Peso: Leve → Pesado. 
 
3.1 DADOS ORDINAIS CATEGORIZADOS 
 Um conjunto de dados que tem, relativamente, 
muitos pares concordantes pode ser interpretado 
como tendo correlação positiva. 
 
 Por outro lado, um conjunto de dados que tem, 
relativamente, muitos pares discordantes, pode 
ser interpretado como tendo correlação negativa. 
3.1 DADOS ORDINAIS CATEGORIZADOS 
 Veremos, através de um exemplo, como contar o 
número nc de pares concordantes e o número nd 
de pares discordantes, num conjunto de 
observações de duas variáveis ordinais, 
apresentado numa tabela de contingência. 
 
 O procedimento que apresentaremos vale para 
tabelas de qualquer dimensão, desde que as 
categorias das duas variáveis estejam dispostas 
numa mesma ordem (crescente ou decrescente). 
3.2 EXEMPLO 
 Vamos fazer um estudo da correlação entre nível 
de instrução e posição em relação ao aborto. 
 
 
 
 
 
 Como as duas variáveis já estão dispostas numa 
mesma ordem (ambas em ordem crescente), 
passamos a contar o número de concordâncias e o 
número de discordâncias. 
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Alto 16 21 138 
3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa11 = 209 * soma frequência das casas marcadas 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa11 = 209 * soma frequência das casas marcadas 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa11 = 209 * (126+21+426+138) 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa11 = 209 * (126+21+426+138) = 148.599 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa12 = 101 * (426+138) = 56.964 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa13 = 237 * (0) = 0 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa21 = 151* (21+138) = 24.009 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa22 = 126* (138) = 17.388 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa23 = 426* (0) = 0 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa31 = 16* (0) = 0 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própriacasa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa32 = 21* (0) = 0 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares 
concordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à direita. 
 
 Casa33 = 138* (0) = 0 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Somando os valores de todas as casas, obtemos os 
produtos concordantes: 
 
Casa11 209 * (126+21+426+138) = 148.599 
Casa12 101 * (426+138) = 56.964 
Casa13 237 * (0) = 0 
Casa21 151* (21+138) = 24.009 
Casa22 126* (138) = 17.388 
Casa23 426* (0) = 0 
Casa31 16* (0) = 0 
Casa32 21*(0) = 0 
Casa33 138*(0) = 0 
3.2 EXEMPLO 
 Somando os valores de todas as casas, obtemos os 
produtos concordantes: 
 
Casa11 209 * (126+21+426+138) = 148.599 
Casa12 101 * (426+138) = 56.964 
Casa13 237 * (0) = 0 
Casa21 151* (21+138) = 24.009 
Casa22 126* (138) = 17.388 
Casa23 426* (0) = 0 
Casa31 16* (0) = 0 
Casa32 21*(0) = 0 
Casa33 138*(0) = 0 
A soma desses 
produtos é o 
número de pares 
concordantes: 
Nc = 246.960 
3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa13 = ? 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa13 = 237*(151+16+126+21)= 74.418 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa12 = 101* (151+16) = 16.867 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa11 = 209* (0) =0 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa23 = 426* (16+21) = 15.762 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa22 = 126* (16) =2.016 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa21 = 151* (0) =0 
 
 
 
 
 
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3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa33 = 138* (0) =0 
 
 
 
 
 
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Médio 151 126 426 
Alto 16 21 138 
3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa32 = 21* (0) =0 
 
 
 
 
 
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Médio 151 126 426 
Alto 16 21 138 
3.2 EXEMPLO 
 Para determinar o número de pares discordantes: 
 Para cada casa, Casaij, multiplicaremos a frequência 
da própria casa pela soma das frequências das casas 
que vem abaixo E à esquerda. 
 
 Casa31 = 16* (0) =0 
 
 
 
 
 
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Médio 151 126 426 
Alto 16 21 138 
3.2 EXEMPLO 
 Somando os valores de todas as casas, obtemos os 
produtos discordantes: 
 
Casa11 209 * (0) = 0 
Casa12 101* (151+16) = 16.867 
Casa13 237*(151+16+126+21) = 74.418 
Casa21 151* (0) = 0 
Casa22 126* (16) = 2.016 
Casa23 426* (16+21) = 15.762 
Casa31 16* (0) = 0 
Casa32 21*(0) = 0 
Casa33 138*(0) = 0 
3.2 EXEMPLO 
 Somando os valores de todas as casas, obtemos os 
produtos discordantes: 
 
Casa11 209 * (0) = 0 
Casa12 101* (151+16) = 16.867 
Casa13 237*(151+16+126+21) = 74.418 
Casa21 151* (0) = 0 
Casa22 126* (16) = 2.016 
Casa23 426* (16+21) = 15.762 
Casa31 16* (0) = 0 
Casa32 21*(0) = 0 
Casa33 138*(0) = 0 
A soma desses 
produtos é o 
número de pares 
discordantes: 
Nd = 109.063 
3.3 COEFICIENTE DE GOODMAN E KRUSKAL 
 O coeficiente γ é definido por: 
 
 
 
 
 O valor de γ estará sempre entre -1 e +1. 
 
 Será +1 quando só houver concordâncias. 
 
 Será -1 quando só houver discordâncias. 
γ
dc
dc
n n
n - n
+
=γ
3.3 COEFICIENTE DE GOODMAN E KRUSKAL 
 Quando γ estiver em torno de 0, indica que o número 
de concordâncias e discordâncias são 
aproximadamente iguais (ausência de correlação). 
 
 Quanto mais próximo de +1 estiver γ, mais o número 
de concordâncias estará superando o número de 
discordâncias (correlação positiva forte). 
 
 Simetricamente, quanto mais próximo de -1 estiver γ, 
mais o número de discordâncias estará superando o 
número de concordâncias (correlação negativa forte). 
 
γ
3.4 EXEMPLO - CONTINUAÇÃO 
 Vimos que o número de pares concordantes, nc = 
246.960. 
 
 E o número de pares discordantes, nd = 109.063. 
 
 Assim, 
063.109960.249
063.109960.249
n n
n - n
dc
dc
+
−
=
+
=γ
39,0=γ
3.4 EXEMPLO - CONTINUAÇÃO 
 Concluímos, então, que a amostra representa 
uma correlação positiva moderada entre nível de 
instrução e aceitação do aborto. 
 
 Ou seja, em termos dos indivíduos observados, 
existe uma leve tendência de quanto maior o 
nível de instrução, maior a aceitação do aborto. 
	Unidade 3 – Associação e Correlação
	3.1 Dados Ordinais Categorizados
	3.1 Dados Ordinais Categorizados
	3.1 Dados Ordinais Categorizados
	3.1 Dados Ordinais Categorizados
	3.1 Dados Ordinais Categorizados
	3.1 Dados Ordinais Categorizados
	3.1 Dados Ordinais Categorizados
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.2 Exemplo
	3.3 Coeficiente de Goodman e Kruskal
	3.3 Coeficiente de Goodman e Kruskal
	3.4 Exemplo - Continuação
	3.4 Exemplo - Continuação