UNIDADE 4 - Aula 7 - A Distribuição Normal como Aproximação da Binomial

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UNIDADE 4 – NOÇÕES DE PROBABILIDADE 
1. A Distribuição Normal como Aproximação da Binomial 
4.1 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL, PELA NORMAL 
 Muitas situações da vida real podem ser 
convenientemente descritas pela distribuição binomial; 
 
 O problema é que, em casos de n grande, o cálculo dos 
resultados fica longo e tedioso (a não ser que usemos um 
computador); 
 
 Nesses casos, uma aproximação satisfatória e de fácil 
manejo é feita a partir da distribuição normal; 
 
 Isso ocorre porque, quanto maior o n, uma distribuição 
binomial se assemelha muito à uma distribuição normal. 
 
 
 
4.1 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL, PELA NORMAL 
0 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P
ro
ba
bi
li
da
de
 
Nº de Sucessos 
p=0,1 ; n= 10 
0 
0,05 
0,1 
0,15 
0,2 
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 
P
ro
ba
bi
li
da
de
 
Nº de Sucessos 
p=0,1 ; n= 50 
0 
0,02 
0,04 
0,06 
0,08 
0,1 
0,12 
0,14 
0 5 10
 
15
 
20
 
25
 
30
 
35
 
40
 
45
 
50
 
55
 
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65
 
70
 
75
 
80
 
85
 
90
 
95
 
10
0 
P
ro
ba
bi
li
da
de
 
Nº de Sucessos 
p=0,1 ; n= 100 
4.1 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL, PELA NORMAL 
0 
0,05 
0,1 
0,15 
0,2 
0,25 
0,3 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P
ro
ba
bi
li
da
de
 
Nº de Sucessos 
p=0,5 ; n= 10 
0 
0,02 
0,04 
0,06 
0,08 
0,1 
0,12 
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 
P
ro
ba
bi
li
da
de
 
Nº de Sucessos 
p=0,5 ; n= 50 
0 
0,01 
0,02 
0,03 
0,04 
0,05 
0,06 
0,07 
0,08 
0,09 
0 5 10
 
15
 
20
 
25
 
30
 
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65
 
70
 
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80
 
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10
0 
P
ro
ba
bi
li
da
de
 
Nº de Sucessos 
p=0,5 ; n= 100 
4.1 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL, PELA NORMAL 
 Uma regra prática é que np ou n(1-p) – o que for 
menor – deve ser ≥ 5 para que seja válida a 
aproximação. 
 
 Nos gráficos anteriores: 
 p=0,1 ; n=10 → 0,1*10= 1 → Não vale a aproximação; 
 p=0,1 ; n=50 → 0,1*50= 5 → Vale a aproximação; 
 p=0,1 ; n=100 → 0,1*100= 10 → Vale a aproximação. 
 
 
 
4.1 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL, PELA NORMAL 
 O uso da normal para aproximar probabilidades 
binomiais apresenta uma dificuldade de caráter 
conceitual. 
 
 A distribuição normal é contínua, enquanto que a 
binomial é discreta. 
 
 A transição do caso discreto para o contínuo envolve a 
consideração de valores não-inteiros associados às 
variáveis contínuas, mas não às discretas. 
 Por exemplo, o valor 3,4523 pode ser consistente como uma 
variável contínua, mas não com uma discreta. 
4.1 APROXIMAÇÃO DA BINOMIAL, PELA NORMAL 
 O problema se resolve atribuindo intervalos da distribuição 
contínua para representar valores inteiros comuns às 
variáveis discretas. 
 
 Em essência, os valores não-inteiros de uma variável 
contínua são arredondados para o inteiro mais próximo, e 
as probabilidades associadas a valores não inteiros são 
consideradas como probabilidades de inteiros. 
 
 Por exemplo, os valores contínuos do intervalo 2,5 a 3,5 
ficariam relacionados com o valor discreto, ou inteiro, 3. 
 
 Assim, para determinar a probabilidade binomial de 
exatamente 3 sucessos, deveríamos usar uma aproximação 
normal baseada na probabilidade (área sob a curva normal) 
entre 2,5 e 3,5. 
4.2 APROXIMAÇÃO – EXEMPLOS 
 Sejam n=20 e p=0,4. P(X=3)=? 
 
 
4.2 APROXIMAÇÃO – EXEMPLOS 
 Sejam n=20 e p=0,4 e X tem distribuição 
binomial. P(X=3)=? 
 
 A distribuição normal é determinada pela média e 
pela variância, então qual é a média dessa 
distribuição binomial? 
 
 E(X) = np = 20*0,4 = 8 
 Var(X) = np(1-p)=20*0,4*0,6=4,8 
 DP(X) = 2,2 
 
 “Exatamente 3” deve ser interpretado como o 
intervalo 2,5 a 3,5 na distribuição normal. 
4.2 APROXIMAÇÃO – EXEMPLOS 

	Unidade 4 – Noções de Probabilidade
	4.1 Aproximação da Binomial, pela Normal
	4.1 Aproximação da Binomial, pela Normal
	4.1 Aproximação da Binomial, pela Normal
	4.1 Aproximação da Binomial, pela Normal
	4.1 Aproximação da Binomial, pela Normal
	4.1 Aproximação da Binomial, pela Normal
	4.2 Aproximação – Exemplos 
	4.2 Aproximação – Exemplos 
	4.2 Aproximação – Exemplos