UNIDADE 5 - Aula 2 - Inferência Estatística Estimação de parâmetros

Prévia do material em texto

UNIDADE 5 – NOÇÕES DE INFERÊNCIA 
1. Inferência Estatística: Estimação de parâmetros 
5.1 ESTIMAÇÃO: CONCEITOS 
 A inferência estatística é um dos aspectos mais 
importantes do processo de tomada de decisões. 
 
 A inferência estatística refere-se à estimação e 
ao teste de hipóteses. 
 
 A estimação é o processo de estimar um 
parâmetro populacional (tal como a média, ou o 
desvio-padrão) a partir de uma estatística, 
obtida de uma amostra. 
5.2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 

5.3 TEOREMAS 
 O primeiro teorema importante que relaciona a 
distribuição amostral da média à população 
original diz o seguinte: 
 
 Se tirarmos repetidamente, com reposição, 
amostras aleatórias de tamanho n da população 
de tamanho N: 
 Para cada amostra, calculamos a média da variável 
de interesse e, depois, calculamos a média dessas 
médias. Este teorema diz que a média dessas médias 
é igual à média da população: 
 µµ =X
5.3 TEOREMAS 
 A continuação desse teorema diz que, para todas 
essas amostras, se calcularmos o desvio-padrão 
dessas médias, teremos a seguinte relação: 
 
 
 
 Ou seja, a variância das médias é igual à 
variância da população dividido pelo tamanho da 
amostra, n. 
 
nX
2
2 σσ =
5.3A TEOREMAS – FATOR DE CORREÇÃO 
 Em algumas situações, como o caso em que a 
avaliação do elemento amostral é um teste 
destrutivo, é inviável a reposição desse elemento. 
 
 Ou seja, não há como selecionar uma amostra 
com reposição. 
 
 Além disso, na maioria das vezes em que não 
fazemos a reposição, o principal motivo é o custo. 
 
5.3A TEOREMAS – FATOR DE CORREÇÃO 
 Quando a população for muito grande, em 
relação ao tamanho da amostra, a conseqüência 
da não-reposição do elemento na população antes 
da seleção do próximo elemento praticamente não 
altera a probabilidade de seleção deste elemento. 
 
 Por outro lado, se a amostra for muito grande 
em relação ao tamanho da população, a não 
reposição do elemento modificará sensivelmente 
as probabilidades de escolha dos elementos da 
amostra, modificando sua distribuição de 
probabilidades. 
5.3A TEOREMAS – FATOR DE CORREÇÃO 
 Dessa forma, se não houver reposição e se o 
tamanho da amostra for menor que 5% do 
tamanho da população, a não reposição pode ser 
desprezada. 
 
 No entanto, se o tamanho da amostra for maior 
que 5% do tamanho da população, devemos 
corrigir a variância, para compensar os efeitos da 
não reposição. 
 
 
5.3A TEOREMAS – FATOR DE CORREÇÃO 
 O Fator de Correção a ser utilizado é: 
 
 
 
 Então, para o caso sem reposição e onde n ≥ 0,05*N, o 
teorema nos diz o seguinte: 
 A média do valor médio de todas as amostras continua sendo 
igual ao valor médio da população: 
 
 
 A variância de todas as médias é igual a variância da 
população dividido pelo tamanho da amostra, multiplicado 
pelo fator de correção: 
 
1−
−
N
nN
µµ =X
1
*
2
2
−
−
=
N
nN
nX
σσ
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Suponha que temos uma população de 5 pessoas 
(N=5), e queremos observar o número de carros que 
essas pessoas têm. 
Pessoa Nº de carros 
Amanda 1 
Bianca 3 
Carolina 5 
Débora 7 
Elaine 9 
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Desejamos selecionar amostras de tamanho 2 (n=2) e 
calcular o valor médio e a variância do número de carros 
para essas amostras. 
 
 De acordo com o teorema, para acharmos o valor médio 
de carros dessas amostras, basta que calculemos o valor 
médio de carros para a população. 
 
 Para o caso da variância, basta calcularmos a variância 
da população e dividir pelo tamanho da amostra, que 
acharemos a variância dos valores médios dessas 
amostras (para o caso com reposição). 
 
 Para o caso sem reposição, temos que corrigir a 
variância pelo fator de correção. 
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Para essa população, o valor médio de carros é igual 
a: 
 
 
 
 
 A variância da população é dada por: 
 
 
5
5
97531
5
1 =
++++
==
∑
=
n
x
i
i
µ
8
5
)59()57()55()53()51(
)( 22222
1
2
2 =
−+−+−+−+−
=
−
=
∑
=
n
x
n
i
i µ
σ
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 A partir desses valores, conseguimos saber qual é a 
média do número médio de carros para todas as 
amostras de tamanho 2 da população (com ou sem 
reposição): 
 
 Sabemos, também, a variância do número médio 
carros: 
 Com reposição: 
 
 
 Sem reposição: 
 
5== µµX
4
2
822 ===
nX
σσ
3
15
25*
2
8
1
*
2
2 =
−
−
=
−
−
=
N
nN
nX
σσ
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Se você não acredita que esses valores estão corretos, vamos 
selecionar todas as amostras possíveis de tamanho 2 dessa população 
e calcular suas médias. 
 
 Vamos iniciar com uma amostragem com reposição: 
 
 Temos a seguinte população: 
Pessoa Nº de carros 
Amanda 1 
Bianca 3 
Carolina 5 
Débora 7 
Elaine 9 
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Com reposição, as amostras possíveis que podemos selecionar são: 
 
 Eu escolho ao acaso a Amanda e anoto o número de carros que ela 
possui (ou seja, 1 carro). 
 
 Eu volto a Amanda para a população e, por acaso, eu a seleciono de 
novo e observo o número de carros que ela possui (continua sendo 1). 
 
 Então, a minha primeira amostra é composta pelos valores (1,1). 
 
 Em uma outra seleção, suponha que eu selecione a Amanda primeiro 
e depois eu seleciono a Bianca e observo o número de carros que 
possuem. 
 
 Nesse caso, a minha segunda amostra é composta pelos valores (1,3). 
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Continuamos até selecionarmos todas as amostras possíveis e 
observarmos o número de carros de todas essas amostras. 
 
 Temos então, os 25 valores abaixo: 
POSSÍVEIS AMOSTRAS 
(1,1) (3,1) (5,1) (7,1) (7,1) 
(1,3) (3,3) (5,3) (7,3) (7,3) 
(1,5) (3,5) (5,5) (7,5) (7,5) 
(1,7) (3,7) (5,7) (7,7) (7,7) 
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9) (7,9) 
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Agora que já temos todas as possíveis amostras, vamos calcular o 
número médio de carros em cada amostra: 
Amostra Média 
de 
carros 
Amostra Média 
de 
carros 
 
Amostra Média 
de 
carros 
Amostra Média 
de 
carros 
Amostra Média 
de 
carros 
 
(1,1) 1 (3,1) 2 (5,1) 3 (7,1) 4 (9,1) 5 
(1,3) 2 (3,3) 3 (5,3) 4 (7,3) 5 (9,3) 6 
(1,5) 3 (3,5) 4 (5,5) 5 (7,5) 6 (9,5) 7 
(1,7) 4 (3,7) 5 (5,7) 6 (7,7) 7 (9,7) 8 
(1,9) 5 (3,9) 6 (5,9) 7 (7,9) 8 (9,9) 9 
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Agora que já temos todas as possíveis amostras, vamos calcular o 
número médio de carros em cada amostra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando calculamos a média dos 25 valores que estão nos retângulos 
azuis (ou seja, a média das médias de todas as possíveis amostras de 
tamanho 2), temos o seguinte: 
Amostra Média 
de 
carros 
Amostra Média 
de 
carros 
 
Amostra Média 
de 
carros 
Amostra Média 
de 
carros 
Amostra Média 
de 
carros 
 
(1,1) 1 (3,1) 2 (5,1) 3 (7,1) 4 (9,1) 5 
(1,3) 2 (3,3) 3 (5,3) 4 (7,3) 5 (9,3) 6 
(1,5) 3 (3,5) 4 (5,5) 5 (7,5) 6 (9,5) 7 
(1,7) 4 (3,7) 5 (5,7) 6 (7,7) 7 (9,7) 8 
(1,9) 5 (3,9) 6 (5,9) 7 (7,9) 8 (9,9) 9 
5
25 25
125
25
1 ===
∑
=k
k
X
X
µ
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Quando calculamos a variância dos 25 valores que estão nos 
retângulos azuis (ou seja, a variância das médias de todas as 
possíveis amostras de tamanho 2), temos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 Se vocês perceberem, os valores que encontramos fazendo o cálculo 
passo-a-passo são iguais aos valores que encontramos de forma mais 
“automática”, quando usamos as fórmulas dadas pelo teorema. 
 
 
4
25
100
25
)(
25
1
2
2 ==
−
=
∑
=k
Xk
X
X µ
σ
5.3B TEOREMAS – EXEMPLO 
 Agora,para que servem os resultados do teorema. 
 
 Eles são importantes, pois, na vida real, não é possível obter 
todas as combinações de amostras possíveis de uma 
determinada população. 
 
 Dessa forma, o cálculo do valor médio de uma determinada 
variável seria impossível. 
 
 Porém, os resultados desse teorema vão nos ajudar a calcular 
algumas probabilidades. 
 
 Para isso, precisamos de um segundo teorema. 
 
5.4 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 

5.4 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 
Escala X 
População original 
Distribuição amostral da média, n = 5 
Distribuição amostral da média, n = 20 

5.4 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 
Escala X 
População original 
Distribuição amostral da média, n = 5 
Distribuição amostral da média, n = 20 

5.4 TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 
 Para grandes amostras: 
Distribuição Populacional Distribuição Amostral 
5.5 TEOREMAS 

5.6 PADRONIZAÇÃO 

5.7 EXEMPLOS 
 Suponha que uma população é composta por 900 
elementos com média de 20 unidades e desvio-
padrão de 12. 
 
 Calcule a média e o erro padrão da distribuição 
amostral da média para uma amostra de 36 
elementos. 
5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 
 Suponha que uma população é composta por 900 
elementos com média de 20 unidades e desvio-
padrão de 12. 
 
 Calcule a média e o erro padrão da distribuição 
amostral da média para uma amostra de 64 
elementos. 
 
 Agora, temos que n>0,05*N : 
64>0,05*900 
64>45 
5.7 EXEMPLOS 

5.7 EXEMPLOS 

	Unidade 5 – Noções de Inferência
	5.1 Estimação: Conceitos
	5.2 Distribuição Amostral da Média
	5.3 Teoremas
	5.3 Teoremas
	5.3a Teoremas – Fator de Correção
	5.3a Teoremas – Fator de Correção
	5.3a Teoremas – Fator de Correção
	5.3a Teoremas – Fator de Correção
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.3b Teoremas – Exemplo
	5.4 Teorema Central do Limite
	5.4 Teorema Central do Limite
	5.4 Teorema Central do Limite
	5.4 Teorema Central do Limite
	5.5 Teoremas
	5.6 padronização
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos
	5.7 Exemplos