UNIDADE 5 - Aula 1 - Combinação de variáveis aleatórias

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UNIDADE 5 – NOÇÕES DE INFERÊNCIA 
1. Combinação de variáveis aleatórias 
5.1 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA 
 Sejam X e Y variáveis aleatórias e a e b 
constantes: 
 
 E(aX) = a*E(X) 
 
 E(X+b) = E(X)+b 
 
 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 
 
 E(X-Y) = E(X) - E(Y) 
 
 E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y) 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
São Paulo 2,0 17,5 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 
Belém 2,9 19,5 
Belo Horizonte 3,3 22,2 
Salvador 4,1 26,5 
Porto Alegre 4,3 16,6 
Recife 7,0 36,6 
Fortaleza 13,0 38,4 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(aX) = a*E(X) 
 Seja a=2 
 Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
2*% PEA no Setor 
Primário 
2*X 
São Paulo 2,0 4,0 
Rio de Janeiro 2,5 5,0 
Belém 2,9 5,8 
Belo Horizonte 3,3 6,6 
Salvador 4,1 8,2 
Porto Alegre 4,3 8,6 
Recife 7,0 14,0 
Fortaleza 13,0 26,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(aX) = a*E(X) 
 Seja a=2 → E(2X)=9,775≈9,8 
 Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
2*% PEA no Setor 
Primário 
2*X 
São Paulo 2,0 4,0 
Rio de Janeiro 2,5 5,0 
Belém 2,9 5,8 
Belo Horizonte 3,3 6,6 
Salvador 4,1 8,2 
Porto Alegre 4,3 8,6 
Recife 7,0 14,0 
Fortaleza 13,0 26,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(aX) = a*E(X) 
 Seja a=2 → E(2X)=9,8 2*E(X)=2*4,9=9,8 
 Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
2*% PEA no Setor 
Primário 
2*X 
São Paulo 2,0 4,0 
Rio de Janeiro 2,5 5,0 
Belém 2,9 5,8 
Belo Horizonte 3,3 6,6 
Salvador 4,1 8,2 
Porto Alegre 4,3 8,6 
Recife 7,0 14,0 
Fortaleza 13,0 26,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(X+b) = E(X)+b 
 Seja b=10 → E(X+b)=14,9 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
% PEA no Setor 
Primário+10 
X+10 
São Paulo 2,0 12,0 
Rio de Janeiro 2,5 12,5 
Belém 2,9 12,9 
Belo Horizonte 3,3 13,3 
Salvador 4,1 14,1 
Porto Alegre 4,3 14,3 
Recife 7,0 17,0 
Fortaleza 13,0 23,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(X+b) = E(X)+b 
 Seja b=10 → E(X+b)=14,9 E(X)+b=4,9+10=14,9 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
% PEA no Setor 
Primário+10 
X+10 
São Paulo 2,0 12,0 
Rio de Janeiro 2,5 12,5 
Belém 2,9 12,9 
Belo Horizonte 3,3 13,3 
Salvador 4,1 14,1 
Porto Alegre 4,3 14,3 
Recife 7,0 17,0 
Fortaleza 13,0 23,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
X+Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 19,5 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 21,0 
Belém 2,9 19,5 22,4 
Belo Horizonte 3,3 22,2 25,5 
Salvador 4,1 26,5 30,6 
Porto Alegre 4,3 16,6 20,9 
Recife 7,0 36,6 43,6 
Fortaleza 13,0 38,4 51,4 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 
 E(X) = 4,9 E(Y) = 24,465 E(X+Y) = 29,4 
 Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
X+Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 19,5 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 21,0 
Belém 2,9 19,5 22,4 
Belo Horizonte 3,3 22,2 25,5 
Salvador 4,1 26,5 30,6 
Porto Alegre 4,3 16,6 20,9 
Recife 7,0 36,6 43,6 
Fortaleza 13,0 38,4 51,4 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 4,9+24,465 = 29,365 ≈ 29,4 
 E(X) = 4,9 E(Y) = 24,465 E(X+Y) = 29,4 
 Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
X+Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 19,5 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 21,0 
Belém 2,9 19,5 22,4 
Belo Horizonte 3,3 22,2 25,5 
Salvador 4,1 26,5 30,6 
Porto Alegre 4,3 16,6 20,9 
Recife 7,0 36,6 43,6 
Fortaleza 13,0 38,4 51,4 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(X-Y) = E(X) - E(Y) 
 E(X) = 4,9 E(Y) = 24,465 E(X-Y) = -19,6 
 Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
X-Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 -15,5 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 -16,0 
Belém 2,9 19,5 -16,6 
Belo Horizonte 3,3 22,2 -18,9 
Salvador 4,1 26,5 -22,4 
Porto Alegre 4,3 16,6 -12,3 
Recife 7,0 36,6 -29,6 
Fortaleza 13,0 38,4 -25,4 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 4,9-24,465 = -19,565 ≈ -19,6 
 E(X) = 4,9 E(Y) = 24,465 E(X-Y) = -19,6 
 Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
X-Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 -15,5 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 -16,0 
Belém 2,9 19,5 -16,6 
Belo Horizonte 3,3 22,2 -18,9 
Salvador 4,1 26,5 -22,4 
Porto Alegre 4,3 16,6 -12,3 
Recife 7,0 36,6 -29,6 
Fortaleza 13,0 38,4 -25,4 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y) 
 Seja a=2 e b=10 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
2*X 
 
10*Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 4,0 175,0 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 5,0 185,0 
Belém 2,9 19,5 5,8 195,0 
Belo Horizonte 3,3 22,2 6,6 222,0 
Salvador 4,1 26,5 8,2 265,0 
Porto Alegre 4,3 16,6 8,6 166,0 
Recife 7,0 36,6 14,0 366,0 
Fortaleza 13,0 38,4 26,0 384,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y) 
 2*E(X) = 2*4,9 = 9,8 10*E(Y) = 10*24,475 = 244,75 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
2*X 
 
10*Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 4,0 175,0 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 5,0 185,0 
Belém 2,9 19,5 5,8 195,0 
Belo Horizonte 3,3 22,2 6,6 222,0 
Salvador 4,1 26,5 8,2 265,0 
Porto Alegre 4,3 16,6 8,6 166,0 
Recife 7,0 36,6 14,0 366,0 
Fortaleza 13,0 38,4 26,0 384,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y) 
 2*E(X) = 9,8 10*E(Y) = 244,75 E(2*X+10*Y) =254,5 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no 
Setor Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
2*X 
 
10*Y 
 
2*X+10*Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 4,0 175,0 179,0 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 5,0 185,0 190,0 
Belém 2,9 19,5 5,8 195,0 200,8 
Belo Horizonte 3,3 22,2 6,6 222,0 228,6 
Salvador 4,1 26,5 8,2 265,0 273,2 
Porto Alegre 4,3 16,6 8,6 166,0 174,6 
Recife 7,0 36,6 14,0 366,0 380,0 
Fortaleza 13,0 38,4 26,0 384,0 410,0 
5.2 PROPRIEDADES DA ESPERANÇA - EXEMPLO 
 E(aX+bY) = aE(X) + bE(Y) = 9,8+244,75 = 254,55 
 2*E(X) = 9,8 10*E(Y) = 244,75 E(2*X+10*Y) =254,5 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no 
Setor Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
2*X 
 
10*Y 
 
2*X+10*Y 
 
São Paulo 2,0 17,5 4,0 175,0 179,0 
Rio de Janeiro 2,5 18,5 5,0 185,0 190,0 
Belém 2,9 19,5 5,8 195,0 200,8 
Belo Horizonte 3,3 22,2 6,6 222,0 228,6 
Salvador 4,1 26,5 8,2 265,0 273,2 
Porto Alegre 4,3 16,6 8,6 166,0 174,6 
Recife 7,0 36,6 14,0 366,0 380,0 
Fortaleza 13,0 38,4 26,0 384,0 410,0 
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA 
 Sejam X e Y variáveis aleatórias e a e b 
constantes: 
 
 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) 
 
 Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 Cov(X,Y) 
 
 Var(aX+bY) = a2Var(X)+ b2Var(Y)+2*a*b*Cov(X,Y) 
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA 
 Se X e Y forem variáveis aleatórias 
independentes, então Cov(X,Y) = 0 
 
 Assim: 
 
 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) 
 
 Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) 
 
 Var(aX+bY) = a2Var(X)+ b2Var(Y) 
 
 Atenção: Se Cov(X,Y) = 0, NÃO podemos dizer 
que X e Y são independentes. 
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
Regiões 
Metropolitanas 
 
% PEA no Setor 
Primário 
X 
Índice de 
Analfabetismo 
Y 
São Paulo 2,0 17,5 
Riode Janeiro 2,5 18,5 
Belém 2,9 19,5 
Belo Horizonte 3,3 22,2 
Salvador 4,1 26,5 
Porto Alegre 4,3 16,6 
Recife 7,0 36,6 
Fortaleza 13,0 38,4 
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) 
 
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) 
 
 Var(X) = 11,47 
 Var(Y) = 65,16 
 
 C 
 
 
6896,23
)()()(
)(y)(x
 Y)Cov(X, ii
=
−=
−−
= ∑
YEXEXYE
n
YX
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) 
 
 Var(X) = 11,47 
 Var(Y) = 65,16 
 
 C 
 
 
 
 
 Var(X+Y) = 11,47+ 65,16+ 2 * 23,6896 = 124,0092 
 Var(X+Y) = 124,01 
 
 
6896,23
)()()(
)(y)(x
 Y)Cov(X, ii
=
−=
−−
= ∑
YEXEXYE
n
YX
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 Cov(X,Y) 
 
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 Cov(X,Y) 
 
 Var(X) = 11,47 
 Var(Y) = 65,16 
 
 C 
 
 
6896,23
)()()(
)(y)(x
 Y)Cov(X, ii
=
−=
−−
= ∑
YEXEXYE
n
YX
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2 Cov(X,Y) 
 
 Var(X) = 11,47 
 Var(Y) = 65,16 
 
 C 
 
 
 
 
 Var(X-Y) = 11,47+ 65,16 - 2 * 23,6896 = 29,2508 
 Var(X-Y) = 29,2536 
 
 
6896,23
)()()(
)(y)(x
 Y)Cov(X, ii
=
−=
−−
= ∑
YEXEXYE
n
YX
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(aX+bY) = a2Var(X)+ b2Var(Y)+2*a*b*Cov(X,Y) 
 Seja a=2 e b=10. 
 
 Var(X) = 11,47 
 Var(Y) = 65,16 
 
 C 
 
 
 
 
6896,23
)()()(
)(y)(x
 Y)Cov(X, ii
=
−=
−−
= ∑
YEXEXYE
n
YX
5.3 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA - EXEMPLO 
 Var(aX+bY) = a2Var(X)+ b2Var(Y)+2*a*b*Cov(X,Y) 
 Seja a=2 e b=10. 
 
 Var(X) = 11,47 
 Var(Y) = 65,16 
 C 
 
 Var(2*X+10*Y) = (2)2*11,47+ (10)2*65,16+2*2*10*23,6896 
 = 4*11,47+100*65,16+40*23,6896 
 = 7509,464 
 Var(2*X+10*Y) =7509,899 
 
 
 
6896,23 Y)Cov(X, =
	Unidade 5 – Noções de Inferência
	5.1 Propriedades da Esperança
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.2 Propriedades da Esperança - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância
	5.3 Propriedades da Variância
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo
	5.3 Propriedades da Variância - Exemplo