UNIDADE 5 - Aula 9 - Testes de Hipótese para Proporções, Médias e Variâncias de Duas Populações

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UNIDADE 5 – NOÇÕES DE INFERÊNCIA 
9. Testes de Hipótese para Proporções, Médias e Variâncias 
de Duas Populações 
5.1 TESTES PARA DUAS POPULAÇÕES 
 Quando fazemos um teste de hipótese para mais 
de uma população, seguimos, basicamente, os 
mesmos procedimentos vistos para o teste de 
hipótese para uma população. 
 
 O que muda é a definição das nossas hipóteses, 
nossa estatística do teste e, claro, nossa 
interpretação do resultado. 
5.2 TESTES PARA PROPORÇÃO DE DUAS POPULAÇÕES 
 Sejam p1 e p2 as proporções, dentro de duas 
populações, de indivíduos portadores de uma 
determinada característica. 
 
 A ideia é comparar essas proporções e verificar se 
a diferença entre elas é igual a zero. 
 
 Hipóteses: 
 H0: p1 = p2 → p1 - p2 = 0 
H1: p1 ≠ p2 → p1 - p2 = 0 
H1: p1 < p2 → p1 - p2 < 0 
H1: p1 > p2 → p1 - p2 > 0 
 
 
5.2 TESTES PARA PROPORÇÃO DE DUAS POPULAÇÕES 
 A estatística do teste é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 Supondo H0 verdadeira, Zteste ~ N(0,1) 
 
 Onde: 
 n1 é o tamanho da amostra retirada da população 1 e n2 é o tamanho da amostra retirada da população 2. 
 p = proporção geral de pessoas nas duas populações = 
 
 
 






+−
−
=
21
21
11)1(
nn
pp
ppZTeste
21
21
nn
XX
+
+
5.3 TESTES PARA MÉDIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS INDEPENDENTES) 
 A ideia é a mesma: comparar os parâmetros μ1 e 
μ2 em termos da sua diferença: μ1 - μ2 . 
 
 Temos também que: 
 Seja (X1, X2, ..., Xn1) amostra aleatória de tamanho n1 
retirada da população 1; e 
 
 Seja (Y1, Y2, ..., Yn2) amostra aleatória de tamanho n2 
retirada da população 2; 
 
 E Xi e Yj são independentes entre si. 
 
 
 
5.3 TESTES PARA MÉDIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS INDEPENDENTES) 
 A partir dessas informações, podemos ter 3 casos: 
 
 Caso 1: Variâncias populacionais conhecidas 
 
H0: μ1 – μ2 = δ0 (caso particular μ1 = μ2 → δ0=0) 
H1: μ1 – μ2 ≠ δ0 
 
 Estatística do teste (sob H0, Zteste~N(0,1)): 
 
2
2
2
1
2
1
021 )(
nn
XXZTeste
σσ
δ
+
−−
=
5.3 TESTES PARA MÉDIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS INDEPENDENTES) 
 Caso 2: Variâncias populacionais desconhecidas, mas 
supostamente iguais. 
 
 Cada uma das variáveis segue uma distribuição 
normal e as variâncias são iguais e desconhecidas. 
 
 H0: μ1 – μ2 = δ0 (caso particular μ1 = μ2 → δ0=0) 
 H1: μ1 – μ2 ≠ δ0 
 
 Estatística do teste (sob H0, tteste possui n1+n2-2 graus de 
liberdade): 
 
2
)1()1(;
11
)(
21
2
22
2
112
21
2
021
−+
−+−
=






+
−−
=
nn
SnSnS
nn
S
XXtTeste
δ
5.3 TESTES PARA MÉDIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS INDEPENDENTES) 
 Caso 3: Variâncias populacionais desconhecidas, e 
supostamente diferentes. 
 As variáveis seguem uma distribuição normal e as 
variâncias são diferentes e desconhecidas. 
 H0: μ1 – μ2 = δ0 (caso particular μ1 = μ2 → δ0=0) 
 H1: μ1 – μ2 ≠ δ0 
 
 Estatística do teste (sob H0, tteste possui υ graus de 
liberdade): 
 
)1()1(
;)(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
021
−






+
−












+
=






+
−−
=
n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
n
S
n
S
XXtTeste υ
δ
5.4 TESTES PARA VARIÂNCIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS INDEPENDENTES) 
 Precisamos saber estamos no Caso 2 (variâncias 
supostamente iguais) ou no Caso 3 (variâncias 
supostamente diferentes). 
 
 Para isso, fazemos um teste para comparar a variância 
das duas populações. 
 
 Nossas hipóteses são: 
 H0: 
 
 H1: 
2
2
2
1 σσ =
2
2
2
1 σσ ≠
5.4 TESTES PARA VARIÂNCIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS INDEPENDENTES) 
 Assumindo nossa hipótese nula verdadeira, a estatística 
do teste é: 
 
 
 
 Essa estatística tem distribuição F com n1 – 1 graus de 
liberdade no numerador e n2 – 1 graus de liberdade no 
denominador. 
 
 Rejeitamos H0 se 
 
 ou 
 
 
 
)1;1(~ 212
2
2
1 −−= nnF
S
SFTeste





 −−−<
2
1;12;11 αnnFF críticoTeste





 −−>
2
;12;11 αnnFF críticoTeste
Teste 
bilateral 
5.5 TESTES PARA MÉDIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS PAREADAS) 
 Aqui temos duas amostras: 
 X1, X2, X3, ... Xn 
 Y1, Y2, Y3, ... Yn 
 
 Só que agora as amostras são pareadas, isto é, 
podemos considerar uma amostra de pares: 
 (X1,Y1), (X2,Y2)...,(Xn,Yn) 
 
 Se definirmos uma variável aleatória D=X-Y, teremos a 
amostra resultante das diferenças entre os valores de 
cada par: 
D1, D2, ... Dn 
5.5 TESTES PARA MÉDIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS PAREADAS) 
 Considerando a População Normal, dizemos que 
D tem distribuição normal, N(μD,σ2D). 
 
 Temos que 
 
 Então, essa diferença terá distribuição 
N(μD,σ2D). 
 
 Considere 
 
YXYX
n
D
n
D
n
i
ii
n
i
i −=−== ∑∑
== 11
)(11
YX −
∑
=
−
−
=
n
i
iD DDn
S
1
22 )(
1
1
5.5 TESTES PARA MÉDIA DE DUAS POPULAÇÕES 
(AMOSTRAS PAREADAS) 
 A hipótese nula é: H0: μ1 - μ2 = δ0 (ou, μD= δ0) 
 
 E a alternativa: H1: μ1 - μ2 ≠ δ0 (ou, μD ≠ δ0) 
 
 Nossa estatística do teste é uma t com n-1 graus 
de liberdade: 
 
 
 
 Onde: 
 
 
 
∑
=
−
−
=
n
i
iD DDn
S
1
22 )(
1
1
n
S
Dt
D
Teste 2
0δ−=
	Unidade 5 – Noções de Inferência
	5.1 Testes para duas populações
	5.2 Testes para Proporção de duas populações
	5.2 Testes para Proporção de duas populações
	5.3 Testes para Média de duas populações (amostras independentes)
	5.3 Testes para Média de duas populações (amostras independentes)
	5.3 Testes para Média de duas populações (amostras independentes)
	5.3 Testes para Média de duas populações (amostras independentes)
	5.4 Testes para Variância de duas populações (amostras independentes)
	5.4 Testes para Variância de duas populações (amostras independentes)
	5.5 Testes para Média de duas populações (amostras Pareadas)
	5.5 Testes para Média de duas populações (amostras Pareadas)
	5.5 Testes para Média de duas populações (amostras Pareadas)