UNIDADE 5 - Aula 8 - Testes de Hipótese para Médias

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UNIDADE 5 – NOÇÕES DE INFERÊNCIA 
8. Testes de Hipótese para Médias 
5.1 OBJETIVO 
 O objetivo de um teste de hipótese para médias é 
avaliar afirmações feitas a respeito de médias 
populacionais. 
 
 Os diversos testes exigem dados quantitativos. 
 Isto é, dados contínuos ou discretos. 
 
5.1 OBJETIVO 
 Há, basicamente, três afirmações que podem ser 
feitas a respeito de uma média populacional e cada 
uma delas requer um tipo diferente de avaliação. 
 Uma afirmação pode dizer respeito à média de uma única 
população; 
 A avaliação envolve um teste de uma amostra. 
 
 Uma segunda afirmação pode dizer respeito à igualdade de 
médias entre duas populações; 
 A avaliação então envolve um teste de duas amostras. 
 
 Pode-se afirmar que as médias de mais de duas 
populações são todas iguais; 
 A avaliação envolve um teste de mais de duas amostras. 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Utiliza-se um teste de uma amostra para testar 
uma afirmação sobre uma única média 
populacional. 
 
 Extrai-se uma amostra de n observações e 
calcula-se a média amostral. 
 
 Compara-se então a diferença entre o valor 
alegado e essa média amostral. 
 
 Grandes diferenças sugerem que a afirmação é 
falsa; pequenos desvios corroboram a afirmação. 
5.1 PASSOS PARA UM TESTE DE HIPÓTESE 
 Anteriormente, vimos os passos necessários para 
realizar um teste de hipótese: 
 1. Estabelecer uma hipótese nula e a hipótese 
alternativa; 
 2. Identificar uma distribuição amostral adequada. A 
maior parte dos testes envolve a distribuição normal 
ou a distribuição t. 
 3. Particionar a distribuição amostral em regiões de 
aceitação (onde a variação é, provavelmente, casual) e 
de rejeição (onde as variações ocorrem por algum tipo 
de erro). Essa partição é feita a partir do nível de 
significância desejado. 
 4. Calcular a estatística do teste. 
 5. Comparar a estatística do teste com o valor crítico 
e decidir se rejeita H0 ou não. 
 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Suponha que queiramos avaliar a afirmação de 
um fabricantes, de que seus pneus suportam uma 
quilometragem de 40.000 km. 
 
 A hipótese nula, então, é a de que o fabricante 
está falando a verdade: 
 H0: μ = 40.000 km 
 
 Como vimos, podemos ter três hipóteses 
alternativas: 
 H1: μ ≠ 40.000 km 
 H1: μ > 40.000 km 
 H1: μ < 40.000 km 
 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Pegamos uma amostra de tamanho n=49, com 
média amostral = 38.000 km. 
 
 Sabe-se que a população (quilometragem de todos 
os pneus) tem desvio padrão de 3.500 km. 
 
 Desejamos saber se a diferença entre os 40.000 
km alegados pelo fabricantes e os 38.000 km que 
encontramos na amostra é estatisticamente 
significante (ou seja, se rejeitamos H0). 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 1. Estabelecer uma hipótese nula e a hipótese 
alternativa; 
 
 A hipótese nula é a de que o fabricante está certo: 
 H0: μ = 40.000 km 
 
 Estamos preocupados com o fato dos consumidores 
comprarem produtos com uma resistência menor, 
então nossa hipótese alternativa é: 
 H1: μ < 40.000 km 
 
 Como o teste segue o sinal, isso quer dizer que 
estamos fazendo um teste unilateral à esquerda. 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 2. Identificar uma distribuição amostral 
adequada. A maior parte dos testes envolve a 
distribuição normal ou a distribuição t. 
 
 Como temos o desvio padrão populacional conhecido e 
um tamanho de amostra maior que 30, a distribuição 
amostral adequada é a normal. 
 
 Então, supondo H0 verdadeira, média amostral de 
duração dos pneus segue uma distribuição normal de 
média 40.000 e desvio de 
 
50049500.3 =
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 3. Particionar a distribuição amostral em regiões 
de aceitação (onde a variação é, provavelmente, 
casual) e de rejeição (onde as variações ocorrem 
por algum tipo de erro). Essa partição é feita a 
partir do nível de significância desejado. 
 
 Desejamos aceitar um risco de 5% de rejeitar H0, 
quando ela é verdadeira. 
 
 Assim, nosso nível de significância, ou α (alfa), é 0,05. 
 
 O valor de Z na distribuição normal (definida no 
passo anterior) que deixa 0,05 na cauda esquerda é: 
Z = -1,65 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
Rejeitar H0 
ZCrítico = -1,65 
Aceitar 
H0 
O sinal aponta para a cauda utilizada. 
H0: μ = 40.000 
H1: μ < 40.000 
05,0=α
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 4. Calcular a estatística do teste. 
 
 
X
teste
XZ
σ
µ−
=
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 4. Calcular a estatística do teste. 
 
 
00,4
500
000.2
500
000.40000.38
−=
−
=
−
=
−
=
X
teste
XZ
σ
µ
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 5. Comparar a estatística do teste com o valor 
crítico e decidir se rejeita H0 ou não. 
 
Rejeitar H0 
ZCrítico = -1,65 
H0: μ = 40.000 
H1: μ < 40.000 
ZTeste = -4,00 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 5. Comparar a estatística do teste com o valor 
crítico e decidir se rejeita H0 ou não. 
 
 Vemos que o valor da estatística do teste está 
dentro da região de rejeição; logo, não podemos 
aceitar H0. 
 
 Concluímos que a vida média dos pneus é inferior 
a 40.000 km. 
 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Outra maneira de decidirmos se aceitamos ou rejeitamos 
H0 é usar o p-valor (a probabilidade associada à estatística do teste). 
 
 Temos que a estatística do teste Zteste=-4,0. 
 
 Como estamos interessados em observar um valor menor 
que 38.000: 
 
 Isso é o mesmo que avaliar: P (Z < -4,0) 
 
 Na tabela da normal, P (Z < -4,0) ≈ 0 
 
 Como esse valor é menor que nosso nível de significância 
α=0,05, rejeita-se H0. 
)000.38( <XP
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Note que esse resultado não garante que a afirmação 
do fabricante seja falsa. 
 
 Lembre que temos 5% de chance de estarmos errados. 
 Em outras palavras, podemos estar cometendo um erro do 
Tipo I (rejeitar H0, quando ela é verdadeira). 
 
 Quando rejeitamos H0, o fazemos porque a evidência 
que a amostra que obtemos sugere que H0 é falsa; 
mas não há maneira de se estar absolutamente 
certo se a afirmação é verdadeira ou não, a menos 
que se proceda um censo. 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Nesse exemplo, supomos que o desvio padrão da 
população é conhecido. 
 
 Vimos que quando este desvio padrão é 
desconhecido e a amostra é menor que 30, 
devemos usar a distribuição t de student. 
 
 Quando o desvio padrão é desconhecido e a 
amostra é maior que 30, podemos usar a 
distribuição normal no lugar da distribuição t. 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Suponha, então, que o exemplo seja o seguinte: 
 
 Suponha que queiramos avaliar a afirmação de 
um fabricantes, de que seus pneus suportam uma 
quilometragem de 40.000 km. 
 
 A partir de uma amostra de n=25, temos os 
resultados: 
 
 
 
kmX 100.41= kmSX 700.2=
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 1. Estabelecer uma hipótese nula e a hipótese 
alternativa; 
 
 A hipótese nula é a de que o fabricante está certo: 
 H0: μ = 40.000 km 
 
 Digamos que estamos interessados, agora, em saber 
apenas se essa média é diferente de 40.000 (sem 
importar se é maior ou menor). Nossa alternativa seria: 
 H1: μ ≠ 40.000 km 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 2. Identificar uma distribuição amostral 
adequada. A maior parte dos testes envolve a 
distribuição normal ou a distribuição t. 
 
 Como o desvio padrão populacional é desconhecido 
e a amostra é menor que 30, a distribuição amostral 
adequada é a t de student. Então, supondo H0 verdadeira, média amostral de 
duração dos pneus segue uma distribuição t de média 
40.000 e desvio de 
 
 Essa distribuição terá n-1=24 graus de liberdade 
 
55025750.2 =
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 3. Particionar a distribuição amostral em regiões de 
aceitação (onde a variação é, provavelmente, casual) e 
de rejeição (onde as variações ocorrem por algum tipo 
de erro). Essa partição é feita a partir do nível de 
significância desejado. 
 
 Desejamos aceitar um risco de 5% de rejeitar H0, quando 
ela é verdadeira. 
 
 Assim, nosso nível de significância, ou α (alfa), é 0,05. 
Porém nosso teste é bilateral (porque usamos o símbolo ≠), 
então queremos α/2=0,025 em cada cauda. 
 
 O valor de t na distribuição t de student com 24 graus de 
liberdade (definida no passo anterior) que deixa 0,025 em 
cada cauda é: t = |2,064 | 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
H0: μ = 40.000 
H1: μ ≠ 40.000 
Rejeitar H0 Rejeitar H0 
tCrítico = -2,064 
025,0
2
=
α
025,0
2
=
α
tCrítico = 2,064 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 4. Calcular a estatística do teste. 
 
 Para desconhecido e n < 30, a estatística do 
teste é: 
 
 
 
 
Xσ
n
S
X
n
St XXTeste
µ−
==
alegada média - amostral média
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 4. Calcular a estatística do teste. 
 
 
0,2
550
100.1
25
750.2
000.40100.41
+==
−
=Testet
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 5. Comparar a estatística do teste com o valor 
crítico e decidir se rejeita H0 ou não. 
 
H0: μ = 40.000 
H1: μ ≠ 40.000 
Rejeitar H0 Rejeitar H0 
tCrítico = -2,064 
025,0
2
=
α
025,0
2
=
α
tCrítico = 2,064 
tTeste= +2,0 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 5. Comparar a estatística do teste com o valor 
crítico e decidir se rejeita H0 ou não. 
 
 Vemos que o valor da estatística do teste está 
dentro da região de aceitação; logo, não podemos 
rejeitar H0. 
 
 Concluímos que a vida média dos pneus pode ser 
igual a 40.000 km. 
 
5.2 TESTE PARA A MÉDIA DE UMA AMOSTRA 
 Outra maneira de decidirmos se aceitamos ou 
rejeitamos H0 é usar o p-valor (a probabilidade 
associada à estatística do teste). 
 
 Temos que a estatística do teste tteste=+2,0. 
 
 Em uma distribuição t com 24 graus de liberdade, 
a probabilidade associada à esse valor é igual a 
0,02847. 
 
 Como esse valor é maior que nosso nível de 
significância α/2 = 0,025, então não podemos 
rejeitar H0. 
	Unidade 5 – Noções de Inferência
	5.1 Objetivo
	5.1 Objetivo
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.1 Passos para um teste de hipótese
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra 
	5.2 Teste para a média de uma Amostra