Cap 2 - Metodos e critérios de decisão na análise e avaliação de investimento de capital

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Metodos e criterios de _decisao ... I 37 
Metodos e criterios de decisao 
na anal ise e aval ia~ao de 2investimentos de capital 
o processo de identifica,<ao, analise e sele,<ao de oportunidades de investimento de 
capital recebe 0 nome de or<;amentar;iio de capital. Esse processo inclui urn conjunto 
l6gico de ideias economicas muito refinadas e, ao fim dele, 0 or,<amento de capital da 
empresa passani a englobar urn grupo aceitiivel de projetos que, individual e coletiva­
mente, segundo se espera, dani urn retorno economico coerente com as metas da admi­
nistra,<ao no longo prazo, bern como com 0 objetivo de gerar valor para a empresa. 0 
processo envolve, assim, uma inter-rela,<ao economica consciente entre a exposi,<ao a 
condi,<oes adversas potenciais e a rentabilidade esperada do investimento. 
Como regra geral, rentabilidade mais alta implica risco maior. Alem disso, a escolha 
entre alternativas nas quais investir os fundos limitados disponiveis envolve, invariavel­
mente, custos de oportunidade, porque 0 comprometimento com urn investimento pode 
significar a rejei,<ao de outros e, talvez, a desistencia da oportunidade de obter mais 
lucros com maior risco. A analise de investimentos de capital requer, portanto, urn grau 
justo de raciocinio economico e proje,<ao das condi,<oes futuras, 0 que vai alem do uso das 
demonstra,<oes financeiras normais. Com esse fim, existem varias tecnicas, metodos, con­
ven,<oes e criterios comumente utilizados na analise e no processo decis6rio. 
o valor de urn projeto depende da sua capacidade de gerar fluxos de caixa futuros, 
ou seja, do seu potencial de gerar renda economica. Assim, as alternativas de investimen­
to podem ser comparadas apenas se as consequencias monetarias forem medidas em urn 
ponto comum no tempo, e, uma vez que as opera,<oes de investimento ou financiamento 
se caracterizam por urn espa,<amento dos flux os de caixa ao longo do tempo, os criterios 
de avalia,<ao economica devem considerar sua atualiza,<ao. 
Neste capitulo, discutiremos e apresentaremos os metodos atuariais mais usados e 
aceitos para medir a rentabilidade e analisar a viabilidade economica das alternativas de 
investimento. Principalmente, focaremos 0 valor presente liquido, a taxa interna de retorno, 
o payback descontado, 0 indice custo-beneficio, a anuidade e 0 custo anual equivalente. 
2.1 Metodo do valor presente Hquido (VPl) 
o nll!todo do valor presente liquido (VPL) tern como finalidade calcular, em termos 
de valor presente, 0 impacto dos eventos futuros associados a uma alternativa de inves­
timento. Em outras palavras, ele mede 0 valor presente dos fluxos de caixa gerados pelo 
projeto ao longo de sua vida uti!. Se nao houver restri,<ao de capital, argumenta-se que 
esse criterio leva a escolha 6tima, pois maximiza 0 valor da empresa. A seguinte expres­
sao define 0 VPL: 
n FC, 
VPL = - 1+8 (1 + K)' 
Criterio de decisao: se VPL > 0 =? projeto economicamente viavel 
FC, representa 0 fluxo de caixa no t-esimo periodo, leo investimento inicial, K e 0 
custo do capital e 0 simbolo !, somat6rio, indica que deve ser realizada a soma da data 1 
ate a data n dos fluxos de caixa descontados ao periodo inicia!. A regra decis6ria a ser 
seguida ao aplicar 0 VPL e: empreenda 0 projeto se 0 VPL for positivo. 
o objetivo do VPL e encontrar alternativas de investimento que valham mais do que 
custam para os patrocinadores - alternativas que tenham urn valor presente liquido positivo. 
Seu calculo reflete as preferencias entre consumo presente e consumo futuro e a incerteza 
associada aos fluxos de caixa futuros. 0 processo por meio do qual os fluxos de caixa sao 
ajustados a esses fatores chama-se desconto, e a magnitude desses fatores reflete-se na taxa 
de desconto usada (custo do capital). 0 processo de desconto converte os fluxos de caixa 
futuros em valores presentes, pois fluxos de epocas diferentes nao podem ser comparados 
nem agregados enquanto nao forem convertidos para valores de uma mesma epoca. 
Por exemplo, considerando que uma alternativa de investimento requeira urn 
desembolso inicial de $ 200.000, que venha a gerar fluxos de caixa de $ 75.000 par ana 
durante 5 anos, 0 VPL calculado a urn custo do capital de 15% ao ana sera 0 seguinte: 
VPL= -$ 200.000+ $75.000 + $75.000 + ... + $ 75.00.0 = $ 51.412 >0 
(1,15) (1,15)2 (1,15)' 
o VPL e positivo, 0 que indica a viabilidade economica da alternativa. 0 investi­
mento inicial de $ 200.000 sera recuperado em 5 anos, proporcionando uma prote,<ao 
adicional equivalente a 51.412 unidades de valor presente, prote,<ao esta que pode ser 
esperada se as estimativas do fluxo de caixa estiverem corretas e a alternativa completar 
seu prazo. Assim, a prote,<ao implicita de $ 51.412 e realmente urn lucro de valor econo­
mico, que excede 0 padrao de ganhos minimos exigidos -15% ao ano. 
2.2 Metodo da taxa interna de retorno (TIR) 
o metodo da taxa interna de retorno (TIR) nao tern como finalidade a avalia,<ao da 
rentabilidade absoluta a determinado custo do capital (processo de atualiza,<ao). como 0 
VPL; mas objetiva encontrar uma taxa intrinseca de rendimento. Por defini,<ao. a TIR e 
a taxa de retorno do investimento. 
Matematicamente, a TIR e uma taxa hipotetica que anula 0 VPL. ou seja. e aquele 
valor de i' que satisfaz a seguinte equa,<ao: 
r
 
38 I Engenharia economica I Metodos e criterios de decisao ... I 39 
VPL=-I+ t~=O 
[=!(I+i'j' 
Criterio de decisao: se i* > K =? projeto economicamente viavel 
A Figura 2.1 a seguir mostra 0 VPL em fun<;ao da taxa de desconto. Nele, a TIR e 
dada pela intersec<;ao entre a curva que representa 0 polinomio do VPL e 0 eixo das 
abscissas, ou seja, 0 ponto em que 0 VPL e igual a zero. 
VPLt 
TIR taxa de desconto 
Fig u ra 2.1 VPl em fun~ao da taxa de desconto. 
A regra decis6ria a ser seguida no metodo da TIR e: empreenda 0 projeto de inves­
timento se a TIR exceder 0 custo de oportunidade do capital. Essencialmente, 0 metodo 
pergunta: A taxa de retorno esperada sobre 0 projeto de investimento excede a taxa de 
retorno requerida? 0 projeto criara valor? A principio, parece a mesma coisa que a regra 
do VPL, mas, como veremos nas se<;6es seguintes, isso nem sempre e verdadeiro. 0 apelo 
intuitivo do metodo da TIR, provavelmente, responde por seu uso generalizado; as pessoas, 
em geral, tendem a tomar decis6es fazendo compara<;6es em termos de porcentagens. 
Tomando 0 mesmo exemplo anterior, a TIR da alternativa de investimento sera: 
$ 75.000 $ 75.000 VPL=-$200.000+ ! + ... + _ =0 =?TIR=25,41 0Yo a.a. 
(1+ TIR) (1 + TIRr 
A TIR (25,41 %) e maior que 0 custo do capital (15%),0 que indica a viabilidade 
economica da alternativa. 
2.3 Metodo do payback descontado (PB) 
Muitas vezes precisamos saber 0 tempo de recupera<;ao de um investimento, ou seja, 
quantos anos decorrerao ate que 0 valor presente dos fluxos de caixa previstos se iguale 
ao investimento inicial. Se I representa 0 investimento inicial, FC[ 0 fluxo de caixa no 
periodo t e K 0 custo do capital, 0 metodo do payback descontado consiste. basicamente. 
em determinar 0 valor de T na seguinte equa<;ao: 
T 
1= L FC[ 
,=! (I+K)' 
Esse indicador e utilizado em conjunto com outros metodos, como 0 VPL ou a TIR. 
No exemplo anterior, podemos encontrar 0 payback descontado resolvendo a 
seguinte igualdade para T: 
$ 200.000 = $ 75.000 + $ 75.000 + ... + $ 75.000 se T=3 =;. VP = $ 171.242} 
=;.T=4(1.15)[ (1,15)' (1,15)T {Se T=4 =;. VP = $ 214.123 
VP 
o investimento ($ 200.000) sera recuperado em, no minimo, 4 anos. 
2.4 Metodo do custo-beneflcio (C/B) 
o indice custo-beneficio (ClB) e urn indicador que resulta da divisao do valor atual 
dos beneficios pelo valor atual dos custos do projeto, incluido 0 investimento inicial. 
Permite saber a viabilidade economica de urn empreendimento, bastando, para isso, 
observar se 0 indicee maior que 1. 
o indice CIB nao reflete necessariamente a maior ou a menor conveniencia de urn 
projeto em rela<;ao a outros. Pode ocorrer que dois projetos com diferentes rentabilidades 
(TIR) tenham 0 mesmo indice custo-beneficio. 0 indice pode ser expresso da seguinte forma: 
C/B =t b' /t~ 
,=0 (1 +K )[ ,=0 (1 +K 
onde:
 
C/B = fndice custo-beneficio:
 
b, =beneficios do periodo t;
 
c, = custos do periodo t;
 
n = horizonte do planejamento;
 
K =custo do capital.
 
No exemplo anterior, 0 indice custo-beneficio pode ser calculado da seguinte forma: 
$75.000 $75.000 $75.000 
---+ , + ... + ­
00= 1,15 (1,15t (1,15)' =$251.412=1.26>1 
$ 200.000 $ 200.000 
Urn indice ClB maior que 1 indica que 0 projeto e economicamente viavel; entre­
tanto, 0 indice esta sujeito a urn problema de dimensiio. pois depende da forma como e 
calculado. Esse problema sera mostrado no Exemplo 2.2. 
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40 I Engenharia economica 
2.5 Metodo da anuidade uniforme equivalente (AE) 
E essencial que qualquer estudo sobre aplica<;ao de capital seja realizado dentro de 
urn horizonte de planejamento uniforme, ou seja, para que os projetos possam ser objeto 
de compara<;ao, e necessario que sejam comparaveis. Embora seja uma ferramenta util 
para avaliar alternativas de investimento, 0 VPL nao responde a todas as perguntas sobre 
a vantagem economica de uma alternativa em rela<;ao a outra que tenha dura<;ao previs­
ta diferente. 
Podemos ilustrar 0 problema analisando duas alternativas de prazos diferentes, 
como mostrado no Quadro 2.1, em que A e B poderiam ser tipos de equipamentos que 
executam a mesma tarefa, tendo A vida util de urn ano, e B, de tres anos: 
• Fluxo de caixa de duas alternativas com prazos diferentes 
Fluxo de caixa ($) 
-10 13 30,00% 1,82 
-10 5 5 5 23,38% . 2,43 
Observa-se nesse quadro que as indica<;oes da TIR e do VPL sao contradit6rias. 
Pela TIR, deveriamos selecionar a alternativa A e, pelo VPL, a alternativa B. Se conside­
rarmos 0 VPL como criterio 6timo de escolha, a alternativa B sera selecionada; contudo, 
vale lembrar que a solu<;ao valida s6 sera encontrada se as alternativas forem levadas 
para urn horizonte economico comurn. Para isso, seria necessario admitir que a maquina 
A possa ser substituida uma ou mais vezes ao fim de sua vida util por outra identica, ate 
que seu horizonte economico seja igualado ao da alternativa B. Esse procedimento cha­
ma-se regra da cadeia. Os horizontes economicos das duas alternativas sao igualados em 
alguma data futura, correspondente ao minimo mUltiplo comum dos prazos das duas. No 
presente exemplo, os horizontes se igualam no terceiro ana ap6s duas sUbstitui<;oes do 
equipamento A. 
$13 
o Quais as conseqiiencias aqui? I3 Alternativa A 
$10 
$5 
··..·· ..·_;1o 11" ················~t_·
Alternativa B $1O[ J-rnr---­
I Metodos e criterios de decisao ... I 41 
Fluxo de caixa da alternativa A, considerando as substitui.;oes para
"'N'W 
igualar seu horizonte economico ao da alternativa B 
'MtilIRDI'MiifiDlI,ii,u'.lG:tI'-ii,uiU!)] 
.. 
Fluxo da alternativa A 
Primeira substitui(,:ao de A 
Segunda substitui(,:ao de A 
Fluxo de caixa Ifquido 3 4,97 
Observe que, igualados os horizontes economicos das duas alternativas por meio da 
repeti<;ao sucessiva da alternativa de menor dura<;ao, a alternativa A passa a ser preferi­
vel, dado que 0 VPL de A, com suas duas substitui<;oes, torna-se superior ao VPL de B 
($ 4,97 > $ 2,43). Assim, vemos que, na compara<;ao de alternativas de dura<;ao diferente, 
a aplica<;ao direta do metoda do VPL como criterio de sele<;ao, sem igualar previamente 
os horizontes economicos das alternativas, pode resultar em decisoes inconsistentes com 
a maximiza<;ao do valor da empresa. 
Como os horizontes economicos das alternativas sao igualados em urn periodo 
igual ao minimo mtlltiplo comum de seus prazos, seria uma tarefa muito cansativa apli­
car esse raciocfnio se, por exemplo, a dura<;ao da alternativa A fosse 18 anos e a de B 
fosse 42 anos, pois os horizontes economicos seriam igualados somente no 126Q ano, 0 
que resultaria em sete repeti<;oes sucessivas para A e tres para B. Urn metoda alterna­
tivo, mais pr<itico que 0 de substitui<;oes ou repeti<;oes sucessivas, e 0 da anllidade uni­
forme equivalente (AE). Esse valor ou indicador mostra de que modo a renda econo­
mica gerada pelo projeto seria distribuida se tal distribui<;ao fosse eqilitativa para cada 
ano, 0 que equivale a repartir 0 VPL ao longo da vida util do projeto, transformando-o 
em uma serie uniforme equivalente, que pode ser legitimamente comparada entre pro­
jetos de dura<;ao diferente. 
A anuidade equivalente (AE) pode ser calculada por meio da seguinte expressao: 
AE= VPL 
a;;lk% 
onde: 
(l+k)"-1
a;;lk% = fator de valor presente de serie uniformes = (1 +k)" xk AE =anuidade equivalente; 
k = custo do capital; 
n =prazo da alternativa. 
o Quadro 2.2 apresenta 0 fluxo de caixa da altemativa A, ja considerando as substi­
tUi<;oes consecutivas necessarias para igualar seu horizonte economico ao da alternativa B. 
r
 
I Melodos e crilerios de decisao .. I 4342 I Engenharia economica 
No presente exemplo, as AEs das alternativas A e B sao as seguintes: Calculo do CAE das alternativas 
VPLA _ $1,82 = $ 2,00/ano AEA=-a--[ (110)1- 1 ]1110% ----'---'-----;-'-__ 
(i,10y xO,1O 
VPLB $2, 43 = $ 0,98/ano AEB =--= r 3 1 ' 
a3l1U % (1,10) ­
(l,lOt xO.10 
Como AEA e maior que AEB, conclui-se que a alternativa A e preferivel. A AE 
representa, assim como 0 VPL, cria~ao de valor. Escolhe-se a alternativa que cria mais 
valor por unidade de tempo. 0 metodo da AE nao repete explicitamente as alternativas, 
como 0 processo de substitui~6es sucessivas, mas 0 faz implicitamente. Em outras pala­
vras,o metodo sup6e que as alternativas serao substituidas por outras identicas ao termi­
1~ no de seu prazo. Essa suposi~ao pode ser razoavel, e tera alguma consistencia, se a dina­
i mica das mudan~as tecnol6gicas do equipamento for lenta e as demais condi~6es 
I permanecerem estaveis. . 
2.6 Metodo do custo anual equivalente (CAE) 
Em determinados projetos ou servi~os, os beneffcios ou receitas dificilmente podem 
ser quantificados em termos monetarios; entretanto, os custos podem se-lo. Se existirem 
alternativas que produzam 0 mesmo servi~o, quantificavel ou nao, mas a custo diferente. 
a receita ou 0 beneficio pode ser conhecido ou desconhecido, uma vez que, como e urn 
fator comum a todas as alternativas, sera irrelevante em uma analise incremental. Assim, 
nesses casos, bastaria conhecer os custos das alternativas e selecionar aquela com os 
menores custos anualizados. 
Muitas vezes, sobretudo em problemas de engenharia economica, e mais facil deter­
minar os fluxos de custos do que os de receitas. Por exemplo, se 0 problema for selecionar 
entre dois geradores de eletricidade que difiram unicamente no tipo de combustivel 
usado (gas natural ou energia eletrica). sera mais facillevantar os custos do metro cubico 
de gas natural e do quilowatt/hora do que estimar as receitas, que dificilmente poderia­
mos traduzir em valores monetarios. Como traduzir monetariamente beneffcios, tais 
como 0 provavel aumento da produtividade do pessoal devido ainstala~ao de urn sistema 
de ar-condicionado central ou a satisfa~ao geral dos empregados? 
o Cllsto anual eqllivalente (CAE) e basicamente urn rateio uniforme, por unidade 
de tempo, dos custos de investimento, de oportunidade e operacionais das alternativas. 
Imaginemos uma empresa que pretenda adquirir urn equipamento e, no mercado. haja 
disponibilidade de duas marcas diferentes desse equipamento: A e B. 0 equipamento A 
custa $ 13.000 e tern uma vida utiI de 12 anos. enquanto 0 equipamento B custa $ 11.000 
e sua vida util e de 8 anos. Qualquer que seja 0 equipamento comprado, A ou B, 0 bene­
ficio sera 0 mesmo: $ 7.000/ano.0 custo do capital da empresa e de 4% ao ano. 
$11.000$13.000 CAE = r 1 = $ 1.633, 81/ano CAE A = r = $ 1.385, 18/ano B (1,04)12_ 1 
1 (1,04t- 1 
(l,04t xO,04l(1,04( xO,04 
Como os beneffcios das duas alternativas sao iguais, a sele~ao pode ser realizada 
comparando-se 0 CAE - nesse casa, seria selecionado 0 equipamento A. 0 CAE da 
alternativa A e menor, porque, mesmo exigindo urn investimento maior, esse investimen­
to sera repartido economicamente em urn periodo maior. 
Exemplo 2.1 
Calcule 0 VPL e a TIR de urn projeto que requer urn investimento inicial de $ 30.000 e 
produz urn fluxo de caixa de $ 5.000/ano durante 12 anos. Considere urn custo do capital 
de 8% ao ano. 
• VPL = -$ 30.000 + $ 5.000 x a = - $ 30.000 + $ 5.000 x 7,536078 = WS % 
$ 7.680,40> 0 
• Calculo da TIR: VPL = -$ 30.000 + $5.000 x awTIR = 0 
Para determinar a TIR manualmente, deve-se aproxima-la por meio de uma interpola­
~ao linear. Esse processo consiste em tentar duas taxas de desconto que resultem em 
VPLs de sinal contrario, de modo que seja possivel efetuar a interpola~ao: 
VPL(12%)=-$30.000 + $5.000xa % = -$30.000+ $5.000x6,194374=
W12 
+ $ 971,87 
VPL(13%)=-$30.000+ $5.000xaW13 % -$30.000+ $5.000 x 5,917647 = 
+ $ 411,77 
Por proporcionalidade: 
971,87 411,77 
=} TIR = 12,70% > 8% 
TIR-12 13- TIR 
Com alguma experiencia, 0 leitor percebera que, normalmente, nao mais de duas tentati­
vas serao necessarias, porque 0 sinal do primeiro VPL indicara a dire~ao da taxa de des­
conto apropriada para a segunda tentativa. Urn VPL positivo pede uma taxa de desconto 
maior, enquanto urn VPL negativo requer uma taxa menor. 
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44 i Engenharia economica	 I Melodos e criterios de decisao ... I 45 
Exemplo 2.2 
Determine 0 fndice custo-beneffcio para urn custo do capital de 10% ao ano, conforme 
dados apresentados no Quadro 2.3. 
-12.100 
1­
550 
1.65050 
Dados relativos ao Exemplo 2.2 
-=_5_0__--'­ -' 
~ 
• C/B calculado sobre custos e beneffcios: 
t~ 
C/B= ,=0 (l+K)'
t c t 
t~O (1 +K)' 
$50+ $1.650 + $14.520 
1, 10 (l.lO)2 
$100+ $1.100 + $12.100 = 
1,10 (1,10)2 
14.520 
2.420 
_ 
1,22 > 1 
•	 C/B calculado sobre 0 fluxo de caixa Ifquido: 
$550 $2.420
-+ --7 
1,lO (1,10)- = 50 > 1CIB 
$50 
Podemos comprovar que, conforme dissemos, 0 fndice C/B esta sujeito a urn problema 
de dimensao, pois depende da forma como e calculado. Os resultados mostram que 0 
fndice calculado dividindo-se 0 valor presente dos beneffcios pelo valor presente dos 
custos (1,22) e diferente daquele calculado dividindo-se 0 valor presente dos fluxos de 
caixa pelo investimento inicial (50). De todo modo, urn C/B maior que 1 indica que 0 
projeto e economicamente viavel. 
Exemplo 2.3 
Considerando urn custo do capital de 10% ao ano, compare os projetos de invest i­
mento apresentados no Quadro 2.4, usando 0 fndice custo-beneffcio e 0 VPL como 
cri terios decis6rios. 
r
 Dados dos projetos A e B referentes ao Exemplo 2.3
'''f1IiW 
oo 
400 
I 
I 
400-0 
Beneffcios (b,l 
Fluxo de caixa IIquido 
A seguir, 0 fndice C/B e 0 VPL sao calculados. 
Projeto A Projeto B $10 565 
$ 50 + $1.650 + $1.702. $400 + -'-7 
C/B = 1, lO (1,10)"	 $50 + 110 (1,10)- = 91,457 C/B = $100$100 + $1.100 + $12.100 = 0,2
 
1, lO (1, lO)2
 
VPL = -$ 50 + $550 + $10.400 = $9.045 VPL = _$ 50 + $ 400 + $10.565 = $9.045 
A 1,10 (1,10)2 B 1,10 (1,10)2 
o C/B foi calculado dividindo-se 0 valor presente dos beneffcios pelo valor presente dos 
custos. Aparentemente, esse fndice indica que a alternativa B e a melhor; no entanto, 
vemos que as duas alternativas sao equivalentes, porque tern 0 mesmo VPL ($ 9.045). 
o exemplo mostra que 0 fndice custo-beneffcio nao deve ser 0 unico criterio na compa­
ra,<ao e na sele,<ao de alternativas mutuamente excludentes. pois nao necessariamente 
reflete a maior ou menor conveniencia ou a atratividade real de uma alternativa em 
rela,<ao a outra. 
Exemplo 2.4 
Para urn custo do capital de 10% ao ana e com as informa,<oes disponfveis no 
Quadro 2.5 a seguir. qual sera 0 projeto selecionado? Qual indicador deve ser utili­
zado na sele,<ao? 
48 I Engenharia economica J 
VPL y -$ 9 + $ 4 x a31l0% _ -$ 9 + $ 4 x 2,48685 = $ 0,3810/ano
AEy =--= - 248685 
a31 (Q% 'a 31l0% 
Considerando a dura~ao diferente das alternativas, a decisao deve se basear nas AEs. 
Logo, como AEy > AEx , a alternativa Y sera preferivel it alternativa X, pois possui a 
maior AE. 
Exemplo 2.7 
Fluxo das alternativas ReS de que trata 0 Exemplo 2.7 
·"W'f"Compare as alternativas mutuamente excludentes, ReS, apresentadas no Ouadro 2.8, 
de dura~ao diferente, considerando que 0 custo do capital e de 10% ao ano. 
Dados das alternativas ReS referentes ao Exemplo 2.7 
636,36Alternativa S -1.000 
+ Reinvestimento 
636,36= FluxoT -1.000 
" $ 1.800 + 0.10 x $ 1.800 
Como pode ser observado, a sele~ao seria contradit6ria pelos metodos do VPL e da 
TIR. A seguir, as duas alternativas serao comparadas sob duas hip6teses diferentes 
acerca da substitui~ao da alternativa de menor dura~ao (alternativa S) ao termino de 
seu prazo: quando e possivel e quando nao e possivel a reposi~ao identica. 
VPL (10%) ($) 
1.980 
1.980' 
o 
1.800 
-1.800 
Alternativas 
Alternativa R 
61,80% 
80,00% 
735,54 
636,36 
1.000 
1.800 
1.000 
-1.000 
-1.000 
'11 I'; Iii 11('-
Quando epossivel a reposi~lio identica da alternativa S 
Supondo que as alternativas possam ser repostas por substitutas identicas ao termino de 
seu prazo, podemos selecionar por meio da compara~ao das AEs: 
VPLR -$ 1.000 + $ 1.000 x a21l0% _ -$ 1.000 + $ 1.000 x 1, 73554 _ 
AE R =-a--= a - 1,73554 ­
2110% 2110% 
= $ 423,81/ano 
_ VPLs _ -$ 1.000 + $ 1.800/1,10 _ -$ 1.000 + $ 1.636,36 = $ 700 001AEs - - - , ana 
a a 0,90909UID% UIO% 
Como AEs> AER,o indicado seria selecionar a alternativa S. 
A aplica~ao do metodo da anuidade equivalente (AE) sup6e a possibilidade de as alter­
nativas serem substituidas por outras identicas ao termino de seu respectivo prazo. 
I Metodos e criterios de decisao ... I 49 
Quando nlio epossivel a reposi~lio identica da alternativa S 
Admitindo-se que, ao termino de seu prazo, a alternativa de menor dura~ao (alternativa S) 
nao possa ser substituida por outra identica, 0 resultado da sele~ao das alternativas 
podera ser diferente daquele indicado pelas AEs. Por exemplo, diante dessa impossibi­
lidade, e a fim de igualar os prazos das alternativas, pode-se considerar que 0 fluxo de 
caixa gerado no ana 1 pela alternativa S ($ 1.800) seja reinvestido imediatamente (por 
urn ano) no mercado de capitais, rendendo 0 custo de oportunidade do capital (10%). 
o Ouadro 2.9 mostra 0 fluxo das alternativas ReS e do reinvestimento, eo fluxo T, que 
e 0 resultado da soma dos fluxos da alternativa S e do reinvestimento. 
Observa-se que, reinvestindo 0 fluxo de caixa gerado no ana 1 pela alternativa S 
($ 1.800) it taxa de 10% (custo do capital), consegue-se igualar os prazos das duas alter­
nativas (R e S), 0 que permite 0 uso do VPL como criterio de sele~ao. Logo, analisando 
o VPL do fluxo resultante (fluxo T), vemos que ele e inferior ao VPL da alternativa R
 
($ 636,36 < $ 735,53) e concluimos, desse modo, que a alternativa R deve ser a selecio­
nada. Nao ha como reinvestir 0 fluxo de caixa gerado por S no primeiro ana de modo
 
que se obtenha urn pacote de investimento (investimento em S + reinvestimento de
 
$ 1.800) capaz de superar a alternativa R em termos de VPL.
 
Podemos concluir dessa analise que, admitindo-se que a alternativa S possa ser substi­
tuida por outra identica ao terminG de sua vida utiL 0 metodo da anuidade equivalente
 
(AE) e 0 adequado e seleciona a alternativa S. Entretanto, se nao for possivel essa subs­
titui~ao identica. a alternativa selecionadaseria a R. Enfim. 0 resultado da sele~ao e
 
diferente quando nao e possivel admitir a reposi~ao identica da alternativa S.
 
Exemplo 2.8 
Considerando urn custo do capital de 10% ao ano, determine 0 tempo 6timo para a 
substitui~ao de urn equipamento cujo pre~o atual e de $ 7.500.0 equipamento tern 5 
--
50 I Engenharia economica I 
anos de vida util e gera urn fluxo de caixa operacional de $ 2.000 por ano, mas poden\. 
ser usado ate 0 termino da vida util ou substituido antes desse prazo por urn novo equi­
pamento identico e de mesmo valor. 0 Quadro 2.10 a seguir mostra os flux os de caixa 
operacionais e os valores de revenda nos respectivos anos para equipamentos com 
diversos tempos de uso. 
Quadro 2.10 Fluxos de caixa operacionais e valores de revenda relativos ao 
Exemplo 2.8 
Dado que 0 equipamento pode funcionar 1, 2. 3, 4 ou 5 anos, de fato existem cinco altema­
tivas mutuamente excludentes de diferentes durac;6es. Logo, se admitirmos a possibilidade 
de substituic;ao identica, a selec;ao podera ser efetuada pela comparac;ao das anuidades 
equivalentes (AE) das altemativas. A analise pode ser resumida no Quadro 2.11. 
Quadro 2.11	 Analise das alternativas mutuamente excludentes referentes ao 
Exemplo 2.8 
2.000 0,90909 1.818 1.818 1.818 1.818 
2.000 0,82645 1.653 1.653 1.653 
2.000 I 0,75132 1.503 1.502 
2.000 0,68301 1.366 
1.818 
1.653 
1.502 
1.366 
1.242 
I ~ 
-lJllST3A71 4.974 6.340 7.582 
5.636 I 4.198 3.004 01.~ 
7.454 I 7.769 7.978 I 7.843 I 7.580 
-7.500 -7.500 -7.500 -7.500 
I 
269 478 343 80I 
155,0 192,2 108,2 21,60 
I Metodos e criterios de decisao ... I 51 
o quadro e auto-explicativo; entretanto, como ilustrac;ao, podemos calcular a AE 
supondo a substituic;ao do equipamento ao terminG do segundo ana: 
VPL= $ 2.000 + $ 2.00~ +($ 5.20,0]_$ 7.500 
(1.10) (1, lOt (1.1Ot 
VPL $ 269	 = $ 155 
= $ 1.818 + $ 1.653 + $ 4.298 - $ 7.500 = $ 269 e AE = - - = 1 73554 
a21l0% ' 
Ao fim do terceiro ano: 
VPL= $ 2.000 + $ 2.000 + $ 2.000 +($ 4.00?]_$ 7.500 
(1,10) (l,lOf (1,10)3 (1,10)' 
= $ 1.818 + $ 1.653 + $ 1.503 + $ 3.004 - $ 7.500 = $ 478 
e 
VPL _ $ 478	 = $ 192,20 
AE = -- - 2 48685 
a31l0% ' 
o quadro mostra que a AE e maximizada quando se substitui 0 equipamento ao fim do 
terceiro ano. 
E~eTlllo 2.9 ; 
Determine 0 tamanho 6timo de uma planta. considerando 0 Quadro 2.12, que mostra 
diversos tamanhos possiveis da planta, com 0 investimento necessario e a prodw;:ao 
para diversas escalas. 
Quadro 2.12	 Tamanhos possiveis de planta referentes ao Exemplo 2.9 
ProdUl;;ao (unidades) 
-IIIIBIIIJ ~__~>--__l2MOO 10.000 
_ 145.000 12.000 
_ 170.000 13.500 
_ 180.000 15.000 
__ 200.000 15.500 
o prec;o unitario de venda e de $ 6/unidade. os custos operacionais sao de $ 0.8/unidade. 
a vida util das plantas e de 5 anos e 0 custo do capital e de 10% ao ano. 
52	 i Engenharia economica I 
o Quadro 2.13 apresenta 0 calculo do VPL incremental. 
Quadro 2.13 Cilculo do VPL incremental relativo ao Exemplo 2.9 
Escala Investimento Produc;ao Fluxo de Fluxo de caixa Investimento I VPl 
(i) ($) (unidades) caixa (a) I incremental (b) incremental (c) Iincremental (d) 
120.000 10000 52.000 
14.42412.000 25.00062.400 10.400 
13.500 70.200 4.5687.800 25.000 
15.000 19.56878.000 7.800 10.000 
15.500200.000
180.000
170.000
145.000	 
-10.14480.600 2.600 20.000 
(a)($ 6 - $ 0.8) x Produ<;iio,. (b) Fluxo de caixa, - Fluxo de caixa,_" (c) Investimento i - Investimento,_I' 
(d) Fluxo de caixa incremental,. (~) - Investimento incremental,. 
(UO) xO.10 
A escala 6tima e a 4, porque 0 investimento inicial de $ 180.000 apresenta 0 maior VPL 
incremental. Cabe ressaltar que, alternativamente, poderia tambem ser aplicado 0 metodo 
da anuidade equivalente (AE), 0 que nos levaria amesma conclusao. 
Exemplo 2.10 
Dos equipamentos X e Y, especificados no Quadro 2.14 a seguir, qual emais adequado 
para realizar determinada opera~ao? Considere a taxa minima de atratividade igual a 
10% ao ano. 
Quadro 2.14 Especifical.;ao dos equipamentos Xe Y 
3 anas 
8 anas 2,0/ana 
2,5/ano 
32 
Cnsto annal equivalente para 0 equipamento X 
Custo inicial . $ 12CAE. == + Custo operaclOnallano =---+ $ 2,5 == $ 7,33/ano 
, a3l1O% 2A8685 
1- MetodOS e criterios de decisao ... I 53 
Custo anual equivalente para 0 equipamento Y 
Custo inicial . $ 32CAE == + Custo operaclOnal/ano == - + $ 2,0 == $ 8,0/ano 
y a81l0% 5,33493 
Como CAE < CAE =? selecionamos X, porque possui 0 menor custo anual uniforme yxequivalente. Observe que se utilizou 0 CAE para selecionar a alternativa porque as
 
unicas informa~6es de que se disp6e sao referentes aos custos.
 
Exemplo 2.11 
A Riolight pretende instalar um gerador de energia eletrica a urn custo de $ 10 milh6es. 
Os custos operacionais projetados sao de $ 80.000/mes ao longo da vida util do equipa­
mento, estimada em 120 meses. Ignorando impostos e considerando que a empresa 
requer uma rentabilidade minima de 4% ao mes, determine 0 custo mensal que deve ser 
repassado aos usuarios do equipamento. 
o custo mensal a ser repassado aos clientes para cobrir os custos operacionais e propor­
cionar a rentabilidade minima desejada aempresa pelo capital investido eigual ao custo 
operacional mensal mais uma mensalidade uniforme equivalente, calculada sobre 0 
investimento inicial: 
'd	 d'f C . 1/ lnvestimentoA 
ensa 1 a e um orme == ustos operactOna mes +--- ­M I	 a12O\4Q/o 
== $ 80.000 + $ 10.000.000 == $ 80.000 + $ 10.000.000 
a %	 24.77409 
i2014 
== $ 483.M8/mes 
,.E~~..mPl~j~.~;!",~': 
Uma empresa estuda a implementa~ao de urn sistema de transporte de material dentro 
de sua planta industrial. Existem tres alternativas diferentes: 
1.	 Sistema manual: requer a contrata~ao de uma grande equipe de trabalhadores ao 
custo fixe de $ 1.050.000 por ano. 
2.	 Sistema de empilhadeiras: requer a contrata~ao de uma equipe menor de trabalha­
dores ao custo fixe de $ 100.000 por ano, mais a compra de 50 maquinas empilhadei­
ras ao custo de $ 40.000 cada. As empilhadeiras tem vida util de 4 anos com valor de recupera~ao de 10% de seu valor de aquisi~ao. Os custos operacionais anuais deste 
sistema sao de $ 4.000 por ana para cada empilhadeira. 
r
 
54	 I Engenharia economica 
3.	 Sistema de faixas transportadoras: 0 sistema custa $ 3.000.000, tern vida util de 7 anos 
com urn valor de recupera<;:ao de $ 1.000.000. Como esse sistema e bastante automa­
tizado, requer urn grupo muito pequeno de trabalhadores ao custo fixo de $ 50.000 
por ana e gastos operacionais anuais de $ 40.000. 
Considerando urn custo de oportunidade do capital de 25% ao ano, e que os tres siste­
mas gerem beneficios anuais iguais, analise as alternativas e determine 0 sistema que 
devera ser selecionado. 
Calculo do custo anual equivalente para as tres aIternativas 
CAE l = Salario/ano = $ 1.050.000/ano 
CAE? = Custo inicial- Valor atual do valor de recupera<;:ao 
-	 a~~% 
+ Custo operacionaVano + Salario/ano 
_ 50 x $ 40.000 - 0,10 x (50 x $ 40.000)/(1,25)4 
2,361600 
+ 50 x $ 4.000 + $ 100.000 = $ 1.l12.195/ano 
CAE = Custo inicial- Valor atual do valor de recupera<;:ao 
3 
a7125 % 
+ Custo operacional/ano + Salario/ano 
$ 3.000.000 - $ 1.000.000/(1,25f
 
3,161139
 
+ $ 40.000 + $ 50.000 = $ 972.683/ano 
onde: 
a = (1,25)4-1 =2361600'a = (1,25)7-1 =3161139. 
~25% (1,25)4 x 0,25' '7125% (1,25)7 x 0,25 ' 
Do ponto de vista economico, 0 sistema de faixas transportadoras deve ser 0 escolhido, 
porque tern 0 menor CAE. 
E~'~.mprp .2.:~ 3 
Ha 5 anos. uma empresa comprou uma maquina ao custo de $ 360.000. Hoje, ela 
disp6e de duas op<;:6es: operar aquela maquina por mais 4 anos, ao terminG dos quais 
seu valor residual sera zero, ou substitui-la hoje por uma maquina alugada mais 
I Metodose criterios de decisao ... ~ 
moderna. Se for substituida, a maquina usada podera ser vendida no mercado de 
equipamentos de segunda mao por $ 200.000. Sup6e-se que a manuten<;:ao da maqui­
na alugada corra por conta do arrendador e disp6e-se das informa<;:6es sobre as duas 
op<;:6es no Quadro 2.15. 
Especifical;ao das 0pl;oes relativas ao Exemplo 2.13 
·"m·... 
Alugar maquina moderna (2) 
Mao-de-obra $ 300.000/ano $ 250.000/ano 
Custos de materiais $ 250.000/ano $ 100.000/ano 
Seguros 4% da valor inicial Nao ha 
Custo de manuten~ao $ a.OOO/ano Nao ha 
Aluguel Nao ha $ 260.000 
Considerando urn custo de oportunidade do capital de 10% ao ano:
 
3" analise qual e a melhor op<;:ao para a empresa;
 
J' calcule 0 valor de venda da maquina antiga que deixe a empresa indiferente diante
 
das duas op<;:6es; 
.~ explique como 0 valor de mercado da maquina antiga influencia a decisao. 
o Quadro 2.16 a seguir resume os custos anuais em ambas as op<;:6es. 
Quadro2.16 Resumo dos custos anuais das 0pl;oes relativas ao Exemplo 2.13 
Op~ao 
I	 Alugar maquina moderna (2)Custos anuais 
Mao-de-obra $ 300.000/ano $ 250.000/ana 
Materiais $ 250.000/ano $ 100.000/ana 
Seguras $ 14.400/ano 0 
Manuten~ao $ a.OOO/ana 0 
Aluguel 0 $ 260.000/ana 
Custo anual total $ 572.400/ano $ 610.000/ano 
56 I Engenharia economica 
a)	 A melhor op~ao pode ser determinada comparando-se os CAEs das op~6es: 
CAEop<;'o I = Custo anual + Valor de venda = $ 572.400/ano + $ 200.000 = $ 635.494 
Q 41IO % 3,169865 
CAEo~,02 = Custo anual = $ 61O.000/ano 
Como 0 CAE da op~ao 2 e menor que 0 da op~ao 1, e melhor vender a maquina antiga 
e alugar a mais moderna. 
b)	 0 valor pode ser obtido igualando-se os CAEs das duas op~6es. 
CAE;t",;o[ 
CAE,I(l';:iO! 
V ~ 
$ 572.400 1ana + 3, 169865 $ 610.0001 ana =? V = $ 119.187 
Caso 0 valor de venda da maquina antiga seja igual a $ 119.187, as duas op~6es serao 
equivalentes. 
c)	 Para valores de venda da maquina antiga superiores a $ 119.187, a empresa deve 
escolher a op~ao 2 e, para valores inferiores, a op~ao 1. 
Exemplo 2.14 
Urn equipamento com custo de aquisi~ao de $ 100.000 tern vida util de 3 anos e valor 
residual que depende do numero de anos de uso: $ 60.000, $ 15.000 e $ 10.000, respectiva­
mente, para 1 ano,2 anos e 3 anos de uso. Os custos operacionais projetados sao de $ 20.0001 
ano, $ 28.000/ano e $ 42.000/ano, respectivamente, para cada ana de opera~ao. Determine 0 
tempo 6timo de substitui~ao, considerando urn custo do capital de 10% ao ano. 
Como 0 equipamento pode funcionar por 1,2 ou 3 anos, estao implfcitas no problema 
tres alternativas mutuamente excludentes de diferente dura~ao. A seguir, calculamos os 
CAEs para as alternativas de substitui~ao do equipamento ao termino do primeiro, do 
segundo ou do terceiro ana de usa: 
CAE, = _1_ x [$100.000 + $ 20.000 $ 60.000j' = $ 70.000/ano 
I' ano Q	 1 10 1 10 
1110% " 
CAE,,, = _l_ x [$ 100.000 + $20.000 + $28.00,0 $15.00,OJ = $74.286/ano 
.- "no 1,10 (1,10t (1,10tQ 2110 % 
CAE =_1_ [$100000 $20.000 $28.000 $42.000 _ $10.000J=$664961
"" x,. + + , + _ _ . ana 
.'- "no I 1,10 (l,l0t (1,10)' (1,10rQ31I0% 
Como 0 menor CAE e dado no terceiro ano, sera esse 0 periodo atimo de substitui~ao 
do equipamento. 
:1 
Melodos e crilerios de decisao ... , 57 
Exemplo 2.15 
Uma empresa de energia eletrica planeja a constru~ao de uma linha de transmissao. As 
informa~6es levantadas pela gerencia de obras sao mostradas no Quadro 2.17. 
Quadro 2.17 Informa~oes relativas ao Exemplo 2.15 
300 
300 
30010.200 
18.000 
12.000 
Perdas de 
energia 
U5$/ano/km 
3.000 
2.125 
1.785 
1.410 
Considerando que a vida econ6mica de linhas de alta tensao e de aproximadamente 25 
anos e que 0 custo do capital e de 20% ao ano, determine a linha mais adequada. 
Calculado 0 CAE para as quatro alternativas, como apresentado no Quadro 2.18 a 
seguir, tem-se que a escala atima e de 110kW, porque tern 0 menor CAE. 
Cilculo do CAE para as quatro alternativas de que trata 0
·"W'f" 
Exemplo 2.15 
4.487 
4.998 
4.510 
5.348 
3.300 
2.425 
2.085 
1.710 
8.400 
10.200 
12.000 
18.000 
Investimento 
"(Custos de manuten~ao + Perdas), + [ ,;' 1 
(1,20)' -1 I 
(1,20)" x 0.20 J 
r
58 ! Enoenharia economica 
Exemplo 2.16 
Uma empresa analisa a viabilidade economica de urn projeto de automa~ao de sua linha 
de produ~ao. 0 projeto consiste, basicamente, em instalar urn equipamento que custa 
$ 80.000 e propiciani uma diminui~ao de custos da ordem de $ 20.000 por ana (antes de 
1R).O equipamento tern uma vida util de 5 anos, sendo depreciado integralmente nesse 
periodo sem valor residual. A aliquota de 1R (imposto de renda) e de 34%, eo custo do 
capital, 10% ao ano. Analise a viabilidade economica do projeto a partir do fluxo de 
caixa apresentado no Quadro 2.19. 
Quadro 2.19	 Fluxo de caixa para a analise da viabilidade economica do 
projeto de que trata 0 Exemplo 2.16 
Item 
- Investimento de capital 
4.0004.0004.0004.0004.000
-1.360 I -1.3601 -1.360 I -1.360 1-1.360
-16.000 1-16.000 1-16.000 1-16.000 1-16.000 
+ Redu<;ao de custos 20.000 I 20.000 1 20.000 1 20.000 I 20.000 
VPL = _$ 80.000 + $ 18.640 + $ 18.640 + $ 18.640 + $ 18.640 + $ 18.64.0
• (1,10) (1,10)2 (1,10)3 (LlO)4 (1,10)' 
= -$ 9.340 < 0 
_$ 80000 $ 18.640 $ 18.640 $ 18.640 $ 18.640 $ 18.640 0
• . + + ,+ ,+ + . (1 + TIR) (1 + TIR)- (1 + TIR)" (1 + TIR)4 (1 + T1R)) 
=? TIR = 5,32% < 10% 
Por ambos os criterios, VPL e TIR 0 projeto e economicamente inviavel. 
2.7 Alternativas mutuamente excludentes 
A maioria dos investimentos empresariais tende a ser independente, ou seja. a esco­
Iha de urn nao impede a escolha de outro. Contudo. existem circunstancias nas quais as 
alternativas competem entre si em seus prop6sitos especificos - sao as chamadas alter­
; 
J i Metodos e criterios de decisao ... , 59 
nativas mtttuamente excllldentes ou mllttlamente exclllsivas. Se uma for escolhida. as 
outras serao eliminadas por essa (mica decisao. 1sso ocorre, tipicamente, quando sao ana­
Iisadas duas formas alternativas de resolver urn problema. 
Vamos supor que uma empresa esteja analisando tres alternativas de investimento: 
A, Be C. 0 custo do capital adequado e de 9%, e a vida utiI das alternativas e de 7 anos. 
Admitamos que a qualidade das estimativas e a incerteza dos resultados sejam as mes­
mas nos tres casos. As principais informa~6es sobre as tres alternativas sao apresentadas 
no Quadro 2.20. 
Quadro 2.20 Informa~oes sobre as alternativas de investimento A, Bee 
'0 
0' ': 0 
1,35 
1,15 
1,26 
• 
$ 93 I 12,9% 
$192115,5%$ 204 
$ 153 
$ 165 
$ 125 $ 620 
$ 750 
A primeira observa~ao e que as tres alternativas atendem a rentabilidade minima 
desejada (9%), conforme as T1Rs apontam, embora em graus diferentes. A questao, 
agora, e selecionar a melhor delas. Os metodos da TIR e do indice custo-beneffcio favo­
recem a alternativa A; entretanto, do ponto de vista do VPL, a alternativa C e claramente 
a melhor. Caso apenas uma alternativa pudesse ser escolhida, isso favoreceria a alterna­
tiva C, que apresenta 0 maior VPL, apesar de ser uma alternativa mais cara e de sua 
capacidade de gerar valor por unidade monetaria investida (fndice C/B) ser urn pouco 
menor que 0 da alternativa A. 
E consistente a escolha da alternativa C, conforme determina 0 metodo do VPL? 
Urn procedimento usual na sele~ao e na compara~ao dos aspectos economicos de 
alternativas mutuamente excludentes e examinar 0 beneficio que se obteria com uma 
mudan~a de investimentos menores para maiores. Em nosso exemplo, 0 investimento adi­
cional ou incremental de passar da alternativa A para aBe de $ 140 (de $ 480 para $ 620). 
mas ele reduz 0 VPL em $ 77 (de $170 para $ 93). 0 que nao e economicamentedesejavel. 
de modo que descartamos a alternativa B. Por outro lado, mudando da alternativa A para 
a C,o investimento incremental adicional necessario e de $ 270 (de $ 480 para $ 750), 0 que 
aumenta 0 VPL em $ 22 (de $ 170 para $ 192).0 retorno desse investimento adicional ou 
incremental excede a rentabilidade desejada pela empresa, pois sua T1R e de 11.16%. Caso 
a empresa nao disponha de outras possibilidades de aplica~ao (em igualdade de condi~6es) 
capazes de trazer urn retorno maior que 11.16%, a alternativa C sera a preferivel. Desse 
modo, podemos ver que. caso a analise se baseie na T1R do fluxo incremental resultante da 
mudan~a de uma alternativa a outra. entao a sele~ao sera consistente com a escolha deter­
minada pelo metoda do VPL. Em geral. os problemas em or~amenta~ao de capital estao 
60 I Engenharia economica 
mais ligados a sele~ao de uma ou mais alternativas dentre urn conjunto de alternativas 
disponiveis, envolvendo uma compara~ao que da origem ao problema da escolha. 
2.7.1	 Problemas da TIR na sele~ao de alternativas mutuamente 
excludentes 
o metodo da TIR possui a vantagem de expressar os resultados em termos percen­
tuais facilmente comparaveis. Em rela~ao ao VPL, que fornece urn valor monetario, 0 
metoda da TIR nos brinda com uma porcentagem, 0 que e mais compreensivel para a 
maioria dos tomadores de decisao. Contudo, a TIR apresenta uma serie de limita~oes e 
contradi~oes que devem ser compreendidas se quisermos usa-la corretamente como 
metodo decisorio na sele~ao de alternativas de investimento. A seguir, analisaremos a 
problematica implicita no usa desse metoda na analise de alternativas de investimento. 
o problema do reinvestimento 
Urn problema ou limita~ao da TIR e conhecido como problema do reinvestimento. 
No intuito de explica-Io, recorremos as alternativas ReS, apresentadas no Quadro 2.21. 
Quadra 2.21 Informa~oes sobre as alternativas ReS relativas ao problema do 
reinvestimento 
Alternativa In 
R 
-15 25 67% 
S 
-25 40 60% 
A Figura 2.2, mostra a rela~ao funcional entre 0 VPL das alternativas e 0 custo 
do capital. 
VPL 
$15 
$ 10 
Custa da capital (K) 
Figura 2.2 Rela~ao funcional entre 0 VPl das alternativas ReS e 0 custo do capital. 
50% 60% 67% 
I Metodos e criterios de decisao.. I 61 
o ponto em que as duas curvas se entrecortam (50%) e conhecido como taxa 
incremental de Fisher, em homenagem ao grande economista Irving Fisher, urn dos 
primeiros a abordar 0 conflito que surge quando se avaliam projetos mutuamente 
excludentes. Se aplicassemos 0 metodo da TIR como criterio de decisao, a alternativa 
R seria selecionada, pois tern a maior TIR. Entretanto, pelo criterio do VPL, a sele~ao 
dependera de 0 custo do capital ser maior ou menor que a taxa incremental de Fisher ­
se for menor, 0 projeto S sera preferivel; caso contrario, 0 preferivel sera 0 projeto R. 
Como 0 custo do capital e de 10%,0 projeto S sera 0 escolhido, porque, para essa taxa, 
temos que VPLs >VPLR . 
Constata-se que, na ordena~ao de projetos mutuamente excludentes, a TIR pode 
conduzir a uma sele~ao inconsistente e contraditoria em rela~ao ao metodo do VPL. 
Essa divergencia se explica, entre outros motivos, porque cada metodo considera de 
maneira diferente_o reinvestimento dos fluxos de caixa gerados pelo projeto ao longo 
de sua vida util. 'b questao e: quanta renderao as entradas de caixa decorrentes do 
projeto ao ser subseqiientemente reinvestidas em outros projetos de risco identico? A 
TIR, implicitamente, considera que esses fluxos renderao a propria TIR. Ora, nao ha 
por que imaginar que as fluxos de caixa de urn projeto com TIR de 15% nao possam 
ser reinvestidos senao a 15%. Do ponto de vista da racionalidade economica, e pouco 
realista admitir que os fluxos de caixa gerados pelo projeto tenham de ser reinvestidos 
necessariamente a propria TIR. 
Se for corretamente estimado, 0 custo do capital pode ser usado como taxa de retor­
no exigida para 0 projeto, ja que as for~as competitivas assegurarao que, no longo prazo, 
essa taxa seja igual a taxa de retorno esperada do projeto. Assim, no longo prazo, os flu­
xos de caixa gerados pelo projeto renderao 0 custo de oportunidade do capital e 'nao a 
TIR. Podemos admitir que, pelas suposi~oes implicitas no reinvestimento dos fluxos de 
caixa gerados pela projeto, 0 VPL seja urn metoda mais adequado que a TIR, pois leva a 
crer que os fluxos renderao a custo de oportunidade do capital. Dessa maneira, a racio­
nalidade economica por tras da suposi~ao sabre reinvestimento e mais consistente e 
realista no metodo do VPL que no metodo da TIR. Por ser muito controvertida essa 
questao do reinvestimento implicita no metodo da TIR, que supoe que as fluxos sejam 
reinvestidos a propria TIR, 0 exemplo seguinte pretende esclarecer ainda mais 0 assunto. 
Vamos supor que uma alternativa de investimento tenha 0 fluxo de caixa liquido 
como apresentado no Quadro 2.22. 
Cuadra 2.22	 Fluxo de caixa Iiquido para a analise da questaodo reinvestimento 
implleita no metodo da TIR 
"JitiIIIf;: 
-10.000 
Receitas 15.762 I 15.762 
_ I -10.000 [ -10.000 
11"".1~-10.000 I 5.762 1 5.762 
r
 
62 ! Engenharia econ6mica 
Podemos calcular a TIR a partir da seguinte equa"ao:
 
_$ 10.000 + $ 5.762 + $ 5.762 = 0
 
=? TIR= 10% 
(l+TIRr (1+TIR)2 
Se 0 capital aplicado ($ 10.000) render a TIR (10%), ao termino do primeiro ana teremos: 
$ 10.000 x 1,10 = $ lLOOO 
Se retirarmos 0 lucro (fluxo de caixa) ganho no primeiro ano, 0 capital remanescente sera: 
$ lLOOO - $ 5.762 = $ 5.238 
Se esse capital remanescente ($ 5.238) continuar rendendo a TIR (10%), ao terminG 
do segundo ana teremos: 
$ 5.238xl,10=$ 5.762 
Se retirarmos 0 lucro (fluxo de caixa) ganho no segundo ano. 0 novo capital rema­
nescente sera: 
$ 5.762 - $ 5.762 = 0 
Esse exemplo mostra que a TIR considera somente 0 dinheiro que fica reaplicado 
no projeto, e esse dinheiro rende a pr6pria TIR. 
o problema na sele~ao de projetos mutuamente excludentes de escala diferen­
te: taxa incremental de Fisher 
o Quadro 2.23 apresenta duas alternativas mutuamente excludentes, P e Q, de 
mesma escala (igual investimento) e de mesma dura"ao (somente urn perfodo). 
Quadra 2.23 Alternativas P e Q mutuamente excludentes 
__ Investimento ($) ~ VP[ (10%) ($) 
_ -10 I 20 I 100% 8,18 
_ -10 I 35 I 250% I 21,82 
Calculo do valor presente liquido das alternativas 
VPLp = -$ 10 + $ 20/1,10 = $ 8,18 > 0 
VPLo = -$ 10 + $ 35/1,10 = $ 21,82 > 0 
Melodos e crilerios de decisao ... ! 63 
Calculo da taxa interna de retorno das alternativas 
-$ 10 + $ 20/(1+TIR) =0 =? TIRp = 1,00 = 100% > 10% 
-$ 10 + $ 35/(1+ TIR) =0 =? TIRo = 2,50 =250% > 10% 
Se forem independentes e se nan houver restri"oes de capital, ambas as alternativas 
serao aceitas tanto pelo criterio do VPL quanta pelo da TIR, dado que os VPLs sao posi­
tivos e as TIRs excedem 0 custo do capital. Entretanto, como as alternativas sao mutua­
mente excludentes, devemos escolher somente uma delas. Vejamos qual: 
• Pela TIR: (TIRo = 250 %) > (TIRp = 100%) =? selecionar Q 
• Pelo VPL: (VPLo = $ 21,82) > (VPLp = $ 8,18) =? selecionar Q 
Dado que a escala e 0 timing das alternativas sao similares, os dois criterios coinci­
dem na escolha da alternativa Q. Entretanto, 0 uso da TIR pode levar a inconsistencias 
decis6rias na escolha entre alternativas mutuamente excludentes de tamanho (escala) 
diferente. Como a TIR tern seus resultados expressos em termos relativos (porcentagem), 
tende a favorecer alternativas de menor escala, que possuem rnais chances de produzir 
urn retorno percentual maior que as alternativas de maior escala. Para podermos obser­
var esse problema, 0 Quadro 2.24 mostra as alternativas P (pequeno) e G (grande) de 
escalas (investimento) diferentes. 
Alternativas PeG, em que G apresenta maior escala de investimento"'S"W 
Alternativa 
-­8,18 
Nota-se que, quando a escala das alternativas nao e a mesma, ocorre urn conflito 
entre os dois metodos de sele"ao. Pela TIR seria aceita a alternativa P, enquanto pelo VPL 
seria a alternativa G. De modo geral, 0 VPL e 0 metodo a seguir quando ha diferen"a de 
tamanho entre projetos mutuamente excludentes. Contudo, se for 0 caso de aplicar urn 
criterio baseado em porcentagem, uma maneira de evitar essa contradi"ao entre 0 VPL 
e a TIR na compara"ao de alternativas mutuamente excludentes de escala diferente seria 
por meio do uso da TIR do fluxo incremental (TIR do fluxo G-P). tambem chamada taxa 
incremental de Fisher. No presente exemplo, 0 investimento incremental (G-P) apresen­
ta uma taxa interna de retorno (TIRo_p) de 50% que, sendo maior que 0 custo do capital. 
indica que 0 projeto G (alternativa de maior escala) e preferfvel ao projeto P (alternativa 
de escala menor). eliminando-se, dessa maneira. a contradi"ao entre 0 VPL e a TIR. 
Analisemos mais explicitamente a abordagem do fluxo incremental ou da taxa 
incremental de Fisher: podemos considerar que 0 projeto G (projeto de maior escala) 
64 I Engenharia economica I 
seja igual a soma do projeto P (projeto de menor escala) com urn projeto hipotetico 
complementar (projeto de tamanho G-P). Logo, se 0 projeto P for justificado economi­
camente (se for provado que TIRp > k), bastani justificar 0 complemento (provar que 
TIRG_p> k) para que se justifique economicamente 0 projeto de maior escala (projeto G) 
e, conseqUentemente, se prefira GaP. 
A amilise anterior mostra que a simples compara~ao entre as TIRs das alternativas 
individuais nos conduz a uma sele~ao inconsistente. A sele~ao devera ser feita pela ana­
lise da taxa interna de retorno do fluxo incremental (TIR6_p). Na prcitica, 0 processo se 
resume a observar se a TIRG_pe ou nao maior que 0 custo do capital. No caso de fluxos 
negativos iniciais seguidos de fluxos positivos (caracteristica dos projetos de investimen­
to), se a TIRG_p for maior que 0 custo do capital, a alternativa de maior escala sera pre­
ferivel; caso contrario, 0 sera a de menor escala. Para fluxos positivos iniciais seguidos de 
fluxos negativos (caracterfstica dos projetos de financiamento), a analise sera inversa. 
o problema da distribuif;ao dos f1uxos de caixa no tempo 
Quando os fluxos de caixa de duas alternativas mutuamente excludentes se distri­
buem de modo diferente no tempo, pode surgir uma contradi~ao entre os metodos do 
VPL e da TIR. Tal contradi~ao se deve as suposi~6es implicitas nos dois criterios em 
rela~ao a taxa de reinvestimento. No Quadro 2.25, as alternativas mutuamente excluden­
tes X e Y tern a mesma escala (investimentos iguais), mas seus fluxos de caixa sao distri­
bufdos de modo diferente no tempo. Em X, as entradas de caixa estao rnais concentradas 
no final, enquanto em Y, concentram-se mais no infcio. 
Quadra 2.25	 Alternativas X e Y mutuamente excludentes e na mesma escala de 
investimento 
Alternativa 
-100,00 20,00 120,00 17,36 20,00% 
-100,00 I 100,00 31,25 16,74 I 25,00% 
_ 0,00 I -80,00 88,75 0,62 1 10,94% 
Observa-se que 0 VPL e a TIR levam a resultados diferentes e contradit6rios. A con­
tradi~ao pode ser evitada selecionando-se as alternativas por meio da TIR do fluxo incre­
mental. ou taxa incremental de Fisher (TIR do fluxo X-Y). Como a TIRX_ye maior que 0 
custo do capital (10,94% > 10%). a alternativa X deve ser selecionada. Esse resultado e 
consistente com a escolha do VPL. De modo geral. a regra decis6ria do VPL e a melhor a 
ser seguida quando ha diferen~a na distribui~ao do fluxo de alternativas mutuamente 
excludentes. Entretanto. ha que se considerar que 0 VPL nao revela muita coisa a respeito 
da rentabilidade das alternativas. ja que duas alternativas podem ter 0 mesmo VPL e uma 
delas representar urn investimento substancialmente maior em rela~ao a outra. Vejamos, 
por exemplo, as alternativas mutuamente excludentes A e B do Quadro 2.26. 
I	 Metodos e criterios de decisao ... I 65 
Quadra 2.26	 Alternativas A e B mutuamente excludentes e com 0 mesmo VPl 
1 VPl (10%) ($) 
+9,09 
+9,09 
20,00% 
10,10% 
Notemos que a alternativa A requer urn investimento muito menor que a B, mas os 
VPLs sao os mesmos. Esse exemplo mostra que ambas terao de ser vistas e analisadas 
diferentemente, 0 que nos permite concluir que a aplica~ao do VPL nao da por encerra­
da a discussao sobre analise e sele~ao de alternativas de investimento, embora nos pro­
porcione urn s6lido ponto de partida. 
o problema das multiplas taxas internas de retorno 
De acordo com 0 comportamento de seu fluxo de caixa, os projetos podem ser divi­
didos em projetos de fluxo convencional e projetos de fluxo niio convencional. Os projetos 
de fluxo convencional caracterizam-se por apresentar urn fluxo negativo inicial (desem­
bolso inicial) seguido de urn ou mais fluxos positivos, por exemplo: - + + + +. Os de fluxo 
nao convencional tern fluxos positivos e negativos de maneira alternada, por exemplo: 
- + + - - -. Uma dificuldade com 0 metoda da TIR deriva do fato de que, ao contrario 
do que parece, a TIR pode nao ser tinica quando 0 fluxo de caixa e do tipo nao conven­
cional, porque, nesse caso, podem ocorrer mtiltiplas taxas internas de retorno, como 
resultado da regra cartesiana: 0 mtmero de mizes reais positivas de um polin6mio e, no 
maximo, igual ao numero de mudanqas de sinal verificadas na seqiiencia de coeficientes do 
polin6mio. Isso equivale a dizer que 0 ntimero de TIRs associadas a uma seqUencia de 
fluxos de caixa e, no maximo, igual ao ntimero de mudan~as de sinal verificadas nessa 
seqUencia. Assim, e possfvel, ate meSillO, encontrarmos fluxos de caixa que resultam em 
rafzes imaginarias, sem nenhuma interpreta~aoecon6mica possfvel ou valida. 
Lorie e Savage l foram uns dos primeiros autores a levantar esse problema com a 
TIR, assinalando que, dentro de certas condi~6es, 0 perfil do fluxo de caixa pode apre­
sentar uma evolu~ao que dificulta a aplica~ao da TIR como criterio decis6rio. Esses 
autores tomam como ilustra~ao 0 exemplo classico da substitui~ao de uma esta~ao de 
bombeamento de petr6leo atualmente em uso por outra mais potente, que permite uma 
extra~ao mais rapida das reservas petroliferas do campo explorado. Urn exemplo com 
valores poderia ser 0 seguinte: a realiza~ao da substitui~aoexigiria urn desembolso inicial 
de $ 1.600 e permitiria esgotar 0 len~ol do campo de petr6leo em urn tinico ano, obtendo­
se uma entrada liquida de caixa da ordem de $ 20.000, enquanto a nao-realiza~ao do 
projeto nao levaria a nenhum novo investimento, permitindo 0 esgotamento do len~ol 
em dois anos e proporcionando, em cada urn desses dois anos, entradas de caixa da ordem 
de $ 10.000 por ano. 0 Quadro 2.27 a seguir mostra as duas alternativas com seus fluxos 
de caixa e, tambem, 0 fluxo incremental. 
I	 LORIE. J.H. e SAVAGE.L.J. "Three problems in rationing capital". Joumal of Business. 28. 4. out. 1955. 
p.229-239. 
66 I Engenharia economica 
Cuadro 2.27 Fluxo de caixa e fJuxo incremental para as alternativas com e sem 
substitui.;:ao da esta.;:ao de bombeamento de petroleo 
Como as duas alternativas, substituir e nao substituir, sao mutuamente excludentes, 
aparentemente qualquer divergencia e contradi«ao na sele«ao entre os metodos do VPL 
e da TIR seria evitada calculando-se a TIR do fluxo incremental (TIRc_)' Calculemos, s
entao, essa taxa: 
VPL = -$ 1.600 + $ 10.000 $ 10.000 = 0 
(1 + TIRc_ (1 +TIR )2s) C_S 
$ 1.600(1 + TIRC_S )2 - $ 10.000(1 + TIR _ )+ $ 10.000 = 0c s
A forma geral dessa equa«ao quadnitica e aX" + bX + c e sua resolu«ao e a seguinte: 
X = (1 +TIR _ ) = -b ± .Jb" -~ = -( -10.000) ± ~( -10.000)2 - 4 x 1.600 x 10.000 
c s 2a 2 x 1.600 
10.000 ± 6.000 
3.200 =? TIRc_s = 25% e TIRc_s = 400% 
Percebem-se duas taxas internas de retorno: 25% e 400%. Qualdas duas deve ser 
usada como TIR? Se 0 custo do capital for de 10%, podemos concluir que 0 projeto e 
rentavel? A primeira vista, sim, uma vez que as duas TIR sao superiores a essa taxa; 
entretanto, a essa taxa, 0 VPL seria -$ 773,55, indicando que 0 valor da empresa se redu­
ziria se 0 projeto fosse realizado. Dessa maneira, a ado«ao da TIR, mesmo do fluxo incre­
mental, nao parece ser muito indicada quando nos defrontamos com fluxos suscetiveis 
apresentando multiplas TIRs. Esse tipo de insuficiencia relativa ao criterio da TIR levou 
varios autores a propor pura e simplesmente a ado«ao do criterio do VPL sempre que 
surgir 0 caso de TIRs multiplas. Outros autores como Teichroew, Robichek e Montalbano" 
e Solomon3 tentaram resgatar 0 metodo da TIR nesse tipo de situa«ao, propondo deter­
minados procedimentos, mas a fraca racionalidade econ6mica e a grande dose de subje­
tividade de tais metodos desaconselham seu uso: 
TEICHR0EW. D.: ROBICHEK. A. e MONTALBANO. M. "MathematicnI analysis of rates of return under 
certainty". Mallagel11e1lt Sciellce. jan. 1965. 
SOLOMON. E. "The arithmetic of capital bUdgeting decisions". JOlll'llol of BlIsilless. abr. 1956. 
, Foi proposta a TIR modificada (TIRM). calculada trazendo-se para valor presente os fluxos negativos e para 
valor futuro. os positivos. Para atualizar os fluxos. esse criterio exige a estipula<;ao de taxas de financiamento 
e de reinvestimento que acrescentem subjetividades adicionnis a analise. 0 que diminui ou anula qualquer 
ganho propalado por seus defensores. 
I Metodos e criterios de decisao ... i 67 
Podemos, ainda, encontrar flux os com TIR indefinida, como, por exemplo, a TIR do 
fluxo +100; -200; +150: 
100 _ 200· + 150 = 0 
(1 +TIR) (1 +TIR)" 
100(1 +TIR)" - 200(1 +TIR) +150 = 0 
Fazendo X = (1 +TIR): 
100X2- 200X +150 = 0 
Resolvendo a equa«ao quadratica do tipo aX" + bX + C = 0, temos: 
X = -b±.Jb" -4ac = -( -200)±~(-200)2 -4x100x150 200 ± ')-20.000 
2a 2 x 100 200 
X = 1±.J-0,5 
(1 +TIR) =1± .J-0,5 =? TIR =±.J-0,5 
A TIR encontrada e urn numero imaginario, portanto, inconsistente para 0 prop6­
sito de analise econ6mica e sele«ao de alternativas de investimento, mas 0 problema nao 
termina ai. Nas alternativas A e B do Quadro 2.28, presenciamos duas mudan«as d~ sinal; 
entretanto. encontramos somente uma TIR para cada uma delas - devemos nos lembrar 
de que 0 nl1mero de mudan«as de sinal no fluxo de caixa indica 0 numero maximo de 
TIRs, mas nao necessariamente 0 numero real de TIRs. 
Cuadro 2.28 Fluxo de caixa das alternativas A e B com mudan.;:a de sinal 
Alternativa 
1.400 
400 
-100 
400 -100 500 
32,45% 
8,07% 
Exemplo 2.17 
Considerando urn custo do capital de 12% ao ano, avalie, pelos metodos do VPL, da 
TIR e da TIR incremental, as alternativas mutuamente excludentes de urn perfodo de 
dura«ao, apresentadas no Quadro 2.29. 
37,98% 
39,50% 
80 
15 I 31,87% 
65 
68 
I ~ 
~ 
, 
Avaliat,;ao pelo metodo do VPL 
VPL =-$10.000 + $12.000 =$71429 VPL = A	 1,12' 
B 
Como VPLB > VPLA =? selecionar B 
Avaliat,;ao pela TIR das alternativas 
TIR = $ 12.000 -1 = 20% TIR = $ 17.700 1=18%A $ 10.000	 B $ 15.000 
Como TIRA > TIRB =? selecionar A 
A selec;ao pela TIR indica a dominancia da alternativa A. mas percebe-se que essa esco­
lha seria inconsistente e contradit6ria em relac;ao adada pelo VPL. 
Se a TIR for calculada sobre 0 fluxo incremental (B-A), a sele<;ao determinada pelos 
dois criterios, VPL e TIR, sera a mesma. 
A TIR do fluxo incremental e a seguinte: 
TIR B A = $ 5.700 -1 = 14% > (k = 12%) =? selecionar B 
- $ 5.000 
Como a TIR do fluxo incremental (TIRB_A ) e maior que 0 custo do capital. a alternativa 
de escala maior (B) domina a de escala menor (A). Observe que 0 fluxo incremental 
pode ser visto tambem como urn projeto de investimento. pois e efetuado urn desem­
bolso inicial de $ 5.000 no ano 0, seguido de urn recebimento de $ 5.700 no ana 1. Assim, 
a TIRB_A representa a rentabilidade efetiva desse projeto de investimento. Se essa taxa 
for maior que 0 custo do capital, a alternativa B dominara a alternativa A. Podemos 
concluir que, se a analise for realizada com base na TIR do fluxo incremental, a selec;ao 
sera consistente com a selec;ao determinada pelo VPL. 
! Engenharia economica 
Quadro 2.29 Alternativas A e B mutuamente excludentes de urn periodo de 
durar;ao relativas ao Exemplo 2.17 
-$15.000 + $17.700 = $ 80357 
1,12' 
I Melodos e crilerios de decisao... 69 
Exemplo 2.18 
A urn custo de oportunidade do capital de 10% ao ano, analise as alternativas de inves­
timento mutuamente excludentes A'e B mostradas no Quadro 2.30. 
Quadra 2.30	 Alternativas de investimento A e B mutuamente excludentes 
re/ativas ao Exemplo 2.18 
I VPl (10%) ($) 
38,84 
32,81 
A selec;ao das alternativas A e B pela TIR e pelo VPL e contradit6ria. A TIR seleciona 
a alternativa B, e 0 VPL seleciona a A. Caso a analise seja feita com base na TIR do 
fluxo incremental (TIRA _B), a alternativa selecionada sera a A, pois essa taxa e maior 
que 0 custo do capital (31,87% > 10%). 
Caso a alternativa B seja selecionada, havera urn excedente de capital de $ 20. ($ 100 
- $ 80) que. se aplicado, podera render 0 custo do capital (10%). Admitamos que 
haja tres modalidades diferentes para aplicar esse excedente de $ 20 (modalidade x, 
modalidade y e modalidade w) e que todas elas tenham VPL zero, como se ve no 
Quadro 2.31. 
Quadra 2.31	 Tres modalidades de aplicar;ao do excedente com VPL zero 
I VPL (10%) ($) 
0,0 
0,0 
0,0 
10% 
10% 
10% 
o 
22 
11,5238 
2 
11,5238 
22 
-20 
-20 
-20 
Se a alternativa B for somada a cada uma dessas tres modalidades e a conjunto for 
analisado como uma mesma combinac;ao, teremos tres combinac;6es possiveis apresen­
tadas no Quadro 2.32 a seguir. 
----
?f 
70 I Engenharia economica I 
Quadro 2.32 Soma da alternativa B de que trata 0 Exemplo 2.18 a cada uma 
das alternativas apresentadas no Quadro 2.31 
-20 I 22 I 0 I 10,0% I 0 
I -100 87 Q~~ _ 
Ou seja, nao ha como combinar a altemativa B com as diversas modalidades de aplicar 0 
excedente de $ 20 de maneira que a combina~ao resultante tenha uma rentabilidade supe­
rior ade A (superior a 37,98%). Condufmos, portanto, que a altemativa A e preferivel aB. 
Exemplo 2.19 
A urn custo de oportunidade do capital de 10% ao ano, analise as alternativas mutua­
mente exdudentes T e U apresentadas no Quadro 2.33. 
Quadro 2.33 Alternativas T e U mutuamente excludentes relativas ao 
Exemplo 2.19 
Alternativa Ano 1 ($) Ano 2 ($) 
-3.000 200 2.500 2.300 
_ -3.000 I 0 I 0 I 5.500 
200 
_ a I ':3 2500 8
, • • 0 -2~ -2.500 3.200• 11'1 
I Metodos e crilerios de decisao.. 71 
A alternativa incremental T-U equivale a pedir urn financiamento, pois recebe-se $ 200 
e $ 2.500 no primeiro e no segundo anos, respectivamente, e no terceiro ano paga-se 
$ 3.200 pelo financiamento tornado. Como a TIRT_u representa 0 custo efetivo desse 
financiamento, podemos conduir que, se essa taxa for superior ao custo do capital, U e 
preferivel aT. 
$ 200 $ 2.500 $ 3.200 = 0 TIR = 17 04°;'+ , ,=> T-U ' ° a.a. 
(1 + TIR _ ) (l+TIR _ )- (l+TIRT _ u )T U T u
 
Como (TIR _ = 17,04 %) > 10% => selecionar U
T U 
A analise tambem pode ser feita a partir do fluxo incremental U-T. Nesse caso, 0 fluxo 
equivale a investir, respectivamente, $ 200 e $ 2.500 no primeiro e no segundo anos e a 
receber no terceiro ano $ 3.200 pelos investimentos feitos. Dessa maneira. a TIRu_T 
representa a rentabilidade efetiva desse investimento. Se essa taxa for maior que 0 custo 
do capital, U sera, mais uma vez, preferivel aT: 
$ 200 __$ 2_.5_0_0_ $ 3.200 __ 0 TIR --1704°/
, + ,=> u-T ,/0 a.a. 
(1 + TIR ) (1 + TIR U _T )- (1 + TIRU_T )U_T 
Como(TIRu_T =17,04%) > 10% => selecionar U 
Como podemosver, em ambas as formas de abordar 0 problema (como financiamento 
ou como investimento) chega-se amesma condusao: selecionar a alternativa U. 
Exemplo 2.20 
Usando como criterio a TIR dos fluxos incrementais, selecione a melhor alternativa 
entre A e B. Considere a vida util das alternativas de 5 anos, 0 custo do capital de 10% 
e os custos iniciais de aquisi~ao, custos operacionais anuais e valores de revenda ao 
termino da vida Util como apresentado a seguir. no Quadro 2.34. 
Quadro 2.34 Custos relacionados as alternativas de que trata 0 Exemplo 2.20 
o 
10 
I 
Valor de revenda 
(em t =5) ($) 
-2
-30 
Com as informa~6es fornecidas. podemos montar 0 Quadro 2.35 com os fluxos de caixa. 
72 I Engenharia economica 
Fluxos de caixa das alternativas relativas ao Exemplo 2.20 
Fluxo de caixa 
16,62% 
16,62% 
8 
16 
-8 
-16 
6 
-8 
-2 
-6 
6 
-6 
-2 
-8 
6 
-6 
-2 
-8 
6 
-6 
-2 
-8 
24 
-6 
-24 
-30 
o fluxo B-A pode ser visto como urn projeto de investimento, uma vez que se aplica 
urn capital no ana zero (-$ 24), seguido de fluxos positivos posteriores. 0 fluxo A-B, por 
sua vez, pode ser visto como projeto de financiamento,ja que se levanta urn emprestimo 
no ana 0 (+$ 24), seguido de fluxos negativos posteriores. 
Caso a TIRB_A seja maior que 0 custo do capital, a alternativa que representa 0 minllen­
do sera a melhor: 
• (TIRB_A = 16,62%) ~ 10% ~ selecionar a alternativa B 
Caso a TIRA_Bseja maior que 0 custo do capital, a alternativa que representa 0 sllbtraendo 
sera a melhor: 
• (TIRA_B = 16,62%) ~ 10% ~ selecionar a alternativa B 
Assim, analisando as TIRs incrementais nas duas maneiras possiveis, concluimos que B 
e a melhor alternativa. Chegariamos a mesma conclusao usando 0 custo anual equiva­
lente como criterio de sele<;ao: CAEB = $ 8,28/ano < CAEA = $ 9,58/ano. 
2.8	 Ranking e selec;ao de alternativas de investimento: 
racionamento de capital 
A hierarquiza<;ao de urn conjunto de alternativas de investimento pode ser tratada 
sob duas situa<;6es: a primeira, referindo-se ao caso em que nao ha restri<;ao de capital no 
financiamento da carteira de projetos, e a segunda, ao caso em que existe restri<;ao na 
disponibilidade de capitais. No caso da nao-existencia de restri<;ao de capital, os projetos 
podem ser hierarquizados pelo VPL; por outro lado, havendo restri<;ao de capital ou 
financiamento limitado, nao e possivel usar somente esse metodo, fazendo-se necessaria 
alguma medida que incorpore 0 volume de investimento realizado. Nessa situa<;ao, os 
projetos devem ser ordenados de acordo com 0 Indice de rentabilidade, pois 0 que inte­
ressa, dadas as restri<;6es de capital existentes, e maximizar a rentabilidade por unidade 
monetaria investida. Urn modo de calcular esse indice e dividindo 0 VPL pelo investi­
mento inicial. Outro modo e dividindo 0 valor presente dos fluxos de caixa liquidos 
I Metodos e criterios de decisao ... I 73 
(excluido 0 investimento inicial) pelo investimento inicial. Em qualquer caso, a regra de 
decisao sera pre-selecionar todos os projetos com VPL positivo e, a seguir, escolher os de 
maior Indice de rentabilidade. Essa regra e valida apenas para projetos independentes, ja 
que a existencia de rela<;6es entre elesimpora restri<;6es adicionais as de capital, as quais 
terao de ser analisadas em urn contexto de carteiras e de programa<;ao matematica. 
Exempla 2.21 
o Quadro 2.36 a seguir mostra tres alternativas: A, B e C. 
Cuadra 2.36	 Alternativas A, Bee relativas ao Exemplo 2.21 
5 
20 
15 
Selecione a melhor alternativa, considerando urn custo do capital de 10% e urn c.apital 
total de $ 10 disponivel para investimento. Efetue a analise sob as hip6teses de haver e 
de nao haver restri<;ao de capital. 
a) Com restri<;ao de capital 
o Quadro 2.37 a seguir mostra 0 VPL e 0 indice de rentabilidade das alternativas. 0 
indice e calculado dividindo-se 0 VPL pelo investimento inicial efetuado no ana zero: 
Cuadra 2.37	 VPL e fndice de rentabilidade das alternativas A, Bee de que 
trata 0 Exemplo 2.21 
',.•.. , .... 
214% 
321% 
239% 
Quando ha restri<;ao de capitaL ou seja, quando 0 capital a ser gasto esta limitado aos recur­
sos disponiveis ($ 10), as altemativas devem ser ordenadas pelo indice de rentabilidade. 
Nesse caso, selecionamos as altemativas B e C. nessa ordem. Juntas. elas requerem urn 
investimento total de $ 10, que se enquadra na restri<;ao de capital ($ 10). 
---
--
--
74 I Engenharia econ6mica I 
b) Sem restri<;ao de capital 
Caso as alternativas sejam mutuamente excludentes e nao exista restri<;ao de capital, 0 
indice de rentabilidade nao deve ser usado na sele<;ao. Nesse caso, epossivel selecionar 
a combina<;ao (carteira) de alternativas que tenha 0 maior VPL. 0 seguinte Quadro 2.38 
mostra tres combina<;oes possiveis, seu VPL e seu indice de rentabilidade. 
Quadro 2.38 Tres combina<;oes possiveis para as alternativas de que trata 0 
Exemplo 2.21 
Alternativa Ano 0 
($) 
. . ., , ..I."
-$ 15 I $ 35 
-$15 1$35 
-$ 10 I $ 10 
$ 25 
$ 20 
$ 35 
$ 37,47 
$ 33,34 
$ 28,01 
250% 
222% 
280% 
A combina<;ao selecionada seria A + B, que tern 0 maior VPL e requer urn investimen­
to inicial total de $ 15. Repare que, nessa situa<;ao, 0 usa do indice de rentabilidade nao 
teria sido apropriado, pois indicaria a combina<;ao B + C, que nao maximiza 0 VPL. 
Exemplo 2.22 
Vma empresa tern urn custo do capital de 8% e considera as alternativas de investimen­
to apresentadas no Quadro 2.39 como candidatas a integrar sua carteira de projetos. 
Quadro 2.39 Alternativas candidatas a integrar a carteira de projetos de que 
trata 0 Exemplo 2.22 
580 1.600 2.000 --l- 3.000 
3.000 4.000 6.000 
4.000 4.000 4.000 4.000 
5.000 5.000 5.000 
6.000 6.000~ 
I Melodos e crilerios de decisao. ~ 
Quadro 2.39 Continua<;ao 
-5.000 
-6.000 
1.000 
2.000 
4.500 
2.000 3.000 3.000 
Pergunta-se: 
a) Que projetos serao selecionados se nao houver restri<;ao de capital? 
b) Que projetos serao selecionados se 0 capital disponivel for de apenas $ 24.000? 
No Quadro 2.40 a seguir, os projetos sao ordenados pelo VPL e por seu [ndice de 
rentabilidade. 
Quadro 2.40 Projetos relativos ao Exemplo 2.22 ordenados por VPL e indice 
de rentabilidade 
Indice de Investimento 
rentabiJidade acumulado ($) 
14,04% 
9,70% 
-
7,38% 
-4,32% 
35,88% $ 6.000 
== 33,75% $ 14.000 
32,49% $ 24.000 
Ilnvestimento Projetos I 
a)	 Sem restri<;ao de capitaL somente 0 projeto F deve ser rejeitado por ter urn VPL < 0; 
todos os outros seriam passiveis de aceita<;ao. 
b)	 Existindo restri<;ao de capitaL os projetos devem ser selecionados de acordo com 0 
indice de rentabilidade; assim, todos os projetos com indice de rentabilidade supe­
rior ao custo do capital (8%) podem ser aceitos. Contudo. dado que 0 capital esta 
limitado a $ 24.000. somente serao aceitos os projetos G. E e C. 0 indice de rentabi­
lidade foi calculado dividindo-se 0 VPL pelo investimento inicial e multiplicando-se 
o resultado por 100. 
1	 I Metodos e criterios de decisao... 7776	 I Engenharia economica 
2.9	 limita~oes do VPl na analise de projetos com 
flexibilidades estrab~gicas e gerenciais 
Por sua dificuldade em capturar a flexibilidade de adaptar e revisar decisoes futuras 
em resposta aos cenarios futuros, 0 VPL e criticado porque assume implicitamente urn 
'cenario esperado' de fluxos de caixa, presumindo urn comportamento passivo do gestor 
e uma estrategia operacional estatica, como iniciar urn projeto de imediato e opera-lo 
continuamente ate 0 final de sua vida util esperada. Esse pressuposto, porem, nao se 
confirma na realidade. em que existem mudan.;as, incertezas e intera.;oes competitivas. 
Conforme novas informa.;oes chegam ea incerteza sobre 0 mercado vai se desfazendo, a 
gerencia tern chances valiosas de alterar a estrategia de opera.;ao iniciaL podendo capi­
talizar oportunidades ou reagir para evitar perdas. E possivel, por exemplo, tomar deci­
soes de diferir, e'xpandir, contrair ou abandonar 0 projeto, entre outras. 
Alguns autores sugerem uma adapta.;ao do criterio do VPL tradicional (chamado 
tambem de estatico ou passivo), adicionando-lhe 0 valor das flexibilidades gerenciais. 
a VPL com essas adi.;oes e chamado de VPL expandido ou VPL estrategico. Na mesma 
dire.;ao, outros autores ressaltam a importancia da irreversibilidade e da possibilidade 
de adiamento na maioria dos investimentos do mundo real. Uma literatura cada vez 
mais extensa tern mostrado que a habilidade de adiar urn investimento irreversivel 
pode afetar profundamente a decisao de investir, 0 que mina a teoria do VPL tradicio­
nal e, conseqiientemente. 0 fundamento te6rico do padrao de modelos neoclassicos de 
investimento. 
Varios autores salientam que a possibilidade de adiar 0 momenta do investimen­
to acrescenta valor ao projeto: todavia. manter viva a op.;ao de investimento depende­
ra de valer ou nao a pena mata-la. investindo no projeto. a custo de oportunidade de 
investir, acrescido do valor de manter a op.;ao de investimento viva, pode ser alto, e 
regras ou criterios de investimento que ignorem isso podem estar errados. Como esse 
custo de oportunidade e altamente sensivel aincerteza sobre 0 valor futuro do projeto, 
se mudarem as condi.;oes econ6micas que afetam 0 risco e aumentar a volatilidade dos 
fluxos de caixa, isso podera ter grande impacto no dispendio do investimento, mais 
forte, por exemplo, que 0 de uma mudan.;a na taxa de juros ou na polftica tributaria. 
Tal sensibilidade diferenciada pode ajudar a explicar por que a teoria neoclassica de 
investimentos, que tern como base 0 VPL. tern fomecido previsoes excessivamente 
otimistas da efetividade da taxa de juros e de polfticas de impostos que visam estimular 
investimentos. 
A teoria classica da or.;amenta.;ao de capital manda rejeitar projetos com VPL 
negativo. mas. muitas vezes, as flexibilidades inerentes ao projeto podem tomar 0 
VPL positivo. tomando 0 projeto atrativo. A mensura.;ao dessas f1exibilidades e as regras 
de investimento sao tratadas pela teoria das opc;oes reais. 
I j 
2.10 Exerdcios propostos 
Pede-se:1.	 Calcule a taxa interna de retorno (TIR)
 
para as seguintes alternativas: a) calcule a TIR da alternativa A:
 
bl calcule a TIR do fluxo incremental A-B: 
Fluxo de caixa ($) c) calcule 0 VPL das alternativas e do 
fluxo incremental: 
d) identifique. pela analise do fluxo incre­
mental. qual e a alternativa preferfvel. 
Considere as seguintes alternativas mutua­
-
mente excludentes: 
6. 
-1.000 
-100 700 -1.200
100 -200 150
400 
-
400 
-600700
-200 
2.	 Calcule a TIR de urn projeto que requer
 
urn investimento inicial de $ 2.000.000 e
 
produz urn fluxo de caixa de $ 240.000/
 
ana durante 15 anos.
 
30 
14040 
120
-100 
-100 
3.	 A Riolux instalou urn sistema de gera,>ao de 
Determine a taxa de desconto que torna
energia eletrica a urn custo de $ 30 milhoes. 
as duas alternativas igualmente atrativas Os custos operacionais do equipamento 
para 0 investidor.sao de $ 120.000/mes e sua vida e estima­
da em 15 anos. Considerando que a 7. Uma empresa estuda a possibilidade de
 
empresa deseja obter uma rentabilidade substituir urn equipamento e disp6e
 
minima de 12% ao meso determine 0 custo de duas alternativas mutuamente exclu­
mensal que deve ser repassado aos usmi­ dentes: 0 equipamento N e 0 equipamen­
rios do sistema a fim de cobrir os gastos to V. Os fluxos de caixa estimados sao os
 
operacionais e remunerar adequadamente seguintes:
 
o capital. 
4.	 Uma empresa industrial estuda a viabili­ Fluxo de caixa ($)
 
dade economica de urn projeto de investi­
mento ar,>ado em $ 981.815. Considerando
 
que tal projeto tern dura,>ao prevista de 20
 
anos e que 0 estudo de viabilidade econo­
mico-financeira projetou fluxos de caixa
 
liquidos de $ 100.000 por ano. calcule a
 
TIR do projeto.
 
1.400300 
-~ _~~ 1.000 I 200 
-90 
Considerando urn custo do capital de5.	 Considere urn custo do capital de 10% ao 
10% ao ano. identifique: 
ana e as seguintes alternativas de investi­
mento mutuamente excludentes: a) a melhor escolha pela analise do fluxo 
incremental: 
bl a melhor escolha pela compara,>ao dos 
VPLs individuais das alternativas. 
Uma empresa estuda a troca de uma rnaqui­
na velha par uma nova. Considerando as 
infarma,>oes a seguir. determine se a maqui­
na deve ou nao ser substituida. 
8.