Retas tangentes, taxas de variação e derivada

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INCLINAÇÃO DE UMA RETA TANGENTE 
Quando iniciamos nosso estudo sobre funções, falamos da função polinomial do 1° 
grau, lembram-se? A função cujo gráfico é uma reta e que tem a forma geral ( ) . 
Para determinarmos a equação da função do 1° grau, vimos que era necessário conhecermos 
dois pontos da reta ou o seu coeficiente angular e um ponto pertencente a ela, como no 
exemplo a seguir: 
Ex1.) Determinar a equação da reta que passa pelos pontos ( ) e ( ). 
 Para resolver esta questão, precisamos determinar o coeficiente angular da reta que 
passa pelos pontos dados, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“descoberto” o coeficiente angular, fica “fácil” determinar a equação da reta que passa pelos 
pontos dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Até aqui, nada de novidades, não é mesmo? Mas, como resolveríamos a seguinte questão: 
“Determinar a equação da reta tangente a uma curva no ponto de tangência.” 
Graficamente, a situação é esta: 
 
Para resolver este problema, partimos de uma situação que sabemos resolver que é o 
caso de encontrar a equação da reta que passa por dois pontos: 
Vejam que, neste caso, 
conhecemos apenas UM ponto da 
reta!!!!! Portanto, não temos como 
determinar o coeficiente angular desta 
reta !!!! Pelo menos, não da mesma 
maneira que utilizamos para resolver 
o exemplo anterior. 
Este é um dos problemas 
fundamentais do Cálculo, mais 
especificamente, do Cálculo 
Diferencial, que trata das derivadas de 
uma função. 
 
𝑦 
 
 
𝑥 
8
 
 
2 
 
 
Agora, imaginemos que o ponto seja “móvel” e possa se deslocar ao longo da curva 
 ( ) em direção ao ponto , como no gráfico abaixo, 
 
 
Este conceito está intimamente ligado ao conceito de Taxa de Variação, como 
veremos a seguir. 
 
 
 
        








x
y
P
Q
ret
a s
eca
nte
xQ
yQ
xP
yP xQ - xP
yQ - yP
        








x
y
P
Q
re
ta
 ta
ng
en
te
ret
a s
eca
nte
𝑎𝑠𝑒𝑐 
𝑦𝑄 𝑦𝑃
𝑥𝑄 𝑥𝑃
 
𝑎𝑠𝑒𝑐 
𝑓(𝑥𝑄) 𝑓(𝑥𝑃)
𝑥𝑄 𝑥𝑃
 
Como já vimos anteriormente, 
o coeficiente angular da reta 
que une os pontos 𝑃 e 𝑄 é 
dado pela fórmula, 
Ou, lembrando que 𝑦 𝑓(𝑥), 
(Eq. 1) 
𝑎𝑡𝑔 lim
𝑥𝑄→𝑥𝑃
𝑓 𝑥𝑄 𝑓(𝑥𝑃)
𝑥𝑄 𝑥𝑃
 
Conforme sugere a figura, o 
ponto 𝑄 move-se ao longo da 
curva em direção a 𝑃 se e 
somente se 𝑥𝑄 tende a 𝑥𝑃. 
Assim, a inclinação da reta 
tangente em 𝑃 é 
(Eq. 2) 
3 
 
TAXA DE VARIAÇÃO 
O problema de se encontrar a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função no 
ponto ( ) ( ( )) é matematicamente equivalente ao problema de se calcular 
a taxa de variação de em . Para ver isso, suponha que é uma função que descreve a 
relação de duas quantidades e , isto é, ( ). O número ( ) ( ) 
 ( ) , onde deve-se entender que , mede a variação em que corresponde a 
uma variação em , observemos a figura abaixo, 
 
 
Em seguida, se considerarmos o limite do quociente de diferenças, Eq. 4, quando 
tende a zero, isto é, calculando 
lim
 → 
 ( ) ( )
 
 
(Eq. 5) 
obtemos a taxa de variação instantânea de em relação a . E este limite também fornece o 
coeficiente angular da reta tangente à curva ( ) no ponto , assim como a Eq. 2. 
Na prática, por exemplo, se ( ) mede a posição de um carro no instante , então 
a Eq. 4 nos dá a velocidade média do carro no intervalo de tempo e a Eq. 5 nos dá a 
velocidade instantânea do carro no instante . Alguns outros exemplos: 
 Se for a temperatura de um objeto e for o tempo em minutos, então a Eq. 4 
nos dará a taxa de variação média da temperatura em relação ao tempo e a Eq. 5, 
a taxa de variação instantânea; 
 Se for a altura de uma pessoa e for a sua idade, então a Eq. 4 fornecerá a taxa 
de variação média da altura em relação à idade desta pessoa em um determinado 
        








x
y
f(x+h)
f(x)
x x+h
h
f(
x
+
h
)-
f(
x
)
P
Q
𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥)
 
 
Assim o quociente de 
diferenças 
(Eq. 4) 
mede a taxa de variação 
média de 𝒚 em relação a 𝒙 
no intervalo 𝑥 𝑥 . 
Este quociente, assim 
como o quociente da Eq. 1, 
fornece o coeficiente 
angular da reta secante 
que passa pelos pontos 
𝑃 𝑒 Q. 
4 
 
período de tempo e a Eq. 5 fornecerá a taxa de variação instantânea da altura da 
pessoa em relação à sua idade. 
Exercícios: 
Nos exercícios abaixo, é dada uma função ( ) e os valores e . 
a) Ache a taxa de variação média de em relação a no intervalo . 
b) Ache a taxa de variação instantânea de em relação a no valor dado. 
c) Ache a taxa de variação instantânea de em relação a em um ponto genérico 
 
d) Esboce o gráfico de ( ) bem como as retas secante e tangente cujas 
inclinações são dadas pelos resultados das partes a) e b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
No exercício abaixo, é dado uma função e um valor . 
a) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico de em um ponto genérico 
b) Use o resultado da parte a) para achar a inclinação da reta tangente no valor dado. 
 
1. ( ) 
 
5 
 
Função Derivada 
Vimos que se o limite 
lim → 
 ( )
 
 Eq. (1) 
existe, então podemos interpretá-lo como a inclinação da reta tangente à curva ( ) no 
ponto . Esse limite pode ser reescrito da seguinte maneira, 
lim → 
 ( ) ( )
 
 Eq. (2) 
Com esta nova notação, o exemplo a seguir pode ser assim resolvido: 
 Determinar o coeficiente angular da reta tangente à curva ( ) num ponto 
genérico ( 
 ). 
lim
 → 
 ( ) ( )
 
 lim
 → 
( )
 
 
 
 
 lim
 → 
 
 
 
 
 
 
 lim
 → 
 
 
 
 
 lim
 → 
 ( )
 
 lim
 → 
( ) 
Vejam que, agora, podemos utilizar a fórmula geral para calcular o coeficiente 
angular da reta tangente em qualquer ponto da curva ( ) , simplesmente 
substituindo pelo valor apropriado. Por exemplo, se , então ; se 
 , então . Para generalizar esta idéia, a inclinação da reta tangente 
ao gráfico de ( ) em um ponto geral pode ser obtida colocando-se na última 
fórmula, resultando numa “função que produz coeficiente angulares”, esta função é a 
chamada derivada de ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: A função 𝑓′ definida pela fórmula 
𝑓′(𝑥) lim → 
𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥)
 
 Eq. (3) 
É chamada de derivada de 𝑓 em relação a 𝑥. O domínio de 𝑓′ consiste de todo 𝑥 para o qual 
o limite existe. 
 
Duas interpretações da derivada 
A derivada 𝑓′ de uma função pode ser interpretada ou como uma função cujo valor em 
𝑥 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de 𝑦 𝑓(𝑥) em 𝑥, ou, alternativamente, 
como uma função cujo valor em 𝑥 é a taxa instantânea da variação de 𝑦 em relação a 𝑥 
no ponto 𝑥. 
IMPORTANTE ! 
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Exemplo: 
1) Ache a derivada em relação a de ( ) . 
 
 
 
 
 
 
2) 
(a) Ache a derivada em relação a de ( ) √ . 
(b) Ache a inclinação da reta tangente a √ em . 
 
 
 
7 
 
DIFERENCIABILIDADE 
 Lembre-se de que a derivadade uma função é definida naqueles pontos onde o 
limite da Eq. (3) existe. Esses pontos são chamados pontos de diferenciabilidade para , e os 
pontos onde este limite não existe são chamados pontos de não-diferenciabilidade para . 
 Se é um ponto de diferenciabilidade de , dizemos que é diferenciável em ou 
que a derivada de existe em ; e se é um ponto de não-diferenciabilidade, dizemos que a 
derivada de não existe em . Se é diferenciável em todo intervalo aberto ( ), então 
dizemos que é diferenciável em ( ). Esta definição também se aplica para intervalos 
abertos infinitos da forma ( ), ( ) e ( ) ( neste último caso, dizemos que é 
diferenciável em todo lugar). 
 Geometricamente, os pontos de diferenciabilidade de são aqueles onde a curva 
 ( ) tem uma reta tangente, e os pontos de não-diferenciabilidade são aqueles onde a 
curva não tem reta tangente. De modo informal, os pontos de não-diferenciabilidade mais 
comumente encontrados podem ser classificados como: 
 Picos 
 Pontos de tangência vertical 
 Pontos de descontinuidade 
Observemos as figuras a seguir; 
 
 
 
 
 
 
NOTAÇÃO PARA DERIVADA 
 O processo de encontrar a derivada é chamado de diferenciação. Quando a variável 
independente for , a operação de diferenciação é frequentemente denotada por 
 
 
 ( ) . Assim, as derivadas obtidas nos últimos exemplos podem ser representadas na 
seguinte maneira, 
 
 
 
 
 
[√ ] 
 
 √ 
 
Para denotar o valor da derivada em um ponto específico , escrevemos 
 
 
 ( ) |
 
 
 ′( ). Por exemplo, 
 
8 
 
 
 
 |
 
 ( ) 
A notação acima é conveniente quando a variável dependente não está envolvida. Porém, casa 
haja uma variável dependente, digamos ( ), então podemos escrever a derivada como, 
 
 
 ′( ) e 
 
 
|
 
 ′( ) 
Obs: quando outras letras que não sejam e são usadas para as variáveis independentes e 
dependentes, então as várias notações para as derivadas devem ser ajustadas de acordo. Por 
exemplo, se ( ), então a derivada de em relação a fica, 
 
 
 ′( ) 
TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO 
 Derivada de uma constante 
O gráfico de uma função constante ( ) é a reta horizontal , logo a 
reta tangente a este gráfico tem inclinação em todo ponto . Desta forma, devemos 
esperar que a derivada de uma constante seja para todo . 
 
 
 
 
 
 Derivada de potência de 
 
 
 
Exemplo: Determine 
 
 
 
 Derivada de uma constante vezes uma função 
 
 
 
 
Exemplo: Determine 
 
 
 e 
 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑐 
Teorema: A derivada de uma função constante é 0, 
isto é, se 𝑐 for um número real qualquer, então, 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛 
Teorema: Se 𝑛 for um número inteiro positivo, então 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑐𝑓(𝑥) 𝑐
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑥) 
Teorema: Se 𝑓 for diferenciável em 𝑥 e 𝑐 for um número real qualquer, 
então 𝑐𝑓 também é diferenciável em 𝑥 e 
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 Derivadas de somas e diferenças 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Derivada de um produto 
 
 
 
 
 Derivada de um quociente 
 
 
 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑥) ±
𝑑
𝑑𝑥
 𝑔(𝑥) 
Teorema: Se 𝑓 e 𝑔 forem diferenciáveis em 𝑥, então 𝑓 𝑔 e 𝑓 𝑔 também o 
são e 
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
 𝑓(𝑥) 
Teorema: Se 𝑓 e 𝑔 forem diferenciáveis em 𝑥, então o produto 𝑓𝑔 também 
o é e 
𝑑
𝑑𝑥
 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 
𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
 𝑔(𝑥) 
 
Teorema: Se 𝑓 𝑒 g forem diferenciáveis em 𝑥 e 𝑔′(𝑥) ≠ , então 𝑓/𝑔 é 
diferenciável em 𝑥 e