Apostila 3ª Versão

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
CENTRO DE ENGENHARIAS 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
 
 
Prof. Dr. Hugo Alexandre Soares Guedes – UFPel 
 
Colaboração: 
Michael Lopes Honscha - UFPel 
 
 
 
 
PELOTAS - RS 
MARÇO, 2016 
2 
 
SUMÁRIO 
UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS 5 
1.1 INTRODUÇÃO 5 
1.1.1 APLICAÇÕES DA MECÂNICA DOS FLUIDOS 5 
1.2 DEFINIÇÃO DE FLUIDO 5 
1.2.1 HIPÓTESE DO CONTÍNUO 6 
1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS FLUIDOS 7 
1.3.1 LÍQUIDO 7 
1.3.2 AENFORME 7 
1.4 SISTEMAS DE UNIDADES 8 
1.4.1 CORRELAÇÕES 8 
1.5 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 9 
1.5.1 PESO ESPECÍFICO ( 9 
1.5.2 MASSA ESPECÍFICA (Ρ) OU DENSIDADE ABSOLUTA 9 
1.5.3 DENSIDADE RELATIVA ( 10 
1.5.4 VOLUME ESPECÍFICO 10 
1.5.5 COMPRESSIBILIDADE 11 
1.5.6 ELASTICIDADE ( 11 
1.5.7 CAPILARIDADE (H) 12 
1.5.8 EQUAÇÃO GERAL DOS GASES PERFEITOS 13 
1.5.9 A LEI DE NEWTON DE VISCOSIDADE 13 
1.5.10 VISCOSIDADE CINÉTICA OU CINEMÁTICA ( 15 
1.6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 17 
1.7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 19 
UNIDADE 2 – A ESTÁTICA DOS FLUIDOS 21 
2.1 CONCEITO DE PRESSÃO 21 
2.2 TRANSMISSÃO DE PRESSÃO 22 
2.3 PRESSÃO ATMOSFÉRICA: EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI 23 
2.4 ATMOSFERA TÉCNICA: EXPERIÊNCIA DE PASCAL 23 
2.5 RELAÇÕES IMPORTANTES 24 
2.6 PRESSÃO EM TORNO DE UM PONTO DE UM FLUIDO EM REPOUSO 24 
2.7 LEI DE PASCAL 24 
2.8 TEOREMA DE STEVEN 25 
2.8.1 CONCLUSÕES DO TEOREMA 29 
2.8.2 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE STEVIN 29 
2.8.3 CARGA DE PRESSÃO 33 
2.9 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 33 
2.10 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 36 
UNIDADE 3 – MANOMETRIA 38 
3.1 FINALIDADES DOS DISPOSITIVOS 38 
3.2 CLASSIFICAÇÃO DOS DISPOSITIVOS 38 
3.2.1 MANÔMETROS DE COLUNA LÍQUIDA 38 
3.2.2 DISPOSITIVOS MECÂNICOS OU PIEZÔMETRO 43 
3 
 
3.3 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 44 
3.4 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 48 
UNIDADE 4 - EMPUXO 55 
4.1 VARIAÇÃO DE PRESSÃO COM A PROFUNDIDADE 55 
4.2 EMPUXO EXERCIDO POR LÍQUIDOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS 58 
4.2.1 CONCEITO DE EMPUXO 58 
4.3 FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS 59 
4.3.1 FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIE PLANA INCLINADA (GRANDEZA E DIREÇÃO) 59 
4.3.2 PONTO DE APLICAÇÃO DA FORÇA HIDROSTÁTICA: CENTRO DE PRESSÃO (CP) 61 
4.3.3 PROFUNDIDADE DE CP (HP) 63 
4.4 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 64 
4.5 EMPUXO SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS 68 
4.6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 70 
4.7 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 73 
UNIDADE 5 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 77 
5.1 CONCEITO 77 
5.2 MÉTODOS DE ESTUDO 77 
5.3 REGIMES DE ESCOAMENTO 77 
5.3.1 REGIME PERMANENTE 77 
5.3.2 REGIME VARIADO 78 
5.4 ESCOAMENTO LAMINAR E TURBULENTO 79 
5.5 TRAJETÓRIA E LINHA DE CORRENTE 81 
5.6 CONCEITO DE VAZÃO 83 
5.7 CONSERVAÇÃO DE MASSA 85 
5.7.1 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 85 
5.8 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 88 
5.9 TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 91 
5.9.1 EQUAÇÃO GERAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 92 
5.9.2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 93 
5.10 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 97 
UNIDADE 6 – EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE 102 
6.1 TIPOS DE ENERGIAS MECÂNICAS ASSOCIADAS A UM FLUIDO 102 
6.1.1 ENERGIA POTENCIAL (EP) 102 
6.1.2 ENERGIA CINÉTICA (EC) 103 
6.1.3 ENERGIA DE PRESSÃO (EPR) 103 
6.1.4 ENERGIA MECÂNICA TOTAL DO FLUIDO (E) 104 
6.2 EQUAÇÃO DE BERNOULLI 105 
6.2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 109 
6.3 TUBO DE PITOT 110 
6.3.1 PRESSÃO TOTAL AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE 110 
6.3.2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 112 
6.4 EXTENSÃO DO TEOREMA DE BERNOULLI PARA OS LÍQUIDOS NATURAIS (FLUIDOS REAIS) – PERDA 
DE CARGA 114 
4 
 
6.4.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA FLUIDOS NATURAIS (REAIS) 114 
6.4.2 EQUAÇÃO DA ENERGIA 115 
6.4.3 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 118 
6.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 120 
UNIDADE 7 – PERDA DE CARGA 123 
7.1 CONCEITO 123 
7.2 REGIME DE ESCOAMENTO 123 
7.2.1 EXPERIÊNCIA DE OSBORNE REYNOLDS 123 
7.2.2 NÚMERO DE REYNOLDS (REY) 124 
7.3 CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA 126 
7.3.1 PERDA DA CARGA CONTÍNUA OU DISTRIBUÍDA OU PERDA POR ATRITO 126 
7.3.2 RESISTÊNCIA DAS PAREDES INTERNAS DO CONDUTO AO ESCOAMENTO 126 
7.3.3 FATOR DE ATRITO (F) 127 
7.3.4 FÓRMULA RACIONAL OU UNIVERSAL 132 
7.3.5 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 132 
7.3.5 PERDA DE CARGA ACIDENTAL OU LOCALIZADA OU SINGULAR 135 
7.3.6 VALORES K (PERDA LOCALIZADA) 136 
7.3.7 PERDA DE CARGA DEVIDA AO ALONGAMENTO GRADUAL DE SEÇÃO 137 
7.3.8 PERDA DE CARGA TOTAL 138 
7.3.9 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 139 
7.4 LINHA PIEZOMÉTRICA E LINHA DE ENERGIA NAS PERDAS DE CARGAS DISTRIBUÍDAS E LOCALIZADA
 141 
7.5 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 142 
LITERATURA CONSULTADA 147 
 
 
5 
 
UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
1.1 Introdução 
 
Mecânica dos Fluidos é a ciência que tem por objetivo o estudo do 
comportamento físico dos fluidos e das leis que regem esse comportamento. 
 
1.1.1 Aplicações da Mecânica dos Fluidos 
 
 Ação de fluidos sobre superfícies submersas: barragens; 
 Equilíbrio de corpos flutuantes: embarcações; 
 Ação dos ventos sobre construções civis; 
 Estudos de lubrificação; 
 Transporte de sólidos por via pneumática ou hidráulica: elevadores; 
 Cálculo de instalações hidráulicas: instalações de recalque; 
 Cálculo de máquinas hidráulicas: bombas e turbinas; 
 Instalações de vapor: caldeiras; 
 Ação de fluidos sobre veículos: aerodinâmica. 
 
1.2 Definição de fluido 
 
Fluidos são substâncias capazes de escoar e que não resistem a forças de 
cisalhamento ou tangencial. 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.1 Hipótese do Contínuo 
 
Na Engenharia, frequentemente empregamos expressões matemáticas cujas 
deduções baseiam-se no cálculo diferencial e integral. 
A matéria tem estrutura descontínua, sendo caracterizada pela existência de 
“v z ”. f f - “H p í ”: 
 A cada ponto do espaço corresponde um ponto de fluido. 
 x “v z ” no interior do fluido. 
 Despreza-se a mobilidade das moléculas e o espaço intermolecular. 
 
Amostra de sólido 
 
 
7 
 
Amostra de líquido 
 
 
Teoricamente, vazios nos fluidos NÃO existem. Assim, pode-se aplicar os 
conceitos de limite, derivada e integral. 
 
1.3 Classificação dos fluidos 
 
1.3.1 Líquido 
 
 É um fluido que escoa por ação da gravidade até um determinado ponto do 
recipiente. 
 Praticamente incompressível. 
 Volume constante. 
 Superfície livre. 
 
1.3.2 Aenforme 
 
 Gases e vapores. 
 Ocupam todo o espaço do recipiente que o contém. 
 Altamente compressível e expansível. 
 Sem superfície livre. 
 
8 
 
1.4 Sistemas de Unidades 
 
 
SI CGS MKFS 
Força N dyna Kgf (quilograma força) 
Comprimento m cm m 
Massa kg g UTM (unidade técnica de massa) 
Tempo s s s 
 
 CGS: Sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional. 
 MKFS: Sistema técnico. 
 SI: Sistema Internacional de Unidades. 
 
1.4.1 Correlações 
 
 1 kgf = 9,81 N 1 dyna = 
g cm
s2
 
 1 UTM = 9,81 kg 
F =ma =
kgm
s2
 
 1 N = 105 dyna 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
1.5 Propriedades dos Fluidos 
 
1.5.1 Peso Específico ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em que, 
W é peso; 
V é volume; 
R é a constante universal dos gases e, 
T é temperatura absoluta. 
 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.2 p íf (ρ) bρ 
 
 
 
 
Em que, 
 
 é massa específica; 
10 
 
 é peso específico, 
g é gravidade. 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.3 Densidade relativa ( 
 
dr =
r
fluido
r
fluidoreferência
=
g
fluido
g
fluidoreferência
 
 
Unidades: adimensional 
 
 Fluido de referência: 
 
Água® g
H
2
O
=1000
kgf
m3
; 
 
Ar® g
ar
=1,2
kgf
m3
. 
 
1.5.4 Volume específico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
1.5.5 Compressibilidade 
 
É a propriedade do fluido de reduzir seu volume quando se aumenta a 
pressão. 
 
 
Em que, 
 
α é f p b úb ; 
V é volume inicial; 
dp é a variação de pressão e, 
dV é a variação de volume. 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
O sinal negativo aparece devido às variações, de sinal contrário, que ocorrem 
 p V. p q v α á p v . 
 
1.5.6 Elasticidade ( 
 
É a propriedade do fluido de aumentar seu volume quando há diminuição da 
pressão. 
 
 
 
 
 
Em que, 
 
ε = coeficiente de elasticidade volumétrica. 
12 
 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.7 Capilaridade (h) 
 
É a propriedade de um líquido sofrer elevação ou queda na sua superfície em 
contato com o corpo sólido. A capilaridade é inversamente proporcional ao diâmetro. 
 Coesão é um esforço que ocorre entre as moléculas do fluido. 
 Adesão é um esforço que ocorre entre o recipiente e o fluido. 
Mercúrio Água 
 
Coesão > Adesão Adesão > Coesão 
 ú “ ” p 
tubo. 
 á “ ” p 
tubo. 
 
 
 
 
 
“D , p ” 
 
 
 
 
 
13 
 
1.5.8 Equação Geral dos Gases Perfeitos 
 
p V =WR T
p® pressão
V® volume
T® temperatura
W® peso
R® const.universal dos gases
ì
í
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em sistemas isotérmicos ( , portanto: 
 
 
 
1.5.9 A lei de Newton de Viscosidade 
 
Sejam 2 placas paralelas, sendo a de baixo fixa e a de cima móvel, separadas 
por uma distância Y. Entre elas existe um fluido. 
 
 
 
 
 
Figura 1.1. Representação da viscosidade de Newton. 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.2. Perfil de velocidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em que, 
 
 
 
 é o gradiente de velocidade; 
 é o coeficiente de proporcionalidade e viscosidade absoluta ou dinâmica. 
 
Conversão de Unidades: 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) 
 
 
 
 
 
 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Fluidos Newtonianos e não Newtonianos 
 
 
 
Figura 1.3. Representação dos fluidos Newtonianos e não Newtonianos. 
 
(1) Fluido Newtoniano: relação linear entre e 
 
 
 
(2) Fluido Não Newtoniano: relação não linear entre e 
 
 
 
(3) Plástico: resiste a até um certo limite, quando começa a deformar. 
(4) Fluido ideal: não precisa de para escoar. 
(5) Sólido ideal: não escoa independentemente da taxa de deformação 
 
 
 
 
1.5.10 Viscosidade cinética ou cinemática ( 
 
 
 
 
 
Dimensões de 
 
 
 
 .
 
 
 
 
 
 
 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
.
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidades: 
 
 
 
1.5.10.1 Instrumentos utilizados para mensurar a viscosidade 
 
Viscosímetro de cilindros coaxiais 
Mede a viscosidade dinâmica. 
 
 
 
 
Em que, 
m = massa; 
t = tempo de queda; 
L = comprimento do fio; 
K = constante do instrumento; 
K = f (n, R1, R2) 
 
Viscosímetro de Saybolt 
Mede a viscosidade cinemática. 
 
 
 
 
Em que, 
 = viscosidade cinemática (cm2/s); 
t = tempo de escoamento (s). 
 
17 
 
1.6 Exercícios de Aplicação 
 
1) Um cilindro contém de ar a e a . O ar é comprimido até 
 . Considerando condições isotérmicas, qual é a pressão do ar comprimido 
no novo volume e qual é o módulo de elasticidade volumétrica? 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Duas placas horizontais estão separadas de . O espaço entre elas é 
ocupado por óleo de viscosidade 14 poise. Calcular a resistência viscosa no óleo 
quando a placa superior se mover na velocidade de . 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um eixo de de diâmetro gira num mancal de de diâmetro e 
de comprimento com . O espaço entre o eixo e o mancal é ocupado por 
18 
 
um óleo lubrificante de viscosidade absoluta de 1 poise. Calcular o torque 
necessário para vencer a resistência do óleo gerada pela viscosidade, sabendo 
que:. 
 
 
; N = número de rotações e T = tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
1.7 Exercícios de Fixação 
 
1) Em um cilindro de 60 cm de comprimento e 16 mm de diâmetro interno, 
 ú (ρ 13,6 g/cm³) necessária para encher o tubo. 
 
2) Colocam- 5 k ú (ρ 1 ,6 / ³) p f 
prisma reto, com 100 cm² na área da base. Determinar a altura a que se elevaria 
o líquido no recipiente. Em seguida, substituindo o mercúrio por óleo de linhaça 
(dr = 0,93), obter a altura a que se elevaria igual massa de óleo. 
 
3) Enche-se um frasco até o traço de afloramento com 3,06 g de ácido sulfúrico. 
Repete-se a expereência, substituido o ácido por 1,66 g de água. Obter a 
densidade relativa do ácido sulfúrico. 
 
4) A densidade do gelo em relação a água é 0,918. Calcular em porcentagem o 
aumento de volume da água ao solidificar-se. 
 
5) Determinar a variação de volume de 0,04 m³ de água a 27ºC quando sujeito a um 
aumento de 35 kgf/cm² na pressão. Dado: módulo de elasticidade volumétrica da 
água igual a 22.750 kgf/cm². 
 
6) Dos seguintes dados de teste, determinar o módulo de elasticidade volumétrica 
da água, sabendo que a 25 kfg/m², o volume era de 0,03 m³, e a 250 kgf/m², o 
volume passou para 0,0291 m³. 
 
7) Obter o módulo de elasticidade da água, em determinada temperatura, sendo que 
à pressão de 30 kgf/cm², o volume era de 0,04 m³ e que a 220 kgf/cm² o volume 
passou para 0,0396 m³. 
 
8) Converter a pressão de 610 mm de mercúrio para metros de: óleo (dr = 0,750); 
querosene (dr = 0,80); tetracloreto de carbono (dr = 1,59); vinho (dr = 0,990). 
 
20 
 
Gabarito: 
 
1) m = 1,641 kg 
2) h1 = 3,68 cm; h2 = 53,76 cm 
3) dr = 1,843 
4) 8,90% 
5) dV = -61,54 cm³ 
6) Ɛ 7 ,58 k 
7) Ɛ 1,86 G 
8) Poleo = 11,06 m; Pquerosene = 10,37 m; Ptetracloreto = 5,218 m; Pvinho = 8,38 m 
 
21 
 
UNIDADE 2 – A ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
É a parte da Mecânica dos Fluidosque estuda fluidos em equilíbrio sujeitos a 
ação da gravidade e também sua interação com os corpos sólidos. 
 
2.1 Conceito de Pressão 
 
Seja uma porção de fluido no interior de um fluido em equilíbrio. 
 
Figura 2.1: Representação de fluido em equilíbrio. 
 
Em que, 
 ; 
 ; 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Na maioria das aplicações, a pressão pode ser tratada como um escalar. 
Unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Transmissão de Pressão 
 
Se a pressão é medida em relação ao vácuo ou zero absoluto, é chamada 
“p b ”, q é -se a pressão atmosférica como 
 f ê , é “p f v ” “p é ”. 
 
Figura 2.2: Simplificação das pressões (Fonte: BRUNETTI, 2008). 
 
 
 
 Pressão manométrica negativa  depressão. Exemplo: sucção. 
 Pressão absoluta é sempre maior que zero. 
 
A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão – a 
diferença entre a pressão medida e aquela do ambiente (usualmente a pressão 
atmosférica). 
Por exemplo, uma medida manométrica poderia indicar 30 psi; a pressão 
absoluta seria próxima de 44,7 psi Pressões absolutas devem ser empregadas em 
todos os cálculos com a equação de gás ideal ou com outras equações de estado. 
A seguir são apresentadas as experiências de Torricelli e Pascal para o 
cálculo da pressão atmosférica. 
 
23 
 
2.3 Pressão Atmosférica: Experiência de Torricelli 
 
 
 Figura 2.3: Exemplificação da Experiência de Torricelli. 
 
A pressão atmosférica (ponto A) equilibra uma coluna de mercúrio de 
aproximadamente 76 cm de altura. Logo, a pressão exercida pela atmosfera 
equilibra a pressão exercida por uma coluna de Hg de 76 cm, qualquer que seja a 
área da base. 
É preciso esclarecer, porém, que a pressão atmosférica não é constante. Isto 
é, não é sempre que ela equilibra uma coluna de Hg de 76 cm. Só será assim 
quando a pressão atmosférica for medida ao nível do mar (atmosfera normal). 
 
2.4 Atmosfera Técnica: Experiência de Pascal 
 
 
 Figura 2.4: Exemplificação da Experiência de Pascal. 
24 
 
2.5 Relações importantes 
 
 Para atmosfera normal ou física 
 
 
 
 
 
 Para atmosfera técnica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
2.6 Pressão em torno de um ponto de um fluido em repouso 
 
A pressão em torno de um ponto fluido contínuo, incompressível e em 
repouso é igual em todas as direções, e ao aplicar-se uma pressão em um de seus 
pontos, esta será transmitida integralmente a todos os demais pontos. 
 
Figura 2.5: Esquematização da pressão em um fluido em repouso. 
 
 
2.7 Lei de Pascal 
 
A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se 
integralmente a todos os pontos do fluido. 
25 
 
Observe o exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.6: Fluido com superfície livre à atmosfera. 
 
Com aplicação de uma força de 100 N, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2.7: Fluido com aplicação da 
 força de 100 N por meio do êmbolo. 
 
2.8 Teorema de Steven 
 
 
Figura 2.8: Elemento diferencial de fluido e as pressões na direção y. 
 
 
26 
 
 
 
Em que, 
 ; 
 ; 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em que, 
 
 ; 
 . 
 
 
 
 
 
Em que, 
 
 ; 
 
 . 
 
Para um fluido em equilíbrio estático: 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desmembrando a equação diferencial no eixo x, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agrupando todas as equações, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
Em que, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como, 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em que, 
h é a altura, profundidade. 
29 
 
 
 
 
2.8.1 Conclusões do teorema 
 
a) Na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância entre eles, 
mas sim a diferença de cotas. 
b) A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma, desde 
que os pontos estejam localizados no mesmo fluido. 
c) O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum 
ponto. 
d) Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a 
pressão num ponto à profundidade (h) dentro do líquido será dada por: 
e) Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois 
pontos não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre 
eles. 
 
2.8.2 Aplicações do Teorema de Stevin 
 
2.8.2.1 Princípio dos vasos comunicantes 
As superfícies livres de um líquido em equilíbrio contido em recipientes 
interligados (vasos comunicantes) permanecem sempre horizontais e num mesmo 
plano, independente da forma dos vasos. 
 
 
 
 
Lei de Steven ou Lei 
Fundamental da 
Hidrostática 
30 
 
Devem estar submetido à pressão atmosférica. 
 
Figura 2.9: Vasos comunicantes. 
 
2.8.2.2 Pressão e força no fundo do recipiente 
 
Figura 2.10: Representação de pressões em recipientes diferenciados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quanto maior a área, maior a força sobre o fundo do reservatório! 
 
 
 
31 
 
2.8.2.3 Equilíbrio de dois líquidos de pesos específicos diferentes 
 
 
Figura 2.11: Equilíbrio entre líquidos de pesos específicos diferentes.As camadas se superpõem na ordem crescente de seus pesos específicos, 
sendo plana e horizontal a superfície de contato. 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
2.8.2.4 Vasos comunicantes com líquidos diferentes 
 
 
Figura 2.12: P1 >> Patm. 
 
Figura 2.13: Esquema de vaso comunicante relacionando líquidos diferentes. 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fluido de referencia: água ( = 1000 kgf/m³) 
 Fluido manométrico: mercúrio ( = 13600 kgf/m³) 
 
2.8.3 Carga de Pressão 
 
A pressão em um ponto qualquer de um líquido pode ser imaginada como 
sendo causada pelo peso da coluna vertical do líquido. A altura desta coluna é 
 é xp “ íq ”. 
 
Não confunda!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.9 Exercícios de Aplicação 
 
1) Converter a pressão de 1,5 em: 
a) Metro de coluna de água 
b) Metro de coluna de mercúrio 
Sabendo: 
 
 
 
 
 
. 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um mergulhador está trabalhando na profundidade de da superfície do mar 
 
 
 
 Um barômetro instalado no nível do mar acusa a pressão de 
 Qual a pressão absoluta sobre o mergulhador? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
3) Seja um tubo com êmbolo bem ajustado. Façamos baixar sua face interna num 
recipiente com líquido e elevamos gradualmente este êmbolo. O líquido subirá no 
cilindro atrás do êmbolo e se elevará até uma certa altura em relação a 
superfície livre onde atua a pressão atmosférica. 
a) Qual a altura máxima se o líquido for a água? 
b) E se for gasolina? 
c) Interprete os resultados encontrados. 
Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
2.10 Exercícios de Fixação 
 
1) As áreas dos dois pistões de uma prensa hidráulica são de 3,00cm2 e 60,00cm2, 
respectivamente. Desejando-se obter uma força de 3.000N no pistão maior, qual 
o módulo da força que deve ser aplicada no pistão menor? 
 
2) Deseja-se construir uma prensa hidráulica para exercer forças de 104N. Qual a 
área que deverá ter o pistão maior se, sobre o menor, com 39,20cm2, for aplicada 
uma força de 40,00kgf? 
 
3) Os diâmetros dos dois pistões de uma prensa hidráulica medem, 
respectivamente, 2,00cm e 20,00cm. Quantas vezes a força aplicada no êmbolo 
menor aparecerá multiplicada no êmbolo maior? 
 
4) No funcionamento de um elevador de automóveis num posto de serviço utilizou-
se uma pressão de até 5,0kgf/cm2. Qual o peso máximo que poderá elevar se o 
diâmetro do pistão maior mede 20,00cm? 
 
5) Uma prensa hidráulica, que contém um fluido incompressível, possui dois pistões 
com áreas que estão entre si na razão de 1/10. Pergunta-se: 
a) aplicando no pistão menor uma força de 2,0kgf, qual a força exercida sobre o 
pistão maior? 
b) se o pistão menor baixou 150,00cm, qual foi o deslocamento do pistão maior? 
6) No pistão menor de uma prensa hidráulica, de 10,00cm2, foi aplicada uma força 
de 200N, que o desloca 100,00cm. Sendo a área da secção transversal do pistão 
maior igual 500,00cm2, determine: 
a) a força que atua no pistão maior; 
b) o deslocamento do pistão maior; 
37 
 
7) Para acionar um elevador de automóveis, num posto de gasolina, usa-se uma 
pressão de 8,0kgf/cm2. Sabendo que o pistão maior tem um diâmetro de 40,00cm 
e o menor de 4,00cm, determine: 
a) a pressão transferida para o pistão maior; 
b) o peso máximo que pode ser elevado; 
c) a força aplicada no pistão menor; 
d) a razão entre o deslocamento do pistão menor e o maior. 
 
8) O êmbolo maior de uma prensa hidráulica apresenta 1,00m2. Qual deverá ser a 
área, em cm2 , da seção reta do êmbolo menor para que a força aplicada seja 
multiplicada por 1.000? 
 
 
Gabarito: 
 
1) F = 150N 
2) A = 9993,1cm² 
3) F2 = 100 x F1 
4) F = 1570,8kgf 
5) (a) F = 20kgf; (b) d = 15cm 
6) (a) F = 10000N; (b) d = 2cm 
7) (a) F = 8,0kgf; (b) F = 10047kgf; (c) F1 = 100,5kgf; (d) d1 = 100 x d2 
8) A = 10 cm² 
 
 
38 
 
UNIDADE 3 – MANOMETRIA 
 
É a parte da Mecânica dos Fluidos responsável pela medição da pressão. 
Os dispositivos que usam colunas de líquido em tubos verticais (ou 
inclinados) para medição de pressão são denominados manômetros. 
 
3.1 Finalidades dos dispositivos 
 
 Controle de vazão; 
 Verificar condições de funcionamento das instalações; 
 Determinar alcance de jatos; 
 Calcular esforços sobre paredes de recipientes; 
 Determinar o potencial de água no solo. 
 
3.2 Classificação dos dispositivos 
 
3.2.1 Manômetros de coluna líquida 
 
3.2.1.1 Piezômetro simples ou manômetro aberto 
Tipo mais simples de manômetro: consiste de um tubo vertical aberto na parte 
superior e fixado a um recipiente cuja pressão se deseja determinar. 
 
 
39 
 
 
Figura 3.1: Manômetro aberto ou piezômetro. 
 
Limitações do Piezômetro 
 
Embora simples e precisos, os tubos piezométricos têm as seguintes 
limitações: 
a) Só mede pressões maiores que a atmosférica. 
b) A pressão medida deve ser relativamente baixa para proporcionar pequenas 
alturas da coluna do liquido. 
c) O fluido cuja pressão deve ser medida deve ser um líquido e não um gás. 
d) O diâmetro do tubo deve ser maior que . 
 
3.2.1.2 Manômetro de tubo em U 
 
Figura 3.2: Manômetro de tubo em U. 
40 
 
Consiste na inserção de um tubo transparente contendo líquido indicador ou 
manométrico. É utilizado para medir altas ou baixas variações de pressões. 
 Finalidades do liquido indicador: aumentar ou diminuir o comprimento da 
coluna liquida. 
 Qualidades do liquido indicador: apresentar densidade bem definida, formar 
menisco bem definido com o líquido de contato, não ser miscível com o 
líquido de contato e, ser de coloração diferente do líquido de contato. 
 
Figura 3.3: Manômetro de tubo em U, para obtenção da pressão em A. 
 
Método 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Método 2 
 
 
 
 
 
3.2.1.3 Manômetro diferencial 
Utilizado para medir a diferença de pressão em dois pontos na tubulação. 
 
Figura 3.4: Manômetro diferencial, verificando diferença de pressão entre A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
3.2.1.4 Manômetro de tubo inclinado 
Usado na medição de pequenas pressões ou pequenas diferenças de 
pressão. Permite o aumento na precisão da leitura manométrica. 
 
Figura 3.5: Manômetro inclinado sem fluido indicador. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6: Manômetro inclinado para medir diferença de pressão entre dois pontos 
 
 
 
 
 
43 
 
3.2.2 Dispositivos mecânicos ou piezômetro 
 
3.2.2.1 Manômetro de Bourdon 
Consiste de um tubo metálico de seção transversal (seção reta) elíptica que 
tende a se deformar quando a pressão P aumenta. Possui baixa precisão. 
 
 
Figura 3.7: Manômetro de Bourdon. 
 
3.2.2.2 Transdutor de pressão 
 
O termo "medidorde pressão" refere-se usualmente a um indicador que 
converte a pressão detectada, num movimento mecânico de um ponteiro fixo a um 
êmbolo móvel. Um transdutor de pressão pode combinar o elemento primário de um 
medidor com um conversor mecânico/elétrico. 
Durante o processo de transmissão de pressão, o êmbolo multiplicador da 
força é substituído por uma membrana flexível ou um fole que está acoplado a um 
sistema piso-elétrico (similar a um microfone) que ao se mover produz um pulso 
elétrico que é captado por um amperímetro sensível (medidor de corrente elétrica), 
convertendo numa escala para a unidade de pressão. 
 
 
 
 
44 
 
3.3 Exercícios de Aplicação 
 
1) A tubulação da figura transporta óleo 
 
 
 Um manômetro (M), instalado 
na sua parte superior, indica a pressão de 
 
 
 Acoplando-se um manômetro 
de mercúrio aberto na sua parte inferior, determinar a deflexão do mercúrio 
 Dado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
2) Um manômetro de mercúrio aberto é instalado na entrada de uma bomba. Mede-
se a deflexão manométrica encontrando-se . Determinar a pressão efetiva e 
absoluta no eixo da tubulação de sucção, sendo a água o líquido succionado. 
Considere absoluta igual a 
 e diâmetro de sucção igual a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
3) Um manômetro diferencial apresenta a configuração (a) antes de ser ligado aos 
reservatórios A e B. Após ser ligado a A e a B, o manômetro passa a apresentar a 
configuração (b). Sendo 
 
 
 
 
 
 determinar os pesos 
específicos dos líquidos manométricos, considerando constante o diâmetro dos 
tubos e que os reservatórios A e B transportam água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
4) No sistema abaixo, sabe-se que 
 
 
 
 
 
 
Determinar a pressão absoluta em A, o peso específico e o ângulo 
 Dados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
3.4 Exercícios de Fixação 
 
1) No ponto R da figura abaixo, a pressão efetiva é de –960kgf/cm², sendo o a 
densidade do líquido E = 1,4. Determinar a densidade do líquido F, desprezando-
se o peso do ar entre A e C. 
 
2) No topo do reservatório da figura abaixo, o manômetro registra a pressão efetiva 
de –0,122kgf/cm². Os líquidos de densidades d1 e d2 não miscíveis com a água. 
Obter: 
a. as cotas nas colunas piezométricas A, B e C; 
b. a deflexão hm do mercúrio. 
49 
 
 
3) Um aumento de pressão no reservatório R ocasiona um rebaixamento do nível D 
para a posição B. Com isso, a água sobe no tubo inclinado T do micromanômetro, 
desde o ponto N até C. Sabendo que as seções transversais do reservatório R e 
do tubo T têm áreas de AR = 3200 mm² e AT = 80 mm², respectivamente, obter a 
diferença de pressão entre B e C. 
 
 
 
4) No recipiente fechado da figura abaixo, há água, óleo ( = 895kgf/m³) e ar. Para 
os pontos B, C e D, obter as respectivas pressões (em mca). 
50 
 
 
 
 
5) Para o ponto E, indicado na figura, calcular a pressão efetiva. Adotar para o 
mercúrio o peso específico  = 13600kgf/m³. 
 
 
 
6) Um óleo ( = 880kgf/m³) passa pelo conduto da figura. Um manômetro de 
mercúrio, ligado ao conduto, apresenta a deflexão indicada. A pressão efetiva em 
M é de 2kgf/cm². Obter hm. 
51 
 
 
 
7) Um óleo de peso específico 1 = 980kgf/m³ é transportado verticalmente de B 
para C. Calcular a diferença de pressão entre os pontos B e C. 
 
 
 
8) O recipiente da figura contém 2 líquidos não miscíveis, de densidades d1 = 0,95 e 
d2 = 0,70. O peso do ar na parte superior é desprezível. Supondo que o líquido 
mais denso se eleve até o nível N, determinar a leitura do manômetro instalado 
no topo do recipiente. 
52 
 
 
 
9) Para o manômetro da figura abaixo se conhece o 1 = 830kgf/m³, 2 = 
1000kgf/m³, h1 = 540mm e h2 = 675mm. Supondo que a pressão atmosférica 
local p0 = 1kgf/cm². Calcular as pressões efetiva e absoluta em B. 
 
 
10) O conduto da figura, transporta água (1 = 1000kgf/m³). Ao conduto junta-se um 
tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio (d = 13,6). Calcular a pressão 
efetiva (em kgf/cm²) no ponto B. 
 
53 
 
11) Os recipientes R e S contém água, sob pressões de 2,2 kgf/cm² e 1,3 kgf/cm², 
respectivamente. Determinar o valor de hm da deflexão do mercúrio. 
 
12) Um encanamento de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligado a 
um tubo em U, cujo líquido manométrico é o mercúrio, ficando sua superfície livre 
em nível com o eixo do encanamento. Sendo h = 74mm a deflexão do Hg, 
calcular a pressão efetiva em B (em kgf/cm²; kgf/m², mca e Pa). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
Gabarito: 
 
1) dF = 0,8 
2) a) ZF = 908,64m; ZG = 908,48m; ZI = 907,90m. b) hm = 0,62m 
3) PB – PC = 483 kgf//m² = 0,0483 kgf/cm² 
4) PB = 2,7 mca; PC = 1,6mca; PD = 0,526mca 
5) PE = 15420kgf/cm² 
6) hm = 1,62m 
7) PB – PC = 1680 kgf//m² 
8) PN = 1700 kgf/m² 
9) Pefetiva = 226,8 kgf/m² e Pabs =10226,8 kgf/m² 
10)PB = 1,542 kgf/cm² 
11)hm = 0,83m 
12)PB = 932,4 kgf/m² = 0,09324 kgf/cm² = 0,9324 mca 
 
UNIDADE 4 - EMPUXO 
 
Nos fluidos em repouso, a força é perpendicular à superfície. A pressão varia 
linearmente, aumentado com a profundidade Para uma superfície horizontal, 
temos: 
 
 
 
Sendo P a pressão uniforme sobre a superfície e A é a área da mesma. 
Como a pressão é constante e uniformemente distribuída ao longo da 
superfície então a força resultante atua no centroide da área. 
 
4.1 Variação de pressão com a profundidade 
 
Diagrama de pressão para: 
 
i) Parede Vertical 
 
 
Figura 4.1: Pressão atuante em parede vertical. 
56 
 
 
ii) Parede inclinada 
 
 
Figura 4.2: Pressão atuante em parede inclinada. 
 
 
Figura 4.3: Pressão atuante em parede com mais de uma inclinação. 
 
 
 
 
 
 
57 
 
iii) Parede vertical com líquido à montante e a jusante 
 
 
Figura 4.4: Pressão atuante em parede com líquido à montante e jusante. 
 
 
iv) Parede com comporta 
 
Figura 4.5: Pressão atuante em parede com comporta. 
 
 
 
 
58 
 
4.2 Empuxo exercido por líquidos sobre superfícies planas 
 
4.2.1 Conceito de empuxo 
 
Figura 4.6: Representação auxiliar para conceituação de empuxo. 
 
 A pressão em dA é: 
 
 
 
 . 
 Considerando-se toda a área A, surgira uma força resultante, o empuxo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
 
 
4.3 Força Hidrostática Sobre Superfícies Planas 
O empuxo (força hidrostática) exercido por um líquido sobre uma superfície 
plana imersa é uma força perpendicular à superfície e é igual ao produto de sua área 
pela pressão relativa no seu centro de gravidade (C.G.). 
 
 
 
4.3.1 Força Hidrostática sobre superfície plana inclinada (grandeza e direção) 
 
Figura 4.8: Representação da força hidrostática atuando sobre superfície plana inclinada. 
 
 
 
 
 
 
Igual ao peso da 
massa fluida sobre a 
área plana 
considerada. 
60 
 
 
Mas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da estática, 
 
 
 
Logo,Mas, 
 
 
 
 
4.3.1.1 Direção em relação a horizontal 
 
 
Figura 4.8: Direção da força hidrostática em relação à horizontal. 
 
 
 
Momento estático em 
relação ao eixo “0” 
saindo do papel. 
61 
 
4.3.2 Ponto de aplicação da força hidrostática: centro de pressão (CP) 
 
D p “ V ”: “O 
relação ao ponto 0 deve ser igual à soma dos momentos das forças elementares 
 ”. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10: Ponto de aplicação do empuxo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
Da dedução anterior, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do Teorema dos Eixos Paralelos, 
 
 
 
Em que, 
I0 = momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo CG. 
 
 Igualando (1) e (2) temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia em relação 
ao eixo 0. 
63 
 
4.3.3 Profundidade de CP (hp) 
 
 
Figura 4.11: Profundidade do ponto de aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
4.4 Exercícios de Aplicação 
 
1) Determine o CP de uma comporta vertical retangular com lado superior 
coincidente com o nível da água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
2) Determine a força de pressão da água atuante sobre uma comporta circular 
inclinada de diâmetro igual a , bem como seu ponto de aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
3) Um recipiente retangular com base de 2,5 x 4,0 m e altura igual a 6,0 m contém 
querosene de densidade relativa 0,8. Pede-se. 
a) O empuxo na base do recipiente; 
b) O empuxo nas faces verticais do recipiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
4) Uma tubulação de de diâmetro possui uma válvula de controle. A pressão 
no centro do tubo é . Esta tubulação está cheia de óleo de densidade 
relativa . Pede-se a força exercida pelo óleo e a posição do CP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
4.5 Empuxo sobre superfícies curvas 
 
Seja a barragem apresentada a seguir. 
 
 
 Força elementar 
 
 
 Empuxo 
 
 
 
 
69 
 
 Componente vertical 
 
 
 
 
 
 Componente horizontal 
 
 
 
 
 Magnitude do Empuxo 
 
 
 
 
 
 Ângulo com a horizontal ( 
 
 
 
 
 
 
 Centro de pressão em superfícies curvas (CP) 
 
O CP do empuxo horizontal será o CP da superfície curva projetada na 
vertical, ou seja, ele é o centro de pressão de O CP do empuxo vertical está 
aplicado no CG do volume de líquido acima da superfície curva. 
 
Volume elementar de 
fluido acima da 
superfície curva. 
Momento 
estático! 
70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6 Exercícios de Aplicação 
 
1) Uma barragem de 4m de altura e 10m de extensão apresenta um perfil 
parabólico. Calcular o empuxo da água. 
Dado: 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
2) Determinar a intensidade, direção e ponto de aplicação da força atuante exercida 
pela água sobre a superfície curva AB, que é um quadrante de cilindro de raio 
2,5m e comprimento 3m. O nível da água situa-se a 2m acima de B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
4.7 Exercícios de Fixação 
 
1) Uma piscina possui base retangular de 15 x 45 metros e paredes paralelas de 2,5 
m de altura, estando completamente cheia de água. Determine: 
a) os diagramas de pressão no fundo, na maior dimensão, e na parede vertical, 
explicitando os valores de pressão nas extremidades dos diagramas. 
b) as forças resultantes no fundo e na parede. 
c) os pontos de aplicação destas forças. 
 
2) A barragem mostrada na figura possui comprimento de 100 m. A profundidade da 
água é de 25 m e a inclinação da barragem é 60º (ângulo formado na face interna 
da barragem). Determine: 
a) o diagrama de pressão na barragem. 
b) a força resultante na barragem. 
c) o ponto de aplicação da força resultante na barragem. 
 
 
 
3) A figura abaixo mostra, em perfil, uma porta retangular, com comprimento de 1,0 
m e altura de 1,5 m mostrada no plano vertical de um tanque de água, aberto à 
atmosfera. A porta é articulada no ponto H (pode girar em torno do eixo z), 
localizada a uma distância D = 1,0 m da superfície livre. Nestas condições, e 
considerando como referência o nível da água, determine: 
a) o diagrama de pressões atuantes na porta. 
b) a força F resultante na porta. 
c) o ponto de aplicação da resultante F. 
d) a força R que deve ser aplicada no ponto B a fim de manter a porta fechada. 
74 
 
 
 
4) A figura abaixo mostra o corte transversal de uma comporta que apresenta massa 
igual a 363 kg. Observe que a comporta é articulada em A e que está imobilizada 
por um cabo. O comprimento e largura da placa são respectivamente iguais a 1,2 
e 2,4 metros. Sabendo que o atrito na articulação é desprezível, determine a 
tensão no cabo para alçar a comporta. 
 
 
 
5) A comporta quadrada (1,83 m x 1,83 m) mostrada na figura abaixo pode girar 
livremente em torno do vínculo indicado. Normalmente é necessário aplicar uma 
força P na comporta para que ela fique imobilizada. Admitindo que o atrito no 
vínculo é nulo, determine a altura da superfície livre da água, h, na qual o módulo 
da força P seja nulo. 
 
75 
 
 
 
6) Uma comporta com 3 metros de comprimento está localizada na parede lateral de 
uma tanque, conforme mostrada na figura abaixo. Determine os módulos da 
componente horizontal e vertical do empuxo com que a água atua sobre a 
comporta. A linha de força passa através do ponto A? Justifique sua resposta. 
 
 
7) A comporta mostrada é articulada em O e tem largura constante, L = 5 m. A equação 
da superfície é x = y2/a, com a = 4 m. A profundidade da água à direita da comporta 
é D = 4 m. Determine o módulo da força, Fa, aplicada como mostrado, requerida 
para manter a comporta em equilíbrio se o peso da comporta for desprezado. 
 
 
 
 
 
y 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) a) Pressão nas extremidades: P1 = 0 e P2 = 2500 kgf/m² 
b) EFUNDO = 1687500 kgf; EPAREDE 1 = 46875 kgf; EPAREDE 2 = 140625 kgf 
c) No fundo: hp = 2,5 m 
 Nas paredes: hp = 1,67 m 
2) a) Pressão nas extremidades: P1 = 0 e P2 = 25000 kgf/m² 
b) E = 36116370 kgf 
c) yp = 19,25 m; hp = 16,67 m 
3) a) Pressão nas extremidades: P1 = 1000 kgf/m² e P2 = 2500 kgf/m² 
b) E = F = 2625 kgf 
c) yp = hp = 1,86 m 
d) R = 1505 kgf 
4) T = 590,79 kgf 
5) h = 0,59 m 
6) EV = 33424,78 kgf; EH = 54000,00 kgf; Somente o empuxo horizontal passa pelo 
ponto A  yp = 4,00 m 
7) EV = 261 kN; EH = 392 kN; Fa = 167 kN 
L= 5 m 
Fa 
D = 4 m 
x 
O 
77 
 
UNIDADE 5 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
5.1 Conceito 
 
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o movimento e a vazão de 
uma massa fluida entre superfícies delimitadas sob a ação da gravidade ou pressão 
externa. 
 
5.2 Métodos de Estudo 
 
 Lagrangeano: descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a em sua 
trajetória total. 
 Euleriano: consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou um 
volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passam por 
este local. É o método mais utilizado para estudar o movimento de fluidos. 
 
5.3 Regimes de Escoamento 
 
5.3.1 Regime Permanente 
 
É aquele em que as propriedades do fluido são invariáveis em cada ponto 
com o passar do tempo. Note-se que as propriedades do fluido podem variar de 
ponto para ponto, desde que não haja variação com o tempo. Isso significa que, 
apesar do fluido estar em movimento, a configuração de suas propriedades em 
qualquer instante permanece a mesma. 
 
78 
 
 
Figura 5.1: Exemplo de regime permanente. 
 
No tanque da Figura 5.1, a quantidade de água que passa em (1) é idêntica à 
quantidade de água que sai por (2); nessas condições, a configuração de todas as 
propriedades do fluido, como velocidade, massa específica, pressão, etc., será, em 
cada ponto, a mesma em qualquer instante. 
O regime permanente pode ser ainda: 
 Uniforme: quando a velocidade média permanece constante ao longo das seções. 
 
 
 
 
 
 
 
 Não uniforme: quando o movimento é dito acelerado ou retardado. 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.2 Regime Variado 
 
É aquele em que as propriedades do fluido em alguns pontos ou regiões de 
pontos variam com o passar do tempo. 
79 
 
 
Figura 5.2: Exemplo de regime variado. 
 
É muito comum em Mecânica dos Fluidos e em Hidráulica trabalhar com 
reservatórios de grandes dimensões. Denomina-se reservatório de grandes 
dimensões um reservatório do qual se extrai ou no qual se admite fluido, mas, 
devido à sua dimensão transversal muito extensa, o nível não varia sensivelmente 
com o passar do tempo. 
Em um reservatório de grandes dimensões o nível mantém-se 
aproximadamente constante com o passar do tempo, de forma que o regime pode 
ser considerado aproximadamente permanente. 
 
5.4 Escoamento Laminar e Turbulento 
 
 
 Laminar: é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas individualizadas, 
sem troca de massa entre elas ( velocidade baixa). 
 
Figura 5.3: Regime laminar em tubulações. 
 
 Turbulento: é aquele em que as partículas apresentam um movimento aleatório 
macroscópico, isto é, a velocidade apresenta componentes transversais ao 
movimento geral do conjunto do fluido (velocidade alta). 
80 
 
 
Figura 5.4: Regime laminar em tubulações. 
 
No regime laminar a velocidade máxima ocorre no centro da tubulação, junto 
às paredes da tubulação a velocidade é nula (condição de aderência). 
 
Figura 5.5: Lei Parabólica  Lei de variação de velocidade. 
 
 
 
 No regime turbulento, como ocorre maior intercâmbio de quantidade de 
movimento no sentido transversal, a velocidade máxima é: 
 
Figura 5.6: Lei Logarítmica. 
 
 
 
 
 
 
(1) Velocidade nula 
(2) Velocidade média (V) 
(3) Velocidade máxima 
81 
 
5.5 Trajetória e Linha de Corrente 
 
 
 Trajetória: é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em 
instantes sucessivos, sendo a equação de trajetória dada em função do ponto 
inicial, que individualiza a partícula, e do tempo. 
 
Figura 5.7: Trajetória. 
 
 Linha de Corrente (LC): é a linha tangente aos vetores de velocidade de 
diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na equação de uma linha 
de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um instante t. 
 
 
Figura 5.8: Linha de corrente. 
 
 Tubo de Corrente: é a superfície de forma tubular formada pelas linhas de 
corrente que se apoiam numa Lina geométrica fechada qualquer. 
82 
 
 
 
Figura 5.9: Tubo de corrente. 
 
 Se a seção do tubo de corrente for suficientemente pequena, a velocidade do 
ponto médio de qualquer seção pode ser tomada como velocidade média da seção. 
 Propriedades dos tubos de correntes: 
a) Os tubos de correntes são fixos quando o regime é permanente. 
b) Os tubos de correntes são impermeáveis à passagem de massa, isto é, não 
existe passagem de partículas de fluido através do tubo de corrente. 
 
 Outras definições: 
 Sistema: porção de matéria de massa constante. Um sistema pode mudar a forma 
e a posição, mas as condições termodinâmicas permanecem constantes. 
 Volume de controle: região fixa no espaço, em cujo interior podem variar a massa 
e as condições termodinâmicas, mantendo, porém, a forma e a posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
5.6 Conceito de Vazão 
 
A vazão em volume pode ser definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa expressão só seria verdadeira se a velocidade fosse uniforme na seção. 
Posteriormente será apresentada uma equação similar a Q = VA definindo a 
velocidade média na seção. 
 Considere o tubo de corrente da Figura 5.10: 
Vazão ou Vazão 
Volumétrica 
84 
 
 
Figura 5.10: Esquema de um tubo de corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A quantidade de massa fluida 
que atravessa a seção dA na 
unidade de tempo. 
85 
 
5.7 Conservação de massa 
 
5.7.1 Equação da Continuidade 
 
 Considere o volume de controle abaixo, obtido em um tubo de corrente sobre 
o qual foram tomadas duas seções transversais perpendiculares ao eixo do tubo. 
 
 
 
 
 
Figura 5.11: Esquema de um volume de controle obtido em um tubo de corrente. 
 
Em que, 
 : v p p à p fí , “sentido sempre 
p f ” v V. 
A variação de massa (dm) no interior do volume de controle será igual a 
diferença de vazão em massa que entra e sai deste volume. 
 
 
 
 
 Se o regime de escoamento é permanente: 
86 
 
 
 
 Generalizando, para regime permanente: 
 
Em que, 
 
 
 
 
Se o fluido for incompressível e o regime permanente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87 
 
Em que, 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, a velocidade média na seção pode ser obtida por:88 
 
5.8 Exercícios de Aplicação 
 
 
1) Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de velocidades a 
seguir. Supor que não haja variação de velocidade segundo a direção normal ao 
plano da figura (escoamento bidimensional). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
2) O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na figura. 
Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área igual a 5 cm2, se na 
seção de entrada de área 20 cm2 a velocidade é 2 m/s. O fluido é incompressível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
 
3) Considere o escoamento permanente da água através do dispositivo da figura 
abaixo. Determinar as componentes da velocidade média na seção 3. Considere 
o fluido incompressível. 
Dados: A1= 0,09 m²; A2 = 0,046 m²; A3 = 0,019 m²; ; . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
5.9 Teorema da Quantidade de Movimento 
 
 Em inúmeros problemas de Mecânica dos Fluidos ocorrem mudanças na 
grandeza e/ou na direção da velocidade de um fluido em movimento. A grandeza da 
força necessária para produzir estas mudanças pode ser determinada por meio da 
Equação da Quantidade de Movimento. 
Assim, a quantidade de movimento é uma grandeza vetorial dada por: 
 
 
 
 Impulso para uma partícula de fluído em movimento: 
 
 
 
 Da equação geral da mecânica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mas, de (14): 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
 De (14) e (16): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“ todas as forças que atuam sobre um sistema de fluidos é igual à 
v q v v p ”. 
 
5.9.1 Equação Geral da Quantidade de Movimento 
 
 A força resultante que age em um sistema é igual à taxa de variação com o 
tempo da quantidade de movimento no volume de controle (termo 1) mais o saldo 
dos fluxos da quantidade de movimento do sistema de controle (termo 2). 
 
 
 
 
 
 
 Termo 1 Termo 2 
Caso particular da equação da quantidade de movimento para fluidos em 
regime permanente: 
 
 
Teorema da 
Quantidade de 
Movimento 
93 
 
Exemplos de forças que atuam sobre os fluidos e os corpos sólidos: 
 contato: pressões estáticas; 
 gravitacional: peso da massa fluida; 
 internas: atrito e viscosidade; 
 externas: blocos de ancoragem (blocos de concreto) 
 
5.9.2 Exercícios de Aplicação 
 
OBS: Vista em Planta!  Desprezar o volume e a diferença de cotas. 
1) No tubo de corrente da figura abaixo (fluxo permanente e fluido incompressível), 
calcular a força que o fluido exerce sobre o tubo ( ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
2) Consideremos um fluido incompressível se deslocando em regime permanente 
através do tubo de corrente. Calcule a força que o fluido exerce sobre o tubo ( ). 
Despreze o atrito nas paredes do tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
95 
 
3) Calcule as forças que o fluido exerce sobre a curva da figura abaixo, sabendo 
que: 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
5.10 Exercícios de Fixação 
 
1) A água escoa em regime laminar através de um conduto cujo diâmetro é 1,50 m. 
A velocidade da água em relação ao tubo é dado por Vr = 0,563 – r
2 (m/s), sendo 
“ ” b . Q v é á í b , 
quando seu diâmetro é reduzido para 0,30 m? 
 
2) A água escoa em regime laminar através de um conduto de diâmetro 1,0 m. Se o 
perfil de velocidade do fluxo permanente é dado por Vr = 3,75 – 15 r
2 (m/s), 
calcule a vazão de escoamento. 
 
3) Um fluido com densidade relativa de 1,05 está escoando em regime permanente 
através da caixa retangular da figura abaixo. Determine a velocidade na seção 3. 
São dados: A1 = 0,05 m
2; V1 = 4,0 i m/s; A2 = 0,01 m
2; V2 = - 8,0 j m/s; A3 = 0,06 
m2. 
 
 
4) Um joelho redutor é usado para defletir água ( = 102 utm/m³) em um ângulo de 
45°, à uma vazão de 0,40 m3/s. A pressão na seção maior é igual a 1,5 kgf/cm2 e 
a pressão na seção menor é igual a 133.087 N/m2. Sabendo que os diâmetros da 
seção maior e menor são iguais a, respectivamente, 610 mm e 305 mm, 
determinar a força de ancoragem necessária para manter o joelho fixo. 
 
98 
 
 
 
5) O joelho defletor do exercício anterior é substituído por um joelho reversor, 
conforme apresentado na figura abaixo, de forma que o fluido faça uma curva de 
180° antes de ser descarregado na atmosfera, à uma taxa de 14 kg por segundo. 
Determine a nova força de ancoragem, sabendo que a pressão manométrica na 
seção de entrada é igual a 202,2 kPa e a seção reta do joelho é igual a 113 cm2. 
 
 
 
 
6) A água escoa em regime permanente através do joelho de 90° mostrado na 
figura. Na entrada, a pressão é de 221 kPa e a seção reta é de 0,01 m2. Na saída, 
a seção reta é de 0,0025 m2 e a velocidade é de 16 m/s. A pressão na saída é a 
atmosférica. Determine a força necessária para manter o joelho fixo. 
99 
 
 
 
7) Calcule a força resultante de reação sobre o joelho redutor da figura, 
considerando a vazão volumétrica igual a 0,50 m3/s. Dados: A1 = 0,20 m2; P1 = 180 
kPa; A2 = 0,05 m2; 15 k ; θ 6 . 
 
 
8) A água escoa pela curva com redução, figura abaixo, localizada num plano 
vertical. O : ϕ1 1,8 ; ϕ 1, 
m; W = 8.172 kgf; P1 = 2,8 kgf/cm2; P2 = 2,2 kgf/cm2; Q = 8,5 m3/s. Considere o 
fluxo permanente e o fluido incompressível. Com essas informações, calcule as 
componentes Fx e Fy da força resultante necessária para manter a curva fixa. 
 
100 
 
 
 
 
9) Um jato de água encontra uma placa curva fixa, o que faz uma deflexão de 90° 
para cima, sem deformação do jato. Seu diâmetro e sua velocidade média são D 
= 25 mm e V = 35 m/s, respectivamente. Desprezando-se as perdas de energia e 
o peso do fluido, obter a reação total e suas componentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101 
 
GABARITO 
 
1) V = 7,0 m/s 
2) Q = 1,47 m3/s 
3) V3 = 4,04 i – 2,33 j (m/s); v3 = 4,667 m/s 
4) F = 36,13 kN 
5) F = 2320 N 
6) Fx = -2,37 kN; Fy = -640 N 
7) Rx = 31 kN; Ry = 10,8 kN; R = 32,8 kN 
8) Fx = 907 kN; Fy = 352,2 kN 
9) Fx = Fy = 61,37 kfg; F = 86,78 kgf 
 
102 
 
UNIDADE 6 – EQUAÇÃO DE ENERGIA PARA REGIME 
PERMANENTE 
 
6.1 Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido 
 
6.1.1 Energia potencial (Ep) 
 
É o estado de energia do sistema devido à sua posição no campo da 
gravidade em relação a um Plano Horizontal de Referência (PHR). Esta energia é 
medida pelo potencial de realização de trabalho do sistema. 
Seja, por exemplo, um sistema de peso G = mg, cujo centro de gravidade está 
a uma cota Z em relação a um PHR. 
 
Figura 6.1: Exemplo de energia potencial. 
 
 Como, 
 
 Mas, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1036.1.2 Energia cinética (Ec) 
 
É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um 
sistema de massa e velocidade ; a energia cinética será dada por: 
 
 
 
 
 
Figura 6.2: Exemplo de energia cinética. 
 
6.1.3 Energia de pressão (Epr) 
 
Esta energia corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão no 
escoamento do fluido. 
Seja, por exemplo, um tubo de corrente. Admitindo que a pressão seja 
uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido externo no fluido do tubo de 
corrente, na interface de área A, será F = pA. No intervalo de tempo dt, o fluido irá se 
deslocar de um ds, sob a ação da força F, produzindo um trabalho W. 
 
 
Figura 6.3: Tubo de corrente. 
 
 
dW = FdS = pAdS = pdV 
104 
 
 Por definição, 
 
 Logo, 
 ou 
 
 
 
6.1.4 Energia mecânica total do fluido (E) 
 
Excluindo-se energias térmicas e levando em conta apenas efeitos 
mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4: Escoamento do fluido em torno da energia. 
 
Fluido escoa da maior energia para a menor energia! 
 
 
 
 
 
105 
 
6.2 Equação de Bernoulli 
 
A equação de Bernoulli é uma relação aproximadamente entre pressão, 
velocidade e elevação, sendo válida em regiões de escoamento incompreensível e 
em regime permanente, onde as forças de atrito resultantes são desprezíveis. 
Apesar de sua simplicidade é uma ferramenta muito útil na mecânica dos fluidos. 
A principal aproximação da dedução da equação de Bernoulli é que os efeitos 
viscosos são desprezivelmente pequenos quando comparados aos efeitos da 
inércia, da gravidade e da pressão. Como todos os fluidos tem viscosidade (não 
 x “f v ”), p x p vá p 
escoamentos de interesse prático. 
Em outras palavras, não podemos aplicar a equação de Bernoulli em todos os 
escoamentos mesmo quando a viscosidade do fluido é pequena. Entretanto, a 
aproximação é razoável em determinadas regiões de muitos escoamentos de 
caráter pratico. Chamamos tais regiões de Regiões de Escoamento sem 
Viscosidade, e enfatizamos que elas são regiões nas quais as forças viscosas ou 
resultantes de atrito são desprezivelmente pequenas quando comparadas as outras 
forças que atuam sobre as partículas do fluido. 
Desde modo, para dedução da equação de Bernoulli, considere o movimento 
de uma partícula de fluido no campo de escoamento em regime permanente: 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
Aplicando a Segunda Lei de Newton (conservação do momento linear), na 
direção S, a uma partícula que se movimenta ao longo de uma linha de corrente, 
tem-se: 
 
 
Nas regiões do escoamento onde as forças resultantes de atrito são 
desprezíveis, as forças significativas que atuam na direção S são a pressão (agindo 
em ambos os lados) e a componente do peso da partícula na direção S. Portanto, a 
equação torna-se: 
 
 
 
 
Sendo que: 
 θ é entre a normal da linha de corrente e o eixo vertical z naquele 
ponto; 
 ; 
 
 . 
 Substituindo, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dividindo-se tudo por g, tem-se: 
 
 
 
 
 
Dividindo-se por 
 
 
107 
 
Equação de Bernoulli, para 
escoamento incompressível e regime 
permanente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Simplificando: 
 
 
 
 
 
 
 Integrando: 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o escoamento incompressível, todos os termos são uma 
diferencial exata e suas integrações resultam em: 
 
 
 
 
 
 
Em que, 
 
 
 
 carga piezométrica/ carga de pressão/carga estática; 
 
 
 
 carga cinética/carga dinâmica; 
 carga potencial/carga de posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
108 
 
Esta é a famosa equação de Bernoulli, usada normalmente em Mecânica dos 
Fluidos para escoamento em regime permanente e incompressível ao longo de uma 
linha de corrente nas regiões do escoamento sem viscosidade. O valor da constante 
pode ser calculado em qualquer ponto da linha de corrente em que a pressão, a 
massa específica, a velocidade e a elevação sejam conhecidas. 
A equação de Bernoulli também pode ser escrita entre dois pontos quaisquer 
na mesma linha de corrente como: 
 
Figura 6.5: Esquema de um fluido ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um fluido 
ideal (teórico)! 
 
V1 
V2 
109 
 
6.2 Exercícios de Aplicação 
 
1) Determinar a velocidade do jato do liquido no orifício do tanque de grandes 
dimensões da figura a seguir. Considerar o fluido ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
110 
 
6.3 Tubo de Pitot 
 
 Objetivo: determinar a velocidade de escoamento. 
 Como é feito: Utilizando a equação de Bernoulli 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cada termo representa algum tipo de pressão: 
 Pressão estática: não incorpora nenhum efeito dinâmico. 
 
 
 
 Pressão dinâmica: representa o aumento de pressão quando o fluido em 
movimento é colocado em repouso. 
 Pressão hidrostática: depende do nível de referência selecionado. 
 
6.3.1 Pressão total ao longo de uma linha de corrente 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.6: Tubo de Pitot. 
111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto de estagnação  V = 0 
 
 
 
 
 
 Laminar = 
 Turbulento = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
112 
 
6.3.2 Exercícios de aplicação 
 
1) Um piezômetro e um tubo de Pitot são colocados em um tubo horizontal 
transportando água, como mostra a figura, para medir a pressão estática e de 
 ( á + ). ’á , 
determine a velocidade no centro do tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
113 
 
2) Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado, 
supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas 
seções. A área (1) é , enquanto o da garganta (2) é . Um 
manômetro, cujo fluido manométrico é mercúrio 
 
 
 , é ligado entre 
as seções (1) e (2) indicando o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da 
água que escoa pelo Venturi 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
114 
 
6.4 Extensão do Teorema de Bernoulli para os Líquidos Naturais (Fluidos 
Reais) – Perda de Carga 
 
A experiência não confirma rigorosamente o Teorema de Bernoulli porque os 
fluidos reais se afastam dos ideais (perfeitos). No movimento dos fluidos reais 
aparece o efeito da sua viscosidade e do atritoresultando na dissipação de uma 
parcela de sua energia que é transformada em calor. 
A essa energia dissipada denomina-se Perda de Carga , que será 
introduzida na equação de Bernoulli. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.1 Representação gráfica da Equação de Bernoulli para fluidos naturais (reais) 
Considere o reservatório de nível constante ao qual está ligada uma 
tubulação de diâmetro constante com um registro na parte final. 
 
 
 
 
Figura 6.7: Representação gráfica da perda de carga. 
 
 
 
 
 
Reservatório de Nível 
Constante 
115 
 
 Registro fechado: pelo princípio dos vasos comunicantes o líquido alcança 
nos tubos piezométricos A, B e C o mesmo nível do líquido no reservatório. Temos 
então o plano de carga efetivo (PCE). 
 Registro sendo aberto: com o registro agora sendo aberto e o nível do 
reservatório mantido constante, o líquido começa a adquirir velocidade e escoar pela 
tubulação. É fácil perceber que o nível de água nos tubos piezométricos A,B e C não 
mais alcançam o nível do reservatório. 
Quanto mais afastado do reservatório mais baixo será o nível no tubo 
piezométrico. Quanto maior a velocidade (o que se consegue abrindo mais o 
registro), menor também será o nível alcançado no piezômetro. Quanto menor o 
diâmetro do tubo, para uma mesma vazão, menor também será o nível alcançado no 
piezômetro. 
 Unindo-se agora os pontos correspondentes aos níveis alcançados pelo 
líquido nos piezômetros tem-se a chamada linha piezométrica (LP): lugar geométrico 
das cargas de posição e pressão (condições dinâmicas do escoamento), sendo a 
pressão referida na escala manométrica. 
 É interessante observar que quando o diâmetro é constante, ou LP é uma 
reta de declividade constante (o que significa que a perda de carga é diretamente 
proporcional ao comprimento da tubulação de diâmetro constante). 
 As alturas e do nível do líquido nos piezômetros até o PCE chamam-
se perda de carga ou perda de pressão ou perda de altura ou, ainda, perda de 
energia. 
 
6.4.2 Equação da Energia 
 
Quando se considera o escoamento de um fluido ideal, a equação utilizada é 
a de Bernoulli. Entretanto, se adicionarmos um segundo membro nesta equação, o 
termo da perda de carga, temos a chamada equação de energia (fluidos reais) 
utilizada. 
Com efeito, considera-se o esquema a seguir (representação gráfica), onde 
PCE significa (plano de carga efetivo), LCE (linha de carga efetiva): lugar geométrico 
116 
 
das cargas de posição, pressão e velocidade, estando a pressão referida na escala 
manométrica (condição dinâmica de escoamento); LP (linha piezométrica). 
A LCE se encontra sempre acima, e sempre defasada da LP de 
 
 
. Em muitos 
problemas de natureza prática, a LCE e LP se confundem por ser 
 
 
 muito pequeno. 
A LCE, por representar as condições dinâmicas do escoamento, também é 
conhecida como LE ou linha de energia. O PCE representa as condições estáticas 
do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A perda de carga é representada pela declividade da linha de carga efetiva ou 
a declividade da linha de carga piezométrica, que é o caso usual, sendo as duas 
linhas paralelas. 
 
 
 
 
117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota-se que a perda de carga agora só pode ser representada pela 
declividade da linha de energia, quando o diâmetro é variável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
118 
 
De forma geral, a linha de carga efetiva (LCE) ou linha de energia (LE) só 
pode decrescer ao longo do escoamento, e a linha piezométrica (LP) tanto pode 
crescer quanto decrescer ao longo do escoamento. 
 
6.4.3 Exercícios de Aplicação 
 
1) A água escoa pelo tubo indicado na figura, cuja seção varia do ponto 1 para o 
ponto 2 de para . Em (1) a pressão é de e a 
elevação é , ao passo que no ponto (2) a pressão é de na 
elevação de . Sabendo que a perda de carga entre os pontos (1) e (2) é 
 , calcule a vazão em . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
119 
 
2) Um tubo transportando óleo muda de diâmetro de para 
 . A seção 1-1 está abaixo de 2-2 e as pressões são 
respectivamente iguais a e . Se a vazão for igual a 
 , qual será a perda de carga e o sentido do escoamento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
120 
 
6.5 Exercícios de Fixação 
 
1) Supondo fluido ideal, mostrar que os jatos de dois orifícios na parede de um 
tanque interceptam-se num mesmo ponto sobre um plano, que passa pela base 
do tanque, se o nível do líquido acima do orifício superior é igual à altura do 
orifício inferior acima da base. 
 
2) Um tubo de Pitot é preso num barco que se desloca a 45 km/h. Qual será a altura 
h alcançada pela água no ramo vertical? 
 
 
3) Quais são as vazões de óleo em massa e em peso no tubo convergente da 
figura, para elevar uma coluna de 20 cm de óleo no ponto (0)? Dados: desprezar 
 p ; γóleo = 8.000 N/m³; g = 10 m/s². 
 
 
121 
 
4) Dado o dispositivo da figura, calcular a vazão do escoamento da água no 
 . D : γágua = 10
4 / ³; γm = 6 x 10
4 N/m³; P2 = 20 kPa; A = 10-2 m²; g 
= 10 m/s². Desprezar as perdas de carga e considerar o diagrama de velocidades 
uniforme. 
 
5) Na extremidade de uma tubulação de diâmetro D, encontra-se instalado um 
bocal que la j á (γá 1 4 N/m³) na atmosfera com diâmetro 
de 2 cm. O manômetro metálico registra uma pressão de 20 kPa e a água sobre 
no tubo de Pitot até a altura de 2,5 m. Nessas condições, determinar: 
a) a vazão em peso do escoamento; 
b) o diâmetro D do tubo, admitindo escoamento permanente e sem atrito. 
 
6) 6) No conduto da figura, o fluido é considerado ideal. Dados: H1 = 16 m; P1 = 52 
k ; γ 1 4 N/m³; D1 = D3 = 10 cm. Determinar: a) a vazão em peso; b) a altura 
h1 do manômetro; c) o diâmetro da seção (2). 
122 
 
 
7) Um dos métodos para se produzir vácuo numa câmara é descarregar água por 
um tubo convergentedivergente, como é mostrado na figura. Qual deve ser a 
vazão em massa de água pelo convergente-divergente para produzir uma 
depressão de 22 cm de mercúrio na câmara da figura? Dados: desprezar as 
p ; γá 1 4 / ³; γH 1, 6 x 1 5 / ³; 1 / ²; D1 7 
mm; D2 = 36 mm. 
 
 
GABARITO: 
2) h = 7,8 m 
3) Qm = 2,1 kg/s; Qp = 21 N/s 
4) Q = 40 L/s 
5) a) 22,2 N/s; D = 3 cm 
6) Qp = 314 N/s; h1 = 0; c) D2 = 5,7 cm 
7) Qm = 8,14 kg/s 
123 
 
UNIDADE 7 – PERDA DE CARGA 
 
7.1 Conceito 
 
É um termo genérico designativo do consumo de energia desprendido por um 
fluido para vencer as resistências ao escoamento. Essa energia se perde sob a 
forma de calor. 
Para se ter uma ideia, seriam necessários 100 m de tubulação para a água ter 
um aumento de temperatura de 0,234 graus centígrados. 
 
 
7.2 Regime de escoamento 
 
7.2.1 Experiência de Osborne Reynolds 
 
Em 1883 Osborne Reynolds realizou um experimento que mostrou a 
 x ê p : “ p f 
seguem-se ao longo de linhas de movimento e que vão da maneira mais direta 
possível ao seu destino, e outro em que se movem em trajetórias sinuosas da 
 p ív ”,