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3.2_VARIÁVEIS ALEATÓRIAS_

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Luana de Melo Pereira 
 
Disciplina: Estatística Básica 
Universidade Federal de Pelotas 
Centro das Engenharias - Ceng 
3.2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS E CONTÍNUAS 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS E CONTÍNUAS 
 Introdução e conceitos 
 Função de probabilidade 
 Medidas descritivas 
 
2 
Introdução e Conceitos 
 A probabilidade tem por objetivo avaliar a chance de ocorrência de 
eventos, necessitando, portanto, formular um modelo do experimento 
aleatório que permite a atribuição de probabilidades aos seus eventos; 
 
 Nesses experimentos há situações em que há interesse em uma única 
variável, a qual chamamos de variável unidimensional; em outras, mais 
de uma variável aleatória deverá ser considerada ao mesmo tempo, as 
quais chamamos bidimensional se for 2 variáveis e multidimensional se 
for mais de 2 variáveis aleatórias. 
3 
Experimento aleatório: Lançamento de uma moeda não viciada três vezes e 
observação das faces voltadas para cima que ocorrem. 
S={ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk} 
c 
k 
c 
k 
c 
k 
c 
k 
c 
k 
k 
c 
c 
k 
ccc 
cck 
ckc 
ckk 
kcc 
kck 
kkc 
kkk 
Diagrama 
em árvore 
4 
Sx: espaço onde 
x assume 
valores 
ccc 
cck 
ckc 
kcc 
ckk 
kck 
kkc 
kkk 
 
Tomando por exemplo: lançamento de uma moeda não viciada três vezes e 
observação das faces voltadas para cima que ocorrem. 
Seja X a variável aleatória número de coroas ocorrido nos 3 lançamentos, 
quais são os possíveis valores de X? 
X={0 1 2 3} 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
S: espaço 
onde x é 
definida 
Conjunto não 
numérico 
Conjunto numérico 
X é a variável que 
transforma um 
conjunto não 
numérico num 
conjunto numérico 
5 
6 
S 
Espaço 
amostral básico 
SX 
Espaço amostral 
da variável X 
 s  X(s) 
X é a função que 
transforma 
(espaço onde X assume valores) 
Definição: É uma função (ou regra) que transforma um espaço 
amostral qualquer em um espaço amostral numérico, que será 
sempre um subconjunto do conjunto dos números reais. 
Variáveis aleatórias 
Variáveis aleatórias 
Discretas 
Contínuas 
Sx enumerável, finito ou infinito, 
subconjunto dos inteiros. 
Sx não enumerável e contínuo. 
Definição: São discretas todas as variáveis cujo espaço 
amostral SX é enumerável finito ou infinito. 
Variáveis Aleatórias Discretas 
Lançamento de uma moeda 
honesta até que ocorra a 
face cara e observação das 
faces que ocorrem. 
X = número de coroas até 
que ocorra cara 
Lançamento de uma moeda 
honesta três vezes e observação 
das faces que ocorrem. 
X = número de coroas ocorrido 
nos três lançamentos 
7 
Sx={0 1 2 3} Sx={0 1 2 3 . . .} 
Definição: seja X uma variável aleatória discreta e Sx o seu espaço 
amostral. A função de probabilidade P(X=x) ou p(x) será a função que 
associa a cada valor de X a sua probabilidade de ocorrência, desde que 
atenda duas condições: 
Função de probabilidade 
  xSxxp  ,0.1
  1.2 
 xSx
xp
8 
c 
k 
c 
k 
c 
k 
c 
k 
c 
k 
k 
c 
c 
k 
ccc 
cck 
ckc 
ckk 
kcc 
kck 
kkc 
kkk 
Exemplo: Lançamento de uma moeda não viciada três vezes e observação 
das faces voltadas para cima que ocorrem. 
S={ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk} 
X= número de coroas ocorrido nos 3 lançamentos 
Sx={0 1 2 3} 
p(0)=1/8 
p(1)=3/8 
p(2)=3/8 
p(3)=1/8 
1ª condição 
1/8 + 3/8 + 3/8 +1/8=1 2ª condição 
9 
Formas de representação da função 
 Representação tabular: consiste em relacionar em uma 
tabela os valores da função de probabilidade, ou seja, 
trata-se de uma distribuição das probabilidades de uma 
variável aleatória. 
 
 Representação gráfica: consiste em representar 
graficamente a relação entre os valores da variável e 
suas probabilidades. 
 
 Representação analítica: estabelece uma expressão 
geral para representar o valor da função de 
probabilidade num ponto genérico da variável. 
10 
p(0)=1/6 
p(1)=4/6 
p(2)=1/6 
Exemplo: Duas bolas idênticas distinguíveis apenas pela cor são retiradas 
sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que contém 4 bolas: 2 
verdes e 2 laranjas. Seja X a variável aleatória número de bolas verdes 
retiradas, determine a função de probabilidade P(X=x). 
L1 
L2 
V1 
V2 
S Sx 
L1 
L2 
V1 
V2 
L2 
V1 
V2 
V1 V2 
L1L2 
L1V1 
L1V2 
L2V1 
L2V2 
V1V2 
0 
 
1 
 
2 
X = número de bolas verdes 
# S = C4
2 = 6 
SX = {0, 1, 2} 
11 
 Representação tabular ou distribuição de probabilidade: 
X=x 0 1 2 ∑ 
P(X=x) 1/6 4/6 1/6 1 
 Representação gráfica: 
12 
 Representação analítica: 
6
1
)0(
2
4
2
2
0
2 
C
CC
XP
6
4
)1(
2
4
1
2
1
2 
C
CC
XP
6
1
)2(
2
4
0
2
2
2 
C
CC
XP
2
4
2
22)(
C
CC
xXP
xx 

para Sx={0 1 2} 
L2 
L1 V1 
V2 
Sx={0 1 2} 
Retira-se 2 bolas sem reposição 
X=nº de bolas verdes 
13 
Medidas descritivas 
S Sx 
X 
Pode-se usar as 
medidas descritivas 
para representar as 
distribuições de 
probabilidade de 
variáveis aleatórias. 
E(X) ou µ 
V(X) ou σ2 
DP(X) ou σ 
14 
 Média ou valor esperado 
Definição: seja X uma variável aleatória discreta e Sx o seu espaço 
amostral, o valor médio de X, representado por E(X) ou µx ou apenas µ, é a 
média dos valores de X ponderada pelas suas respectivas probabilidades 
de ocorrência. 









x
x
x
Sx
Sx
Sx
xxp
xp
xxp
XE )(
1)(
)(
)(
15 
Retomando o exemplo: 
X=x 0 1 2 ∑ 
P(X=x) 1/6 4/6 1/6 1 



xSx
xxpXE )()( 
= 0x1/6 + 1x4/6 + 2x1/6 = 1,0 bola verde 
Significado: se repetirmos 
o experimento várias vezes 
esperaremos que o número 
médio de bolas verdes 
retiradas seja 1,0 
µx ≠ x 
µx é a média da população dos 
valores de X ou da distribuição 
de probabilidade de X. 
X é a média de alguns valores 
 de x, geralmente uma 
 amostra de valores. 
OBS: o mesmo é válido para σ2x ≠ S
2 e σ ≠ S 
16 
 Variância 
Definição: seja X uma variável aleatória discreta e Sx o seu espaço 
amostral, a variância de X, representado por V(X) ou σ2x ou apenas σ
2, é o 
grau médio de dispersão dos valores de X em relação à sua média. 



xSx
xpxXV )()()( 22 
 Desvio Padrão 
Definição: é a raiz quadrada positiva da variância representado por DP(X) 
ou σx ou apenas σ. 
2)(  XDP
17 
Retomando o exemplo: 
X=x 0 1 2 ∑ 
P(X=x) 1/6 4/6 1/6 1 



xSx
xpxXV )()()( 2
0,1)(  XE
= (0-1)2 x 1/6 + (1-1)2 x 4/6 + (2-1)2 x 1/6 = 2/6 = 0,33333 bolas verdes2 
58,033333,0)( 2  XDP bolas verdes 
Significado: se repetirmos o 
experimento várias vezes 
esperaremos que a variação 
média do nº de bolas verdes 
retiradas em torno do valor 
esperado seja 0,58. 
18 
 
 
 
Numa feira nacional de carros durante o mês de dezembro, um vendedor 
recebe uma comissão de R$ 700,00 por uma venda. Baseado em suas 
experiências anteriores ele calculou a distribuição de probabilidades das 
vendas semanais: 
 
 
(a) Qual é o valor esperado de vendas por semana? Quanto ele espera 
receber por semana? 
(b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 2100,00 por semana? 
(c) Qual o desvio padrão das vendas semanais? 
x 0 1 2 3 4
f(x)0,10 0,20 0,40 0,20 0,10
Exercício Proposto 
19 
(a) E(X) = 0.0,10 + 1.0,20 + 2.0,40 + 3.0,20 + 4.0,10 = 2 vendas por 
semana. Logo, como ele recebe R$ 700,00 por venda a renda 
esperada semanal é: R$ 1400,00. 
 
(b) Para ganhar pelo menos R$ 2100,00 por semana ele deve realizar 3 ou 
4 vendas por semana. Esta probabilidade é: 
 P(X  3) = 0,20 + 0,10 = 0,30 = 30% 
 
(c) Deve-se inicialmente calcular o valor da variância: 
 
 
 
 
O desvio padrão será: 
 



xSx
xpxXV )()()( 2
V(X) = (0-2)2x0,1 + (1-2)2 x0,2 + (2-2)2x0,4 + (3-2)2x0,2 + (4-2)2x0,1 = 1,2 vendas2 
 2,12
1,10 vendas 
20 
a  
b
a
xdx
b 
 
b
a
xdxx.
K+1 
K+1 
a 
b 
  
c
a
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Propriedades da integral 
 
b
a
b
a
dxxfcdxxfc )()(.
  
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Regras de integração 
1. 
2. 
3. 
1. 
2. 
Resolvendo a integral 
definida 
)()()]([)( aFbFXFdxxf
b
a
 a 
b 
21 

2
0
2
4
3
dxx
resolva as integrais para 
próxima aula 
1. 
2. 
3. 
 
3
1
32 )]
3
1
(2[ dxxxx

4
1
4dx
Resp.= 12 
Resp.= 2 
Resp.= 72,27 
22 
23 
Variáveis Aleatórias Contínuas 
Definição: São contínuas todas as variáveis cujo espaço 
amostral SX é não enumerável. 
  Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir 
qualquer valor num intervalo [a; b] ou no intervalo (-;+). 
  O espaço SX será sempre definido como um intervalo do 
conjunto dos reais, sendo, portanto, um conjunto infinito. 
Exemplos: 
  tempo de vida de um animal 
  vida útil de um componente eletrônico 
  peso de uma pessoa 
  produção de leite de uma vaca 
  quantidade de chuva que ocorre numa região 
24 
1. f(x)  0,  xSX 
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e Sx o seu 
espaço amostral. Uma função f associada a variável X é 
denominada função densidade de probabilidade (fdp) se 
satisfizer duas condições: 
2. 
1 f(x)dx
XS
 
 P(XSX) Esta área corresponde à 
probabilidade de a variável X 
pertencer ao espaço 
amostral SX 
É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico 
esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a 
função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um). 
Função Densidade de Probabilidade 
25 
área = 1 
área = 1 
SX 
x 
f (x) 
0 
SX 
f (x) 
x 0 
26 
Seja a função f (x) = 2x, no intervalo SX = [0,1]. 
Verifique se f (x) é uma função densidade de 
probabilidade. 
Primeira condição: f (x)  0,  xSX 
f (x=0) = 20 = 0 
f (x) = 2x 
f (x=1) = 21 = 2 
x 0 1 
2 
1 
f (x) 
Todos os valores da função f (x) são não 
negativos no intervalo de 0 a 1. 
SX 
Como a função é linear, são necessários 
dois pontos para traçar a reta. 
Por conveniência esses pontos são os 
limites do intervalo SX. 
 
 
Exemplo 
27 
1 f(x)dx
XS
 
Segunda condição: 
A área sob a função f (x) no 
intervalo SX, que equivale a 
P(XSX), é igual a 1. 
A função f (x) = 2x, no intervalo 
SX =[0, 1] é uma função 
densidade de probabilidade!! 
  
1
0
1
0
22 xdxxdx
2 . x2 
2 
0 
1 
= 2. 12 - 02 
2 2 
= 2. 1 - 0 
2 2 
= 2. (0,5 - 0) = 1 
28 
Seja A=[0, 1/2]. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A? 
Probabilidade = área 
P(0  X  1/2) 
  
2/1
0
2/1
0
22 xdxxdx
2 . x2 
2 
0 
1/2 
= 2. 0,52 - 02 
2 2 
= 2. 0,25 - 0 
2 2 
= 2. (0,125 - 0) = 0,25 ou 1/4 
A 
29 
Importante!!! 
No caso de variáveis contínuas, as representações 
axb, axb, axb e axb são todas equivalentes, 
pois a probabilidade num ponto, por definição, é nula. 
  
A
a
a
0F(a)F(a)xf(x)d f(x)dx P(A)
Seja o evento A={x; x=a}. Então, 
A 
30 


x
f(t)dt
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o 
seu espaço amostral. A função de distribuição ou 
probabilidade acumulada, denotada por F(x) ou P(Xx), é a 
função que associa a cada ponto xSX a probabilidade 
P(Xx). Desta forma, tem-se 
F(x) = P(X  x) = , para SX = (-;+). 
Função de Distribuição ou Probabilidade Acumulada 
31 
x
F(x) f(t) dt 

 
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1] 
2xF(x) 
x
0
2t dt  
x
2
0
t
2
2
 
  
 
2 2 
= 2. x2 - 02 
f (x) = x2 = 2x 
32 
2xF(x) 
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1] 
A=[0, 1/2] 
B=[1/2, 1] 
111)P(XF(1) 2 
      1/41/21/2XP1/2F 2 
P(A) = F(1/2)=1/4 
P(B) = F(1)-F(1/2) =1-1/4=3/4 
33 

XS
f(x)dxx 
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço 
amostral, o valor esperado de X, denotado por E(X) ou  , será dado por 
E(X) =  = 
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço 
amostral, a variância de X, denotada por V(X) ou 2, será dada por 
2
S
2222 μf(x)dxxμ)E(XσV(X)
X









 
(Fórmula prática) 
Média ou valor esperado 
 Variância 
Medidas descritivas 
34 
   
xS
E(X) xf(x) dx 
   2 2 2V(X) E(X )
Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1] 
 
1
0
x2x dx 
 
1
2
0
 2x dx  
1
2
0
2 x dx
 
  
 
13
0
x
2
3

2
3
 
  
 

1
2 2
0
x 2x dx
   
   
  

21
3
0
2
2x dx
3
   
   
   
14
0
x 4
2
4 9
 
1 4
2 9

 
9 8 1
18 18
35 
Solução: 
 = E(X) 
 
2 = V(X) 
0
1
x f(x) dx

 
0
2
1
x (3x ) dx

 
0
3
1
(3x ) dx

 
0
4
1
3
4
x

 
  
 
0
2 2
1
x f(x) dx 

 
 
20
2 2
1
3x (3x ) dx
4
  
 
0
4
1
93x dx
16
   
0
5
1
x 93
165

 
  
 
3
4
 
3 9
5 16
 
3
80

Exemplo 
Determinar a média e a variância da função cuja 
fdp é dada por: f(x) = 3x2 sendo S={-1  x  0} 
22 μ)E(X 
Próxima aula 
 - 3.3. Distribuições de Probabilidade 
Para variável discreta 
Para variável contínua

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