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Luana de Melo Pereira Disciplina: Estatística Básica Universidade Federal de Pelotas Centro das Engenharias - Ceng 3.2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS Introdução e conceitos Função de probabilidade Medidas descritivas 2 Introdução e Conceitos A probabilidade tem por objetivo avaliar a chance de ocorrência de eventos, necessitando, portanto, formular um modelo do experimento aleatório que permite a atribuição de probabilidades aos seus eventos; Nesses experimentos há situações em que há interesse em uma única variável, a qual chamamos de variável unidimensional; em outras, mais de uma variável aleatória deverá ser considerada ao mesmo tempo, as quais chamamos bidimensional se for 2 variáveis e multidimensional se for mais de 2 variáveis aleatórias. 3 Experimento aleatório: Lançamento de uma moeda não viciada três vezes e observação das faces voltadas para cima que ocorrem. S={ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk} c k c k c k c k c k k c c k ccc cck ckc ckk kcc kck kkc kkk Diagrama em árvore 4 Sx: espaço onde x assume valores ccc cck ckc kcc ckk kck kkc kkk Tomando por exemplo: lançamento de uma moeda não viciada três vezes e observação das faces voltadas para cima que ocorrem. Seja X a variável aleatória número de coroas ocorrido nos 3 lançamentos, quais são os possíveis valores de X? X={0 1 2 3} 0 1 2 3 S: espaço onde x é definida Conjunto não numérico Conjunto numérico X é a variável que transforma um conjunto não numérico num conjunto numérico 5 6 S Espaço amostral básico SX Espaço amostral da variável X s X(s) X é a função que transforma (espaço onde X assume valores) Definição: É uma função (ou regra) que transforma um espaço amostral qualquer em um espaço amostral numérico, que será sempre um subconjunto do conjunto dos números reais. Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias Discretas Contínuas Sx enumerável, finito ou infinito, subconjunto dos inteiros. Sx não enumerável e contínuo. Definição: São discretas todas as variáveis cujo espaço amostral SX é enumerável finito ou infinito. Variáveis Aleatórias Discretas Lançamento de uma moeda honesta até que ocorra a face cara e observação das faces que ocorrem. X = número de coroas até que ocorra cara Lançamento de uma moeda honesta três vezes e observação das faces que ocorrem. X = número de coroas ocorrido nos três lançamentos 7 Sx={0 1 2 3} Sx={0 1 2 3 . . .} Definição: seja X uma variável aleatória discreta e Sx o seu espaço amostral. A função de probabilidade P(X=x) ou p(x) será a função que associa a cada valor de X a sua probabilidade de ocorrência, desde que atenda duas condições: Função de probabilidade xSxxp ,0.1 1.2 xSx xp 8 c k c k c k c k c k k c c k ccc cck ckc ckk kcc kck kkc kkk Exemplo: Lançamento de uma moeda não viciada três vezes e observação das faces voltadas para cima que ocorrem. S={ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk} X= número de coroas ocorrido nos 3 lançamentos Sx={0 1 2 3} p(0)=1/8 p(1)=3/8 p(2)=3/8 p(3)=1/8 1ª condição 1/8 + 3/8 + 3/8 +1/8=1 2ª condição 9 Formas de representação da função Representação tabular: consiste em relacionar em uma tabela os valores da função de probabilidade, ou seja, trata-se de uma distribuição das probabilidades de uma variável aleatória. Representação gráfica: consiste em representar graficamente a relação entre os valores da variável e suas probabilidades. Representação analítica: estabelece uma expressão geral para representar o valor da função de probabilidade num ponto genérico da variável. 10 p(0)=1/6 p(1)=4/6 p(2)=1/6 Exemplo: Duas bolas idênticas distinguíveis apenas pela cor são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que contém 4 bolas: 2 verdes e 2 laranjas. Seja X a variável aleatória número de bolas verdes retiradas, determine a função de probabilidade P(X=x). L1 L2 V1 V2 S Sx L1 L2 V1 V2 L2 V1 V2 V1 V2 L1L2 L1V1 L1V2 L2V1 L2V2 V1V2 0 1 2 X = número de bolas verdes # S = C4 2 = 6 SX = {0, 1, 2} 11 Representação tabular ou distribuição de probabilidade: X=x 0 1 2 ∑ P(X=x) 1/6 4/6 1/6 1 Representação gráfica: 12 Representação analítica: 6 1 )0( 2 4 2 2 0 2 C CC XP 6 4 )1( 2 4 1 2 1 2 C CC XP 6 1 )2( 2 4 0 2 2 2 C CC XP 2 4 2 22)( C CC xXP xx para Sx={0 1 2} L2 L1 V1 V2 Sx={0 1 2} Retira-se 2 bolas sem reposição X=nº de bolas verdes 13 Medidas descritivas S Sx X Pode-se usar as medidas descritivas para representar as distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias. E(X) ou µ V(X) ou σ2 DP(X) ou σ 14 Média ou valor esperado Definição: seja X uma variável aleatória discreta e Sx o seu espaço amostral, o valor médio de X, representado por E(X) ou µx ou apenas µ, é a média dos valores de X ponderada pelas suas respectivas probabilidades de ocorrência. x x x Sx Sx Sx xxp xp xxp XE )( 1)( )( )( 15 Retomando o exemplo: X=x 0 1 2 ∑ P(X=x) 1/6 4/6 1/6 1 xSx xxpXE )()( = 0x1/6 + 1x4/6 + 2x1/6 = 1,0 bola verde Significado: se repetirmos o experimento várias vezes esperaremos que o número médio de bolas verdes retiradas seja 1,0 µx ≠ x µx é a média da população dos valores de X ou da distribuição de probabilidade de X. X é a média de alguns valores de x, geralmente uma amostra de valores. OBS: o mesmo é válido para σ2x ≠ S 2 e σ ≠ S 16 Variância Definição: seja X uma variável aleatória discreta e Sx o seu espaço amostral, a variância de X, representado por V(X) ou σ2x ou apenas σ 2, é o grau médio de dispersão dos valores de X em relação à sua média. xSx xpxXV )()()( 22 Desvio Padrão Definição: é a raiz quadrada positiva da variância representado por DP(X) ou σx ou apenas σ. 2)( XDP 17 Retomando o exemplo: X=x 0 1 2 ∑ P(X=x) 1/6 4/6 1/6 1 xSx xpxXV )()()( 2 0,1)( XE = (0-1)2 x 1/6 + (1-1)2 x 4/6 + (2-1)2 x 1/6 = 2/6 = 0,33333 bolas verdes2 58,033333,0)( 2 XDP bolas verdes Significado: se repetirmos o experimento várias vezes esperaremos que a variação média do nº de bolas verdes retiradas em torno do valor esperado seja 0,58. 18 Numa feira nacional de carros durante o mês de dezembro, um vendedor recebe uma comissão de R$ 700,00 por uma venda. Baseado em suas experiências anteriores ele calculou a distribuição de probabilidades das vendas semanais: (a) Qual é o valor esperado de vendas por semana? Quanto ele espera receber por semana? (b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 2100,00 por semana? (c) Qual o desvio padrão das vendas semanais? x 0 1 2 3 4 f(x)0,10 0,20 0,40 0,20 0,10 Exercício Proposto 19 (a) E(X) = 0.0,10 + 1.0,20 + 2.0,40 + 3.0,20 + 4.0,10 = 2 vendas por semana. Logo, como ele recebe R$ 700,00 por venda a renda esperada semanal é: R$ 1400,00. (b) Para ganhar pelo menos R$ 2100,00 por semana ele deve realizar 3 ou 4 vendas por semana. Esta probabilidade é: P(X 3) = 0,20 + 0,10 = 0,30 = 30% (c) Deve-se inicialmente calcular o valor da variância: O desvio padrão será: xSx xpxXV )()()( 2 V(X) = (0-2)2x0,1 + (1-2)2 x0,2 + (2-2)2x0,4 + (3-2)2x0,2 + (4-2)2x0,1 = 1,2 vendas2 2,12 1,10 vendas 20 a b a xdx b b a xdxx. K+1 K+1 a b c a c b b a dxxfdxxfdxxf )()()( Propriedades da integral b a b a dxxfcdxxfc )()(. b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ Regras de integração 1. 2. 3. 1. 2. Resolvendo a integral definida )()()]([)( aFbFXFdxxf b a a b 21 2 0 2 4 3 dxx resolva as integrais para próxima aula 1. 2. 3. 3 1 32 )] 3 1 (2[ dxxxx 4 1 4dx Resp.= 12 Resp.= 2 Resp.= 72,27 22 23 Variáveis Aleatórias Contínuas Definição: São contínuas todas as variáveis cujo espaço amostral SX é não enumerável. Se X é uma variável aleatória contínua, X pode assumir qualquer valor num intervalo [a; b] ou no intervalo (-;+). O espaço SX será sempre definido como um intervalo do conjunto dos reais, sendo, portanto, um conjunto infinito. Exemplos: tempo de vida de um animal vida útil de um componente eletrônico peso de uma pessoa produção de leite de uma vaca quantidade de chuva que ocorre numa região 24 1. f(x) 0, xSX Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e Sx o seu espaço amostral. Uma função f associada a variável X é denominada função densidade de probabilidade (fdp) se satisfizer duas condições: 2. 1 f(x)dx XS P(XSX) Esta área corresponde à probabilidade de a variável X pertencer ao espaço amostral SX É toda a função que não assuma valores negativos, ou cujo gráfico esteja acima do eixo das abscissas, e cuja área compreendida entre a função e o eixo das abscissas seja igual a 1 (um). Função Densidade de Probabilidade 25 área = 1 área = 1 SX x f (x) 0 SX f (x) x 0 26 Seja a função f (x) = 2x, no intervalo SX = [0,1]. Verifique se f (x) é uma função densidade de probabilidade. Primeira condição: f (x) 0, xSX f (x=0) = 20 = 0 f (x) = 2x f (x=1) = 21 = 2 x 0 1 2 1 f (x) Todos os valores da função f (x) são não negativos no intervalo de 0 a 1. SX Como a função é linear, são necessários dois pontos para traçar a reta. Por conveniência esses pontos são os limites do intervalo SX. Exemplo 27 1 f(x)dx XS Segunda condição: A área sob a função f (x) no intervalo SX, que equivale a P(XSX), é igual a 1. A função f (x) = 2x, no intervalo SX =[0, 1] é uma função densidade de probabilidade!! 1 0 1 0 22 xdxxdx 2 . x2 2 0 1 = 2. 12 - 02 2 2 = 2. 1 - 0 2 2 = 2. (0,5 - 0) = 1 28 Seja A=[0, 1/2]. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A? Probabilidade = área P(0 X 1/2) 2/1 0 2/1 0 22 xdxxdx 2 . x2 2 0 1/2 = 2. 0,52 - 02 2 2 = 2. 0,25 - 0 2 2 = 2. (0,125 - 0) = 0,25 ou 1/4 A 29 Importante!!! No caso de variáveis contínuas, as representações axb, axb, axb e axb são todas equivalentes, pois a probabilidade num ponto, por definição, é nula. A a a 0F(a)F(a)xf(x)d f(x)dx P(A) Seja o evento A={x; x=a}. Então, A 30 x f(t)dt Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral. A função de distribuição ou probabilidade acumulada, denotada por F(x) ou P(Xx), é a função que associa a cada ponto xSX a probabilidade P(Xx). Desta forma, tem-se F(x) = P(X x) = , para SX = (-;+). Função de Distribuição ou Probabilidade Acumulada 31 x F(x) f(t) dt Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1] 2xF(x) x 0 2t dt x 2 0 t 2 2 2 2 = 2. x2 - 02 f (x) = x2 = 2x 32 2xF(x) Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1] A=[0, 1/2] B=[1/2, 1] 111)P(XF(1) 2 1/41/21/2XP1/2F 2 P(A) = F(1/2)=1/4 P(B) = F(1)-F(1/2) =1-1/4=3/4 33 XS f(x)dxx Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral, o valor esperado de X, denotado por E(X) ou , será dado por E(X) = = Definição: Seja X uma variável aleatória contínua e SX o seu espaço amostral, a variância de X, denotada por V(X) ou 2, será dada por 2 S 2222 μf(x)dxxμ)E(XσV(X) X (Fórmula prática) Média ou valor esperado Variância Medidas descritivas 34 xS E(X) xf(x) dx 2 2 2V(X) E(X ) Exemplo: f (x) = 2x, SX =[0,1] 1 0 x2x dx 1 2 0 2x dx 1 2 0 2 x dx 13 0 x 2 3 2 3 1 2 2 0 x 2x dx 21 3 0 2 2x dx 3 14 0 x 4 2 4 9 1 4 2 9 9 8 1 18 18 35 Solução: = E(X) 2 = V(X) 0 1 x f(x) dx 0 2 1 x (3x ) dx 0 3 1 (3x ) dx 0 4 1 3 4 x 0 2 2 1 x f(x) dx 20 2 2 1 3x (3x ) dx 4 0 4 1 93x dx 16 0 5 1 x 93 165 3 4 3 9 5 16 3 80 Exemplo Determinar a média e a variância da função cuja fdp é dada por: f(x) = 3x2 sendo S={-1 x 0} 22 μ)E(X Próxima aula - 3.3. Distribuições de Probabilidade Para variável discreta Para variável contínua
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