Raciocínio Lógico Bruno Villar 10 pontos importantes para prova

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10 pontos importantes para prova AFT/2103 
Raciocínio Lógico 
Professor Bruno Villar 
 
 
1 
Ponto 1: operadores lógicos 
 
RESUMO: 
Conectivo Símbolo Forma simbólica Sentido 
Disjunção inclusiva 
 p  q Ocorre p ou ocorre q ou ambos 
Disjunção exclusiva 
 p  q 
Ocorre p ou ocorre q mas não ocorre 
ambos 
Conjunção 
 p  q Ocorre p e q 
Condicional p q Se ocorre p então q também ocorre 
Bicondicional 
 p  q Ou ocorre p e q , ou não ocorre p e q 
 
 
RESUMO DA TABELA 
Conectivo Forma simbólica Dica 
Disjunção inclusiva p  q 1 V = V 
Disjunção exclusiva 
p  q 
Símbolos diferentes (VF ou FV) = V 
Conjunção p  q 1 F = F 
Condicional p q VF = F 
Bicondicional p  q Símbolos iguais (VV ou FF ) =V 
 
 
 
 

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2 
Ponto 2: Negação de uma proposição composta 
 
Negação da disjunção 
 
Fórmula: ~( p q )  ~ p ~q 
 
Cuidado: As expressões: ~( p q) e ~ p q não representam a mesma coisa , a primeira expressão a negação da 
conjunção e a segunda a negação de p “ou” q 
 
Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta) depois colocar o conectivo “e” e negar a segunda proposição ( 
simples ou composta). 
 
 
Exemplo: 
 
Q: Catarina é ocupante de cargo de chefia ou diretoria. 
~Q: Catarina não é ocupante de cargo de chefie e não é ocupante de cargo de diretoria. 
~ Q: Catarina não é ocupante de cargo de chefia nem de diretoria. 
 
Dica: nem = e + não 
 
 
 
Negação da conjunção 
 
Fórmula: ~( p q )  ~ p ~q 
 
Dica: Negar a primeira proposição (simples ou composta) depois colocar o conectivo “ou” e negar a segunda proposição 
(simples ou composta). 
 
P: Mário é alto e Jorge é culpado. 
Q: João Pessoa é a capital da Paraíba e Sergipe é a capital de Brasília. 
~ Q: João Pessoa não é a capital da Paraíba ou Sergipe não é a capital de Brasília. 
 
 
 
Negação da condicional 
 
Fórmula: ~ ( p q)  p ~q 
 
Dica: Conserva a primeira proposição (simples ou composta) colocar o conectivo “e” e depois negar somente a 
segunda proposição ( simples ou composta). 
 
Exemplo: 
 
 P : Se corro , então canso. 
~ P : Corro e não canso. 
 
 
 
 
 
 
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3 
Negação da bicondicional 
 
Fórmula: ~ ( p  q ) = ~ p  q outra opção p  ~ q. 
 
Dica: Na negação da bicondicional o conectivo conserva e temos a livre escolha de negar uma proposição e conservar 
a outra. 
 
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4 
Ponto 3: Equivalência lógica 
 
A condicional possui duas expressões equivalentes 
 
 p q ¬ q p ¬ p q 
 
 
1ª forma: p q q p (contra-positiva) 
 
Uma expressão equivalente a condicional é trocar a posição dos termos negando ambos e mantendo o condicional. Se 
corro, então canso. (p q) é equivalente a se não canso, então não corro. ( q p). 
 
2ª forma: p q p q ( a negação da negação da condicional) 
 
Uma expressão equivalente a condicional é negar a primeira proposição colocar o conectivo “ou” e manter a segunda 
proposição na forma original. Se não canso, então não corro. ( q p) é equivalente a frase “Não corro ou canso”. 
( p q) 
 
 
Resumo: 
 Se corro, então canso.( p q) 
 Se não canso, então não corro. ( q p) 
 Não corro ou canso. ( p q) 
 
Obs.: Essas três frases do ponto de vista lógico representam a mesma coisa 
 
Equivalência da bicondicional: (p  q) (p q) ^ (q p) 
 
Equivalência da disjunção p q = p q 
 
 
 







  
   


 
  
 

  
 

 
  
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Ponto 4: Análise Combinatória 
 
1ª Observação: Análise Combinatória. 
O candidato deve estudar o principio fundamental de contagem , combinação e permutação. 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM (PFC) 
Definição: É o total de possibilidades de o evento ocorrer. 
Princípio multiplicativo: P1. P2. P3. ... .Pn.(regra do “e”) 
Princípio aditivo: P1 + P2 + P3 + ... + Pn. (regra do “ou”) 
 
Exemplo: (ABIN CESPE 2010) Considere que uma das técnicas de acompanhamento de investigado que se 
desloque por uma rua retilínea consista em manter um agente no mesmo lado da via que o investigado, alguns 
metros atrás deste, e dois outros agentes do lado oposto da rua, um caminhando exatamente ao lado do investigado 
e outro, alguns metros atrás. Nessa situação, há 10 maneiras distintas de 3 agentes previamente escolhidos se 
organizarem durante uma missão de acompanhamento em que seja utilizada essa técnica. 
 
Resolução: 
Temos que escolher 3 pessoas para três posições. 
1ª Posição (No mesmo lado da via) = 3 (total de agentes) 
2ª posição ( lado oposto na mesma direção) = 2 ( pois já escolhemos um agente) 
3ª posição ( lado oposto alguns metros atrás)= 1 ( pois já escolhemos dois agentes) 
Resultado = 3.2.1= 6 possibilidades. 
Item Errado 
 
Combinação: É uma escolha de grupos de nomes (pessoas, países, times, etc.), coisas ou objetos, frutas e pontos. 
Esses elementos escolhidos diferem apenas pela natureza, por exemplo: 
João e Maria é igual à Maria e João, porém João e Maria é diferente de João e Cristina. 
Fórmula: 
Cn,p = p (casas em ordem decrescente começando pelo n) 
 P! 
Exemplo: C5,2 = !2
4.5
 
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6 
 
Exemplo: (Perito Criminal – Formação: Processamento de Dados – Renato Chaves) Para formar um grupo de 
investigação, um centro de pesquisas dispõe de 22 peritos com especialidades distintas. Se esse grupo de 
investigação deve ter 3 peritos, então a quantidade de maneiras distintas para se formar esse grupo é igual a 
(A) 1.540 
(B) 3.080 
(C) 8.000 
(D) 9.240 
 
RESOLUÇÃO: 
Temos 22 peritos e devemos escolher 3. Nesse caso, a questão que envolve combinação. 
 
C22,3 = !3
20.1.2.22
 = 1.2.3
20.21.22
 = 6
9240
 = 1540 
 
Resposta: letra A. 
 
PERMUTAÇÃO 
Permutação sem repetição: n! 
Permutação com repetição: !...!!
!
cba
n
 
n: total de elementos 
a,b,c...: Quantidade de repetições do elemento. 
Permutação Circular: (n - 1)! 
n = total de pessoas em agrupamento circular 
 
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PONTO 5: PROBABILIDADE 
 
Noção inicial de Probabilidade 
P(A) = amostralespaço
evento
 
 
PROBABILIDADE DA UNIÃO 
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) 
 
Exemplo: De acordo com o jornal espanhol El País, em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da 
América Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema desses 
países, provocando uma grande quantidade de mortes. O índice de homicídios por 100.000 habitantes na América 
Latina é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em El Salvador, 65 na Colômbia, 50 na Guatemala. 
Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o item que se segue. 
Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja 
assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvadorou da Guatemala, 
então, em cada 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a 10
-5
. 
 
RESOLUÇÃO: 
Calcular a probabilidade de alguém ser assassinado em El Salvador ou Guatemala. 
P(A B) = P(A) + P(B) 
P(A B) = 100000
45
 + 100000
50
 = 100000
95
 = 0,00095 
Na Europa, a probabilidade é 30 vezes menor. 
P(C) = 30
00095,0
 = 30
10.95
5
 = 3,16. 10
-5
 
3,16. 10
-5 
é
 
superior a 10
-5
. 
Item errado. 
 
PROBABILIDADE DE ELEMENTOS SUCESSIVOS (REGRA DO E) 
 
P(A B)= P(A) .P(B) 
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Dica: Aplicamos essa regra quando temos 2 ou mais sorteios. 
Exemplo: Considere que a prova objetiva de um concurso tenha 5 questões de múltipla escolha, com 4 opções cada 
uma. Considere também que as questões sejam independentes e que um candidato responda a todas elas 
aleatoriamente. Nessa situação, a probabilidade de ele acertar todas as questões é inferior a 0,05%. 
 
RESOLUÇÃO: 
Serão 5 sorteios, sendo o espaço amostral de cada igual 4 (total de opções) e o evento será 1. 
P(A B) = 4
1
. 4
1
. 4
1
. 4
1
. 4
1
 =1024
1
 = 0,09% 
Item errado. 
 
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Ponto 6: Teoria dos Conjuntos. 
 
Nesse tópico, o candidato deve estudar operações entre conjuntos ( União, Intersecção e diferença) e reunião de 
elementos. 
 
OPERAÇÕES DE CONJUNTOS 
União 
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: A B= {x/x A ou x B} 
 
 
Considere o conjunto A {1, 2, 3} e o conjunto B {3,4,5}. Determine o conjunto A B. 
Resposta: A  B = {1, 2, 3, 4, 5} 
 
Intersecção 
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A  B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: A  B = {x/x  A e x B} 
 
Considere o conjunto A {1, 2, 3} e o conjunto B {3,4,5}. Determine o conjunto A  B. 
 A  B = {3} 
 
Diferença 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja, A – B = {x/x  A e x  B} 
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Considere o conjunto A {1, 2, 3} e o conjunto B {3,4,5}. Determine o conjunto A – B. 
Resposta: A – B = {1, 2 } 
 
REUNIÃO DE ELEMENTOS 
Caso 1: 2 conjuntos 
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B). 
 
Caso 2: 3 conjuntos 
n(A  B  C = n(A) + n(B) + n(C) + n(A  B) + n ( A  C) + n( B C) – n(A  B  C) 
 
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Ponto 7: Lógica de Argumentação. 
 
Esse ponto reforça a cobrança de argumento lógico. 
Exemplo: Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura. Se Heloísa e Flávia 
têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme. Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então 
Rodolfo é mais alto que Heloísa. Ora, Rodolfo não e mais alto que Heloísa. Logo: 
 
(A) Rodolfo não é mais alto que Guilherme, e Heloísa e Flávia não têm a mesma altura. 
(B) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Heloísa e Flávia têm a mesma altura. 
(C) Rodolfo não é mais alto que Flávia, e Alexandre é mais baixo que Guilherme. 
(D) Rodolfo e Alexandre são mais baixos que Guilherme. 
(E) Rodolfo é mais alto que Guilherme, e Alexandre é mais baixo que Heloísa. 
 
Resolução: 
Assunto: argumento lógico. 
Processo considerar as premissas sendo verdadeiras. 
Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura.(V) 
Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme.(V) 
Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. (V) 
Rodolfo não e mais alto que Heloísa.(V) 
1ª degrau: Rodolfo não e mais alto que Heloísa.(V) 
2ª degrau: Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. (V) 
No segundo degrau , utilizamos a premissa que aparece a proposição “Rodolfo não e mais alto que Heloísa” 
 
 Se Alexandre é mais baixo que Guilherme, então Rodolfo é mais alto que Heloísa. (V) 
 F F 
A proposição “Alexandre é mais baixo que Guilherme” é uma proposição falsa, pois na condicional (se..então) FF 
= V e VF=F . 
Nesse caso , como a premissa é verdadeira então a dupla utilizada será a FF= V. 
 
3ª degrau: Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme. 
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Se Heloísa e Flávia têm a mesma altura então Alexandre é mais baixo que Guilherme. 
 F F 
A proposição “Heloísa e Flávia têm a mesma altura” é uma proposição falsa, pois na condicional (se...então) FF = 
V e VF=F. 
Nesse caso, como a premissa é verdadeira então a dupla utilizada será a FF= V. 
4ª degrau: Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura.(V) 
Se Rodolfo é mais alto que Guilherme, então Heloísa e Flávia têm a mesma altura.(V) 
 F F 
A proposição “Rodolfo é mais alto que Guilherme” é uma proposição falsa, pois na condicional (se...então) FF = V 
e VF=F. 
As conclusões: 
Rodolfo não e mais alto que Heloísa.(V) 
Alexandre não é mais baixo que Guilherme. (V) 
Rodolfo não é mais alto que Guilherme. (V) 
Heloísa e Flávia não têm a mesma altura. (V) 
 
Resposta letra A 
 
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Ponto 8: Propriedades dos determinantes 
 
1. Matriz Transposta 
Se M é uma matriz quadrada de ordem n e M
t
 sua transposta, então: det(M
t
) = det(M) 
 
2. Fila Nula 
Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, 
então: det(M) = 0 
 
3. Multiplicação de uma fila por uma constante 
Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o 
determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M. 
det (k vezes uma fila de M) = k.det(M) 
 
4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante 
Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o 
produto de kn pelo determinante de M. det (k.M) = k
n
 det(M) 
 
5. Filas paralelas iguais 
Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, 
então: det(M) = 0 
 
6. Filas paralelas proporcionais 
Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente 
proporcionais, então: det(M) = 0 
 
7. Troca de filas Paralelas 
Seja A uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas obteremos uma nova 
matriz B tal que: det(A) = – det(B) 
 
8. Produto de Matrizes 
Seja A e B são matrizes quadradas de ordem n, então: det(A.B) = det(A).det(B) 
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Extra: (CESPE 2010) A partir das matrizes quadradas M e N, de ordem 2 × 2, considere as seguintes 
proposições: A1 : det [3M] = 1; A2 : det N = 3. Nesse caso, considerando B como sendo a proposição “det 
[M × N
–1] =1/27”, então o argumento que contém A1 e A2 como premissas, supostas verdadeiras, e B 
como conclusão, é um argumento válido. 
Resolução: 
Comentário: Precisamos encontrar os valores dos determinantes das matrizes M e N
-1
. 
1ª passo: Determinante da matriz M 
Det 3M = 1 
Det kM = k
n
. detM 
K= 3, det M = x e n = 2( ordem da matriz, ou seja, o número de linhas e colunas) 
Det 3M = 3² . detM 
1 = 9. detM 
9detM= 1 
detM =1/9 
2ª passo: Determinante de N
–1 
Det N. DetN
-1
= 1 
3. det N-1 = 1 
DetN
-1
= 1/3 
 
3ª passo: Encontrar o valor do determinante da matriz [M × N
–1
] 
Dica: Determinante de [M × N
–1
] = det M . det N
-1
 
Det [M × N
–1
] = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A proposição “det [M × N–1] =1/27” é verdadeira, por isso o argumento é valido. 
Item certo 
 
 
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Ponto 9: problemas aritméticos 
 
Tema: Problemas Aritméticos 
Comentário: os problemas aritméticos podem exigir um conhecimento de aritmética( multiplicação, soma, 
subtração e divisão). 
 
01.(CESPE 2008) O gráfico a seguir, que ilustra a previsão das reservas monetárias de 
alguns países, em 2008, deve ser considerado para o julgamento o item a seguir. 
 
 
Considerando-se que, na época da realização dos estudos que deram origem ao gráfico, 1 dólar 
equivalesse a R$ 1,80, é correto afirmar que, nessa época, o valor previsto para as reservas 
internacionais da China era superior a R$ 2.500.000.000.000,00. 
 
Resolução: 
 
A China possui 1500 bilhões de dólares. 
1 dólar equivale a R$ 1,8 
Dica: 1500 . 1,8 = 2700 
A China possui 2700 bilhões de reais. 
Dica: 1 bilhão = 1 000 000 000 
2700 bilhões = 2700 000 000 000, por isso o valor encontrado é superior ao valor proposto no 
item. 
 
Item Certo 
 
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16 
Ponto 10: Diagramas Lógicos. 
 
Segue os casos de diagramas lógicos: 
Caso 01: Todo M é N 
 
 
 
Essa relação mostra que o conjunto M está dentro do conjunto N. Logo M é subconjunto de N. 
Exemplo: Todo homem é sábio. 
O conjunto homem está dentro do conjunto sábio. 
 
Caso 02: Nenhum M é N 
 
 
 
O termo nenhum tem a função de exclusão, por isso os conjuntos não possuem elementos comuns. Logo 
M e N são conjuntos distintos. 
 
Caso 03: Algum M é N 
 
 
 
 
A palavra algum representa elemento comum, isto é, que pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo. 
Logo M  N (intersecção de conjuntos) 
 
Caso 04 Algum M não é N 
 
 
N 
M 
M N 
M N 
 M N 
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 Nesse caso a expressão representa um elemento que pertence ao conjunto M , mas não pertence ao 
conjunto. Logo M – N( diferença de conjuntos). 
Cuidado: Algum M não é N é equivalente a Algum não N é M. Agora algum M não é N é diferente de 
algum N não é M. Conforme vemos no diagrama a abaixo: 
 
Algum M não é N é verdadeira, mas não posso afirmar que algum N não é M. Devido essa possibilidade 
do conjunto N estar dentro do conjunto M.