ESTACIO - Atividade - 2 - EDO - Trabalho Leia.docx

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III - CCE0116
Equação Diferencial Ordinária EDO e suas aplicações na Engenharia
Engenharia Civil
Audiléia S. Borges
Título
Atividade 1 e 2- APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Objetivo
Estudar, analisar criticamente, modelar e desenvolver a solução de uma aplicação das Equações Diferenciais Ordinárias com origem em alguma área de conhecimento, como por exemplo, na mecânica, química, biologia, etc.
Competências / Habilidades
Competências e habilidades gerais envolvidas na atividade:
aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia;
identificar, formular e resolver problemas de engenharia;
comunicar-se eficientemente nas formas escrita, oral e gráfica.
Desenvolvimento
Conteúdo a desenvolver: Aplicações de Equações Diferenciais Ordinárias.
Como será desenvolvido: Pesquisar duas aplicações das equações Diferenciais ordinárias, descrevê-las e resolvê-las.
CH atribuída: 2 créditos.
Conteúdo a desenvolver: Aplicações de Equações Diferenciais Ordinárias.
Como será desenvolvido: Pesquisar duas aplicações das equações Diferenciais ordinárias, descrevê-las e resolvê-las.
CH atribuída: 2 créditos.
Problema 1:
De acordo com a lei de arrefecimento¹ de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença (de temperatura) da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 30°C e resfriando a substância de 120ºC para 80ºC em 20 minutos, achar o momento em que a temperatura desta substância será 50ºC.
Solução:
Seja
T a temperatura da substância.
t o tempo.
Tm a Temperatura ambiente temos:
E sabendo que Tm = 30, a equação pode ser escrita da seguinte forma:
Integrando entre os limites t variando de 0 a 20 minutos e T variando de 120ºC a 80ºC, obtém-se:
Integrando entre os limites T variando de 120°C a 50ºC, t variando de 0 a t minutos, consegue-se o instante exato em que a temperatura será 50°C.
Multiplicando ambos os membros por 20, tem-se;
¹ - Arrefecimento: Tornar-se frio; esfriar, perder ou moderar a energia, o fervor. (FERREIRA, 2001).
Como 20k = 0,5878, isolando t tem-se;
t =51,1765021 ou aproximadamente 51 min e 11 segundos.
Problema 2:
Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150°C, passados quatro minutos essa temperatura cai para 90°C. Quanto tempo levará para que o bolo resfrie até a temperatura de 30ºC, sabendo que a temperatura ambiente é de 25°C?
Solução:
Seja T a temperatura do bolo, Tm a temperatura ambiente e t o tempo, tem-se que:
Quando t = 0, T = 150°C, usando a lei de variação de temperatura de Newton, tem-se:
Sabendo que a temperatura ambiente é 25ºC, pode-se reescrever esta equação como a equação vista em (23). Integrando de acordo com os limites de variação, tem-se.
Assim:
Logo:
Como o problema pede o exato momento em que o bolo chegará a temperatura de 30ºC, apenas deve se integrar a equação do PVI, agora com a temperatura variando de 150°C para 30°C e o tempo variando de 0 a t.
Usando a regra da diferença de logaritmos e isolando t, tem-se:
Assim conclui-se que t = 19,68 minutos ou 19 min e 41 segundos.