lista 1 GAAL 2017.1 (1)

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EAETI – ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Curso: Engenharias 
Produção: Equipe GAAL
Professora: Ana Matos - ana.matos@pro.unifacs.br
 
1a Lista de Exercícios – Vetores – 2017.1
Com base na figura, sobre os vetores coloque Verdadeiro ou Falso: 
 
AB = GH = LJ
LM, GH e FA são coplanares.
LE, JI e IH são coplanares.
(BC + CI + IB) e MF são coplanares.
GM e 2AH são coplanares.
FA, FE e FM não são coplanares.
FA é oposto a JL.
ML, GM, IJ, AB, FE, CD são coplanares.
F = E + LM
H = I + LM
Com base na figura abaixo, escreva o vetor em função de , , , e : 
Verdadeiro ou falso? Para as falsas dê um contraexemplo.
a) Se então . e) Se então .
b) Se então . f) Se então .
c) Se então . g) Se então são paralelos.
d) ABCD é paralelogramo. h) 
i) e são paralelos e de mesmo sentido.
 Dados os vetores e , determine o vetor tal que 
(G1 - cftce 2007) Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos deslocamentos A + B, A - B e B - A e desenhe-os nessa sequência.
Considere no plano os pontos: A(1,1), B(1,3) e C(3,-2) e o vetor . 
Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) e um representante do vetor , com origem no ponto A1 (-3,1), indicando o ponto B1 tal que .
Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano.
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): Represente o triângulo no plano cartesiano.
 a) determinar a natureza do triângulo;
 b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, determine o módulo e a representação da força resultante do sistema abaixo em cada caso (Geometricamente e algebricamente): 
O elo da figura está submetido as forças F1 e F2.
Dados: considere .
Dados: considere 
*Elo (Designação de cada uma argola que faz conexão entre a peça e os cabos ou com outras argolas)
Considere os vetores ; e . Determine:
a) 
b) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e = 
c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b.
d) O versor de , onde é paralelo a .
Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são e Calcule as coordenadas dos outros três vértices.
Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. 
Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). 
Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: 
se eles formam alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
o ângulo entre as retas paralelas aos vetores .
Considere os vetores ; ; e . Determine:
1
Sabendo que | | = 3, | | = 2 e , calcule:
a) b) c) d) 
Calcular: a) , b) , sabendo que e e o ângulo entre e é de 60º 
Determinar o vetor tal que , o ângulo entre e = (1, -1, 0) é 45º e é ortogonal a = (1,1,0).
Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores = (1, -2, 1) e = (-2, 1, m + 1).
Determine o que se pede:
os ângulos diretores de v=(1,-1,0);
os ângulos diretores de um vetor são α, 45° e 60°. Determine α;
calcule o vetor u sendo é obtuso e |u|=5.
Calcular o valor de m para que o vetor + seja ortogonal ao vetor – , sendo = (2, 1, m), = (m+2, -5, 2) e = (2m, 8, m).
Dados os vetores , determine:
; b) um vetor unitário ortogonal a e a ; c) área do triângulo ABC, sendo = e= 
De um triângulo ABC sabemos que | | = 2 , | | = 3 e . = . Determine a área desse triângulo.
Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1)
a) mostre que . 
b) verifique se o triângulo ABC é isósceles. 
Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor =(2,3,1) e ao vetor =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; . 
Dados os vetores = (0,1,1), = (2,0,0) e = (0,2,3). Determine um vetor , tal que e . 	
Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o sen (,).
Dados os vetores = (1,1,1) e = (2,3,4), calcular:
 a) a área do paralelogramo determinado por e ;
 b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor .
Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 
De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e o = . Determine a altura do triângulo ABC em relação à base AC.
Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC.
Do cubo a abaixo, sabemos que: A (2,1,0), B(2,4,0) e = (0,0,3). Determine as coordenadas:
Do vetor ;
Do ponto E;
Do vetor projeção sobre .
Na figura ao lado, achar as coordenadas dos pontos A, B, C e P.
Do cubo ao lado, sabemos que A(2,1,0), B(2,4,0) e 
Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). 
Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que e . Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que .
Questões Fechadas
Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma: 
R = a + b + c + d + e
 a) zero 
b) 
c) 1 
d) 2 
e) 
(UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta.
(Mackenzie 98) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: 
40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero
(Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores .
Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor = tem módulo: 
a) 2uc, e sua orientação é vertical, para cima. 
b) 2uc, e sua orientação é vertical, para baixo. 
c) 4uc, e sua orientação é horizontal, para a direita. 
d) uc , e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário. 
e) uc, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário.
(PUC-SP) Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos lados possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do circuito que corresponde ao vértice do circuito. Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância percorrida e o módulo do deslocamento vetorial foram, respectivamente, de:
a) 14700 m e 700 m 
b) 7350 m e 700 m 
c) 700 m e 14700 m 
d) 700 m e 7350 m 
e) 14700 m e 500 m
Uma das aplicações importantes do produto vetorial à Física é no cálculo do torque, que é uma grandeza definida pelo produto vetorial, representado , e está relacionado com a possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é , onde é a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Sendo assim, se uma força vetorial dada por newtons é aplicada emuma barra, onde , ao longo de uma barra (linha reta), então a intensidade (módulo) do torque sobre a barra no deslocamento , é:
(-6) mN
6 mN
(6) mN
2 mN
-(6) mN
Uma partícula está sujeita a duas forças, conforme a figura. Considere sen530=0,8 e cos530=0,6 e |F1|=|F2|=10N.
Grandezas vetoriais são grandezas que precisam de módulo, direção e sentido para serem definidas, por exemplo força, velocidade e aceleração. Considere as afirmações e de acordo com a teoria de vetores analise as afirmativas dadas para os vetores :
Se u=v, então |u| =|v|
Os vetores 2u e -4u são paralelos de mesmo sentido.
u x v =0 então u é ortogonal a v
Se então 
Se u = (1,2), v = (-2, 5) e w = (x, y) são vetores de R2, então para que w = 3u – v, x + y deve ser igual a:
2
6
0
12
18
Considere os vetores u e v unitários, tais que o produto escalar u.v = -1, a soma u + v será o vetor:
Unitário
De módulo 2
Nulo
- u
Igual à diferença u - v
Respostas:
	a
	b
	c
	d
	e
	f
	g
	h
	i
	j
	F
	V
	F
	V
	V
	V
	V
	V
	F
	V
1)
2) 
	
	a
	b
	c
	d
	e
	f
	g
	h
	i
	V
	F
	F
	F
	F
	V
	V
	V
	F
3 )
4) ; 	5) |A+B| = ; |A - B| = |B - A| = 8 m Observe a figura a seguir:
6) a) A1(-3, 1); b) D(3, -4); B1(-3, 3) 7) a) Isósceles; b) |AM| = 
8) a) b) 
9) a) (-6, 8, -2); b) (2,-3,-4); c) (3/2, -3/2, 1); d) 
10) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3); 	11) -1 e 13/5 12) a) Paralelogramo b) ; 	
13) a) u . v = -10 e u . w = 0 b) | u | = 5uc e u o = (-4/5, 0, 3/5); c) (u , v) = arccos () e (u , w) = 900 d) ( -2, 0, 4); e) (-4/5, 0, 3/5); f) (-36/5, 0, 27/5); g) (4, -1, 2) ou (-4,1,-2) h) (-4/5, 0, 3/5) 
i) j) 5/2 ua. 
 14) a) 11 b) -29 c) -18 d) 13; 15) a) b) 16) 17) m = 0 ou m = -18 18) 19) -6 ou 3 
20) a) (1, -1, -3); b) ; c) ; 21) 	22) b) sim 23) 24) 	 25) D = (0, 4, 2) 26) a b) 27) (2,2,1); 28) 
29) 30) a) (2, 4, 3); b) (5, 1, 0); c) (0, -6, -6)
31) a) (2, 4, 0); b) (2, 0, 3); c) (0, 4, 3); p) (2, 4, 3); o) (0, 0, 0) 
32) a) (0, 3, 3); b) (5, 1, 0); c) (3, 2, 0) 33) y ± 2 34) ; 
					 Questões Fechadas
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	e
	d
	b
	b
	e
	c
	b
	c
	b
	c
...Ainda que eu falasse
A língua dos homens
E falasse a língua dos anjos
Sem amor eu nada seria...
(I cor – 13,1)